resoluciones de división de polinomios entre un binomio, método para factorizar un polinomio y solución de ecuaciones enteras

1. Regla de Ruffini
Esta regla permite dividir un polinomio entre un
binomio, factorizar un polinomio y resolver una
ecuación polinómica de mas de segundo grado.

2. Regla de Ruffini
Ejemplo: dado el polinomio p 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 8 dividido entre
𝑞 𝑥 = 𝑥 − 1
1 -7 14 -8
Si x-1 = 0 entonces -1 pasa al otro lado a +1+1
1
Copiamos los números sin letras
El primer numero lo bajamos siempre

3. Operaciones que se deben hacer
Multiplicamos +1 con el primer numero bajado y
Sumamos en la columna.
+1
1
Repetimos la multiplicación con el resultado de la
Columna siguiente
1 -7 14 -8
+1
-6

4. Operaciones que se deben hacer
Multiplicamos +1 con el primer numero bajado y
Sumamos en la columna.
+1
1
Repetimos la multiplicación con el resultado de la
Columna siguiente, sucesivamente hasta la ultima
Columna
1 -7 14 -8
+1
-6
-6
+8
+8

5. La ultima suma de las ultimas columnas será
el resto de la división .
+1
1
En este caso dio cero (0), correspondiendo a una
división exacta
1 -7 14 -8
+1
-6
-6
+8
+8
0

6. Escribimos los resultados
En este caso dio cero (0), correspondiendo a una división exacta y su resto o residuos:
1 -7 14 -8
+1 +1 -6 +8
+1 -6 +8 0 Con los valores obtenidos construir un polinomio
de un grado menos
𝑐 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8
R(x)= 0

7. Consideraciones finales
Si la pregunta es divide el polinomio p(x) entre q(x), se
realiza lo anterior y solo se escribe los polinomios cociente
c(x) y residuo r(x)
Si piden identificar todos los polinomios debes escribir:
Polinomio dividendo: p 𝑥 = 𝑥3
− 7𝑥2
+ 14𝑥 − 8
Divisor: 𝑞 𝑥 = 𝑥 − 1
Cociente o resultado: 𝑐 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8
Residuo: r(x)= 0

8. Ejemplo 2:divide el polinomio,
𝑝 𝑥 = 2𝑥4
+ 3𝑥2
− 12𝑥 + 3 entre 𝑞 𝑥 = 𝑥 + 3
halla la división y escribe todos los polinomios cociente y residuo
-3
2
2 0 3 -12 3
-6
-6
-6
-3
-9
-21
Primero ordenar el polinomio en forma decreciente p, completa con cero los términos
que falten: En este caso falta el 𝑥3 solamente: 2𝑥4 + 𝟎𝒙 𝟑 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 3 y proceder
como el caso 1. Con x+3, igualando a cero o ver donde se anula , es decir en -3. O
despeja de x+3=0 x= -3 del divisor .Y el -3 es el operador , pero bajamos el 2
63
66
Las columnas se suman
algebraicamente. Signos
iguales se suman,
diferentes se restan y se
coloca el mayor

9. Ahora se escribe la respuesta
-3
2
2 0 3 -12 3
-6
-6
-6
-3
-9
-21
63
66 Es el residuo: r(x)=66
Es el polinomio cociente con un grado menos:
c(x)= 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐-3x -21

10. Ahora RUFFINI para factorizar un polinomio. Par este caso el numero
entero que llame operador no se da, hay que buscarlo, por tanteo.
Una manera de facilitar es determinar los divisores del término
independiente ( el término sin letra). Recuerda factorizar es escribir
un polinomio en forma de varios productos de polinomios de menor
grado
Ejemplo. Factoriza 𝑝 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Los divisores de -2 son tanto positivos como negativos:
±1, ±2; es decir −1, −2, +1, +2 y se deben probar .
El objetivo es ver cual de estos anulan el polinomio.
Probare con +1.
Como esta completo el polinomio, escribimos sus coeficientes en forma
Decreciente.

11. 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 + 1 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜, para factorizar por primera vez
+1 + 2 − 1 − 2
+1 + 3 + 2
+1 + 3 + 2 0
+1
Da cero con +1, seguimos con los otros divisores de -2.
Y probamos -1
−1 − 2−1
+1 + 2 0
Da cero con -1, seguimos con los otros divisores de +2.
Y probamos -2. se pude saber que se hace cero en -2
veremos−2 − 2
+1 0 Da cero con -2, y vemos que quedo un solo numero +1.
como el polinomio es grado 3 debe haber 3 procesos y
terminamos

12. +1
−1
+1 0
+1 + 2 − 1 − 2
+1 + 3 + 2
+1 + 3 + 2 0
−1 − 2
+1 + 2 0
−2 − 2
(x-1)(𝑥2+3x+2) parcialmente se
factoriza
(x-1)(x+1)(x+2) parcialmente se
factoriza
(x-1)(x+1)(x+2) como solo queda 1
y 0 entonces ya es definitivo;
hasta acá termina

13. Respondiendo con la pregunta:
Aplicamos la forma : 𝒑(𝒙) = (𝒙 − 𝒓 𝟏)(𝒙 − 𝒓 𝟐)(𝒙 − 𝒓 𝟑)
Como el polinomio se hizo cero en -1, +1 y -2.
factorizamos:
𝑝 𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑝 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
Los números estudiados se cambia el signo para la factorización
y esto es importante porque esos números son las raíces o resultados de una
ecuación

14. Ejercicio 2. factoriza el polinomio: 6𝑥5
+ 19𝑥4
− 59𝑥3
− 160𝑥2
− 4𝑥 + 48
6 + 19 − 59 − 160 − 4 + 48
−2 − 12 − 14 + 146 + 28 − 48
6 + 7 − 73 − 14 + 24 0
En este paso podemos aplicar la fórmula de
ecuación de 2° grado, ya nos va quedado:
+3 + 18 + 75 + 6 − 24
6 + 25 + 2 − 8 0
−4 − 24 − 4 + 8
6 + 1 − 2 0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(6𝑥2
+ 𝑥 − 2)
Divisores de 48:
{±2, ±3 ± 4 ± 6 ± 12 ± 16 ± 24 ± 48}
Probar con el método hasta que de cero,
Para ahorrar tiempo empecemos con -2, +3,
-4
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

15. 6𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎 = +6; 𝑏 = +1 𝑐 = −2
𝑥 =
−1 ± 12 − 4 ∗ 6 ∗ (−2)
2 ∗ 6
𝑥 =
−1 ± 1 + 48
12
𝑥 =
−1 ± 49
12
𝑥 =
−1 ± 7
12
𝑥1 =
−1+7
12
=
6
12
=
1
2
𝑥2 =
−1−7
12
=
−8
12
= −
2
3
Respondiendo escribiendo queda:
= 𝑥 + 2 (𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(𝑥 −
1
2
)(𝑥 +
2
3
)6𝑥5
+ 19𝑥4
− 59𝑥3
− 160𝑥2
− 4𝑥 + 48
→ 𝑥 −
1
2
→ 𝑥 +
2
3