Métodos numéricos - Solución de Raíces De Ecuaciones

1. Tecnológico Nacional de
México
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
CHETUMAL
Ingeniería Eléctrica
Materia: Métodos Numéricos
U.2 Solución de Raíces De Ecuaciones.
“investigación”.
Alumnos:
Baxin López David Alberto
Carrillo Santos Alejandro
4to.
Semestre Grupo “B”
PERIODO: Enero-Junio2020
25 marzo de 2020

2. Índice
Contenido
SOLUCIÓN DE RAÍCES DE ECUACIONES ............................................................... 3
Búsqueda de valores iniciales....................................................................................... 3
Método Gráfico ......................................................................................................... 3
Método Objetivo ....................................................................................................... 5
Métodos Cerrados y sus Interpretaciones Geométricas.............................................. 6
Bisección.................................................................................................................... 6
Método de la regla falsa............................................................................................ 8
Métodos Abiertos y sus interpretaciones geométricas, así como sus criterios de
convergencia. .............................................................................................................. 13
Método de Newton-Raphson .................................................................................. 13
Método de la secante............................................................................................... 13
Aplicaciones de la solución de ecuaciones.................................................................. 15
Ejemplo Método Gráfico ........................................................................................ 15
Ejemplo Método Bisección ..................................................................................... 15
Ejemplo Regla Falsa ............................................................................................... 16
Uso de herramientas computacionales ...................................................................... 18
Programado en MATLAB:..................................................................................... 18
Bibliografía ................................................................................................................. 19

3. SOLUCIÓN DE RAÍCES DE ECUACIONES
Búsqueda de valores iniciales
Método Gráfico
Las raíces de una ecuación, nuestros ya mencionados objetivos
de búsqueda pueden interpretarse gráficamente como los puntos
donde la función graficada corta con el eje X, es decir los puntos
donde f(x)=0
La gráfica nos permite visualizar fácilmente la continuidad de la
función, los intervalos donde hay posibles raíces, los valores
máximos y mínimos entre otros aspectos que nos hablan del
comportamiento de esta.
De modo que una vez realizada la gráfica podemos ver el intervalo
donde la solución de nuestro interés puede ser que las soluciones

4. negativas no nos interesen o que solo ciertos valores sean admitidos
según el problema, y de ese modo realizar la evaluación de
la ecuación solo entre dicho intervalo.

5. Método Objetivo
Localizar todas las raíces posibles de una función.
Se determina un intervalo que sea de interés, para luego evaluar la
función con pequeños incrementos.
Si la función al ser evaluada cambia de signo, entonces dentro del
incremento que se usó para evaluar la raíz existe una raíz. Para usar
este método la función f(x) debe ser real y continúa.
Este método propone, basado en el teorema de Lagrange, encontrar
un intervalo de análisis que contenga al menos una raíz de la
ecuación.

6. Métodos Cerrados y sus Interpretaciones
Geométricas
Bisección
Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la
raíz a partir de un intervalo inicial (a,b) en el cual hay un cambio de
signo en la función, es decir: f(a)f(b)<0.
Se obtiene el punto medio:
xm es la nueva aproximación a la raíz, y se vuelve a tomar un
intervalo, pero ahora más pequeño, considerando que siga existiendo
un cambio de signo en la función, es decir, el nuevo intervalo queda
determinado por:
El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro,
en este programa la condición es la tolerancia:

7. Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con
un intervalo inicial, en donde f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de
menos pasos en un programa, sin embargo, converge más
lentamente que el de Newton-Raphson.
Los pasos del método son los siguientes:
1.- Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.
2.- Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en
donde f(x) cambia de signo, para conservar al menos una raíz.
3.- Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia
deseada.
si:
f(m) f(b)<0 entonces conservar (m,b) como el sem. intervalo que
contiene al menos una raíz.
A cada paso se le llama “iteración” y reduce el intervalo a la mitad.
Después de cada iteración el intervalo re reduce a la mitad, después
de n iteraciones, el intervalo original se había reducido 2n
veces, por
lo tanto, si el intervalo original es de tamaño “a” y el criterio de
convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos Xm

8. consecutivas es “ ”, entonces se requerían “n” iteraciones donde
“n” se calcula con la igualdad de la
expresión:
de donde: iteraciones que se requieren.
Método de la regla falsa
El método de la regla falsa, o «falsa posición», es otro de los
muchos métodos iterativos para la resolución de problemas con
ecuaciones no lineales. La peculiaridad de éste es que combina dos
métodos: el método de bisección y el de la secante (ya explicados en
otros artículos).
A continuación, veremos una explicación de en qué consiste, y más
abajo, os pongo los pasos a desarrollar.

9. Se basa en trazar una recta que una los extremos de un intervalo
dado, considerando que la solución está cerca de uno de estos
extremos.
Hemos agregado por tanto, esa línea recta que une el intervalo [a,b].
La idea principal es que si tomamos el punto donde la recta corta el
eje x, estaremos más cerca de hallar la raíz.
Entonces, supongamos que tenemos una función f(x), que es
continua en el intervalo [xa, xb], y que además f(xa) y f(ba) tienen
signos opuestos (RECORDATORIO: Teorema Bolzano) por lo que
se deduce que existe al menos una solución para esa ecuación.
Ahora, necesitamos saber la ecuación de la línea recta que une esos
dos puntos. Para ello nos ayudamos de la ecuación punto-pendiente,
por eso, hallamos la pendiente:
Ahora vamos a sustituir eso en la ecuación de la recta:
Pero recordamos que la recta en cuestión corta el eje x, así que
hacemos y=0:

10. Simplificamos multiplicando todo por xb-xa, para quitar el
denominador:
Como paso final, despejamos la incógnita x:

11. Vamos ahora a describir paso a paso como se desarrolla el método
de la regla falsa (considerando f(x) continua):
1) Primero debemos encontrar unos valores iniciales xa y xb tales
que:
2) Aproximamos a la raíz, para ello usamos:
3) Evaluamos f(xr). Se pueden dar hasta tres casos:
A)
Como f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, por la condición
mencionada anteriormente deducimos que, la raíz se encuentra en el
intervalo [xa, xr]
B)

12. f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo. Así que xb y xr han de tener
signos distintos, pues:
Por tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [xr, xa].
*Pista: Como consideramos que la ecuación tiene que ser continua
(si o si), al darse este caso, no cumpliría con la condición de
continuidad, al menos que tomemos como referencia un tercer punto
(xr) cuya imagen (f(xr)) será de signo opuesto.
C)
En este caso, como f(xr)=0 ya tenemos localizada la raíz.
Debemos repetir estos 3 pasos señalados anteriormente hasta que:
|Ea|<Eb

13. Métodos Abiertos y sus interpretaciones
geométricas, así como sus criterios de convergencia.
Método de Newton-Raphson
Se trata de llevar el límite el método de la secante y, por tanto, en
cada
Iteración n, considerar la recta tangente a f(x) en (xn, f(xn)) y tomar
como siguiente aproximación xn+1 la intersección de dicha tangente
con el eje de abscisas. Por tanto, teniendo en cuenta que la ecuación
de la recta tangente la gráfica de f(x) en el punto (xn, f(xn)) es y −
f(xn) = f 0 (xn)(x − xn).
 Algoritmo del Método de Newton-Raphson
Ejemplos: A continuación, presentamos la solución aproximada de
algunas ecuaciones con el método:
Método de la secante
Se trata de un método iterativo en el que, en cada paso, se calcula una aproximación
de la solución en lugar de un intervalo que la contiene.

14. Se parte de x0 = a y x1 = b y se calcula, iterativamente para cada n ≥ 1, la
intersección de la secante que une los puntos (xn−1, f(xn−1) y (xn, f(xn)) con el eje
de abscisa, obteniéndose la abscisa
 Algoritmo del Método de la Secante
Ejemplo: Calculemos mediante 5 pasos del método de la secante una aproximación
de la solución del problema de la oscilación amortiguada de una estructura.
Se trataba de calcular la solución de la ecuación
f(t) = 10 e t
2 cos 2t − 4 = 0.
Tomando x0 = 0 y x1 = 1, se obtiene la siguiente sucesión de aproximaciones:
x2 = 0.479078
x3 = 0.517905
x4 = 0.513640
x5 = 0.513652,
Con lo cual podemos afirmar que una aproximación con cuatro decimales exactas
de la solución es 0.5126.

15. Aplicaciones de la solución de ecuaciones
Ejemplo Método
Gráfico
Ejemplo Método
Bisección

16. Ejemplo Regla Falsa

18. Uso de herramientas computacionales
Programado en MATLAB:
El siguiente es el programa elaborado en Matlab correspondiente a este
método, para la solución de ecuaciones no lineales con una incógnita, para
cualquier ecuación:

19. Bibliografía
3.1 Método Gráfico - PROYECTO PROCESOS NUMÉRICOS
2011_2. (s.f.). 3.1 Método Gráfico - PROYECTO PROCESOS
NUMÉRICOS 2011_2. Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://sites.google.com/site/numerico201112/3-metodos-busqueda-
valores-iniciales/metodo-grafico
3.2 Busquedas Incrementales - PROYECTO PROCESOS
NUMÉRICOS 2011_2. (s.f.). 3.2 Busquedas Incrementales -
PROYECTO PROCESOS NUMÉRICOS 2011_2. Recuperado 23
marzo, 2020, de https://sites.google.com/site/numerico201112/3-
metodos-busqueda-valores-iniciales/3-2-busquedas-incrementales
Métodos Numéricos. (s.f.). Recuperado 23 marzo, 2020, de
http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Raices/Biseccion/Biseccion.ph
p
Método de la regla falsa | La Guía de Matemática. (2011, 22 marzo).
Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-la-regla-falsa
UNIDAD 2. (s.f.). Recuperado 23 marzo, 2020, de
http://mitzisemiramis.blogspot.com/p/unidad-2_29.html
Método de la Secante - ISCFAP. (s.f.). Método de la Secante -
ISCFAP. Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://sites.google.com/site/ittgiscfap/mtodo-secante

20. Método de la Bisección - ISCFAP. (s.f.). Método de la Bisección -
ISCFAP. Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://sites.google.com/site/ittgiscfap/mtodo-de-la-biseccin
Método de la Regla Falsa - ISCFAP. (s.f.). Método de la Regla Falsa
- ISCFAP. Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://sites.google.com/site/ittgiscfap/mtodo-de-la-regla-falsa
Método Newton-Raphson - ISCFAP. (s.f.). Método Newton-
Raphson - ISCFAP. Recuperado 23 marzo, 2020, de
https://sites.google.com/site/ittgiscfap/mtodo-newton-raphson-1