Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios métricos y la topología. En primer lugar, define un espacio métrico como un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una distancia definida en X que cumple con las propiedades de una distancia. Luego, introduce las nociones de bolas abiertas y cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, y subconjuntos notables como frontera, interior y clausura. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos fundamentales.

1. Espacios metricos e Introducción a la topología
Temas :
I. Espacios metricos
II. Introducción a la topología :
• Bolas, entornos.
• Conjuntos abiertos y cerrados
• Subconjuntos notables : Frontera, interior, clausura.
I. Espacios metricos :
Definición 1.1:
Dado un conjunto X , se define la distancia d como una aplicacion tal que cumple :
• d ( x, y ) ≥ 0
• d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
• d ( x, y ) = d ( y , x ) ; ∀ x, y ∈ X
• d ( x , y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) ; ∀ x, y , z ∈ X
Definición 1.2:
Llamaremos espacio metrico al par ( X , d ) , donde X es un conjunto y d una distancia definida en X .
Ejemplo :
Sea d : ¥x¥ → ¡ definida por d ( m, n ) = m 2 − n 2 . ¿ Es ( ¥, d ) un espacio metrico ?
Solucion :
Veremos si d cumple con ser una distancia en ¥. Consideramos x, y ∈ ¥ :
• Notamos que x 2 − y 2 ≥ 0 es decir d ( x, y ) ≥ 0.
• Si x = y , se tiene que x 2 − y 2 = x 2 − x 2 = 0. Luego d ( x, y ) = 0 cuando x = y.
• d ( x, y ) = x 2 − y 2 = ( − 1) ⋅ ( y 2 − x 2 ) = − 1 ⋅ y 2 − x 2 = y 2 − x 2 = d ( y, x ) , entonces: d ( x, y ) = d ( y, x )
• d ( x , y ) = x 2 − y 2 = x 2 − z 2 + z 2 − y 2 ≤ x 2 − z 2 + z 2 − y 2 = d ( x, z ) + d ( z , y )
Por lo anterior, es que d es una distancia bien definida en ¥, y por lo tanto ( ¥, d ) es un espacio metrico.
Hugo Andrés Maturana Cornejo

2. Espacios metricos e Introducción a la topología
II. Introducción a la topología :
Definición 2.1 :
Una bola abierta, es un subconjunto de un espacio metrico. Lo definimos como :
Tomando a ∈ X se tiene : Bd ( a, r ) = { x ∈ X / d ( a, x ) < r}
Donde el centro de la bola es “a” , d es la distancia definida en X y “r” el radio de la bola abierta.
Definición 2.2 :
La bola cerrada la definimos :
Tomando a ∈ X se tiene : Bd ( a, r ) = { x ∈ X / d ( a, x ) ≤ r}
Definición 2.3 :
Sea ( X,d ) un espacio metrico. Diremos que A ⊂ X es un conjunto abierto, si para cada y ∈ A existe
ry > 0 tal que Bd ( y, ry ) ⊂ A. Notar que el radio varia dependiendo del punto.
Propiedades :
• Consideremos la familia de abiertos : { Ai : i ∈ I } , tenemos que UA
i∈ I
i es abierto.
• Si tomamos la familia finita de abiertos { Ai : i = 1,..., n} , entonces I Ai es abierto .
i∈ I
Ejemplo : Se demostrarán las propiedades anteriores
• Consideremos la familia de abiertos : { Ai : i ∈ I } , tenemos que UA
i∈ I
i es abierto.
Demostración :
Sea x ∈ U A , entonces existe
i∈ I
i i ∈ I tal que x ∈ Ai . Dado que Ai es abierto, entonces existe r > 0 tal
que Bd ( x, r ) ⊂ Ai , pero Ai ⊂ UA i por lo tanto Bd ( x, r ) ⊂ U A . Asi U A
i i es abierto.
i∈ I i∈ I i∈ I
Hugo Andrés Maturana Cornejo

3. Espacios metricos e Introducción a la topología
• Si tomamos la familia finita de abiertos { Ai : i = 1,..., n} , entonces I Ai es abierto .
i∈ I
Demostración :
Sea xi ∈ I A , entonces para cualquier i ∈ I se tiene que x ∈
i∈ I
i Ai . Dado Ai abierto, entonces existe ri > 0
tal que Bd ( x, ri ) ⊂ Ai , si tomamos r = min { ri } > 0 notamos que Bd ( x, ri ) ⊂ IA
i∈ I
i , luego I Ai es abierto.
i∈ I
Definición 2.4 :
Sea ( X , d ) un espacio metrico. Diremos que U ⊂ X es entorno de x ∈ X si existe r > 0 tal que se
tenga Bd ( x, r ) ⊂ U .
Definición 2.5 :
Si bien es importante estudiar a los conjuntos abiertos, tambien lo es tener en cuenta que significa su
complementario, es decir si tenemos A un conjunto abierto, saber que es Ac . Esto nos lleva a lo que se
llama conjunto cerrado. Diremos que un conjunto es cerrado si su complementario es abierto.
Ejemplo :
Sean A un conjunto cerrado y B un conjunto abierto. Demuestre que A − B es cerrado.
Demostración :
Notamos que ( A − B ) = ( A ∩ B c ) = Ac ∪ B. Dado que A es cerrado, entonces Ac es abierto y la
c c
unión de abiertos es un conjunto abierto, por lo tanto Ac ∪ B es abierto. Asi A − B es cerrado.
Definición 2.6 :
Sea ( X,d) un espacio metrico. Tomemos a S ⊂ X , diremos que x ∈ X es un punto adherente de S ,
si para todo r > 0 se tiene Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ . El conjunto de puntos adherentes de S se llama adherencia
de S y se denota como S .
Ejemplo :
Si S1 ⊂ S 2 entonces S1 ⊂ S 2
Demostración :
Consideremos x ∈ S1 , entonces dado cualquier r > 0 se cumple Bd ( x, r ) ∩ S1 ≠ ∅ , notemos lo siguiente
Bd ( x, r ) ∩ S1 ⊂ Bd ( x, r ) ∩ S 2 dado que S1 ⊂ S 2 y por tanto Bd ( x, r ) ∩ S 2 ≠ ∅ para cualquier r > 0, es
decir x ∈ S 2 , osea S1 ⊂ S 2 .
Hugo Andrés Maturana Cornejo

4. Espacios metricos e Introducción a la topología
Definición 2.8 :
Si consideramos S ⊂ X , con ( X , d ) un espacio metrico. Diremos que x ∈ X es un punto interior de
S , si existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊂ S .
o
El conjunto de puntos interiores se denota por S
Definición 2.8.1 :
Siendo ( X , d ) un espacio metrico y S ⊂ X , diremos que x ∈ X es un punto de acumulación de S si
dado cualquier r > 0 se tiene que  Bd ( x, r ) − { x}  ∩ S ≠ ∅ . Es decir, cualquier entorno de x contiene
 
un punto distinto de x en S. El conjunto de puntos de acumulación de S se denotará como S ′ .
Definición 2.8.2:
Diremos que x es un punto aislado de S , si existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ∩ S = { x}
Definición 2.8.3:
Diremos que x ∈ X es un punto frontera de S si para todo r > 0, se cumple que Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ y
también Bd ( x, r ) ∩ S c ≠ ∅ . Se denota : fr ( S ) .
Notemos que podemos decir : fr ( S ) = S ∩ S c
Ejemplos :
______ 0
Notar que ( 0,1) = [ 0,1] , a su vez [ 0,1) = ( 0,1) , como tambien : fr ( 0,1) = { 0,1}
o
Además, si tenemos A = [ 0, 2 ) ∪ ( 2,3) . Identificamos que A = ( 0, 2 ) ∪ ( 2,3) , A = [ 2,3] y ∂ ( A ) = { 0, 2,3}
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5. Espacios metricos e Introducción a la topología
Ejercicios :
1. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Consideremos la bola abierta Bd ( x, r ) , además y ∈ Bd ( x, r ) .
Demuestre que existe s > 0 tal que Bd ( y, s ) ⊆ Bd ( x, r ) .
2. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Sean a, b puntos distintos en X , consideremos r > 0 y s > 0 tales
que r + s < d ( a, b ) , entonces las bolas abiertas Bd ( a, r ) y Bd ( b, s ) son disjuntas.
3. − Demuestre que cualquier bola abierta en un espacio metrico ( X , d ) es un abierto.
4. − Considere la familia arbitraria de abiertos { Ai : i ∈ I } , demuestre que U Ai es un conjunto abierto.
i∈ I
5. − Considere la familia finita de abiertos { Ai : i ∈ I } , demuestre que I Ai es un conjunto abierto.
i∈ I
6. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Si A ⊆ X , demuestre que A es abierto si y solo si, es entorno de
todos sus puntos.
7. − Un subconjunto C de un espacio metrico ( X,d) es cerrado si y solo si, dado cualquier x ∉ C ,
existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ∩ C = ∅
8. − Si { Ci : i ∈ I } es una familia arbitraria de cerrados, demuestre que IA i∈ I
i es cerrado.
9. − Si { Ci : i ∈ I } es una familia finita de cerrados, demuestre que UA
i∈ I
i es cerrado.
10. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere A, B subconjuntos del espacio metrico, entonces :
i ) Dado A conjunto abierto y B cerrado, demuestre que A B es abierto.
Hugo Andrés Maturana Cornejo

6. Espacios metricos e Introducción a la topología
ii ) Dado A conjunto cerrado y B abierto, demuestre que A B es cerrado.
11. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere S ⊆ X , demuestre que S ⊆ S .
12. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere S1 , S 2 subconjuntos de X , si S1 ⊆ S2 entonces se
cumple que S1 ⊆ S 2 .
13. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere S ⊆ X , demuestre que S = S
14. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere A, B ⊆ X , tal que A es un conjunto abierto; entonces
_________
A∩ B ⊆ A∩ B
15. − Sea ( X,d) un espacio metrico. Considere A, B ⊆ X , demuestre que :
________
i) A ∩ B = A ∩ B
________
ii) A ∪ B = A ∪ B
o
16. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere S ⊆ X , demuestre que S es abierto.
o
o
 o

17. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Considere S1 , S 2 ⊆ X , demuestre que S1 ∩ S 2 =  S1 ∩ S 2 
 
o
18. − Si A ⊆ S y A es un conjunto abierto. Demuestre que A ⊆ S
19. − Sea ( X , d ) un espacio metrico. Demuestre :
__
o
i) E ⊆ E
o o
ii ) E ⊆ E
o
iii) ∂ ( E ) = E − E
 o
iv) ∂  E  ⊆ ∂ ( E )
 
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7. Espacios metricos e Introducción a la topología
Soluciones :
1. − Tenemos que y ∈ Bd ( x, r ) , es decir : d ( x, y ) < r. Notemos que r − d ( x, y ) > 0, afirmaremos que
s = r − d ( x, y ) > 0 y es tal que : Bd ( y , s ) ⊆ Bd ( x, r ) . En efecto :
Sea a ∈ Bd ( y, s ) , es decir : d ( a, y ) < s ⇒ d ( a, y ) < r − d ( x, y ) ⇒ d ( a, y ) + d ( x, y ) < r , por la desigualdad
triangular se tiene : d ( a, x ) ≤ d ( a, y ) + d ( y , x ) , entonces d ( a, x ) < r ⇒ a ∈ Bd ( x, r ) .
Por lo tanto: Bd ( y, s ) ⊆ Bd ( x, r ) , considerando s = r − d ( x, y ) > 0.
2. − Demostraremos por contradicción. Supongamos cierta la existencia de x ∈ Bd ( a, r ) ∩ Bd ( b, s ) , es decir
x ∈ Bd ( a, r ) y x ∈ Bd ( b, s ) , se sigue que d ( a, x ) < r y d ( b, x ) < s.
Luego 0 < r − d ( a, x ) y 0 < s − d ( b, x ) , sumando : 0 < r + s − d ( a, x ) − d ( b, x ) ⇒ d ( a, x ) + d ( b, x ) < r + s,
por la desigualdad del triangulo d ( a, b ) ≤ d ( a, x ) + d ( x, b ) , asi : d ( a, b ) < r + s y por hipotesis r + s < d ( a, b )
osea d ( a, b ) < d ( a, b ) . ( → ← )
Por lo tanto: Bd ( a, r ) , Bd ( b, s ) son disjuntas.
3. − Consideremos Bd ( x, r ) una bola abierta. Sea y ∈ Bd ( x, r ) ⇒ d ( x, y ) < r , tomemos s = r − d ( x, y ) > 0
y demostraremos que Bd ( y, s ) ⊆ Bd ( x, r ) .
Tomemos a ∈ Bd ( y, s ) ⇒ d ( a, y ) < s ⇒ d ( a, y ) + d ( y, x ) < r ⇒ d ( a, x ) ≤ d ( a, y ) + d ( y, x ) < r ⇒ d ( a, x ) < r
luego a ∈ Bd ( x, r ) y asi Bd ( y, s ) ⊆ Bd ( x, r ) . Por tanto, Bd ( x, r ) bola abierta es un conjunto abierto.
4.- Demostrado en los ejemplos.
5. − Sea x ∈ I A , es decir :
i∈ I
i ∀ i ∈ I , se tiene x ∈ Ai .
Como Ai es abierto, entonces existe ri > 0 tal que Bd ( x, ri ) ⊆ Ai . Consideremos r = min { ri } > 0, es claro que
Bd ( x, r ) ⊆ IA
i∈ I
i , asi I Ai es un conjunto abierto.
i∈ I
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8. Espacios metricos e Introducción a la topología
6. −
(⇒ )
Dado A conjunto abierto, entonces para cualquier x ∈ A existirá r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ A, por lo tanto el
conjunto A es entorno de todos sus puntos.
(⇐ )
Sea x ∈ A, dado que A es entorno de todos sus puntos, lo será para x asi existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ A.
Como en general, lo anterior se cumple para cualquier elemento del conjunto, entonces A es un conjunto abierto.
7. −
(⇒ )
Como C es cerrado, entonces C c es abierto. Sea x ∉ C , entonces existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ C c , por
lo tanto Bd ( x, r ) ∩ C = ∅
(⇐ )
Dado cualquier x ∉ C , existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ∩ C = ∅ , es decir no existe ningun punto de la bola abierta
centrada en x ∈ C c que este en C , por lo tanto Bd ( x, r ) ⊆ C c . Luego Cc es abierto, asi C es un conjunto cerrado.
8. − Sea x ∈ UA
i∈ I
i
c
⇒ ∃ i ∈ I tal que x ∈ Ai c , dado que Ai es cerrado entonces Ai c es abierto. Luego, existe
r > 0 con Bd ( x, r ) ⊆ Ai c , como Ai c ⊆ UA
i∈ I
i
c
entonces Bd ( x, r ) ⊆ Ai c ⊆ UA
i∈ I
i
c
, asi U Ai c es abierto.
i∈ I
Por lo anterior, es que concluimos que IA
i∈ I
i es cerrado.
9. − Observemos que I Ai c es una intersección finita de abiertos, sabemos que la intersección de abiertos
i∈ I
es un conjunto abierto, por lo tanto I Ai c es abierto. Por consiguiente, U Ai es cerrado.
i∈ I i∈ I
10. −
i) Se sabe que ( A B) = ( A − B) = ( A∩ B c ) . El conjunto B es cerrado, asi que B c es un conjunto abierto
luego la intersección finita de abiertos, es un abierto; por lo tanto A ∩ B c es un conjunto abierto.
ii ) Hecho en los ejemplos.
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9. Espacios metricos e Introducción a la topología
11. − Sea x ∈ S , luego dado cualquier r > 0 se tiene Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ , por tanto x ∈ S . Asi S ⊆ S .
12.- Demostrado en ejemplos.
13. −
(⊆ )
Sea x ∈ S , entonces dado cualquier r > 0 se tiene Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ . Luego Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ , por tanto
x∈ S.
(⊇ )
Consideremos x ∈ S ⇒ ∀ r > 0 : Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ , dado que S ⊆ S , entonces Bd ( x, r ) ∩ S ≠ ∅ . Asi s ∈ S .
Por lo anterior, es que S = S
14. − Sea x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B .
Dado A abierto, entonces existe r > 0 : Bd ( x, r ) ⊆ A . Dado también, que x ∈ B entonces para cualquier
s > 0 se tiene Bd ( x, s ) ∩ B ≠ ∅ , consideremos que también se cumple para r = s, y como Bd ( x, r ) ⊆ A
________ ________
entonces Bd ( x, r ) ∩ A ≠ ∅ , luego x ∈ A ∩ B ( por : A ∩ B = A ∩ B ) se concluye que x ∈ A ∩ B y por ende
________
A∩ B ⊆ A∩ B.
15. −
i)
________
• (⊆ ) Sea x ∈ A ∩ B ⇒ ∀ r > 0 : Bd ( x, r ) ∩ ( A ∩ B ) ≠ ∅ , luego Bd ( x, r ) ∩ A ≠ ∅ y Bd ( x, r ) ∩ B ≠ ∅ , asi
________
x ∈ A y x ∈ B. Luego A ∩ B ⊆ A ∩ B
•(⊇ ) Sea x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B , luego ∀ r > 0 se tiene Bd ( x, r ) ∩ A ≠ ∅ y Bd ( x, r ) ∩ B ≠ ∅ , asi
________ ________
notamos que Bd ( x, r ) ∩ ( A ∩ B ) ≠ ∅ ⇒ x ∈ A ∩ B . Luego A ∩ B ⊆ A ∩ B .
________
Por lo anterior, es que : A ∩ B = A ∩ B
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10. Espacios metricos e Introducción a la topología
ii)
________
•(⊆ ) Sea x ∈ A ∪ B ⇒ ∀ r > 0 : Bd ( x, r ) ∩ ( A ∪ B ) ≠ ∅ ⇒ ( B ( x, r ) ∩ A) ∪ ( B ( x, r ) ∩ B ) ≠ ∅ , luego se
d d
tiene que Bd ( x, r ) ∩ A ≠ ∅ o Bd ( x, r ) ∩ B ≠ ∅ , por tanto x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B
•(⊇ ) Análogo
________
Por lo anterior, es que : A ∪ B = A ∪ B
o
16. − Consideremos x ∈ S , es decir existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ S . Notemos que lo anterior es dado un
o o
elemento cualquiera del conjunto ( S ), por tanto S es abierto.
17. −
(⊆ )
o o o o o o
Sea x ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x ∈ S1 ∧ x ∈ S2 , como x ∈ S1 ⇒ ∃ r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ S1 y dado que x ∈ S2 entonces
existe s > 0 tal que Bd ( x, s ) ⊆ S2 , luego escogiendo t = min { r , s} > 0 se tiene Bd ( x, t ) ⊆ S1 ∩ S2 , por lo tanto
x ∈ ( S1 ∩ S 2 )
o
(⊇ )
Sea x ∈ ( S1 ∩ S2 ) ⇒ ∃ r > 0 : Bd ( x, r ) ⊆ S1 ∩ S2 , por lo tanto es claro que Bd ( x, r ) ⊆ S1 y Bd ( x, r ) ⊆ S2 , asi
o
o o o o
x ∈ S1 ∧ x ∈ S2 ⇒ x ∈ S1 ∩ S2
o o
Por lo anterior, es que : ( S1 ∩ S2 ) = S1 ∩ S 2
o
18. − Tomemos x ∈ A, dado que A es un conjunto abierto, entonces existe r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ A, y
o o
como A ⊆ S entonces Bd ( x, r ) ⊆ S ⇒ x ∈ S . Por lo tanto, A ⊆ S .
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11. Espacios metricos e Introducción a la topología
19. −
___
o o o
i) Sea x ∈ E , entonces dado cualquier r > 0 se tiene Bd ( x, r ) ∩ E ≠ ∅ . Se sabe que E ⊆ E , por lo tanto
___
o
Bd ( x, r ) ∩ E ≠ ∅ , nos lleva a que x ∈ E . Luego : E ⊆ E .
o
ii) Consideremos x ∈ E , existe entonces r > 0 tal que Bd ( x, r ) ⊆ E. Notando que E ⊆ E entonces llegamos
o
que Bd ( x, r ) ⊆ E ⊆ E ⇒ x ∈ E
iii)
• (⊆ ) Sea x ∈ ∂ ( E ) , osea dado cualquier r > 0 se tiene que Bd ( x, r ) ∩ E ≠ ∅ y a su vez Bd ( x, r ) ∩ E c ≠ ∅
luego si Bd ( x, r ) ∩ E c ≠ ∅ dado cualquier r , entonces no existe s > 0 tal que Bd ( x, r ) ∩ E ≠ ∅ , por ende
o o o
x ∉ E . Y por Bd ( x, r ) ∩ E ≠ ∅ es que x ∈ E , luego x ∈ E ∧ x ∉ E ⇒ x ∈ E − E
o o
•(⊇ ) Si x ∈ E − E ⇒ x ∈ E ∧ x ∉ E ⇒ x ∈ E ∧ ( x ∈ ∂ ( E ) ∨ x ∉ E ) ⇒ x ∈ E ∧ x ∈ ∂ ( E ) ⇒ x ∈ ∂ ( E ) .
o
Por lo anterior, es que: ∂ ( E ) = E − E .
__ o __
iv) Notemos que : ∂  E  = E − E = E − E , además sabemos A ⊆ B ⇒ A ⊆ B y como E ⊆ E , entonces
o o o o o o
 
 
__ __
E ⊆ E , asi : E − E ⊆ E − E = ∂ ( E ) y por ende : ∂  E  ⊆ ∂ ( E ) .
o o o o o
 
 
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