Distibuciones

1. OBJETIVO.
Diferenciar en las distribuciones de probabilidad, cuales son las continuas.
Aprender a realizar distribuciones continuas.
Analizar cómo me pueden utilizar para mi carrera.
INTRODUCCIÓN.
El concepto de probabilidad surge con las ansias de conocer los sucesos futuros.
Por esto, el estudio de probabilidad nace como una herramienta a la cual
recurriría la nobleza para tener ventaja en los juegos y entretenimientos de la
época. En la actualidad se continúa con el estudio de nuevas metodologías que
permitan ampliar el empleo de ordenadores en el estudio y análisis de las
probabilidades, minimizando de esta forma, los márgenes de error en los
procesamientos. La teoría de la probabilidad es utilizada en física, ciencias,
matemática e incluso en filosofía, para así sacar conclusiones sobre la
probabilidad de eventos potenciales y la mecánica en sistemas de gran
complejidad.
En este trabajo estudiaremos cuatro de las distribuciones continuas de
probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos
en el estudio de la inferencia estadística.

2. DESARROLLO.
Se dice que una variable aleatoria no discreta X es absolutamente continua, o
simplemente continua, si su función de distribución se puede representar, donde
la función f(X) tiene las propiedades, a partir de lo anterior se deduce que si X es
una variable aleatoria continua, entonces la probabilidad de que X tome cualquier
valor particular es cero, mientras la probabilidad de intervalo de que X se
encuentre entre dos valores diferentes.
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Nos permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de
fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables
que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo
que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes.
Además la distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestra de las medias muéstrales es
aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se
extrae la muestra no es normal.
Por otra parte, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las
distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección
natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos
de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en
estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta
"normalidad".
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su
propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o
normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su
comportamiento a esta distribución
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a
que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el
modelo de la normal.

3. Uno de los ejemplos más importantes de una distribución de probabilidad
continua es la distribución normal, llamada a veces la distribución gaussiana.
Donde µ y σ son la media y la desviación estándar, respectivamente. La función
de distribución correspondiente está dada por Si X tiene la función de distribución
dada en, decimos que la variable aleatoria X está distribuida normalmente con
media µ y varianza σ2. Sea Z la variable estandarizada correspondiente a X,
Entonces la media o valor esperado de Z es 0 y la varianza es 1. En tales casos
la función de densidad para Z se puede obtener remplazando formalmente µ = 0
Esto con frecuencia se refiere a la función de densidad normal estándar.
Algunas veces llamamos al valor z de la variable estandarizada Z el valor.
Se listan algunas propiedades importantes de la distribución normal general.
Media
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Sesgo
Coeficiente de curtosis
Función Generadora de Momento
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Supongamos que estamos realizando un experimento como lanzar repetidamente
una moneda o un dado o sacar repetidamente una canica de una urna. Cada
lanzamiento o selección se llama una prueba. En cualquier prueba habrá una
probabilidad asociada con un evento en particular, como cara en una moneda, 4
en un dado o sacar una canica roja. En algunos casos esta probabilidad no
cambiará de una prueba a la siguiente (como ocurre con el lanzamiento de una
moneda o de un dado). Se dice que tales pruebas son independientes y pruebas
de Bernoulli, por James Bernoulli quien las investigó a finales del siglo XVII.
Sea p la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo sencillo de Bernoulli
(llamado probabilidad de éxito). Entonces, q = 1 - p es la probabilidad de que tal
evento no ocurra en una prueba sencilla (llamada probabilidad de fracaso). La
probabilidad de que el evento ocurra exactamente x veces en n pruebas (es decir,
éxitos y ocurran n-x fracasos), está dada por la función de probabilidad.
Tambien tiene propiedades que son:

4. Media
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Sesgo
Coeficiente de curtosis
Generadora del momento
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos
considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del
tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.
De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental
de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que
tarda en producirse un hecho.
Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe
una relación entre el parámetro de la distribución exponencial, y el parámetro de
intensidad del proceso.
La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas
tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma
juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de
confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el
tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente
involucran la distribución exponencial.
La Ley de distribución describe procesos en los que:
* Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo
que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello
ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el
que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
* El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento
de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación
de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
* El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de
un paciente;

5. * En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a
intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos
sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial
Propiedades de la Distribución Exponencial.
Además La distribución exponencial no tiene memoria:
Poseer información de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un
tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t
unidades de tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o
en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. No
existen envejecimiento ni mayor probabilidad de fallos al principio del
funcionamiento.
DISTRIBUCIÓN GAMMA.
La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua, éeste modelo
es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza
para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un
determinado suceso
La fórmula para la función de densidad gamma contiene dos parámetros α y β. El
parámetro β llamado parámetro de escala, refleja el tamaño de las unidades en
que se mide y es parámetro α se conoce como parámetro de forma, si se modifica
su valor cambia la forma de la distribución gamma, esto nos permite obtener
funciones de densidad de muchas formas distintas para modelar distribuciones de
frecuencia relativa de datos experimentales. La función Γ (α) es la denominada
función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:
Que verifica Γ (α + 1) = αΓ (α), con lo que, si p es un número entero.
Propiedades:
Media
Varianza
Desviación Estándar
Función Generadora.

6. Función Caracteristica.
CONCLUSIÓN
Podemos concluir señalando un dato importante, al iniciar el análisis estadístico
de una serie de datos, y después de la etapa de detección y corrección de
errores, un primer paso consiste en describir la distribución de las variables
estudiadas, esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones
estadísticas y, en particular, de los datos numéricos; su propio nombre indica su
extendida utilización, justificada por las frecuencia o normalidad con la que las
ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Además de las medidas descriptivas correspondientes, el comportamiento de
estas variables puede explorarse gráficamente de un modo muy simple.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya
gráfica tiene forma de campana. Las variables aleatorias, se encuentran
asociadas a la circunstancia de un fenómeno aleatorio. Si una de estas variables
aleatorias toma determinados valores, la probabilidad que se asocia a cada uno
de dichos valores, pueden ser establecidas como forma de distribuir la
probabilidad. También pueden ser representadas mediante un gráfico o fórmula.
En este caso la norma de correspondencia se llama función de probabilidad.
Cuando se aprueba que en una variable aleatoria sea permitido adjudicar un valor
cualquiera dentro de límites establecidos, recibirá la denominación, variable
aleatoria continua. Dicha variable puede tomar cualquiera de los valores infinitos
que se encuentran adentro de un intervalo.
Ahora bien, con respecto a las distribuciones continuas de probabilidad llegamos
a la conclusión de que la distribución normal tiene una gran importancia que
permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de
fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables
que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo
que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes. También es importante por su relación con la estimación por

7. mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
La importancia de la distribución normal se debe fundamentalmente a la
frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenómenos.
Por otra parte, la distribución exponencial tiene como función expresar el tiempo
transcurrido entre eventos que se contabilizan por medio de la distribución de
Poisson. La distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la
duración de elementos físicos (tiempo de vida). Puesto que esta distribución
presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es
muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de
espera Redundando sobre la relación entre la distribución exponencial y la
distribución gamma, explicamos el por qué, Si p=1 (parámetro de forma),
entonces la gama se convierte en una exponencial cuyo parámetro es igual al
parámetro de escala de la gama, λ. Y por último concluimos indicando que la
función de distribución gama no se puede calcular analíticamente, salvo en casos
especiales.
BIBLIOGRAFIA
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