sistemas no lineales

1. SISTEMAS NO LINEALES: TEORIA LOCAL.
ANDREY M. MONTOYA J.
19 MARZO 2012
ANDREY M. MONTOYA J. () ALGUNOS CONCEPTOS Y DEFINICIONES PRELIMINAR1E9S.MARZO 2012 1 / 14

2. INTRODUCCIÓN
En el primer capítulo estudiamos sistemas lineales de la forma
x
= Ax
donde su única solución esta dada por x(t) = eAtx0 8t 2 R.
Ahora estudiaremos sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales de la
forma
x
= f (x)
donde f : E ! Rn, E es un subconjunto abierto de Rn. Bajo ciertas
condiciones la función f , del sistema no lineal x
= f (x) tiene solución
única para cada punto x0 2 E, de…nido sobre un intervalo maximal
existente (a, b) R.
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3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Consideremos sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autonomas
x
= f (x)
como oposición a sistemas no autonomos
x
= f (x, t)
donde la función f depende de la variable independiente t, sin embargo
cualquier sistema no autonomo x
= f (x, t) con x 2 Rn puede ser escrito
como un sistema autonomo con x 2 Rn+1 simplemente dejando xn+1 = t
y x
n+1 = 1.
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4. Notemos que la existencia de la solución de una ecuación diferencial
elemental
x
= f (t)
esta dada por:
x(t) = x(0) +
Zt
0
f (s)ds
si f (t) es integrable. En general la ecuación diferencial .x
= f (x) ó
.x
= f (x, t) tienen solución si la función f es continua. Sin embargo, la
continuidad de la función en .x
= f (x) no es su…ciente para garantizar la
unicidad de la solución como se muestra en el siguiente ejemplo.
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5. EJEMPLO 1
El problema de valor inicial
x
= 3x 23
x(0) = 0
tiene dos soluciones que pasan por (0, 0) diferentes
u(t) = t3
v (t) 0
para todo t 2 R.
¿La función f (x) = 3x 23
es contínua en x = 0?
¿La función f (x) = 3x 2
3 es diferenciable en x = 0?
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6. EJEMPLO 2
El problema de valor inicial
x
= x2
x(0) = 1
su solución esta dada por
x(t) =
1
1 t
esta solución es unica de…nida para t 2 (¥, 1) y
lim
t!1
x(t) = ¥.
El intervalo (¥, 1) es llamado el intervalo maximal de existencia de la
solución del problema de valor inicial.
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7. De…nition
La función f : Rn! Rn es diferenciable en xo 2 Rn si existe una
tranformación lineal Df(x0) 2 L(Rn) que satisface
lim
jhj!0
jf(x0 + h) f(x0) Df(x0)hj
jhj
= 0
la transformación lineal Df(x0) es llamada la derivada de f en x0.
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8. Theorem
Si f : Rn! Rn es diferenciable en x0, entonces las derivadas parciales ¶fi
¶xj
,
i , j = 1, 2, ..., n, todas existen en x0 y para todo x 2 Rn,
Df(x0)x = ån
j=1
¶f
¶xj
(x0)xj .
Si la función f es diferenciable, la derivada Df esta dada por la matrix
jacobiana n n
Df =
¶fi
¶xj
.
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9. Example
Encontrar la derivada de la función
f(x) =
x1 x2
2
x2 + x1x2
y evaluarlo en el punto x0 = (1, 1)T .
Primero computemos la matrix jacobiana de las derivadas parciales
Df =
¶f1
¶x1
¶f1
¶x2
¶f2
¶x1
¶f2
¶x2
#
=
1 2x2
x2 1 + x1
.
y entonces
Df (1,1) =
1 2
1 0
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10. De…nition
Supongamos que V1 y V2 son dos espacios lineales normados con sus
respectivas normas kk1 y kk2 que satisfasen las propiedades de las
normas. Entonces
F : V1 ! V2
es continua en x0 2 V1 si para todo # 0 existe un d 0 tal que x 2 V1
y kx x0k1 d implica que
kF(x) F(x0)k2 #.
Se dice que F es continua en E V1 si es continua en cada punto x 2 E.
Si F es continua en E V1, decimos que F 2 C(E).
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11. De…nition
Supongamos que f : E ! Rn es diferenciable en E. Entonces f 2 C1(E) si
la derivada Df : E ! L(Rn) es continua en E.
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12. Theorem
Supongamos que E es un subconjunto abierto de Rn y que f : E ! Rn.
Entonces f 2 C1(E) si las derivadas parciales ¶fi
¶xj
, i , j = 1, 2, ..., n, existen
y son continuas en E.
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13. NOTA:
Para E un subconjunto abierto de Rn, las derivadas de orden mayor
Dk f(x0) de la función f : E ! Rn estan de…nidas en forma similar y se
puede mostrar que f 2 Ck (E) si y solo si las derivadas parciales
¶k fi
¶xj1 ...¶xjk
con i , j1, ..., jk = 1, ..., n existen y son continuas en E. Además,
D2f(x0) : E E ! Rn y para (x, y) 2 E E tenemos
D2f(x0)(x, y) = ån
j1,j2=1
¶f(x0)
¶xj1¶j2
xj1xj2.
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14. MUCHAS GRACIAS...
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