geostadistica

1. Profesor:
Análisis
Variográfico
Roberto Díaz
GEOESTADÍSTICA

2. Sobre el Profesor
#CapacítateOnline
Roberto Díaz Molina
Ingeniero Civil de Minas e Ingeniero Civil
Industrial con 29 años de experiencia de
minería tanto en Chile como en Sudáfrica,
desarrollando por 14 años cargos de gerente
en varias áreas de la minería.
Amplia experiencia en modelamiento y
estimación de reservas, gestión y planificación
minera y de negocios, preparación y evaluación
de proyectos de capital y exploración
Brownfield.

3. Contenidos del Curso
#CapacítateOnline
Modelamiento
y Análisis de
Data
Análisis
Variográfico
Modelos de
Simulación
Modelos de
estimación
de leyes
• Modelo'Geológico
• Modelo'de'Bloques
• Compositación'de'
sondajes
• Análisis' exploratorio'
de'la'Data
• Variografía'
experimental'(varios'
modelos)
• Variografía'
estructural
• Variografía'de'
Indicadores
• Análisis'de'
Anisotropías
• Cambio'de'Soporte
• Kriging (Ordinario,'
Simple'y'de'
Indicadores)
• Kriging puntual'y'de'
bloques
• Validación'del'
modelo'de'leyes
• Bases'de'la'
Simulación'
Condicional
• Simulación'
Gaussiana
• Simulación'de'
Indicadores
• Uso'de'las'
simulaciones'en'
minería.

4. Agenda de Hoy
#CapacítateOnline
• Variografía Experimental (varios modelos)
• Variografía Estructural
• Variografía de Indicadores
• Análisis de Anisotropías

5. Objetivos
#CapacítateOnline
Entregar los conocimientos básicos para analizar la correlación
espacial de variables mediante la variografía experimental y
variografía estructural.

6. #CapacítateOnline
Variografía Experimental

7. #CapacítateOnline
Una variable medida en el espacio de forma
que presente una estructura de correlación,
se dice que es una variable regionalizada. De
manera más formal se puede definir como un
proceso estocástico con dominio contenido
en un espacio euclidiano “D” dimensional que
puede asociarse a una variable medida en un
punto x del plano. En términos prácticos Z(x)
puede verse como una medición de una
variable aleatoria.
En el caso de que las mediciones sean
hechas en una superficie, entonces Z(x)
puede interpretarse como la variable
aleatoria asociada a ese punto del plano (x,y)
representa las coordenadas, planas o
geográficas, y Z la variable en cada una de
ellas.
Variable Regionalizada

8. #CapacítateOnline
Una variable regionalizada es una función
que representa la variación en el espacio de
una cierta magnitud asociada a un fenómeno
natural.
Por ejemplo:
• La ley de un mineral, la potencia de una
veta, la acumulación, la densidad de la
roca o la recuperación metalúrgica,
describen un fenómeno de
mineralización;
• La porosidad y la permeabilidad de la
roca en un reservorio de petróleo o en un
acuífero;
• La concentración de un elemento
contaminante en la atmósfera o en el
suelo.
• La conductividad eléctrica, el pH y la
concentración en nutrientes medidas
sobre una muestra de suelo;
• El número de árboles y su diámetro
promedio en áreas de observación de un
bosque.
Variable Regionalizada

9. #CapacítateOnline
Se nombra como variable regionalizada Z(x) a
la variable distribuida en el espacio de
manera tal que presenta una estructura
espacial de correlación.
Una definición más matemática equivalente
consistiría en decir que una variable
regionalizada es una variable aleatoria z
definida en un punto del espacio x.
Donde en el caso más general x es un punto
en el espacio tridimensional, es decir x = ( x1 ,
x2 , x3 )
Momentos de una Variable Regionalizada

10. #CapacítateOnline
El Variograma se define como la media
aritmética de todos los cuadrados de las
diferencias entre pares de valores
experimentados separados una distancia (h)
o lo que es lo mismo la varianza de los
incrementos de la variable regionalizada en
las localizaciones separadas una distancia de
(h).
El cálculo del variograma experimental es la
herramienta Geoestadística más importante
en la determinación de las características de
variables y correlación espacial del fenómeno
estudiado.
Variograma y Semivariograma

11. #CapacítateOnline
El semivariograma, conocido también como
variograma, es la herramienta central de la
Geoestadística. Dada una variable
regionalizada Z (x) que cumpla la Hipótesis.
El semivariograma es una función que
relaciona la semivarianza con el vector h
conocido como "lag", el cual denota la
separación en distancia y dirección de
cualquier par de valores Z(x) y Z(x+h).
Donde N(h) es el número de pares Z(xi) y
Z(xi+h) son valores separados a una distancia
(h).
Variograma y Semivariograma

12. #CapacítateOnline
Ejemplo de Variograma en una dimensión.
Variograma y Semivariograma
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0 200 400 600 800 1000 1200
γ(h)
Lag (h)

13. #CapacítateOnline
En la siguiente figura se puede observar un
muestreo en una malla irregular y la pregunta
es ¿Cómo se calcula el variograma en este
caso?.
En este caso, se propone la siguiente
metodología de búsqueda de muestras a
considerar:
Variograma de Malla Irregular

14. #CapacítateOnline
Pasos para la selección de muestras:
• Se define el azimut del vector de
búsqueda.
• Definición de tolerancia angular ΔΘ
(Angulo que considera incluir datos
válidos para el cálculo).
• Selección de la distancia del Lag o Paso.
• Definición de tolerancia en el Lag(h) o
Paso (Δh o Δp). Esta se utiliza para incluir
muestras que se encuentran a distancias
mayores/menores, con respecto al Lag
definido.
• Ancho de banda horizontal: banda dentro
la cual se consideran válidos los datos
para el cálculo del variograma; se mide en
forma perpendicular al azimut definido
Variograma de Malla Irregular

15. #CapacítateOnline
¿Qué hacer cuando la data se encuentra
distribuida en tres dimensiones X, Y, Z?
En este caso, la búsqueda de datos se hace
mediante una especie de cono o con el
método datos se hace mediante una especie
de cono o con el mes método del lápiz
(similar a lo explicado anteriormente, pero en
3D).
Variograma de Malla Irregular

16. #CapacítateOnline
Para el cómputo del semivariograma es necesario tener en cuenta algunas reglas prácticas
que permiten elevar la eficiencia y la calidad de la estimación, independientemente del tipo
de estimador que se utilice.
Estas reglas son las siguientes:
• En la estimación del semivariograma los pares de las observaciones se agrupan según
la distancia dentro de un intervalo h = h con una tolerancia ± ∆h 2 y dentro de una
dirección θ con una tolerancia ±∆θ /2. El semivariograma así estimado es considerado
suavizado o regularizado.
• El semivariograma muestral debe ser considerado solamente para pequeñas distancias
por lo que generalmente, se estima para valores de h menores que la mitad de la
distancia máxima ( h < dmax 2 ).
• La elección del número de intervalos es arbitraria. No obstante se considera que un
número máximo de 25 intervalos es suficiente para cualquier propósito, y un mínimo de
10 debe ser usado para determinar con precisión el rango y la meseta del
semivariograma.
• El largo de los intervalos debe ser elegido de forma tal que el número de pares en cada
intervalo sea lo suficientemente grande para que el estimado del semivariograma sea
relativamente estable. Se considera que entre 30 y 50 pares satisfacen este
requerimiento.
Reglas Prácticas

17. #CapacítateOnline
Debido a que las distribuciones de las leyes
de mineral no siguen una distribución normal;
sino que presentan sesgos y presencia de
Outliers como en las siguientes figuras:
Otras formas de calcular la variabilidad espacial
Easting
Northing
17500
17000
16500
16000
15500
15000
109000
108500
108000
107500
107000
106500
>
œ
œ
œ
œ
œ
< 0.2
0.2 0.4
0.4 0.6
0.6 0.8
0.8 1.0
1.0 1.2
1.2
C4
Contour Plot of CuT
1st Quartile 0.03000
Median 0.08000
3rd Quartile 0.43000
Maximum 2.95000
0.28144 0.33860
0.07000 0.09000
0.43219 0.47266
A-Squared 106.57
P-Value <0.005
Mean 0.31002
StDev 0.45151
Variance 0.20386
Skewness 2.17026
Kurtosis 5.09761
N 961
Minimum 0.01000
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval for Mean
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for StDev
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Median
Mean
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
95% Confidence Intervals
Summary Report for CuT

18. #CapacítateOnline
En estos casos, cuando se calcula el
variograma experimental, en los pares
seleccionados se encuentran bajas leyes y
altas leyes, cuya diferencia elevada al
cuadrado, genera un diferencial muy grande
y posteriormente generan “ruido” cuando se
analiza la variabilidad espacial de las
muestras.
Otras formas de calcular la variabilidad espacial

19. #CapacítateOnline
Lo primero que se debe hacer es investigar la
posibilidad de separar en diferentes dominios
o regiones, y de esa forma lograr separar
muestras de diferentes poblaciones
regionales. Una vez que se ha hecho esto, se
debe proceder a realizar un análisis
exploratorio de la data de las regiones.
Sin embargo, la probabilidad de que siga
existiendo la presencia de sesgos en la
distribución y la presencia de Outliers, es que
se estudiaron otras formas de cálculo de la
variabilidad espacial de las leyes con nuevos
modelos matemáticos; entre ellos tenemos:
El primero es el correlograma ρ, covarianza C;
siendo m+(h) las leyes de las “colas” del vector
utilizado y m-(h), las leyes de la cabeza del
par que se utiliza para realizar el cálculo del
semivariograma.
Otras formas de calcular la variabilidad espacial

20. #CapacítateOnline
Otras formas de calcular la variabilidad espacial
Variograma Correlograma Covarianza
Pairwise Relative

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22. #CapacítateOnline
Variografía Estructural

23. #CapacítateOnline
Efecto Pepita:
Se denota por C(0) y representa una
discontinuidad puntual del semivariograma
en el origen. Puede ser debido a errores de
medición en la variable o a la escala de la
misma. En algunas ocasiones puede ser
indicativo de que parte de la estructura
espacial se concentra a distancias inferiores a
las observadas. En caso de sondajes, es muy
común calcular el Efecto Pepita con el
variograma en la dirección a lo largo del
sondaje.
Variografía Estructural

24. #CapacítateOnline
Meseta o Sill (S):
Es la cota superior del semivariograma.
También puede definirse como el limite del
semivariograma cuando la distancia h tiende
a infinito. La meseta puede ser o no finita.
La meseta se denota por C1 o por (C0 + C1)
cuando el Efecto Pepita es diferente de cero.
Si se interpreta el Efecto Pepita como un
error en las mediciones, esto explica porque
se sugiere que en un modelo que explique
bien la realidad, el Efecto Pepita no debe
representar mas del 50% de la meseta. Si el
ruido espacial en las mediciones explica en
mayor proporción la variabilidad que la
correlación del fenómeno, las predicciones
que se obtengan pueden ser muy imprecisas.
Variografía Estructural

25. #CapacítateOnline
Rango o alcance (a):
En términos prácticos corresponde a la
distancia a partir de la cual dos
observaciones son independientes.
El rango se interpreta como la zona de
influencia.
Existen algunos modelos de semivariograma
en los que no existe una distancia finita para
la cual dos observaciones sean
independientes; por ello se llama rango
efectivo a la distancia para la cual el
semivariograma alcanza el 95% de la meseta.
Variografía Estructural

26. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Efecto Pepita Puro:
Este modelo considera ausencia total de correlación espacial.

27. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Esférico:
Forma de variograma comúnmente encontrada. El alcance corresponde al parámetro
a, la meseta al parámetro C.

28. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Exponencial:

29. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Gaussiano:

30. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Potencia:

31. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Seno Cardinal:
Alcance práctico = 20.4 a, semi-período = 4.5 a, meseta = C

32. #CapacítateOnline
Modelos Estructurales
Modelos Anidados:
Para obtener modelos más complejos, se
puede sumar varios variogramas
elementales. En este caso, se habla de
“Variogramas Anidados”. Permite modelar
cambios de pendiente en el variograma

33. #CapacítateOnline
Variografía de Indicadores

34. #CapacítateOnline
Variografía de Indicadores
El variograma de indicadores es muy simple y sirve para incluir información adicional
“soft” de la región; por ejemplo, se puede utilizar para determinar la “probabilidad” de
ocurrencia de un tipo de roca, la probabilidad de limites de mineralización, puede servir
para calcular los ponderadores cuando las poblaciones no pueden separarse en forma
física, etc.
En el caso de leyes de mineral, se puede definir una ley de corte; por ejemplo, si se han
tomado muestras y se desea estimar la probabilidad de que en los lugares que no se
tomó muestra, exista la posibilidad de obtener leyes sobre la ley de corte definida.
Para ello se debe definir una nueva variable “I” que dependerá de la ley de corte.
I = 0, si la muestra tiene un valor bajo la ley de corte
I = 1, si la muestra tiene un valor sobre la ley de corte

35. #CapacítateOnline
Variografía de Indicadores
Ejemplo, si se desea saber cual es la probabilidad de encontrar valor sobre una ley de
corte de 0.6 % CuT, entonces:
I = 0, si la muestra tiene un valor de CuT menor a 0.6%
I = 1, si la muestra tiene un valor de CuT sobre 0.6%.

36. #CapacítateOnline
Análisis de Anisotropías

37. #CapacítateOnline
Anisotropía
Un variograma γ(h) es isotrópico si es idéntico en todas las direcciones del espacio, es
decir, si no depende de la orientación del vector h, sino sólo de su módulo (h). En caso
contrario, hay anisotropía; tal propiedad caracteriza un fenómeno que se extiende de
preferencia en ciertas direcciones.

38. #CapacítateOnline
Anisotropía
Anisotropía Geométrica:
Se produce cuando los diversos variogramas pueden reducirse a un variograma
isotrópico mediante una transformación lineal de las coordenadas. El caso más común
en la práctica es cuando los variogramas presentan un mismo valor de meseta pero
diferentes alcances:

39. #CapacítateOnline
Anisotropía
Anisotropía Geométrica:
Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango
pero diferente sill (Meseta).

40. #CapacítateOnline
Anisotropía
Mapa de Variograma:
Los valores del variograma experimental en función de la separación (distancia y
orientación).
Permite visualizar las tendencias de las direcciones principales de mayor y menor
continuidad de ésta.

41. #CapacítateOnline
Anisotropía
Ejemplo:

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