El documento trata sobre las distribuciones de probabilidad continuas, destacando su importancia en la estadística y en fenómenos naturales. Explica la distribución normal, gamma, exponencial, erlang y weibull, cada una con sus características, aplicaciones y fórmulas. Se enfatiza cómo estas distribuciones son útiles en diversas áreas como la meteorología, la fiabilidad, y el modelado de tiempos de espera.

1. Nombre: Omar Mendoza
C.I 20670309
Saia A

2. Distribución de Probabilidad Continua
Una distribución de probabilidad es continua, es decir, de variables
cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente
del proceso de medición.
Continuas se refiere cuando los resultados posibles del experimento son
obtenidos de variables aleatorias puede asumir un número infinito de
valores, que son resultado de una medición.
Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en iintervalos
dados de tiempo. Por supuesto que las variables aleatorias continuas
dependen de la exactitud del instrumento de medición en este caso del
termómetro.
Usos:
La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo
de la estadística es la distribución normal, describe aproximadamente
muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la
investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos
meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a
menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal.
Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan
extremadamente bien mediante una distribución normal.
Gráfica: Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continúa,
su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana

3. El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable
aleatoria conti nua implica la selección de una curva, generalmente regular o
aislada, a la que se llama distribución de probabilidad o función de densidad
de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución
de probabilidad conti nua es f(x), entonces la probabilidad de que x esté en el
intervalo a < x < b es el área bajo la curva de distribución para f(x) entre los
dos puntos a y b.
Una vez que conocemos la ecuación f(x) de una distribución de
probabilidad particular se pueden encontrar probabilidades específicas, por
ejemplo, la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x <b, de
dos maneras. Podemos graficar la ecuación y utilizar métodos numéricos
para aproximar el área sobre el intervalo a < x < b. Este cálculo puede
realizarse utili zando métodos muy aproximados o una computadora
para obtener cualquier grado de precisión. O bien, si f(x) tiene una
forma particular, podemos usar el cálculo integral para encontrar P(a
<x< b). Afortunadamente, no hay que utilizar en la práctica, ninguno de
estos métodos, porque se han calculado y tabulado las áreas bajo la
mayoría de las distribuciones de probabilidades continuas más empleadas.

4. Distribución de Probabilidad Gamma
La distribución Gamma es una distribución de probabilidad continua. La
distribución Gamma modela la suma de múltiples variables independientes,
distribuidas exponencialmente. Se puede ver como un caso especial de
distribución exponencial; pero otras distribuciones, como la Chi – Cuadrado,
se basan en ella.
Asimismo para un valor de alfa 1, la distribución Gamma equi vale a la
distribución exponencial. Cuando el valor de alfa es un número entero, la
distribución Gamma se convierte en la distribución Erlang. Para un valor de
alfa entero y uno de beta equi valente a 2, la distribución Gamma se convierte
en distribución de chi-cuadrado con 2 grados de libertad de alfa.
La distribución gamma se puede caracteri zar del modo siguiente: si se
está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de
Poisson (numero de ocurrencias de un evento, llegadas, en un intervalo de
tiempo) de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta
obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= n´lambda (escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a, p).
Ejemplo, en la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio
de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de
memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad,
mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica
“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).
Campode variación:
0 <x < ¥

5. Parámetros:
a: parámetro de escala, a > 0
p: parámetro de forma, p > 0
Usos: Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de
confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y
tiempos de fallas de partes componentes y sistemas eléctricos,
frecuentemente son bien modelados mediante la distribución exponencial .La
velocidad del viento horaria y media diaria no se ajusta a una distribución
normal, se emplean distribuciones de extremos, para ajustar las
distribuciones de velocidades de viento. La precipitación diaria no tiene
una distribución normal. Usualmente se emplea una distribución de
extremos Gamma, para ajustar las distribuciones de lluvias diarias.
Tiene aplicaciones en tiempos de espera y teoría de la confiabilidad;
define una familia de la que otras distribuciones son casos especiales; la
densidad gamma se puede desarrollar con el proceso de Poisson
La fórmula para la distribución Gamma es la siguiente:

6. Gráfica:

7. Ejemplo
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la
probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del
segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a, p)
a: Escala 6,0000
p : Forma 2,0000
Punto X 1,0000
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174
Media 0,3333

8. Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.
Se destaca que con valores iguales a cero no es posible el cálculo del
valor A pues el logaritmo de cero es infinito. En el caso de que aparezcan
valores nulos hay que crear una función mixta compuesta de la probabilidad
del valor nulo y la probabilidad del valor no nulo: “q” y “p” = 1-q.
Ejemplo:
Con los datos de precipitación del mes de Julio se pide calcular los
percentiles 20, 40, 60 y 80 mediante el empleo de la ley de distribución
Gamma.
00
00
9.4
6.0
0.0
10.5
44.8
8.7
10.0
2.8
12.3
3.9
3.2
2.5
8.2
37.1
16.7
4.8
2.8
68.6
71.2
9.7
72.9
13.8
0.0
5.6
4.0
37.9
2.6
Solución.
El número de datos de la serie es de 29. Podemos observar que en algunos
años durante el mes de Julio no hubo precipitación. Como con los valores
iguales a cero no es posible el cálculo del valor A pues el logaritmo de cero
es infinito. Hay que crear una función mixta compuesta de la probabilidad
del valor nulo “q” y la del valor no nulo “p = 1-q”.

9. Distribución de Probabilidad Exponencial
La distribución exponencial es el equivalente conti nuo de la distribución
geométrica discreta.
Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el
tiempo hasta que ocurre determinado evento; en particular, se utili za para
modelar tiempos de supervivencia.
Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en
desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utili za,
por ejemplo, para la datación de fósiles o cualquier materia orgánica
mediante la técnica del carbono.
Una característica importante de esta distribución es la propiedad
conocida como “falta de memoria”. Esto significa, por ejemplo, que la
probabilidad de que un individuo de edad sobre vi va x años más, hasta
la edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivir hasta la
edad x. Dicho de manera más general, el tiempo transcurrido desde
cualquier instante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo
que haya ocurrido antes del instante t0.
La distribución exponencial se puede caracteri zar como la distribución del
tiempo entre sucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson;
por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos heridas graves sufridas por
una persona. La media de la distribución de Poisson, lambda, que
representa la tasa de ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es el
parámetro de la distribución exponencial, y su inversa es el valor medio de la
distribución.
También se puede ver como un caso particular de la distribución
Gamma(a,p), con a=lambda
yp=1.
El uso
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos
de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado
no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que

10. Pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no
tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el
tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una
distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la
probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas,
o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial
supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el
próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple
que la anterior.
Gráfica: Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.
Se dice que la variable aleatoria conti nua X tiene distribución exponencial
con parámetro

11. Ejercicio
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos
sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la
probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este
marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos
lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la
probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?
La variable aleatoria “tiempo de vida del marcapasos” sigue una
Distribución exponencial de parámetro lambda=1/16=0,0625
Resultados
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Exponencial (lambda)
Lambda: Tasa 0,0625
Punto X 20,0000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7135
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,2865
La probabilidad de que se le tenga que implantar otro marcapasos antes de
los 20 años se sitúa en un en torno a 0,71.

12. Teniendo en cuenta la propiedad de “falta de memoria” de la exponencial, la
probabilidad de tener que cambiar antes de 25 años un marcapasos que lleva
funcionando 5 es igual a la probabilidad de cambio a los 20 años, es decir,
P(X<25/X>5) = P(X<20) = 0,71.
Distribución de Probabilidad Erlang
La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad conti nua con
amplia aplicabilidad principalmente debido a su relación con las
distribuciones exponencial y gamma. La distribución de Erlang fue
desarrollado por AK Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas
que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los operadores de las
estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico ha
sido ampliado para tener en cuenta los tiempos de espera en los sistemas de
formación de colas en general. La distribución se utiliza ahora en el campo
de los procesos estocásticos y de biomatemáticas.
La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positi vo
para todos los números reales mayores que cero, y viene dada por dos
parámetros: la forma, que es un entero positivo, y la tasa, que es un número
real positivo. La distribución se define a veces utili zando la inversa de la tasa
parámetro, la escala. Es la distribución de la suma de las variables
exponenciales independientes con media.
Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la distribución se simplifica a
la distribución exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la
distribución Gamma, donde el parámetro de forma es un número entero. En
la distribución Gamma, este parámetro no se limita a los números enteros.

13. Usos Se utiliza en modelos de sistemas de servicio masivo, para
describir el tiempo de espera hasta el suceso, son aleatorias.
Gráfica
La distribución gamma, cuando a es un entero positivo se conoce con el
nombre de Erlang. Existe una asociación entre los modelos de probabilidad
de Poisson y de Erlang. Si el número de eventos aleatorios independientes
que ocurren en un lapso específico es una variable aleatoria de Poisson con
frecuencia constante de ocurrencia igual a 1/ q, entonces, para una a dada,
el tiempo de espera hasta que ocurre el a-ésimo evento de Poisson sigue
una distribución de Erlang.

14. Cuando a=1, la distribución de Erlang se reduce a una distribución
Exponencial negativa. Nótese que la variable aleatoria de una
distribución exponencial negativa puede pensarse como el lapso que
transcurre hasta el primer evento de Poisson. De acuerdo con esto, la
variable aleatoria de Erlang es la suma de variables aleatorias
independientes distribuidas exponencialmente.
Otro caso especial del modelo de probabilidad gamma es la distribución
chi-cuadrado.
Si se hace a= u /2 y q= 2, se obtiene:
Donde u recibe el nombre de grados de libertad.
La media y varianza de la distribución chi-cuadrado se obtienen de los de la
gamma.
E[X]= u y Var[X]=2. u
Weibull
La distribución Weibulles una distribución de probabilidad continua; queda
totalmente definida mediante dos parámetros, forma (a) y escala (b). En el
caso particular de que a=1, se tiene la distribución exponencial, y si a = 2 y b
= recibe el nombre de
2 σdistribución de
Rayleigh.
Usos:
Esta distribución se utiliza para modelar situaciones del tipo tiempo fallo,
modelar tiempos de vida o en el análisis de supervivencia, aparte de otros
usos como, por ejemplo, caracteri zar el comportamiento climático de la lluvia
en un año determinado. Se ha usado para modelar situaciones del tipo

15. Tiempo- falla, ó bien puede iindicar la vida útil de cierto artículo, planta o
animal, confiabilidad de un componente.
Gráficas Obsérvense a continuación las gráficas de algunas de las formas
que adquiere la distribución.
Ejercicio
Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de
vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de
este modelo viene dada por:
Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es
un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona

16. una gran flexibilidad a este modelo).La función de distribución se obtiene por
la integración de la función de densidad y vale: