Examen de admisión U-Andes - Maestría en Matemática

1. Examen de Admisi´on a la Maestr´ıa de Matem´aticas
Abril 25, 2006
Segunda prueba
Resuelva los siguientes ejercicios. Duraci´on: 3 horas.
Ejercicio 1
Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y sea {Fα}α∈I una familia de subconjuntos cerrados de X tal
que ∩α∈IFα = φ. Pruebe que existe un n´umero positivo c tal que para todo x ∈ X se tiene d(x, Fα) ≥ c
para alg´un α ∈ I, donde d(x, Fα) es la distancia de x a Fα.
Ejercicio 2
Considere la serie de potencias
∞
n=0 anzn
, y suponga que los coeficientes an son todos n´umeros
enteros tales que hay una cantidad infinita de ellos que son diferentes de cero. Demuestre que el radio
de convergencia es menor o igual a 1.
Ejercicio 3
Considere en el plano R2
un pent´agono regular centrado en el origen. Sea G el grupo de isometr´ıas
del plano que manda el pent´agono regular en s´ı mismo. Calcule el centro del grupo G (el centro de un
grupo G es el conjunto de todos los elementos de G que conmutan con cualquier otro elemento de G).
Ejercicio 4
Sea A una matriz n × n con coeficientes reales, estrictamente triangular superior (es decir, todas las
entradas en la diagonal y abajo de ella son cero) y sea I la matriz identidad. Demuestre que I − A es
invertible y exprese el inverso de I − A en funci´on de A.
Ejercicio 5
Sea p un n´umero primo. Demuestre que para cualquier a ∈ Zp, el polinomio xp
+ a en Zp[x] no es
irreducible.
Ejercicio 6
Usando residuos calcule la siguiente integral:
∞
−∞
x2
dx
(x2 + 1)(x2 + 2x + 2)
Ejercicio 7
Sea f una funci´on medible de un conjunto E a los reales. Si A
fdµ = 0 para todo conjunto medible
A en E, demuestre que f(x) = 0 para casi todo punto x de E.