PARA USTEDES AMIGOS

1. Unidad 3: CONTINUIDAD ESPACIAL
La mayoría de fenómenos naturales poseen una
continuidad espacial:
Los datos contiguos muestran mayor similitud que si
éstos estuvieran alejados.
Al observar la disposición de datos se nota que existe
un cierto orden, una cierta continuidad.
Así, un valor alto tenderá a situarse cerca de valor alto.
Las mismas herramientas utilizadas para describir la
relación entre dos variables también pueden ser
utilizadas para describir la relación entre el valor de una
muestra y las contiguas a ella para una misma variable.

2. El Variograma
Esencialmente existen tres funciones que resumen la
continuidad espacial:
El correlograma p(h); la covarianza (%) y el
variograma (h).
Todas estas funciones describen el comportamiento
espacial de la variable regionalizada en función de
la distancia y la dirección.
No obstante que cualquiera de estas funciones son
adecuadas, el variograma es el más utilizado.

3. EL VARIOGRAMA
La variabilidad entre dos puntos, x y x+h, distantes del vector h.
h
x
X+h
está caracterizada por la función variograma, 2(h), que
teóricamente está definida por:
En la práctica el variograma se obtiene mediante la expresión:

4. EL VARIOGRAMA
De las expresiones citadas se deducen algunas propiedades de los variogramas:
 (0) = 0
 (h) 0
 (-h)=  (h)
La última relación traduce el hecho que (z1-z2)2= (z2-z1)2, siendo z1 y z2: los datos
de las muestras 1 y 2 distantes del vector h.
La función gama de h es par

5. EL VARIOGRAMA
El procedimiento para efectuar una estimación
geoestadistica de reservas puede dividirse en dos
partes:
• La primera etapa: Se refiere a la investigación y
modelaje de la estructura física y estadística del
deposito mineral que se esta estimando. Los
conceptos de continuidad quedan incluidos en los
variogramas que se construyen durante esta
primera etapa.
• La segunda etapa: se refiere al proceso de
estimación en sí, el krigeage, que depende
enteramente de los variogramas construidos en la
primera etapa.

6. ¿Qué es el Variograma?
El estudio del variograma cubrirá la primera
parte del procedimiento de estimación
geoestadistica.
¿Qué es el Variograma?
Es una curva que representa el grado de
continuidad de la mineralización de un depósito.
Experimentalmente, uno dibuja una distancia h
en la abscisa, x en la ordenada, el valor del
variograma es el promedio del cuadrado de la
diferencia entre las leyes de muestras tomadas a
una distancia h una de otra.

7. ¿Qué es el Variograma?
En general el variograma, es una función no decreciente de la
distancia h ya que en promedio, cuando más separadas estén
las muestras una de otra, mas diferentes serán sus leyes.
El variograma ofrece una estimación precisa del tradicional
concepto de la zona de influencia.
El crecimiento más o menos rápido del variograma representa
el deterioro más o menos rápida de la influencia de una
muestra dada sobre zonas cada vez mas remotas del depósito.
Las características cualitativas de una regionalización quedan
muy bien expresadas a través del variograma.
Esta herramienta, el variograma, no representa la totalidad ni
los detalles locales del fenómeno de mineralización, pero si,
expresan en forma sintética sus características esenciales.

8. Precisemos conceptos con un ejemplo, sean N datos z1,
z2,..,z N dispuestos regularmente a la distancia b:
Aplicando la formula experimental se obtiene:

9. Estos resultados pueden graficarse
obteniéndose:

10. Comportamiento del variograma para distancias lhl
pequeñas y distancias lhl grandes
1. Comportamiento del variograma para distancias pequeñas o en el
origen:
Caso 1. Leyes muy regulares y continuas.
Caso 2. Continuidad y regularidad promedio
Caso 3. Existencia de microvariaciones.
Caso 4. Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes es total.
2. Comportamiento del variograma para grandes distancias.
Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo.
Caso 2. Leyes con pseudo-periodicidades.
Caso 3. Fenómeno estacionario sin pseudoperiodicidad (o fenómeno
de transición)

11. Comportamiento del variograma para
distancias pequeñas o en el origen:
Es importante analizar el comportamiento de (h) cuando h 0, es decir
cerca del origen. La mayor o menor continuidad de la mineralización se
representa por el comportamiento más o menos regular del variograma
Habitualmente se presentan cuatro casos:
Caso 1: Valores muy regulares y continuos:
El comportamiento de las leyes son tan continuas que las leyes de dos
muestras distantes de b son prácticamente las mismas; es decir que
para h pequeño (h) será próximo a cero.

12. Caso 1: Valores muy regulares y continuos:
En estas circunstancias se dice que el variograma tiene un
comportamiento parabólico en el origen.
Representa una variable regionalizada con alta continuidad
por ejemplo la potencia de un depósito tabular

13. Caso 2. Continuidad y regularidad promedio
Para un perfil de leyes como el siguiente,
La diferencia de leyes para dos muestras
distantes de b será significativa.

14. Caso 2. Continuidad y regularidad promedio
En este caso, el variograma cerca al origen tendrá la forma:
Llamada continuidad lineal, es caracterizada por una tangente
oblicua en el origen y representa una variable que tiene una
continuidad promedio.
Se dice que el variograma tiene un comportamiento lineal cerca
del origen.
Este tipo de continuidad es más común para leyes en depósitos
metalíferos.

15. Caso 3. Existencia de microvariaciones
Si la equidistancia entre datos b, es menor que la escala de variación d de las
microestructuras, el variograma en una vecindad del origen será:

16. Caso 3. Existencia de microvariaciones
Existirá un salto cerca al origen, debido a la microvariabilidad, hasta
h=d para luego crecer moderadamente siguiendo la variabilidad mayor.
Si la microestructura es a la escala de decímetros por ejemplo y la
estructura mayor del orden de las decenas de metros, obviamente el
variograma tendrá la apariencia del gráfico siguiente:
En este caso se revela una discontinuidad en el origen y representa
una variable que no presenta siquiera una continuidad promedio pero
si un efecto pepita.

17. Caso 3. Existencia de microvariaciones
A la discontinuidad aparente que se observa cerca del
origen (debido a la presencia de microestructura; se
conoce como el efecto pepita, C0. Este nombre singular
tiene sus raíces justamente en los yacimientos auríferos
del África del Sur:

18. Caso 3. Existencia de microvariaciones
El efecto pepita también puede generarse artificialmente al manipular,
preparar y/o analizar las muestras:

19. Caso 4: Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes es
total (ausencia de estructuras)
En el gráfico precedente observamos que fuere cual fuere la escala de trabajo.
Las leyes de dos muestras son prácticamente independientes. El variograma
correspondiente será:
Se dice que el variograma presenta un efecto de pepita puro : y(Q)=0 y : y (h)=C
para todo h=0.

20. Caso 4: Caso límite en el cual la irregularidad de las
leyes es total (ausencia de estructuras)
Este caso se presenta si en un campo S, se ponen pepitas al azar,
como en la figura siguiente.

21. 2. Comportamiento del variograma para grandes distancias
La zona de influencia es la zona más allá de la cual la influencia de una
muestra desaparece. Es normal caracterizar tal zona de influencia en
una dirección dada por la distancia a la cual el variograma
eventualmente alcanza la meseta.
Se estudiará ahora el comportamiento de la función  (h) para lhl
grande, para lo cual analizaremos tres casos hipotéticos.
Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo
En la figura se tiene un rango de influencia de 200 m en un depósito de hierro

22. Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo
Se dice que hay una deriva o tendencia. Si se calcula la función,
se observará que  (h) siempre crece.
Nótese que en muchos casos cuanto más separadas están las
muestras, estas son mas diferentes. Esto ocurre frecuentemente
en depósitos hidrotermales. La figura se refiere a un depósito de
Cu-Ni

23. Caso 2. Leyes con pseudo-periodicidades
Si se calcula la función γ(h) se observará la presencia de máximos y mínimos.
Se dice que el variograma presenta efecto de hoyo o de agujero. En la figura, d = 9
unidades proporciona una medida del pseudo-período ; Δ es una medida de la
intensidad del efecto (si el fenómeno es perfectamente periódico, entonces Δ = 0).
El fenómeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, varía de manera
homogénea y sin deriva):

24. Caso 3. Fenómeno estacionario sin pseudoperiodicidad (o
fenómeno de transición)
Este caso corresponde al anterior en el cual la magnitud crece. Si se calcula función  (h)
se tiene:
Se observa que a partir de una cierta distancia del
orden de a=6, la función (h) permanece
aproximadamente constante:
γ(6) = γ(7) = γ(8) = . . . = constante = C
Esto quiere decir que da lo mismo que la distancia que
separa los puntos sea 6, 7, 8 o más unidades; en otras
palabras, dos puntos cuya distancia sea superior a a = 6
unidades son prácticamente independientes en ley.
El fenómeno es homogéneo en su variación espacial, con cambios
bruscos.

25. Caso 3. Fenómeno estacionario sin
pseudoperiodicidad (o fenómeno de transición)
La magnitud a se llama alcance y la constante C se
llama meseta.

26. Caso 3. Fenómeno estacionario sin
pseudoperiodicidad (o fenómeno de transición)
Zona de influencia de una muestra localizada en el punto X0

27. En conclusión: ¡Dos muestras cuya distancia sea
inferior al alcance a están correlacionadas entre si!

28. Ejemplo
La figura siguiente muestra un sondaje en el depósito de una mina de carbón. Se
trata de un sondaje vertical con N=80 muestras. La equidistancia entre las
muestras es b=5 m. El carbón se representa en rojo y el estéril se representa en
amarillo:

29. Ejemplo

30. Ejemplo

31. COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS lHl
PEQUEÑAS Y DISTANCIAS lHl GRANDES
1. Comportamiento del variograma para distancias
pequeñas o en el origen:
Caso 1. Leyes muy regulares y continuas.
Caso 2. Continuidad y regularidad promedio
Caso 3. Existencia de microvariaciones.
Caso 4. Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes
es total.
2. Comportamiento del variograma para grandes distancias:
Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo.
Caso 2. Leyes con pseudo-periodicidades.
Caso 3. Fenómeno estacionario sin pseudoperiodicidad (o
fenómeno de transición)

32. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR
BIDIMENSIONAL
Supongamos la situación de la figura de abajo (corresponde a leyes de cobre)
En este caso h es un vector (con coordenadas cartesianas o polares)
Componentes del vector h, en este dibujo  no es
el azimut sino el ángulo de coordenadas polares.

33. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR
BIDIMENSIONAL
Fijemos la dirección θ del vector h; que sea por ejemplo
θ = 90º, es decir, la dirección NS. El vector h sólo puede
ser:
Vectores orientados según dirección NS

34. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL
Calculemos γ(h1) = γNS(10). Al aplicar el algoritmo hay que considerar las
(diferencias)2 posibles: (Zi - Zj)2 cuando ambos datos Zi y Zj están definidos. La
figura muestra las diferencias que hay que calcular:
Luego:
De manera análoga se
obtiene:
γ(h2) = 0.0987 (27 parejas)
γ(h3) = 0.1888 (21 parejas)
Parejas posibles para
calcular gama de 10
metros en la dirección
NS (hay 36 vectores).

35. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL
Sea ahora la dirección θ = 0º, es decir la dirección EW. El vector h sólo puede ser:
Vectores orientados
según dirección EW
Las diferencias que hay que calcular son:
Parejas posibles para
calcular gama de 10
metros en la dirección
EW (hay 36 vectores).
Se obtiene entonces:

36. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR BIDIMENSIONAL
Gráfico de γ(h):
Variograma anisótropo.
La variación de las leyes
es más regular en la
dirección EW que en la
NS.
Se observa una clara anisotropía que nos indica que el fenómeno es más regular
en la dirección EW que en la NS. (Esto se puede comprobar al mirar como varían
las leyes en esas direcciones: ver la figura de abajo)

37. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR
BIDIMENSIONAL
La práctica demuestra que, para estudiar las estructuras basta con calcular
γ(h) en dos direcciones adicionales: θ = 45º y θ = 135º
Cálculo de gama de h en la dirección de 45°. La distancia entre parejas es
ahora 14.41 metros.
En estas direcciones hay que tener presente que el módulo de h es un
múltiplo de 10√2.

38. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR
BIDIMENSIONAL
Cálculo de gama de h en la dirección de 135°. La distancia entre parejas contiguas
(el paso) es 14.41 metros.

39. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA UNA MALLA REGULAR
BIDIMENSIONAL
Ejemplo: Los datos que se proporcionan a continuación provienen de un
banco en una mina de fierro:
Datos de leyes de fierro

40. Al aplicar el algoritmo general se obtienen los gráficos
siguientes:
Variograma NS
Variograma EW
Variograma 45° (paso = 14.41 metros)
Variograma 135° (paso = 14.41 metros)
Observamos que γ(h) es casi el mismo según las direcciones:
Podemos concluir que el fenómeno es isótropo.

41. VARIOGRAMA OMNIDIRECCIONAL
En este caso se justifica calcular el variograma promedio, llamado
variograma omnidireccional, el cual se puede obtener, en este caso,
mediante un promedio ponderado de los valores del variograma
(ponderación por el número de parejas N'):
Gráfico del variograma:
Variograma omnidireccional.
Su cálculo se justifica en el
caso isótropo.

42. Ejemplo: La figura de abajo, muestra la fotografía aérea de un bosque de coníferas. La variable
regionalizada es z(x) = número de árboles / hectárea. La malla de reconocimiento es de 300 x
100 m:
Malla de reconocimiento forestal (300m x
100m) Foto aérea de un bosque. Cada punto representa un árbol.
El variograma correspondiente es:
Variogramas bosque
de coníferas, donde
se puede observar la
presencia de
anisotropías y efecto
de hoyo (debido a
periodicidades).

43. Ejemplo: Variogramas en cortes pulidos de minerales. La variable
regionalizada z(x) (indicador) se define como:
En los gráficos, el variograma EW es de color rojo y el NS de color azul. ¡Interpretar los
variogramas!
En este caso de dos estados (negro y blanco), si se considera que z(x) es la realización
de una función aleatoria Z(x), entonces se dice que Z(x) es un conjunto aleatorio.
Aproximadamente isótropo. En el variograma, la distancia está en pixeles.

44. Aproximadamente isótropo, con fronteras difusas. Presencia de efecto de
pepita
Anisótropo con periodicidades

45. Presencia de dos estructuras, a pequeña escala y a gran escala
Fallas. La figura se obtuvo dibujando rectas al azar, se obtienen así polígonos. Cada
polígono se pinta de negro si al tirar una moneda sale cara, en caso contrario se deja igual.

46. En vez de utilizar una variable regionalizada con valores 0 o 1
(realización de un conjunto aleatorio), se puede tomar una
imagen y asignar a cada pixel el código computacional de su
color (normalizado). La figura siguiente ilustra esta situación:
Variograma de una imagen (agua). Observar que la variable regionalizada es
estacionaria en la dirección este-oeste, mientras que en la norte-sur tiene una
deriva, la cual se manifiesta solo para grandes distancias: Se dice que la
realización es “localmente estacionaria” en la dirección NS.

47. OBSERVACIÓN IMPORTANTE ACERCA DEL CÁLCULO DE
VARIOGRAMAS:
El variograma γ(h) es un promedio; este promedio es bueno
cuando el número N' de parejas es grande. Sin embargo, a
medida que lhl crece, N' decrece; la práctica justifica entonces la
regla siguiente:
"Un variograma γ(h) es significativo hasta
una distancia dM igual a la mitad de la
dimensión del campo en la dirección de h".

48. Ejemplo: En el caso de la figura, el variograma en la dirección EW debe calcularse
en esta dirección hasta una distancia máxima del orden de 200 metros:
Compósitos proyectados en una planta de la Extensión Norte de Mina Sur. El ancho del
cuerpo es del orden de 400 metros en la dirección EW.

49. Ejercicio:
Los datos de la figura corresponden a una zona dentro del yacimiento de nitratos-yodo de
Lagunas. Encontrar la función γ(h) hasta lhl = 250 m. según las direcciones: θ= 0º, 45º, 90, 135º
Leyes de NaNO3 Oficina Lagunas. Profundidad del sondaje = 2 metros
• En el caso de existir un alcance, determinar su orden de magnitud.
• Si la regionalización es isótropa, encontrar el variograma omnidireccional, es
decir el variograma promedio para cada dirección.

50. CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA MALLAS
IRREGULARES