El documento presenta la resolución de dos ejercicios sobre sistemas no amortiguados y amortiguados. En el primer ejercicio se encuentra la ecuación de movimiento de una masa unida a un resorte que se libera desde una posición inicial. En el segundo ejercicio, se formula la ecuación de movimiento de una masa amortiguada sometida a una fuerza externa senoidal.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
I.U.P. “Santiago Mariño”
Barcelona, Edo. Anzoátegui
Matemática Aplicada
Bachiller:
VELASQUEZ. Luis, C.I: 26 520 241
Profesora:
CONTRAMAESTRE. Rosa,

2. Sistema no amortiguado
Ejercicio 1:
Una masa que pesa 24lb, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al
inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición
de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento.
Datos:
W = 24lb
X = 4plg => 1ft = 12plg => X = 1/3ft = 0,33ft
t(0), X = -3plg => 1ft = 12plg => X = -1/4ft = -0,25ft
V0= 0m/s =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Aplicamos la ecuación diferencial del movimiento:
𝑚.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −𝐾𝑋. Para calcular el valor de K y m, aplicamos las siguientes
ecuaciones de Fuerza y Peso:
F = K.S => despejamos K => K =
𝐹
𝑆
=> K =
24𝑙𝑏
1
3
𝑓𝑡
=> K = 72lb/ft (Usamos 24lb en fuerza
ya que fue el peso que se ejerció para alargarlo las 4 pulgadas)
W = m.g => despejamos m => 𝑚 =
𝑤
𝑔
=> 𝑚 =
24𝑙𝑏
32𝑓𝑡/𝑠2
=> 𝑚 =
3
4
𝑠𝑙𝑢𝑔 (32ft/s2
es
la conversión de 9,81m/s2
a pie y slug es la unidad resultante de lb/ft/s2
)
Conocidos ambos valores sustituimos en la ecuación de movimiento:
3
4
.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −72. 𝑋 (Para eliminar el ¾ multiplicamos la ecuación por 4/3)
12
12
.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −96𝑋 (Pasamos el -96X al otro lado e igualamos a 0)
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 96𝑋 = 0 (Tenemos una ecuación homogénea de segundo orden y
resolvemos)
y = 𝑒 𝑚𝑥
y’ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥
y’’= 𝑚2
𝑒 𝑚𝑥
Sustituimos:
𝑚2
𝑒 𝑚𝑥
+ 96. 𝑒 𝑚𝑥
= 0 => Aplicamos factor común de 𝑒 𝑚𝑥
𝑒 𝑚𝑥(𝑚2
+ 96) = 0 => Resolvemos con la formula cuadrática

3. a = 1 ; b = 0 ; c = 96
𝑥 =
−0±√02−4.1.96
2.1
=> 𝑥 =
−0±√−384
2
=> X = 0 ± 9,79i aplicamos la ecuación del
caso en la que el resultado es imaginario
X = 𝑒 𝑎𝑥
(C1. Cos b.t + C2. Sen b.t) a = 0; b = 9,79
X = 𝑒0𝑥
(C1. Cos 9,79t + C2 Sen 9,79t)
X = C1. Cos 9,79t + C2 Sen 9,79t
Aplicamos las condiciones iniciales para calcular el valor de C1, t0, X = -0,25ft:
-0,25 = C1 Cos 9,79.0 + C2 Sen 9,79.0 (Cos 0 = 1; Sen 0 = 0)
-0,25 = C1
Sustituimos C1 en la Ec de movimiento:
X = −
1
4
Cos 9,79t + C2 Sen 9,79t (X = dx/dt = 0m/s, sustituimos en la ec y derivamos)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1
4
. 9,79 Sen 9,79t + C2 9,79 Cos 9,79t
0 = C2. 9,79 => C2 = 0
Sabiendo ambos valores sustituimos en la ecuación de movimiento y resolvemos:
X = −
1
4
Cos 9,79t + 0. Sen 9,79t
X = −
1
4
Cos 4 √6t

4. Sistema Sobreamortiguado
Ejercicio 1:
Una masa de 1kg está unida a un resorte cuya constante es 16N/m y todo el sistema
se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente
igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento, si:
a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1m debajo de la posición de
equilibro
b) El contrapeso se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad
de 12m/s hacia arriba
Datos:
m = 1kg
ß = 10
K = 16N/m
X(t) = ? => X(0) = 1m
X(t) = ? => X(0) = 1m => V = X’(0) = -12m/s
Aplicamos la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre:
𝑚.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −𝐾𝑥 − ß.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(Sustituimos y despejamos la ecuación para igualarla a 0)
1.
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
= −16𝑥 − 10.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=>
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2
+ 10
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 16𝑥 = 0 de esta ecuación
cuadrática obtenemos: m2
+ 10m + 16 = 0. Factorizamos: (m+8).(m+2) = 0
m1 = -8; m2 = -2 .
Son raíces reales diferentes por lo tanto el movimiento es sobreamortiguado.
Utilizamos el caso de ecuaciones homogéneas m1≠m2= X(t)= 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑡
+ 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑡
:
Y la solución: X(t) = 𝐶1 𝑒−8𝑡
+ 𝐶2 𝑒−2𝑡
. Para hallar los valores de las constantes se
utilizan las condiciones iniciales:
a) X0 = 1
X’0 = 0
X(0) = 𝐶1 𝑒−8.0
+ 𝐶2 𝑒−2.0
X’(0) = 𝐶1 𝑒−8𝑡
+ 𝐶2 𝑒−2𝑡
1 = 𝐶1 + 𝐶2 0 = −8𝐶1 𝑒−8.0
−2𝐶2 𝑒−2.0
0 = −8𝐶1−2𝐶2
Tenemos un sistema de ecuaciones que se presenta y usamos el método de
sustitución para conocer los valores de las incógnitas:
{
1 = 𝐶1 + 𝐶2 => 𝐶1 = 1 − 𝐶2
0 = −8𝐶1−2𝐶2 => −8(1 − 𝐶2) − 2𝐶2 = 0 => 6𝐶2 = 8 => 𝐶2 =
8
6
=> 𝐶2 =
4
3
𝐶1 = 1 −
4
3
=> 𝐶1 =
−1
3
Conociendo los valores de C1 y C2 lo sustituimos en la ecuación de movimiento:
X(t) =
−1
3
𝑒−8𝑡
+
4
3
𝑒−2𝑡

5. b) X0
X’0 = -12m/s
X(0) = 𝐶1 𝑒−8.0
+ 𝐶2 𝑒−2.0
X’(0) = 𝐶1 𝑒−8𝑡
+ 𝐶2 𝑒−2𝑡
1 = 𝐶1 + 𝐶2 -12 = −8𝐶1 𝑒−8.0
−2𝐶2 𝑒−2.0
-12 = −8𝐶1−2𝐶2
Tenemos un sistema de ecuación que se presenta y usamos el método de
eliminación para conocer los valores de las incógnitas:
{
1 = 𝐶1 + 𝐶2 /.8
−12 = −8𝐶1−2𝐶2
=> {
8 = 8𝐶1 + 8𝐶2
−12 = −8𝐶1−2𝐶2
−4 = 6𝐶2 => 𝐶2 =
−4
6
=> 𝐶2 =
−2
3
C1 = 1 +
2
3
=> 𝐶1 =
5
3
Conociendo ambos valores C1 y C2 sustituimos en la ecuación de movimiento:
X(t) =
−5
3
𝑒−8𝑡
−
2
3
𝑒−2𝑡

6. Movimiento forzado
Ejercicio 1:
Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2ft, y llega al reposo en
su posición de equilibrio. A partir de t=0 se aplica una fuerza externa al sistema igual a
f(t)= 8 sen 4t. Formule la ecuación de movimiento si el medio presenta una fuerza
amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.
Datos:
m= 1 slug
x= 2 pies
X’(0)=0
f(t)= 8sen4t
X(t)=?
β=8
Ecuación diferencial del movimiento forzado
2
2
( )
d x dx
m kx f t
dt dt
   
Se debe calcular el peso para hallar la constante del resorte.
1.32 32
32 .2 16 /
F kx W mg lb
lb k pies k lb pie
   
 
Se sustituyen valores y se resuelve para hallar la solución de la ecuación:
2
2
2
2
1 16 8 8 4
8 16 8 4
d x dx
x sen t
dt dt
d x dx
x sen t
dt dt
   
  
Tenemos una ecuación cuadrática: m2
+8m+16=0 => (m+4)(m+4)=0 => m=-4, las
raíces son reales iguales, la solución complementaria es:
1 2
4 4( )C
t tX t C e C te  

7. Se debe hallar una solución particular XP ya que : X(t)=XC + XP
Se supone una solución particular con el método de los coeficientes indeterminados:
2
2
cos 4 4
' 4 4 4 cos3
'' 16 cos 4 16 4
P
P
P
X A t Bsen t
dx
X Asen t B t
dt
d x
X A t Bsen t
dt
 
   
   
Se sustituye en la ecuación diferencial y se resuelve:
16 cos4 16 4 32 4 32 cos4 16 cos4 16 4 8 4
32 cos4 32 4 8 4
32 0 0
32 8 8 / 32 1/ 4
1
cos4
4
P
A t Bsen t Asen t B t A t Bsen t sen t
B t Asen t sen t
B B
A A
X t
      
 
 
     
 
Así, la ecuación de movimiento queda:
1 2
14 4( ) cos4
4
t tX t C e C te t   
Usando las condiciones iniciales se halla el valor de las constantes:
1 2 1 1
1 2 2
1 2 2
1 2 2
1 1 14.0 4.0(0) 0 0 0 cos4.0
4 4 4
4 4 4'(0) 0 ' 4 4 4 4
4.0 4.0 4.00 4 4 0 4 4.0
0 4 1
X C e C e C C
t t tX X C e C te C e sen t
C e C e C e sen
C C C
       
       
      
   
Finalmente, la ecuación del movimiento es:
1 14 4( ) cos4
4 4
t tX t e te t   

8. Capacitor
Determine la carga del capacitor en un circuito en serie LRC cuando t=0,01s, L=0,05h,
R=2ꭥ, C=0,01f, E(t)=0V, q(0)=5C e i(0)=0A. Encuentre el primer momento en el que la
carga del capacitor es 0.
Datos:
q(t)=?
t=0,01s
L= 0,05h
R=2Ω
C=0,01f
E(t)=0V
q(0)=5C
i(0)=0A
t=?
q(t)=0
La ecuación diferencial del proceso es:
𝐿
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡)
Se sustituyen valores:
0,05
𝑑2 𝑞
𝑑𝑡2 + 2
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0,01
𝑞 = 0 /se divide entre 0,05
𝑑2
𝑞
𝑑𝑡2
+ 40
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 2000𝑞 = 0
q’’+40q’+2000q=0 <= ec. Homogénea de 2º orden
q= emx
q’ =memx
q’’= m2
emx
m2
emx
+40memx
+2000emx
=0
factor común de emx
: emx
(m2
+40m + 2000) =0 tenemos una ecuación de 2do
grado: m2
+40m + 2000= 0 ; a =1 b=40 c= 2000
𝑚 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑚 =
−40±√402−4.1.2000
2.1
= −20 ± 40𝑖 raíces complejas, por lo tanto, la solución es:
𝑞(𝑡) = 𝑒−20𝑡
(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40𝑡 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40𝑡)

9. Para determinar el valor de las constantes se utilizan las condiciones iniciales:
i=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
q(0)=5 i(0)=0
5 = 𝑒−20.0
(𝐶1 𝐶𝑜𝑠40.0 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40.0) → C1 = 5
Hallamos dq/dt =i(t)
i(t)= -20e-20t (𝐶1 𝐶𝑜𝑠40𝑡 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛40𝑡) + 𝑒−20𝑡
(−40𝐶1 𝑆𝑒𝑛40𝑡 + 40𝐶2 𝐶𝑜𝑠40𝑡)
i(0)=0 => 0=-20e0
(5Cos0+C2Sen0)+e0
(-200Sen0+40C2Cos0)
0=-20(5)+40C2 → C2= 2,5
La ecuación que rige el proceso es, por lo tanto:
𝑞(𝑡) = 𝑒−20𝑡
(5𝐶𝑜𝑠40𝑡 + 2,5𝑆𝑒𝑛40𝑡)
q(0,01) = 𝑒−20∗0,01
(5𝐶𝑜𝑠40 ∗ 0,01 + 2,5𝑆𝑒𝑛40 ∗ 0,01)
q(0,01)= 4,1078C