Diferenciacion e Integracion Numerica

1. Slideshare Analisis
Numerico
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Cabudare Edo. Lara
2020
MARIO COLMENAREZ CI:27.736.207
SECCION: SAIA A
FECHA: 25-03-20 | Profesor: Domingo Mendez

2. Diferenciación Numérica
Es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de la función
matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro
conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de
un próximo línea secante a través de los puntos (x,f (x)) y (x+h,f (x+h)). Elegir un número
pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x, y puede ser positivo o negativa. La
cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una
cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos ponen a
cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo
tanto, la verdad derivada de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia mientras
que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente:
Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero.
Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a
través de los puntos (x-h,f (x-h)) y (x+h,f (x+h)). La cuesta de esta línea es más generalmente,
la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de los puntos (x − h1,f(x − h1)) y(x
+ h2,f(x + h2)). La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la
tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la
valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la
valoración del dos-punto cuando h es pequeño. A la ecuación se le conoce con el nombre
especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas
Integración Numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para
calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces
para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término
cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de
integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que
para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza. El problema
básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la
integral definida: Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor
inicial para una ecuación diferencial ordinaria
Teoría de Interpolación Polinómica:
Sean x0, x1, x2,..., xn números reales o complejos distintos y sean y0, y1, y2,..., yn los valores de la
función asociada o variable dependiente. Se estudiará el problema de encontrar el polinomio p(x)
que interpola a este conjunto de datos discretos, p( ) xi = yi ; i = 0,1,2,3,...,n Debido a que este
polinomio existe, surgen las siguientes preguntas: • ¿Cuál es el grado del mismo? • ¿Es único dicho
polinomio? • ¿Cuál es la formula para obtener a p(x) a partir de los datos discretos?
Extrapolación de Richardson
Desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una
secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa

3. frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación
previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una
función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado
para definir un método de integración: el método de Romberg.
Fórmulas De integración de Newton Coutes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac
Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de
tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar
un valor aproximado de la integral. Cuantos más intervalos se divida la función más precisa
será el resultado.
Si 𝑎 = 𝑋0 y 𝑏 = 𝑋𝑛 se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que
los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se
tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo
se utilizará la siguiente función:
𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑓(xi)Lin(x)
𝑛
𝑖=0
Regla del Trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un
polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se
evaluará la función.
Y el error es:
Integración Romberg
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriztriangular cuyos elementos
son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método
de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración
estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable
en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco

4. derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese
caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son
más adecuados.
Regla de Simpson
La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una
función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a
través de un polinomio de segundo grado.
Y el error es:
siendo 𝜀 un número entre a y b.
Cuadratura de Gauss
En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida
de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de
la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar
el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los
coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:
Tal cuadratura dará resultados precisos solo si 𝑓(𝑥) es aproximado por un polinomio dentro
del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como 𝑓( 𝑥) = 𝑊( 𝑥) 𝑔(𝑥), donde 𝑔(𝑥) es un
polinomio aproximado y 𝑊(𝑥) es conocido.

5. Fórmulas para Calcular 𝒘𝒊
También conocido como método de Gauss-Legendre, los coeficientes están dados por
donde 𝑃𝑛 son polinomios de Legendre en el intervalo [−1, 1].