Estadistica

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
Distribuciones Continuas
De Probabilidad
Sección: Saia B
Integrante: Alfonso Castellanos Domínguez
Cedula:21.142.796
Estadística Aplicada
23 de Noviembre del 2014

2. Índice
Introducción 3
Di s tribución Gamma 4
Di s tribución Exponencial 5
Di s tribución de Erlang 6
Distribución de Weibull 7
Conclusión 9
Bibliografía 10
2

3. Introducción
Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de
variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resul tan
principalmente del proceso de medición.
Ejemplos de variables aleatorias continuas son: la estatura de un grupo de personas , el tiempo dedicado a
3
estudiar, la temperatura en una ciudad.
En es te trabajo, estaremos hablando sobre los diferentes tipos de distribución continua como lo son: Gamma,
Exponencial , Erlang y Weibul l .

4. 4
Distribución Gamma
Es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que
des criben el tiempo hasta que s e produce p veces un determinado suceso.
Es te modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de
Euler que representa la siguiente integral:
Que veri fica Γ(p + 1) = pΓ(p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!
Gráfica:
Es ta di s tribución se emplea de manera extensa en una gran divers idad de áreas .
1. Para representar el tiempo de falla de un sistema que falla solo si de manera exacta los componentes
fal lan y la falla de cada componente ocurre a una frecuencia constante λ=1/ϴ por unidad de tiempo.
2. En l íneas de espera para completar una reparación que se lleva a cabo en subestaciones; en cada una de
las cuales es un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante igual a l=1/q.
3. Ingresos familiares.
Ejercicio:
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos o curren
de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el
intervalo de tiempo s e encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.
Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P(λ=2) E(Y) = 2
Y': Número de ciclos / hora ---------Y'~P( λ=0.02) E(Y') = 0.02 =λ
X ~ G(2, 0.02)

5. a. 푃(휇 − 휎 < 푋 < 휇 − 휎) = 푃(29.29 < 푋 < 170.71) = ∫
5
0.022
훾(2) ∗ 푥 ∗ 푒 −0.02푥푑푥 =
170.71
29.29 0.73752
휇 =
훼
휆
=
2
0.02
= 100 휎2 = (
2
0.02
)
2
= 5000 휎 = 70.71
b. P(X> 휇 + 2휎) = 푃(푋 > 241.42) = 0.0466
Distribución Exponencial
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro cuya función de densidad es:
Su función de distribución acumulada es:
Donde representa el número e. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución
exponencial son:
La di stribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de
variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de
la distribución gamma.
Es ta distribución se emplea de manera extensa en una gran diversidad de áreas.
a. El tiempo transcurrido en un call center hasta recibir la primer llamada del día se podría modelar como una
exponencial
b. El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
c. Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar
una falla en el alambre s e podría modelar como una exponencial
Gráfica:
Ejercicio:
En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para s er atendido en cajas al pagar la mercancía
es de 7min. Determine la probabilidad de que A) Un cliente espere menos de 4min. B) Un cl iente espere mas de 9 min.
λ=0.142857142 λ=1/7=0.142857142
Para k=4 푝(푥 ≤ 4) = 1 − 2.71823−0.571428571 = 0.435275724 = 43.52%

6. 6
λ=0.142857142
Para k=9 푝(푥 ≥ 9) = 2.71823−1.285714278 = 0.276459825 = 27.64%
Distribución de Erlang
Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores
es
La di stribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el parámetro y .
Para eso es la distribución exponencial. Se utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo de espera
has ta el suceso número en un proceso de Poisson.
Uso:
Los tiempos de espera. Los eventos que ocurre independientemente con cierta tasa media, son modelos con
procesos de poisson. Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento son distribuciones de erlang.
La di stribución de erlang, que mide el tiempo transcurrido entre la recepción de l lamadas, se puede utilizar en
conjunción con la duración esperada de las llamadas entrantes para asi generar alguna información sobre la carga de
trafico medido en unidades de Erlang
La di stribución de erlang puede s er usado para determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o retardo.
Gráfica:
Ejercicio:
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren
de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100horas. Obtener la probabilidad de que el
intervalo de tiempo s e encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.
k=2
I= 2 ciclos/100 horas, I=0.02
푘
휆2 =
휎 = √푉(푥) = √
√2
0.02
= 70.71
a. 푃(푚 − 푠 <> 푚 + 푠) = 푃(29.29)
∫ 푥 ∗
0.022푒 −0.02푥
1 !
170.71
29.29
푑푥 = 0.7375128

7. b. 푃(푥 > 푚 + 2푠) = 푃(푥 > 241.42) = 1 − 푃(푥 < 241.42)
7
1 − ∫ 푥 ∗
0.022푒 −0.02
1!
241.42
0
푑푥 = 0.0466
Distribución de Weibull
Es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió
deta lladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y
Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.
La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la distribución.
La di stribución modela la distribución de fallos cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del
tiempo:
 Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
 Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
 Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
La di stribución de Weibull se utiliza en:
 Anál isis de la supervivencia
 En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y di stribución de
bienes
 Teoría de valores extremos
 Meteorología
 Para modelar la distribución de la velocidad del viento
 En telecomunicaciones
 En s i stemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
 En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas
Gráfica:

8. 8
Ejemplo:
Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con α= 0.5
y λ = 0.01. Calcular:
a. La vida media útil de ese artículo.
b. La variación de la vida útil.
c. La probabilidad de que el elemento dure más de 300 horas.
Solución:

9. Conclusión
Podemos concluir señalando un dato importante, al iniciar el anál i s i s es tadís tico de una serie de datos , y
después de la etapa de detección y corrección de errores, un primer paso consiste en des cribi r la di s tribución de las
variables estudiadas, esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas y, en particular, de los
datos numéricos; su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por las frecuencia o normalidad con la que
las ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a es ta di s tribución. Además de las medidas
des criptivas correspondientes, el comportamiento de estas variables puede explorarse gráficamente de un modo muy
s imple.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de dens idad cuya gráfica tiene forma de
campana. Las variables aleatorias, se encuentran asociadas a la circunstancia de un fenómeno aleatorio. Si una de esta s
variables aleatorias toma determinados valores, la probabilidad que s e asocia a cada uno de dichos valores, pueden ser
es tablecidas como forma de di s tribui r la probabi l idad.
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10. Bibliografía
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/
14002996/helvia/aula/archivos/repositorio/250/295/html/estadistica/dcontinuas.htm#Once
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http://es.wikipedia.org
http://es.slideshare.net/mcdinho/distribucion-4-erlang