Elementos de la unidad 1

1. Paso 2
Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 1
Presentado por:
Olver Enrique González
Francisco Javier Balero Braca
Grupo: 37
Presentado a:
Julian Ricardo Gómez
Marzo 2022
Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD
CEAD: Puerto Carreño
Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica

2. Introducción
Esta presentación tiene como fin dar a conocer los temas más relevantes que
han sido aplicados y utilizados en la realización de los ejercicios de la actividad del
paso 2, en la cual se está trabajando con las expresiones algebraicas, los polinomios.

3. Los pasos a seguir para factorizar un
polinomio y hallar sus raíces son:
 Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.
 Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.
 Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.
 Trinomio de segundo grado.
 Polinomio de grado superior a dos.

4. Factorización de polinomios
 Método del factor común: Es un método que consiste en encontrar los factores
comunes en cada una de los sumandos de la expresión.
Ejemplos

5.  Método de agrupación: Este cosiste en agrupar los términos o expresiones que
tengan algo en común para así lograr utilizar luego el factor común en cada grupo
y ser aplicado
Ejemplo:
Se agrupan entre paréntesis con un signo de suma
en el medio ya que es una operador neutro. Si se es
necesario se saca el factor común negativo para que
así el paréntesis quede igual.
Luego, se saca el factor común y aun así puede
seguir factorizándose por el método de diferencia
de cuadrados.

6.  Factorización de un trinomio de la forma cuadrática
Se refiere a los polinomios de la forma cuadrática 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 para factorizar un
trinomio de la forma cuadrática existen dos métodos:
Método de la formula general :
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
𝑦 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
Siendo ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐 el valor del discriminante

7.  Método de inspección
Su procedimiento es el siguiente:
• Encontrar dos valores que multiplicados den el primer termino
• Encontrar dos valores que multiplicados den el tercer término, pero también que
multiplicados en cruz con los primeros valores y sumados den como resultado el
segundo término
• Los términos de la factorización se toman en horizontal sin cambiar el signo
Ejemplo:

8.  Productos notables
• Cuadrado de la suma de dos cantidades
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos términos debe es igual a la suma del primer término
más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
Ejemplo:
5𝑥 + 7 2 = 5𝑥 2 + 2 5𝑥 7 + 7 2
El cuadrado del primer término es 5𝑥 2
= 25𝑥2
El doble producto de ambos términos es 2 5𝑥 7 = 70𝑥
El cuadrado del segundo término es 7 2
= 49
Por ultimo la respuesta será 5𝑥 + 7 = 25𝑥2 + 70𝑥 + 49

9. • Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
𝑎 − 𝑏 2) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término
menos el doble producto de ambos términos mas el cuadrado del segundo término
Ejemplo:
𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = (𝑎2 − 𝑏2)
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término
Por ejemplo: 4𝑎 + 7𝑦3 ∙ 4𝑎 − 7𝑦3 = 4𝑎 2 − 7𝑦3 2
El cuadrado del primer término es 4𝑎 2
= 16𝑎2
El cuadrado del segundo termino es 7𝑦3 2
= 49𝑦6
Por último, la respuesta será 4𝑎 + 7𝑦3
) ∙ 4𝑎 − 7𝑦3
= 16𝑎2
− 49𝑦6

10.  Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces
enteras.
 Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de
sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es
exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
Dividimos por Ruffini.
…

11. Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar
por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
…

12. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como
venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces
enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

13.  Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los
divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini.
P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2
Probamos por:
…

15. Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

16.  Método de la división sintética
Se utiliza par polinomios de grado mayor a 2 y que no tiene la forma cuadrática.
teorema dice que todo polinomio P(x) tiene como factor el término 𝑥 − 𝑐 sí y solo
𝑃 𝑐 = 0.
Su procedimiento es el siguiente:
• Se busca el número entre los divisores del término constantes (tomando en
tanto los negativos como positivos) Por ejemplo si la constantes es 4 entonces
candidatos serían −4, −2, −1, 1, 2, 4
• Al hacer la división sintética será factor el que quede como residuo cero
• La división se debe hacer tantas veces como sea necesario de acuerdo al grado
polinomio y siempre cambiando a los candidatos de acuerdo a la nueva
• Dado que para polinomios de grado 2 hay métodos mas sencillos, se puede
el residuo a tres términos y luego usar la inspección o calculadora.

17. Ejemplo de la división sintética:
𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 24
𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 24 𝐸𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 4
𝑥4
+ 0𝑥3
− 15𝑥2
− 10𝑥 + 24 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑎𝑛 𝑦 𝑟𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Los divisores de 24 son 24, 12, 8, 6, 4, 3 , 2, 1 y sus negativos. Se empieza probando de
menor a mayor y sus negativos, si un número no da cero es porque no es un cero del
polinomio y no será usado mas adelante.

18. Referencias bibliográficas
Ramírez, V. A. P
., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol.
1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y
a Distancia. Páginas 136 – 235. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. http://hdl.handle.net/10596/7425
Diccionario, M. Á. (s.f.). Superprof, Diccionario. Obtenido de Qué significa factorización de un polinomio en
Matemáticas: https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebra/factorizacion.html

19. ¡Gracias!