15. ECUACION DE CALOR 15
Ecuación diferencial en derivadas parciales parabólicas que describe la distribución
del calor ( o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso
del tiempo.
Para el caso de una función de 3 variables en el espacio (x,y,z) y la variable tiempo
“t”, la ecuación de calor se representa:
𝜕𝑦
𝜕𝑥
− 𝛼
𝜕2
𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝑇
𝜕𝑧2
= 0
Además, 𝛼 representa una propiedad del material denominada difusividad térmica.
16. ECUACION DE CALOR 16
Métodos para la
solución de la
ecuación del calor
Series de Fourier
Integrales de Fourier
17. ECUACION DE CALOR 17
𝑘
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
=
𝜕𝑇
𝜕𝑡
, 𝑘 > 0 Donde K representa la conductividad térmica del calor.
19. 19
Resolvemos este problema con el meto de separación de variables. Para ello,
buscamos las soluciones particulares de la ecuación 1 de la forma:
Que satisface las condiciones de frontera que nos indica el enunciado. Así que
derivamos la solución modelo respecto a t y x:
T(X, t) = X x Y(t)
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= X x Y′(t)
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
= X′′ x Y(t)
Sustituimos las derivadas en la ecuación 1, obteniendo:
20. 20
X x Y′ t = 𝑎2 X′′ x 𝑌 t
Separamos las variables
Y′ t
𝑎2𝑌 t
=
X′′ x
X x
Constante de separación −λ
Y′ t
𝑎2𝑌 t
=
X′′ x
X x
= λ
Separamos en dos ecuaciones diferenciales ordinarias
X′′(x) + λ𝑋 x = 0 Y′(t) + 𝑎2λ𝑌 t = 0
,
21. 21
Por conveniencia, buscamos soluciones con
T(X, t) = X x Y(t)
T 0, t = X 0 Y t = 0 T L, t = X L Y t = 0
, , 𝑡 > 0
Usando las condiciones de frontera en el producto, obtenemos:
Y t ≠ 0
Entonces las condiciones de frontera para serian:
X x X 0 = 0 X L = 0
,
Resolviendo la primera ecuación diferencial ordinaria con las condiciones de frontera:
X′′(x) + λ𝑋 x = 0
X 0 = 0
X L = 0
22. 22
Observamos 3 posibles casos dependiendo del valor de λ negativo, cero o positivo.
Para facilitar el
cálculo,
denotamos λ=𝑝2
CASO 1: λ < 0: λ = 𝑝2 < 0
CASO 2: λ = 0: λ = 𝑝2= 0
CASO 3: λ > 0: λ = 𝑝2> 0
Resolvemos la PRIMERA EDO, tomando en cuenta el
CASO 1: X′′ + 𝑝2𝑋 = 0 X 0 = 0 𝑦 X L = 0
,
La ecuación es de la forma , cuyas soluciones reales son:
Por ello su solución general es de forma exponencial
𝑚2 + 𝑝2 = 0 𝑚 = ±𝑝
𝑋 𝑥 = 𝐴𝑒𝑞𝑥 + 𝐵𝑒−𝑞𝑥
De las condiciones de frontera podemos hallar el valor de las constantes A y B
X 0 = 0 → A + 𝐵 = 0 → 0 = 𝐴𝑒𝑞𝐿 +𝐵𝑒−𝑞𝐿
X L = 0
,
23. 23
Con L diferente 0, entonces, A=0 y B=0.
T X, t = X x Y t = 0
Resolvemos la PRIMERA EDO, tomando en cuenta el
CASO 2: X′′
(𝑥) = 0 , X 0 = 0 X L = 0
𝑦
Integrando obtenemos que la solución general es: X x = C + Dx
De las condiciones de frontera podemos hallar el valor de la constante C = 0 y DL=0
Con L diferente 0, entonces, D=0
T X, t = X x Y t = 0
24. 24
Después de obtener soluciones nulas, probemos finalmente con el
CASO 3: X′′ + 𝑝2𝑋 = 0 X 0 = 0 𝑦 X L = 0
,
La ecuación es de la forma , cuyas soluciones reales son:
Por ello su solución general es de forma trigonométrica:
𝑚2 + 𝑝2 = 0 𝑚 = ±𝑖𝑝
𝑋 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑝𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑝𝑥
De las condiciones de frontera podemos hallar el valor de las constantes A y B
X 0 = 0 → 𝐴 = 0 X L = 0 → 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑝𝐿 = 0
,
Para no tener una solución nula , para esto, pL debe tener la
forma:
B ≠ 0 𝑠𝑒𝑛𝑝𝐿 = 0
𝑦
𝑝𝐿 = 𝑛𝜋
25. 25
𝑝 =
𝑛𝜋
𝐿
, para n=1,2,3,4, ...
Esto se puede expresar también como:
𝑝𝑛 = 𝐵𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,2,3, …
La solución de la función depende de x, para un valor de n es de la forma:
𝑋𝑛(𝑥) = 𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,2,3, …
Como , definimos:
λ = 𝑝2
λ𝑛 = 𝑝2
𝑛
=
𝑛2𝜋2
𝐿2
26. 26
Y′(t) + 𝑎2λ𝑌 t = 0
Resolviendo la segunda ecuación diferencial ordinaria
Sustituimos el valor obtenido de la constante de separación:
De esta forma:
Su solución general :
λ𝑛 =
𝑛2𝜋2
𝐿2
𝑌′𝑛 t + 𝑎2
𝑛2𝜋2
𝐿2
𝑌𝑛 t = 0
𝑌𝑛 t = 𝐺𝑛𝑒𝑥𝑝(−𝑎2
𝑛2𝜋2𝑡
𝐿2
), 𝑛 = 1,2,3, …
27. 27
Entonces, hallando el producto: T(X, t) = X x Y(t)
𝑇𝑛 x, t = 𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
. 𝑒𝑥𝑝(−𝑎2
𝑛2𝜋2𝑡
𝐿2
) 𝑛 = 1,2,3, …
𝑇𝑛 x, t = 𝑋𝑛 𝑥 𝑌𝑛(𝑡)
Donde 𝐵𝑛 = 𝐹𝑛𝐺𝑛
Usando el principio de superposición, sumemos las soluciones particulares
encontradas para determinar la solución general
𝑇𝑛 x, t = 𝑇1 x, t + 𝑇2 x, t + 𝑇3 x, t + ⋯
29. 29
De las condiciones iniciales que indican en el enunciado, podemos determinar el
Para t=0, sustituyendo
𝐵𝑛
T X, 0 =
𝑛=1
∞
𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
, 0 < 𝑥 < 𝐿
Serie de Fourier de medio rango para f(x) sobre el intervalo (0,L), L=T/2.
Serie de
Fourier
Por coeficientes de
series de Fourier de
medio rango
𝐵𝑛 =
2
𝐿 0
𝐿
𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥, 𝑛 = 1,2,3, …
Sustituimos en la ecuación y obtenemos la solución:
