El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar las raíces o ceros de una función real derivable mediante iteraciones sucesivas. Comienza con un valor inicial cercano a la raíz y calcula nuevos valores aproximados utilizando la tangente en cada punto. La regla de L'Hôpital permite evaluar límites indeterminados dividiendo las derivadas del numerador y denominador cuando ambos tienden a cero o infinito.

1. Método de Newton
En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de
Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para
encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser
usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su
primera derivada.
Descripción del método
La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor
aproximación que xn para la raíz x de la función f.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está
garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es
seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de
comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho
de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o
pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo
diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que
se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto.
La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la
raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya
convergido lo suficiente.
Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un
valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
Donde f ' denota la derivada de f.

2. Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola
variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables
a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos
que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc
Reglade l'Hôpital
Guillaume de l'Hôpital,fue el que dioaconocerestaregla.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla
de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de
funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume
François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su
obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer
texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se
debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se
da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo o .
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c
perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo
tanto,

3. Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital,
aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos de tipo
ε-δ más delicados.
 Comog(c)=0 y g'(x)≠0si x≠c, se tiene que g(x)≠0si x≠c como consecuenciadel Teoremade
Rolle.
 Dado que f(c)=g(c)=0,aplicandoel Teoremadel ValorMediode Cauchy,paratodo x en
(a,b),conx distintode c,existe tx enel intervalode extremos x yc,tal que el cociente
f(x)/g(x) se puede escribirde lasiguiente manera:
 Cuandox tiende haciac,por la regladel sandwich, tx tambiéntiendehaciac,así que:
Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el
valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el
numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x),
al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicaciónsencilla
Aplicaciónconsecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces: