SANTIAGO MARIÑO SEMESTRE: 2019-I

1. ECUACIONES NO LINEALES
INTEGRANTE:
VALOR JOSE MANUEL
CI.21.362.644
SECCION: S1(SAIA) – PROGRMACION NUMERICA
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
NUCLEO BARCELONA
INGENIERIA DE SITEMAS
PROFESOR:
PEDRO RAFAEL BELTRÁN
BARCELONA –JUNIO-2019
I CORTE – 15%

2. En este tipo de sistemas de ecuaciones no lineales resulta
conveniente conocer bien las características no sólo de cada método
en particular, sino que también se debe conocer las características del
problema y, de esta manera, efectuar la elección del método más
adecuado Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como la suma de los
comportamiento de sus descripciones. Para la solución de este tipo
de sistema existe métodos numéricos, a continuación analizaremos los
métodos para la solución de este tipo de problemas.
INTRODUCCIÓN

3. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
NO LINEALES
En análisis numérico un algoritmo de búsqueda de raíces es un
método numérico o algorítmico para encontrar las soluciones
aproximadas de una ecuación dada por la expresión f(x) = 0 para
una función matemática f dada. A la solución x de la ecuación se le
llama raíz o cero de la función.
Igualmente, resolver la ecuación f(x) = g(x) es análogo a resolver la
ecuación f − g = 0, es decir, encontrar las raíces de la función f - g. Los
métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser
métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados
de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación.
Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la
base de los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones
iniciales.

4. El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces se
estudia en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en
cuenta las características de la función. Para saber que método
debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar
raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando
errores numéricos graves y orden de convergencia.
Algoritmos generales para ecuaciones de una variable
Los siguientes métodos son para calcular las raíces reales de
una ecuación dada por f(x) = 0 donde se exige al menos que la
función f sea una función continua para garantizar la existencia de
solución. La mayoría de métodos se obtienen de interpolar la función,
generalmente mediante un polinomio de primer grado (interpolación
lineal) y después aproximar la solución mediante alguna de las raíces
del polinomio.

5. El algoritmo más simple de búsqueda de raíces es el método de
bisección. Requiere un intervalo inicial que contenga alguna raíz de la
ecuación (de forma que la función tome en los extremos del mismo
valores de distinto signo; véase el teorema de Bolzano). Dicho intervalo
inicial se va dividiendo sucesivamente por la mitad (se bisecta)
tomándose el intervalo que contiene a la raíz. A pesar de ser un método
que siempre converge a una solución, converge muy lentamente.
El método de Newton asume que la función f sea
continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este
método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de
la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el
método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el
número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de
Newton también es útil porque se generaliza para problemas de
dimensiones más altas.
Reemplazando la derivada del método de Newton por un cociente
incremental, obtenemos el método de la secante. Este método no
requiere el cálculo (ni la existencia) de la derivada, pero el precio que se
debe pagar es un orden de convergencia más bajo (aproximadamente
1.6).

6. SISTEMAS DE ECUACIONES NO
LINEALES
Un sistema de ecuaciones es no lineal si, por lo menos, una de
sus ecuaciones no es lineal (hay un grado mayor que uno).
Estos sistemas se resolverán habitualmente por sustitución. Es
recomendable dibujar las ecuaciones del sistema en la medida de lo
posible para hacerse una idea aproximada de la situación de las
soluciones, si las hay.
Ejemplo
Encontrar las soluciones, si las hay, de

7. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número
de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se
pueden presentar los siguientes casos:
• Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede
distinguirse entre:
o Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto
infinito de soluciones.
• Sistema incompatible si no tiene solución.

8. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Descripción y algoritmo
El método de bisección es un método geométricamente muy
intuitivo: partiendo de un intervalo [a,b][a,b] tal
que f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 (es decir: la función cambia de signo en el
intervalo), se va dividiendo en dos generando una sucesión de
intervalos encajados hasta que se converge con la precisión deseada a
la raíz de la ecuación que, como asegura el teorema de Bolzano, tiene
que existir; es decir, el αin]a,b[αin]a,b[ tal que f(α)=0f(α)=0.
El algoritmo del método de bisección sería el siguiente:
Este método, aunque es lento, tiene convergencia garantizada.

9. El método de Bisección para la resoluci´0on de la ecuación f(x) = 0
se basa en el Teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de, al
menos, una raíz de una función f(x) en un cierto intervalo [a, b], bajo
ciertas condiciones.
Teorema de Bolzano Sea f : [a, b] → R una función continua en [a,
b] tal que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Algoritmo del M´etodo de Bisecci´on
1. a0 = a, b0 = b
2. Para n = 0, 1, . . ., hacer:
◦ mn = 1 /2 (an + bn)
◦ Si f(an)f(mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en caso contrario,
tomar an+1 = mn, bn+1 = bn.

10. LA INTERPOLACIÓN LINEAL
Es un caso particular de interpolación general de Newton. Con el
polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la
función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, paraqué una
interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de
interpolación de grado 1, se denota de la siguiente manera.

11. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Descripción y algoritmo
El método de Newton o método de Newton-Raphson linealiza la
función a cada paso utilizando su derivada, que se debe proporcionar
como argumento, para hallar la raíz de la ecuación en las proximidades
de un punto inicial x0x0. Este método puede no converger, pero si el
punto inicial está lo suficientemente próximo a la raíz, la convergencia
será muy rápida.
El algoritmo del método de Newton es este:

13. MÉTODO DE LA SECANTE
En análisis numérico el método de la secante es un método para
encontrar los ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación de método de Newton-Raphson de en vez de
calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en
mente la definición de derivada, se aproxima pendiente a la recta que
une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la
iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste
computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es
demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta
atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la
raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas
secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la
secante se puede considerar como una aproximación en diferencias
finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue
desarrollado independientemente de este último.

14. EL MÉTODO DE BROYDEN
Generaliza el método de la secante para resolver ecuaciones no
lineales par el caso de un sistema de ecuaciones. Para el caso de un
sistema, se ha de obtener una aproximación de la matriz derivada, Sn,
que cumpla

15. MÉTODO DEL PUNTO FIJO
El método del punto fijo es un método iterativo que permite
resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En
particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la
forma {displaystyle f(x)}, siempre y cuando se cumplan los criterios de
convergencia.
Descripción del método

16. Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función

17. Un punto fijo de una función , es un número tal que . El problema
de encontrar las soluciones de una ecuación y el de encontrar los
puntos fijos de una función son equivalentes en el siguiente sentido:
dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación ,
podemos definir una función con un punto fijo de muchas formas; por
ejemplo. . En forma inversa, si la función tiene un punto fijo en ,
entonces la función definida por posee un cero en . El método de punto
fijo inicia con una aproximación inicial y g() genera una sucesión de
aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación . A la
función se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar
que dicha sucesión converge siempre y cuando

18. MÉTODO DIVISIÓN SINTÉTICA
En La división sintética se realiza para simplificar la división de un
polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera
mas compacta y sencilla de realizar la división.
lustraremos como el proceso de creación de la división sintética
con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

19. MÉTODO DE BAIRSTOW
El método de Lin Bairstow es un método iterativo,
basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un
polinomio fn(x) se encuentran dos factores, un polinomio
cuadrático f2(x) = x2 – rx – s y fn-2(x). El procedimiento general
para el método de Lin Bairstow es:
1.-Dado fn(x) y r0 y s0
2.-Utilizando el método de NR calculamos f2(x) = x2 – r0x –
s0 y fn-2(x), tal que, el residuo de fn(x)/ f2(x) sea igual a cero.
3.-Se determinan la raíces f2(x), utilizando la formula general.
4.-Se calcula fn-2(x)= fn(x)/ f2(x).
5.-Hacemos fn(x)= fn-2(x)
6-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al
paso 2
7.-Si no terminamos

20.  La principal diferencia de este método, respecto a otros, es
que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e
imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división
sintética. Así dado
fn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0
Al dividir entre f2(x) = x2 – rx – s, tenemos como resultado el
siguiente polinomio
fn-2(x) = bnxn-2 + bn-1xn-3 + … + b3x + b2
con un residuo R = b1(x-r) + b0, el residuo será cero solo si b1 y b0 lo
son.

21. EN QUE CONSISTE EL MÉTODO
Se especifica un polinomio y los valores iniciales de r y de s que hagan
cero al residuo de la división sintética entre el polinomio cuadrático f(x)
= x^2 – rx – s.
Después de la división tendremos un nuevo polinomio de grado n – 2
en el que el residuo es 0 si b1 y b0 lo son.
Se calcula la aproximación lineal de b1 y b0 respecto a r y a s
utilizando la serie de Taylor.
Se calcula el incremento de r y de s que vuelven a b1 y a b0 0.
Se muestra que las derivadas parciales se pueden obtener mediante
un proceso parecido a divisiones sintéticas.
Se despliegan tanto raíces reales como raíces imaginarias.

22. Ejemplo
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25,
determinar los valores de r y s que hacen el resido igual a
cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
Solución.
Iteración
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como
resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newton tenemos
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.763
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403

23. BIBLIOGRAFÍA
INTERNET:
https://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_num%C3%A9rica_de_e
cuaciones_no_lineales
https://www.docsity.com/es/solucion-numerica-de-ecuaciones-no-
lineales-en-una-variable-apuntes-analisis-numerico/325098/
www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_
s/monografias
https://jorgeyfloreth.wordpress.com/2017/03/06/metodo-de-bairstow/
http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html

24. CONCLUSIÓN
Estos métodos anteriormente expuesto, son de mucho valor y
utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de
finanzas, economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física,
astronomía, geología, y de cualquier área, donde haya que relacionar
variables. Incluso cuando vamos al mercado o a cualquier centro
comercial, siempre relacionamos objetos o productos alimenticios, con
el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; y
mentalmente lo llevamos a un plano cartesiano

25. LINK DE YOUTUBE
RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES:
https://www.youtube.com/watch?v=szAuIzibtG8
METODOS:
https://www.youtube.com/watch?v=4yrVYMdyiN0
https://www.youtube.com/watch?v=F6nLV8egt88
https://www.youtube.com/watch?v=zTeyEvQQ47U&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=UeSz2GWyImk&feature=youtu.be