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1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS<br /> <br />Para factorizar polinomios hay varios métodos:<br /> <br />Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:<br /> <br /> <br />Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que<br /> <br /> <br />Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será<br /> <br />donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18<br />Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.<br /> <br />Otro ejemplo: Factorizar <br /> <br /> ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.<br />Sin embargo si efectúo <br /> <br />Otros ejemplos:<br /> <br /> <br />Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.<br />Se basa en la siguiente fórmula<br /> <br /> <br />Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo<br /> <br />Otros ejemplos de factorización por este método:<br /> <br /> <br />Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio<br />Se basa en las siguientes fórmulas<br /> <br /> y <br /> <br />Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que<br /> <br /> <br />Otros ejemplos de factorización por este método:<br /> <br /> <br />Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo<br />, siendo a, b y c números<br /> <br />Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula: <br /> <br />Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio <br />Igualamos a cero <br />Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2<br /> <br /> <br />Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.<br /> <br />Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:<br /> <br /> <br />Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini<br /> <br />Ejemplo: Factorizar <br />Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12<br /> <br />Probemos con uno<br />Se copian los coeficientes del polinomio:<br /> <br />1-4-116-12<br /> <br /> <br />Y se escribe en una segunda línea el número uno<br /> <br /> <br /> 1-4-116-121 <br /> <br />El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea<br /> <br /> 1-4-116-121 1 <br /> <br />Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4<br /> <br /> 1-4-116-121 1 1 <br />Se suma –4+1=-3<br /> <br /> 1-4-116-121 1 1-3 <br />Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1<br /> <br /> <br /> 1-4-116-121 1-3 1-3 <br />Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente<br /> <br /> 1-4-116-121 1-3-412 1-3-4120<br />Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.<br />Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.<br />Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.<br />Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que<br />Dividendo=Divisor x Cociente+Resto<br /> <br />==<br /> <br />De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.<br />Aplicando sucesivas veces esta regla queda:<br /> <br /> 1-4-116-121 1-3-412 1-3-41202 2-2-12 1-1-60 -2 -26 1-30 <br /> <br />Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3<br />La factorización final es:<br /> <br />= <br /> <br />Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.<br /> <br />EN RESUMEN<br /> <br />Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.<br /> <br /> <br /> <br /> <br />EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios<br /> <br />1.- <br />Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común<br />El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:<br />=<br /> <br />2.- <br />Primero sacamos factor común: <br />Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: = <br />Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:<br />=<br />El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda <br /> que no tiene solución real.<br /> <br />3.- <br /> <br />Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini:<br /> <br /> 1-1241-301 1-1130 1-113005 5-30 1-60 <br /> <br />=<br /> <br />4.- <br /> <br />Primero sacamos factor común<br /> <br />=<br />Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación: que origina dos soluciones, -3 y –2, por tanto la factorización completa es:<br />=<br /> <br />Completando el cuadrado - PARTE 1<br /> <br />SE CONSIDERA LA ECUACION CUADRATICA DE LA FORMA: ax2 + bx + c = 0 para a = 1.<br /> <br />La idea con este método es ajustar el lado derecho de la ecuación de manera que se convierta en un cuadrado perfecto.<br /> <br />Ejemplos de cuadrados perfectos:<br /> <br /> x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2<br /> <br /> x2 + 10x + 25 = ( x + 5 )2<br /> <br /> a2 - 2a + 1 = ( x -1 )2<br /> <br /> <br />Observa los ejemplos de arriba :<br /> <br /> <br />EjemplosTérmino cuadráticoTérmino lineal cuadráticaTérmino constante cuadráticaEjemplo 11- 69Ejemplo 211025Ejemplo 31- 21<br /> <br /> <br /> <br />EjemplosTérmino lineal de la cuadráticaTérmino constante del binomioRelaciónEjemplo 1- 6- 3El término lineal de la cuadrática es elDOBLE del término constante del binomioEjemplo 2105Ejemplo 3- 2-1<br /> <br /> <br />EjemplosTérmino contante de la cuadráticaTérmino constante del binomioRelaciónEjemplo 19- 3El término constante de la cuadrática es elCUADRADO del término constante del binomioEjemplo 2255Ejemplo 31-1<br /> <br /> <br />Luego de lo que haz observado completa cada expresión para obtener un cuadrado perfecto:<br /> <br /> <br /> <br />Pasos para completar el cuadrado:<br /> <br /> identifica los parámetros de la cuadrática: a, b, c<br /> observa si el coeficiente principal (del término cuadrático) es a =1<br /> despeja el término constante c<br /> suma a cada lado ( el cuadrado de la mitad de b )<br /> el cuadrado perfecto es (completas el binomio con la raíz de x y la mitad de b)<br /> <br /> despeja para la variable dependiente ( p(x) )<br /> <br />Ejemplo 1:<br /> <br /> P(x) = x2 - 6x + 1 <br /> <br /> a = 1, b = -6, c = 1 (parámetros)<br /> <br /> P(x) -1 = x2 - 6x (despeja la constante)<br /> <br /> P(x) - 1 + = x2 - 6x + (suma a cada lado )<br /> <br /> P(x) - 1 + 9 = (completas el binomio con la raíz de x y la mitad de b) (simplifica lado izquierdo)<br /> <br /> P(x) + 8 = ( x - 3 ) 2 (simplificando la expresión tienes el cuadrado perfecto)<br /> <br /> P(x) = ( x - 3 ) 2 - 8 (despeja P(x), la variable dependiente)<br /> <br /> <br />Fíjate que se ha re-escrito la cuadrática de forma general en forma de una transformación:<br /> <br /> GENERAL: P(x) = x2 - 6x + 1 TRANSFORMACION: P(x) = ( x - 3 ) 2 – 8. <br /> <br />Ahora puedes reconocer la transformación.<br /> <br />TRASLACIÓN DERECHA 3 UNIDADES Y ABAJO 8 UNIDADES. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />Ejemplo 2:<br /> <br /> <br /> G(a) = a2 + 10a + 2<br /> <br /> a = 1, b = 10, c = 2<br /> <br /> G(a) - 2 = a2 + 10a<br /> <br /> G(a) -2 + 25 = ( a + 5 )2<br /> G(a) + 23 = ( a + 5 )2<br /> G(a) = ( a + 5 )2 - 23<br /> <br />TRASLACIÓN IZQUIERDA 5 UNIDADES Y ABAJO 23 UNIDADES <br />Transformación:<br /> <br /> <br /> <br />Practica los siguientes:<br /> <br /> f(x) = x2 + 5x - 4<br /> g(x) = x2 - x - 12<br />Ecuaciones Cuadráticas – Factorización<br />Por: Melissa Murrias Revisado por: Dra. Luz M. Rivera <br /> Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. <br />Ejemplo:<br />9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10<br />3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0<br />-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 <br />Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: <br />1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática <br />Factorización Simple:<br /> La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. <br />Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación<br /> x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 <br />(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2] <br />( x + ) (x - ) = 0<br /> <br />(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2<br /> 4 · -2 = -8 <br />x + 4 = 0 x – 2 = 0 <br />x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones. <br />Completando el Cuadrado:<br /> En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: <br />4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4<br /> <br />x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. <br />Ejemplo:<br />x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]<br />x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] <br />x2 + 2x + 1 = 8 + 1<br />x2 + 2x + 1 = 9<br />( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. <br />( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9(x + 1) = ± <br /> <br />x + 1 = ± 3<br />x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]<br />x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4 <br />Fórmula Cuadrática:<br /> Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: <br />Ejemplo:<br />X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 <br /> <br />x = -2 ± 6 2<br />X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 <br /> x = 4 x = -8 2 2<br />x = 2 x = - 4 <br />