1. Matemáticas para la formación de ciudadanos
críticos
¿Para qué sirven las matemáticas? Esta es una pregunta que puede tener muchas y diferentes respuestas,
dependiendo de a quién se le plantee. Podríamos encontrar estudiantes respondiendo que no sirven para nada o
para acreditar un examen...
Por: Mario Sánchez Aguilar*
¿Para qué sirven las matemáticas? Esta es una pregunta que puede tener muchas y diferentes respuestas,
dependiendo de a quién se le plantee. Podríamos encontrar estudiantes respondiendo que no sirven para nada o
para acreditar un examen, como también sería posible encontrar científicos argumentando que lasmatemáticas
son la base para el desarrollo tecnológico y económico de un país.
Buscando larespuesta “oficial” a este cuestionamiento, encontré dos documentos de laSecretaría de Educación
Pública que lo abordan: La fundamentación curricular para las matemáticas de la actual Reforma de la
Educación Secundaria; y el programa de estudios de matemáticaspara la última Reforma Curricular del
Bachillerato Tecnológico.
El primer documento responde: “[P]ara manejarse con las fracciones, trazar funciones, calcular ángulos,
probabilidades y perímetros. Pero también para incentivar laabstracción a fin de facilitar el razonamiento,
desarrollar la argumentación, iniciar a la prueba”.
Acerca de los propósitos de las matemáticas en el programa del bachillerato tecnológico, seenuncian once
puntos que hacen referencia al manejo y aplicación de habilidades matemáticas en la resolución de problemas,
en la comprensión el mundo físico,en la construcción de inferencias, entre otros.
Además de ayudarnos a entender la naturaleza axiomática de la matemática, los fenómenos físicos que nos
rodean, a construir modelos, a desarrollar aplicaciones, etcétera ¿La educación matemática puede jugar un papel
en la construcción de una sociedad democrática con ciudadanos más críticos? Varios matemáticos educativos
(investigadores en didáctica de las matemáticas) afirman que sí.
Tomemos el ejemplo de Dinamarca, lugar donde realizo mis estudios doctorales y desde donde escribo este
artículo. El Doctor Mogens Niss de la Universidad de Roskilde, en su papelde responsable matemático del
informe PISA de la OCDE, declaró en mayo del 2005en entrevista publicada en el diario españolLa
Vanguardia:
“Recuerdeque la democracia es una broma si los ciudadanos son analfabetos enmatemáticas. La política no son
palabras, son números y, al final, sólo se puede juzgar en los números. El ciudadano que no entiende los
presupuestos públicos es pasto de la verborrea de los políticos”
Los investigadores daneses Helle Alrø y Ole Skovsmose en su libro Dialogue and Learning in Mathematics
Education sostienen una postura compatible con la opinión del doctor Niss:“Para que una sociedad sea una
democracia en buen funcionamiento es importante que todos puedan leer y escribir…El alfabetismo matemático
[Mathemacy] es relevante para la democracia y para el desarrollo de una ciudadanía de la misma manera que lo
es el alfabetismo…apoya una lectura crítica de nuestro ambiente social y político…”.

2. Trataré de ilustrar con un ejemplo local las anteriores afirmaciones. En el Plan Nacional de Desarrollo que se
encuentra en la página web de la Presidencia de la República de México
(http://pnd.calderon.presidencia.gob.mx/), dentro del eje titulado „Economía competitiva y generadora de
empleos‟ se diagnostica lo siguiente:
“En ausencia de cambios importantes, el crecimiento de la economía mexicana será,en promedio, de alrededor
de 3.5 % por año, lo que implica un incremento per cápita cercano a 2.4%. De mantenerse esta situación,
tomaría 30 años duplicar el nivel de ingreso por habitante”
Este diagnóstico se complementa con un gráfico estadístico que muestra el comportamiento del producto
interno bruto per cápita, de diferentes países (incluyendo a México), a través de los últimos catorce años. Pero,
¿Cómo se lee el gráfico? ¿Cómo es la situación de México (mejor, peor) respecto a los demás países incluidos
en la gráfica? ¿Cómo, a partirde los datos proporcionados, se concluye que tardará 30 años duplicar el nivelde
ingreso por habitante? Evidentemente se necesita poseer un cierto nivel deeducación matemática, para poder
entender ese mensaje, y para poder emitir un comentario o una crítica al respecto.
Desafortunadamentela importancia de las matemáticas en la formación de ciudadanos críticos no es reconocida
por gran parte de las instituciones educativas y de la sociedad engeneral en México: Prácticamente es nula la
existencia de diseños didácticos (ni siquiera a nivel experimental) donde los niños y jóvenes estudien a
lamatemática y su relación con la conciencia política, la ética y la toma dedecisiones; asimismo el estatus social
de la matemática no es el mismo que elde otras ramas del conocimiento, por ejemplo, si un político
mexicanodesconociera quién fue Benito Juárez sin duda se le señalaría de ignorante por sus adversarios, pero si
ese mismo político ignorara la manera de resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, probablemente la
crítica no tendría lamisma intensidad.
Es responsabilidad las instituciones y de todos los ciudadanos, esforzarnos por cambiar el estatus, la visión que
se tiene de, y el uso que se hace de laeducación matemática en nuestro país.
* Maestro en ciencias, especialidad enmatemáticas educativas por el Cinvestav. Actualmente es candidato al
doctoradoen la Universidad de Roskilde, Dinamarca.
http://ciencias.jornada.com.mx/investigacion/ciencias-fisico-matematicas/investigacion/matematicas-para-la-
formacion-de-ciudadanos-criticos

3. NOTAS SOBRE LA HISTORIA DE LA ARITMÉTICA
1- CONCEPTOS DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMITIVOS (25,000- 5,000 A. C.). Medir y contar fueron las
primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles
lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían;
así surgió la Aritmética.
2- Los orígenes empíricos de la matemática egipcia la despojaron de las fantasías de la magia. La rigurosa
experiencia como fuente de la Aritmética puede comprobarse en el documento matemático más antiguo
que se posee: el papiro descubierto por Rhind en el siglo XIX, que el escriba Ahmes (A’h-mose) copió en
1650 A. C., de una obra anterior. Este papiro, llamado de Rhind o Ahmes, figura en el Museo Británico.
3- En una ilustración basada en un friso asirio, aparece Assurbanipal (Surdanápalo) guiando a sus soldados en
una batalla. Los pueblos mesopotámicos representaban los números con marcas en forma de cuña de
acuerdo con su escritura cuneiforme; así, una marca para el uno; dos para el dos, hasta el nueve. Para el
diez, cien, etc., usaban signos convencionales.
4- Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer
mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico
sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a
conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas.
5- Aunque los egipcios, griegos y romanos tenían formas distintas de representar los números, la base de su
numeración era decimal. Otros pueblos elaboraron distintos sistemas; por ejemplo, los babilonios tenían
como base el sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un sistema de base veinte. En el siglo XVII,
Leibnitz descubrió la numeración de base binaria, y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración.
6- La contribución de los romanos a las Matemáticas estuvo limitada a varias nociones de Agrimensura,
surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante, la huella romana se
observa todavía hoy a través de su numeración, que ha sido fijada por el uso, en los capítulos de los libros;
en la sucesión de los reyes; en la notación de los siglos; y, especialmente, en las inscripciones históricas.
7- El problema de las igualdades no fue conocido por los antiguos en su forma aritmética. El primero que utilizó
el signo igual (=), y expuso algunas cuestiones teóricas sobre las igualdades fue Robert Recorde, en su obra
“The Ground of Arts”, publicada en Londres en 1542. Más tarde, en el año XVII, el inglés Harriot y el francés
Bouguer establecieron el uso de los signos mayor que (>) y menor que (<).

4. 8- La primera operación aritmética que se conoció fue la suma. Para resolver esta operación siempre se
recurría a elementos concretos, puesto que no se había llegado a un grado suficiente de abstracción
matemática. En América, los incas, que alcanzaron un elevado nivel de cultura, practicaban la suma
haciendo nudos en unas cuerdas de vivos colores que iban contando hasta formar el llamado quipo.
9- El signo más antiguo para indicar la resta lo encontramos en el famoso papiro de Rhind, tal como lo escribían
los egipcios (۸). Se cuenta que los signos actuales de suma y resta se deben a que los mercaderes antiguos
iban haciendo unas marcas en los bultos de mercancías. Cuando pesaban los sacos les ponían un signo más
(+) o un signo (-), según tuviera mayor o menor cantidad de la estipulada.
10- El espíritu práctico que animaba a los romanos no les permitió hacer grandes progresos en los problemas
teóricos de las ciencias matemáticas. Esto se comprende mejor aún, si se piensa en las deficiencias de su
sistema de numeración, que crearon siguiendo la huella de los griegos. Los hindúes llegaron a cuestiones
más abstractas, tal como se puede apreciar en el manuscrito Bakhshali que data del siglo VII ( D.C.).
11- El complemento aritmético, que es una consecuencia del carácter decimal de nuestro sistema de
numeración ha sido empleado como procedimiento auxiliar para la resolución de las operaciones de sumar y
restar, y también para resolver las operaciones combinadas de suma y resta. Tiene poco uso.
12- La operación de multiplicar resultaba muy compleja para los antiguos. Los griegos se auxiliaban de la tabla
pitagórica, que ya conocían antes de nacer Pitágoras. Los babilonios empleaban tablas de cuadrados. Entre
los romanos, la operación era lenta y trabajosa, debido a su notación numeral. El signo de multiplicar, cruz
de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.
13- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no
ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco
(suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que
se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior.
14- Babilumeral. El signo de multiplicar, cruz de San Andrés, se atribuye a W. Oughtred, hacia 1647.
15-
16- Poco se conoce del desarrollo de la Aritmética china antes de la Era cristiana, pero es seguro que no
ignoraban muchos de los problemas que preocuparon a los hindúes y egipcios. Antes del uso del ábaco
(suanpan), representaban los números utilizando varillas de bambú llamadas sangi. La obra más antigua que
se conoce sobre matemáticas chinas es el Chiu-Chan, del siglo I (A.C.), copiado de una obra anterior.
17-

5. 18- Babilos matemáticos tuvieran que pasar muchas vicisitudes desde el uso del rudimentario ábaco, hasta las
más modernas representaciones de las operaciones indicadas. El empleo de la raya horizontal entre los
números para indicar la división, se debe a Leonardo de Pisa( Fibonaci, hijo de Bonaci), que la tomó de los
textos árabes.
19- A partir de los trabajos de interpretación de la escritura cuneiforme en 1929 por O. Neugebauer, se ha
puesto de relieve la contribución babilónica al progreso de las matemáticas. En las tablillas y puestas en
lenguas modernas, y que datan de 2000- 1200 A. C., aparecen infinidad de problemas resueltos de modo
ingenioso. Estos problemas tuvieron su origen en la activa vida comercial del puesto babilónico.
20- De unas tablillas encontradas en las orillas del Eufrates, se deduce que los primeros que aplicaron la
elevación a potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación sin
necesidad de recurrir al ábaco, pues empleaban la tabla de cuadrados, al basarse en el principio que dice “el
producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su
semidiferencia”.
21- Hacia el siglo III (A. C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas.
La misma palabra Aritmética es de origen griego. Para ellos, esta ciencia era una rigurosa teoría de los
números. Sus investigaciones los llevaron muy pronto al concepto de número primo, de donde partió
Eratóstenes para descubrir su curioso método de determinación de los números primos en la serie natural.
22- Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo que había alcanzado la teoría
de los números. Los hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete. Griegos
y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares o impares. El genial matemático francés
Blas Pascal (1623- 1662), propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.
23- Euclides, hacia el 300 A. C., demostró en sus “Elementos”, los teoremas básicos de la divisibilidad de los
números enteros, lo que permite a Gauss en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Más
tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind (1831- 1916), llevó a cabo la generalización de los
caracteres de divisibilidad, extendiéndolos a los números racionales y a los ideales. ( o imaginarios).
24- Al descubrir Euclides la infinitud de la serie de los números primos, alcanzó su máximo desarrollo la teoría
de los números entre los griegos. No se volvieron a hacer progresos en este campo, hasta que Fermat, en
1630-65, propuso su teorema sobre los exponentes primos. L. S. Dickson afirma en su “History of theory of
numbers” que los chinos ya conocían este problema en el 500 A. C., cuando el número era dos.

6. 25- Con los trabajos de Fermat (1601-65), Euler (1707-1783) y Gauss (1777- 1855) sobre la teoría de los
números, se echaron las bases de la Aritmética moderna o superior. En 1850, Tchebycheff realizó un notable
progreso sobre los números primos. En 1932, el francés Landau, completó el trabajo de aquel sobre la
distribución de los números primos, demostrando lo que el inglés Hardy llamó teorema de Tauber.
26- En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su
época. Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”. Entre
los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución
del Máximo Común Divisor (M.C.D.), que hoy llamamos de divisiones sucesivas.
27- No se olvidó Euclides en sus “Elementos”, de ofrecer un método para la resolución del Mínimo Común
Múltiplo ( M. C. M.), de dos números. Para resolver el M. C. M., Euclides propuso la siguiente regla: “El
producto de dos números dividido entre el M. C. D. de ambos números, da el Mínimo Común Múltiplo”.
Como se ve este procedimiento resultaba más trabajoso que el que utilizamos en la actualidad.
28- El origen de las fracciones comunes o quebrados es muy remoto. Los babilonios, egipcios y griegos han
dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín, en el siglo XII, la
Aritmética de Al-Juarizmi, empleó fractio para traducir la palabra árabe al-kasr, que significa quebrar,
romper. Este uso se generalizó junto con la forma ruptus, que prefería Leonardo de Pisa.
29- Los números fraccionarios tuvieron su origen en las medidas. Los babilonios utilizaban como único
denominador el sesenta. Los egipcios empleaban la unidad como numerador; para representar 7/8,
escribían, ½, ¼, 1/8. Los griegos marcaban el numerador con un acento y el denominador con dos; o
colocaban al denominador como un exponente. Hiparco introdujo las fracciones babilónicas en la
Astronomía griega.
30- Las reglas para la resolución de las operaciones con números fraccionarios o quebrados, datan de la época
de Aryabhata, siglo VI y Bramagupta, siglo VII, ambos después de Jesucristo. Un estudio más amplio y
sistemático de las operaciones con quebrados lo ofrecieron los también hindúes, Mahavira, en el sigloIX y
Bháskara en el siglo XII. Dichas reglas son las mismas que se emplean actualmente.
31- En las numerosas inscripciones egipcias descifradas se encuentran variadísimos problemas con números
fraccionarios. Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador, resolvían los problemas
de la vida diaria, tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides,
etcétera. Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía actualidad.

7. 32- Los pitagóricos aproximaban las raíces cuadradas inexactas (números irracionales) por medio de fracciones
continuas. En 1613, Cataldi las estudió. En 1572, Bombelli aproximó las raíces cuadradas por medio de
fracciones continuas, y en 1658, Brouncker desarrolló 4 π en fracción continua infinita. El primer estudio
sistemático sobre las mismas se debe al famoso matemático Euler, que lo realizó en 1837.
33- La primera discusión sistemática sobre las fracciones decimales, se debe a Simón Stevin (1548-1620), de
Brujas. En 1585 apareció publicada en Leyden su famosa obra “La Thiende”. Esta obra fue dada a conocer
por Robert Norton, en una traducción inglesa editada en Londres en 1608, bajo el título de “La Disme” o “
The Art of Tenths or Decimall Arithmetike”. Pronto fueron adoptados los decimales.
34- Al inventar Simón Stevin las fracciones decimales introdujo para expresarlas un cero dentro de un circulo.
Este procedimiento resultaba muy engorroso. En 1616, al publicar su obra sobre los logaritmos, Neper,
Napier o Napair, dio a conocer el uso del punto decimal que se usa hoy para separar las cifras enteras de las
decimales. En algunos países este punto decimal se sustituye por una coma.
35- Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían
especial predilección por los cuadrados y cubos. Diofanto, siglo III (D. C.), ideó la yuxtaposición adhesiva para
la notación de las potencias. Así x, xx, xxx, etc., para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x.
Renato Descartes (1596-1650), introdujo la notación x, xx, x³, etc.
36- La palabra raíz viene del latín radix, radicis; pero es indudable que los árabes conocían la radicación que
habían tomado de los hindúes. Es decir, que la radicación era conocida mucho antes de que los romanos
inventaran una palabra para nombrarla. Los árabes la designaban con la palabra gidr, una traducción de la
palabra sánscrita mula, que significa vegetal y también raíz cuadrada de un número.
37- Se ignora quien haya descubierto los números irracionales; pero, en cambio se sabe que los pitagóricos
hacia fines del siglo V (A. C.) en Grecia, conocían la irracionalidad del radical √2 (números
inconmensurables). Dando muestras de una fina intuición matemática, los griegos de la Escuela de Crotona,
trataron de hallar valores aproximados de √2, mediante soluciones sucesivas de 2x² – y² = ± 1.
38- El grado de desarrollo a que llegaron los hindúes en matemáticas se debe al carácter abstracto de su
pensamiento. Esto los llevó a plantearse problemas numéricos de mayor profundidad, mucho antes que
otros pueblos preciados de más cultos y civilizados. En el sigo VI después de Jesucristo, Aryabhata,
estableció el valor aproximado de π (3.14159.....), y además dio la regla para la extracción de la raíz
cuadrada.

8. 39- Se da por seguro que fueron los hindúes los primeros en hallar las reglas para la extracción de las raíces
cuadradas y cúbicas. Resulta curioso conocer la terminología que ellos empleaban. Para la raíz tenían el
vocablo sánscrito mula, que además quiere decir vegetal, al cual añadían varga o ghana, y formaban las
expresiones varga mula o ghana mula, que significaba raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente.
40- El primero que propuso un sistema decimal para las medidas fue el matemático flamenco Simón Stevin.
Transcurrieron dos siglos hasta que en 1790, Talleyrand llamó la atención de la Asamblea Nacional Francesa
para que buscara un sistema uniforme de medidas. Después de designar una comisión de cinco miembros
para realizar los estudios necesarios, la Asamblea adoptó el Sistema Métrico Decimal.
41- La determinación de la densidad de los cuerpos es una consecuencia del Principio de Arquímedes, célebre
físico y matemático griego del siglo III, antes de Jesucristo (287-212 A. C.). Lefevre-Gineau y Giovanni
Valentino Matías Fabroni, que investigaba el valor del gramo, descubrieron incidentalmente que el mínimo
volumen del agua destilada se produce a los 4 grados C., que se toma como unidad.
42- Contar y medir son las primeras actividades matemáticas del hombre. Los primitivos para medir el largo de
una cosa cualquiera, utilizaban medidas basadas en el cuerpo humano. Los egipcios, quienes llegaron a
poseer un sistema de medidas bastante aceptable, emplearon las proporciones del cuerpo humano para
establecer las primeras unidades de medida. Así surgió el palmo, el pie, el cúbito, etc.
43- La geometría como ciencia empírica surgió en Egipto. Como ciencia teórica es exclusiva de los griegos.
Euclides, un griego, le dio la estructura teórica que ha tenido hasta el nacimiento de la geometría no
euclidiana. En un documento descubierto en 1930, está el trabajo de un geómetra egipcio que en 1850 A. C.,
dio la fórmula 1/3 h (a² – ab + b²), para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada.
44- Los números complejos o denominados- que no deben confundirse con los números complejos de las
matemáticas superiores -, tienen su origen en los sistemas de medidas. Los babilonios dividieron el círculo
en grados y minutos. Establecieron también la división en años , meses, días, horas, minutos y segundos,
basándose en su sistema sexagesimal de numeración. Los romanos aportaron la pulgada.
45- Los antiguos tropezaban con muchas dificultades para determinar la longitud. En el siglo II D. C., Ptolomeo
estableció la longitud aproximada de cinco o seis ciudades, tomando como referencia a Alejandría. El
descubrimiento del sextante permitió a los marinos determinar la longitud exacta durante la navegación. A
fines del siglo XVII, y partiendo de los descubrimientos de Galileo, el holandés Huygens construyó los
primeros relojes de péndulo, de gran precisión.

9. 46- Los griegos tuvieron un concepto teórico de las proporciones. La aplicación práctica del conocimiento de las
proporciones se la debemos a los matemáticos italianos del Renacimiento. Regiomontano y Lucas Pacioli
(Fray Lucas de Burgos) divulgaron considerablemente el empleo de las proporciones en sus leídas obras,
específicamente este último, que ha pasado a la historia como el inventor de la contabilidad por partida
doble.
47- Las razones y proporciones se conocen desde antiguo. Euclides, expone en el libro V de sus “ Elementos”, la
teoría de las proporciones debida a Eudoxio. Los romanos le daban a cada proporción un nombre. En el siglo
XV(D. C.), Al-Kalsadi, empleó en su aritmética el signo ... para indicar las proporciones. En 1537, Nicolás de
Brescia (conocido por Tartaglia), escribió las proporciones así: 6//3//8//4.
48- En la evolución del concepto de función ejercieron una influencia decisiva Fourier (francés, 1758-1830),
Cauchy (francés, 1789-1857), y Dirichlet (alemán, 1805-1859). Todos los trabajos de estos matemáticos
contribuyeron al desarrollo de la teoría de las funciones. Sin embargo, fue Riemann( alemán, 1826-1866), en
su tesis de 1851, quien echó las bases de la actual teoría de las funciones.
49- Aunque griegos y romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de los
problemas de Regla de Tres. En la Edad Media los árabes dieron a conocer la Regla de Tres. Leonardo de Pisa
la difundió a principios del siglo XIII, en su “Liber Abacis”, con el nombre de Regla de los Tres Números
Conocidos; Regla de los Mercaderes; Regla Aurea; y también con el de Regla de los Traficantes.
50- El Tanto por Ciento aparece en las principales obras de Aritmética de los escritores italianos del siglo XV. El
signo del Tanto por Ciento (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de ciento( Cto.), que se
empleaba en las operaciones mercantiles. El primero que utilizó el signo tal como lo usamos hoy fue
Delaporte, que en 1685 lo expuso en su libro “ Le Guide des Negotien”, (Guía del Comerciante).
51- El origen del préstamo con interés (usura)es remoto. Los prestamistas de la Edad Media cobraban a los
particulares hasta un 43% anual; en las operaciones comerciales el tipo de interés fluctuaba entre un12% y
un 24% anual. Al fundarse lo que puede ser llamado el primer banco en el sentido moderno, en 1407, la “
Casa de San Giorgio”, en Génova, el interés bajó a un 10% y menos.
52- El origen de la Letra de Cambio puede ubicarse en las Ferias de Flandes y Champaña. Surge al hacerse más
complejas las operaciones mercantiles. Hacia el siglo XII se establece la práctica de pagar, mediante promesa
escrita, una cantidad en un lugar distinto de aquel en que se contrae la deuda. El pago se podía hacer al
nuntius (representante) del acreedor, o hacerlo mediante un representante del deudor.

10. 53- Los pueblos más civilizados de América, tales como el azteca, maya e inca, alcanzaron un considerable
desarrollo en las ciencias matemáticas, como podemos ver a través de su sistema de numeración. Resulta
indudable que ellos aplicaron una regla rudimentaria para el repartimiento proporcional, al tener que
resolver los problemas de distribución de los productos agrícolas entre los miembros de las tribus.
54- Las primeras compañías se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos
(sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX. Un italiano, Leonardo de Pisa,
tomó la regla para resolver los problemas de reparticiones de las ganancias o pérdidas de las compañías, de
la Aritmética Comercial que se atribuye a Abul ‘l Wefa, de Bagdad (940-998 D. C.).
55- El promedio y la probabilidad son las bases de la ciencia actuarial moderna. Se da por un hecho histórico
irrefutable que la Estadística en su concepto más reciente, debe su origen al juego de azar. Cuéntase que
estando Pascal en una taberna, Antonio Gombaud, caballero de Meré, le propuso un problema basado en el
juego de dados. Pascal le dio solución, fundando en 1654 la Teoría de las Probabilidades.
56- Griegos y romanos conocían la Regla de Aligación, que usaban en su constante comercio de vinos con los
fenicios. Los escritores italianos del siglo XV, dieron a conocer en sus aritméticas comerciales, numerosos
problemas de mezcla y aligación que habían tomado de los griegos y romanos. Entre 28 reglas que expone
Tartaglia, en su Aritmética Comercial de 1556, incluye la Regla de Mezcla o Aligación.
57- La aleación más antigua que se conoce es el bronce. Toda una etapa de la prehistoria se caracteriza por este
descubrimiento del hombre, es decir, la aleación del cobre con el estaño. La producción de las minas
explotadas por los fenicios junto al Mar Rojo era entregada al Rey Salomón, a cambio de oro, perfumes y
especias.
58- Desde muy antiguo la emisión de monedas se hacia para conmemorar algún hecho histórico o para rendir
homenaje a algún gran personaje. La decadrachma (moneda griega) data del 480 A. C. y se emitió para
celebrar la derrota de los cartagineses a manos de los griegos en la famosa batalla de Himera. La moneda
era de plata y tenia una figura alegórica rodeada de peces. Poseía un valor de diez drachmas.

11. 59- Las primeras operaciones mercantiles se hacían como simple trueque de mercancías. En plena Edad Media
existían mercados adonde concurrían traficantes de todas las latitudes. En el siglo XI, fue famoso como
mercado de trueques, en Bizancio, Karim-Erzerum, donde se daban cita los mercaderes del norte de Europa,
los de China, los de la India, etc. Tales trueques se resolvían por medio de la Regla Conjunta.
60- El primer tipo de seguro en gran escala que se practicó fue el seguro marítimo. La organización mas
poderosa de seguros que existe en el mundo se conoce como el Lloyd. Debe su nombre a que los primeros
aseguradores se reunían en un cafetín de Londres, propiedad de Eduardo Lloyd. A mediados del siglo XVII,
este cafetín de Lloyd se convirtió en una verdadera bolsa de seguros de todas clases.
Preparado por : PROFA. ADELA DE CORO
 Tomado del libro Aritmética – Teórico Práctica del Dr. Aurelio Baldor. Edición 1962. Cultural
Centroamericana, S.A. Guatemala.
http://www.pucpr.edu/facultad/ajunco/HIST.%20aritm..htm