Unidad 1 . Presentación para el curso de Álgebra de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia

1. Unidad 1. Lenguaje algebraico y
Pensamiento funcional.
Fase 2. Lenguaje algebraico.
Carolina Torres EspinosaCod: 1005259141
Jaydher Hernando Rojas Jaimes. Cód. 1102372442
Algebra, trigonometría y geometría analítica- 551108
Grupo: 13
Universidad Nacional Abierta y a Distancia- UNAD .

2. Temáticas
 Expresiones algebraicas básicas.
 Polinomios.
 Casos de factorización.
 Expresiones algebraicas
racionales.

3. ¿Qué es el lenguaje algebraico y
cuál es su uso en la matemática?
 Lenguaje aportado por la civilización
musulmana, el cual contienen letras y vocablos
griegos.
 Se emplea en la matemática para poder
comprender y desarrollar ejercicios de la
aritmética, en donde se busca conocer el valor
de una o más variables desconocidas.
 El leguaje algebraico permite que podamos
representar expresiones cotidianas en
expresiones matemáticas.

4. ¿ Qué es el pensamiento funcional y cuál
es su uso en las matemáticas?
 Pensamiento el cual nos ayuda a
entender el funcionamiento de una cosa
o un proceso.
 En la matemática empleamos el
pensamiento funcional para poder
entender los elementos aritméticos y
comprender la conformación y
funcionamiento de las expresiones
algebraicas, además de la manera en
que se dan los diferentes procesos de
operación en estas.

5. ¿Qué son las expresiones
algebraicas?
Se pueden definir como la combinación
de:
 Letras (Cantidades desconocidas,
variables e incógnitas)
 Números
 Signos de operaciones (suma, resta,
multiplicación y potenciación de
exponentes racionales).
Ejemplo de ello sería la
representación expresiones como:
El doble de una cantidad= 2x
 Ana vende un cuarto de sus
productos=
1
4
x

6. ¿ Cómo están conformada las expresiones
algebraicas?
¿ Que son los términos
algebraicos?
Termino algebraico es la base o
la expresión algebraica sencilla
que no está separada por
operaciones de suma ni resta.
Elementos de un término.
Toda expresión algebraica está compuesta por términos algebraicos.
−𝟓𝒙𝟑
Signo= Indica si la
expresión es una
cantidad positiva o
negativa. En este caso
negativa -
Coeficiente= Número
que acompaña a la
incógnita, en este
caso 5.
Parte literal= Es la
incógnita de la cual se
busca conocer su valor,
en este caso x.
Exponente= Indica el
nivel a cuál esta elevado
dicha expresión, en este
caso 3

7. Tipos de expresiones algebraicas según el
número de términos algebraicos.
Monomios: Expresión
algebraica más sencilla
conformada por un solo
termino algebraico:
−7𝑥2
Binomios: Expresión
algebraica la cual se
encuentra conformada por
dos términos algebraicos:
−9𝑦3 + 8𝑥2
Trnimios: Expresión
algebraica conformada por
tres términos algebraicos:
−6𝑥2 + 4𝑦3 + 7𝑧2
Polinomio: Expresiones
algebraicas conformadas
por más de tres términos
algebraicos:
12𝑥2 + 6𝑥𝑦3 − 7𝑦2 +
9𝑛2 − 15𝑥3

8. Clasificación de las expresiones algebraicas.
Expresiones algebraicas
Clasificación Tipos Concepto Ejemplo
Expresiones
algebraicas
racionales.
Expresiones
algebraicas racionales
enteras.
La incógnita se encuentra
en el numerados y el
exponente es un número
natural.
5𝑥2 +
2
5
𝑥𝑦2 +
1
4
𝑦2
Expresiones
algebraicas racionales
fraccionarias.
La incógnita se encuentra
en el denominar y el
exponente es un número
negativo.
5𝑥−2 +
2𝑥2
3𝑦
− 2𝑥2
Expresiones
algebraicas
irracionales.
Expresiones
algebraicas
irracionales.
La incógnita tiene algún
radical o su exponente es
un fraccionario.
3𝑥 + 7
2
3

9. Operaciones de polinomios
Suma y resta de
polinomios
 Para sumar o restar los términos de un
polinomio, debemos hacerlo solamente
con los términos semejantes.
 Los términos que no tengan semejantes
quedaran iguales.
 En la resta de polinomios se debe tener
especial cuidado con los signos al
despejar paréntesis.
Ejemplo:
4𝑥2 + 6𝑥 + 3 − 5𝑥4 − 5𝑥2 + 4𝑥 − 3
 Despejar paréntesis
4𝑥2 + 6𝑥 + 3 − 5𝑥4 + 5𝑥2 − 4𝑥 + 3
 Ordenar el polinomio
−5𝑥4 + 4𝑥2 + 5𝑥2 + 6𝑥 − 4𝑥 + 3 + 3
 Sumar o restar términos semejantes
−𝟓𝒙𝟒 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔

10. Multiplicación de polinomios
 A diferencia de la suma
y resta de polinomios,
en la multiplicación de
polinomios se deben
multiplicar todos y
cada uno de los
términos.
 Después se deben
sumar o restar los
términos semejantes.
Ejemplo:
2𝑥 + 4 𝑥2
− 2𝑥 + 4
Multiplicar cada uno de los términos del primer
paréntesis por los del segundo.
2𝑥3 − 4𝑥2 + 8𝑥 + 4𝑥2 − 8𝑥 + 16
Ordenar polinomio y sumar términos semejantes.
2𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 − 8x + 16
𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟔

11. División sintética de polinomios
Este método es empleado para la división de polinomios, en los
cuáles el divisor debe ser de la manera ax+b, de grado 1 de
exponentes.
Pasos:
 El divisor se iguala a cero y se despeja la incógnita x.
 Se emplea como factor el resultado al despejar la incógnita,
multiplicando cada coeficiente del polinomio por dicho
factor y luego efectuar las sumas por columnas.
 Se reescribe la expresión algebraica con los nuevos
coeficientes resultantes. El resultado del cociente baja un
grado con relación al polinomio original.
 Se divide la nueva expresión por el coeficiente del divisor.
 El ultimo termino es el residuo.

12. Ejemplo división sintética.
•Igualar el divisor a 0 y despejar x.
3x-1=0
3x=1
x=
1
3
• Realizar la división sintética utilizando como factor a
1
3
.
6𝑥4
+ 7𝑥3
− 6𝑥2
+ 7𝑥 − 2 ÷ 3𝑥 − 1
•Reescribir la expresión algebraica con los coeficientes resultantes, disminuyendo 1 nivel de los
exponentes.
6𝑥3
+ 9𝑥2
− 3𝑥 + 6
•Dividir la expresión resultante por el coeficiente del divisor.
6𝑥3
+ 9𝑥2
− 3𝑥 + 6
3
2𝑥3
+ 3𝑥2
− 𝑥 + 2
Solución: 𝟐𝒙𝟑
+𝟑𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟐, residuo = 0
+6 +7 −6 +7 −2 1
3
+2 +3 −1 +2
6 +9 −3 +6 0

13. Productos notables
Algunos de los principales productos notables que debemos aplicar
en casos específicos son los siguientes.
Producto
notable
Cuadrado de la suma de dos
cantidades.
Cuadrado de la diferencia
de dos cantidades.
Diferencia de cuadrados.
Fórmula 𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2
= 𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
Ejemplo 4𝑥 + 2𝑦 2
= 4𝑥 2 + 2 4𝑥 ∙ 2𝑦 + 2𝑦 2
16𝑥2
+ 2 8𝑥𝑦 + 4𝑦2
16𝑥2 + 16𝑥𝑦 + 4𝑦2
3𝑥 − 2𝑦 2
3𝑥 2 − 2 3𝑥 ∙ 2𝑦 + 2𝑦 2
9𝑥2
− 2 6𝑥𝑦 + 4𝑦2
9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
3𝑥 − 2𝑦 3𝑥 + 2𝑦
= 3𝑥 2 − 2𝑦 2
9𝑥2
− 4𝑦2

14. Factorización
Por ejemplo:
Para identificar el largo y el ancho de un rectángulo cuando nos dan su área.
Sabemos que el área es la multiplicación del largo y el ancho.
(x+4)
(x+2)
𝑥2 + 6𝑥 + 8
𝐴 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟒
𝐴 = 𝑥2 + 6𝑥 + 8
Factorización de 𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟖
(trinomio de forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐)
𝑥2 + 6𝑥+8
(x+ ) (x+ )
(x+2)(x+4)
La factorización consiste básicamente en descomponer o reescribir
una expresión algebraica en el producto de sus factores.

15. Casos de factorización
Los casos de factorización más empleados son:
 Factor común.
 factor común por agrupación de términos.
 Trinomios:
 Trinomio cuadrado perfecto.
 Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥+c.
 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+c.
 Diferencia de cuadrados.
 Diferencia y suma de cubos.

16. Factor común
 Para factorizar expresiones por factor común, se selecciona el
termino común con menor exponente dentro de la expresión
algebraica.
 Este se escribe como coeficiente de un paréntesis y dentro del
paréntesis se escribe el resultado de dividir dicha expresión por el
factor común, así:
5𝑥2 + 3𝑥2 − 4𝑥3
 Observando podemos evidenciar que 𝑥 se repite en los tres
términos de la expresión algebraica, ahora como debemos escoger
la de menor exponente dentro de la expresión elegimos 𝑥2.
𝑥2
( )
 Finalmente, escribimos entro del paréntesis la expresión que
resulta de dividir la expresión algebraica inicial en el factor
común.
𝑥2 5 + 3 − 4𝑥

17. Factor común por agrupación
 La factorización por agrupación
de términos consiste en agrupar
los términos o expresiones del
polinomio que tengan factores en
común.
 Después de agrupar los términos
en común, simplemente
podremos aplicar factor común a
cada uno de estos.
 Finalmente se debe factorizar el
termino común.
Ejemplo :
𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
Agrupar términos en común para factorizar.
𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
Factorizar por factor común cada uno de los
paréntesis.
𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑥 𝑎 − 𝑏
Factorizar el termino en común (términos de
los paréntesis).
𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒙

18. Trinomio del cuadrado perfecto
 Para identificar un trinomio de esta
forma, debemos analizar que el
coeficiente del primer y del tercer
termino tienen raíz cuadrada, y el
segundo coeficiente es el doble de
dichas raíces.
 Para resolverlo simplemente
escribimos en un paréntesis elevado al
cuadrado, la raíz del primer término
más la raíz del tercer termino.
Ejemplo:
4𝑥2
+ 12𝑥 + 9
Sacar la raíz cuadrada del primer término.
4𝑥2 = 2𝑥
Sacar la raíz cuadrada del tercer término.
9 = 3
Escribir el cuadrado de la suma de la raíz
del primero termino por la del tercero.
2𝑥 + 3 2

19. Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥+c.
 Sacar la raíz al primer término.
 Buscar dos números que multiplicados de como
resultado el tercer termino y sumados del segundo
término.
 Escribimos dos paréntesis y dentro de ellos colocamos
la raíz del primer término, o sea 𝑥 .
 Seguidamente en el primer paréntesis colocamos el
signo del segundo término y en el segundo paréntesis el
signo resultante del signo del segundo término por el
signo del tercer termino.
 Finalmente, escribimos en cada uno de los paréntesis
los números resultantes de la introspección
respectivamente.
Para factorizar trinomios de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 realizamos los
siguientes pasos:
Ejemplo:
𝑥2
+ 10𝑥 + 24
𝑥2 = 𝑥
6 × 4 = 24 6 + 4 = 10
𝒙 + 𝟔 𝒙 + 𝟒

20. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥+c.
Para factorizar un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
se deben seguir los siguientes pasos:
Primero multiplicar y dividir toda la expresión por
el coeficiente del primer término.
El primer término quedara elevado al cuadrado.
Multiplicar dicho coeficiente por el segundo termino
dejándolos simplemente indicado, entre paréntesis
junto con la incógnita y por el tercer termino si se
resuelve.
Se factoriza la expresión del numerador como si
fuera un trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Finalmente se elimina el divisor simplificando la
expresión, esta simplificación se debe hacer con uno
de los dos paréntesis del numerados.
Ejemplo:
3𝑎2 + 8𝑎 + 4
3 3𝑎2
+ 8𝑎 + 4
3
3𝑎 2 + 8 3𝑎 + 12
3
3𝑎 + 6 3𝑎 + 2
3
3𝑎 + 6 3𝑎 + 2
3
𝒂 + 𝟐 𝟑𝒂 + 𝟐

21. Diferencia de cuadrados.
 Hace referencia a la diferencia de dos
términos los cuales tiene raíz cuadrada
exacta.
 Para ello simplemente sacamos la raíz
cuadrada a cada uno de los términos .
 Abrimos dos paréntesis escribimos las
raíces de dichos términos y en el primer
paréntesis escribimos + en medio de dos
termino y en el segundo -.
Ejemplo:
𝑥2 − 16
𝑥2 = 𝑥
16 = 4
𝒙 + 𝟒 𝒙 − 𝟒

22. Diferencia y suma de cubos
Para cada uno de los dos casos se aplica la siguiente formula:
Suma de cubos:
𝑎3
+ 𝑏3
= 𝑎 + 𝑏 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejemplo:
27𝑥3 + 64
3𝑥 + 4 3𝑥 2 − 3𝑥 4 + 42
𝟑𝒙 + 𝟒 𝟗𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔
Diferencia de cubos:
𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejemplo:
125𝑥3 − 27
5𝑥 − 3 5𝑥 2 + 5𝑥 3 + 3 2
𝟓𝒙 − 𝟑 𝟐𝟓𝒙𝟐
+ 𝟏𝟓𝒙 + 𝟗

23. ¿Cómo resolver expresiones
algebraicas racionales?
Para resolver expresiones algebraicas racionales, se deben aplicar las operaciones y
procesos que se explicaron en las presentes diapositivas según corresponda bajo el análisis.
Operaciones de polinomios
o Suma y resta de polinomios.
o Multiplicación de polinomios.
o División de polinomios método sintético.
Productos notables
 Cuadrado de la suma de dos cantidades.
 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
 Diferencia de cuadrados.
Factorización
 Factor común
 Factor común por agrupación
 Trinomio al cuadrado perfecto.
 Trinomio de la forma 𝑥2+𝑏𝑥+c.
 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+c.
 Diferencia de cuadrados.
 Diferencia y suma de cubos.
En resumen, para resolver expresiones algebraicas, se realizan operaciones de
polinomios, se factoriza y se simplifica, según corresponda en cada caso.

24. Ejemplo de solución de expresión
algebraica racional.
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 3𝑦
∗
𝑥2 − 9𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
Factorizar diferencia de cuadrados perfectos.
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 3𝑦
∗
𝑥 + 3𝑦 𝑥 − 3𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦
Cancelación de términos semejantes.
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 3𝑦
∗
𝑥 + 3𝑦 𝑥 − 3𝑦
𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦
Solución del ejercicio.
𝒙 − 𝟑𝒚
(𝒙 + 𝒚)

25. Referencias bibliográficas
 López, C.(2020).OVI lenguaje algebraico. Bogotá D.C. Universidad
Nacional Abierta y a Distancia.
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117
 Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Bogotá D.C. Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. http://hdl.handle.net/10596/11601
 Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática
universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR:
Editorial Cyrano. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=1
 Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Bogotá D.C.: Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. http://hdl.handle.net/10596/7425