Qdoc.tips proyecto se-matematicas-6-unidad-1

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PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
En esta unidad...
En esta unidad...
Identificarás
Identificarás los
los conceptos
conceptos de
de las
las propo-
propo-
siciones
siciones y
y los
los conectores lógicos
conectores lógicos, desa-
, desa-
rrollando el pensamiento crítico y analíti-
rrollando el pensamiento crítico y analíti-
co para
co para interpretar diferentes conjeturas,
interpretar diferentes conjeturas,
dando razones propias.
dando razones propias.
Comprenderás
Comprenderás las
las características y pro-
características y pro-
piedades de los conjuntos
piedades de los conjuntos, manejando
, manejando
las relaciones y operaciones entre ellos
las relaciones y operaciones entre ellos
en la resolución de problemas de la vida
en la resolución de problemas de la vida
cotidiana.
cotidiana.
Entenderás
Entenderás la
la importancia
importancia de
de los
los diferen-
diferen-
tes sistemas de numeración
tes sistemas de numeración a través de
a través de
la historia y su relación con el
la historia y su relación con el sistema
sistema
numérico decimal
numérico decimal utilizado en la actua-
utilizado en la actua-
lidad, dando ejemplos de aplicación y re-
lidad, dando ejemplos de aplicación y re-
solviendo situaciones cotidianas.
solviendo situaciones cotidianas.
Saberes previos
Saberes previos
Cada vez que se identifica la característica común de una colección
Cada vez que se identifica la característica común de una colección
de objetos, se está utilizando la noción intuitiva de conjunto.
de objetos, se está utilizando la noción intuitiva de conjunto.
Por ejemplo, la taxonomía sistemática es la disciplina biológica que
Por ejemplo, la taxonomía sistemática es la disciplina biológica que
se encarga del estudio científico de las clases y diversidad de los
se encarga del estudio científico de las clases y diversidad de los
organismos y de todas las relaciones entre ellos. De este modo, el
organismos y de todas las relaciones entre ellos. De este modo, el
estudio de las características de los seres vivos ha permitido es-
estudio de las características de los seres vivos ha permitido es-
tablecer que se agrupan en cinco grandes reinos: animal, vegetal,
tablecer que se agrupan en cinco grandes reinos: animal, vegetal,
mónera, protista y fungi.
mónera, protista y fungi.
Lógica y conjuntos.
Lógica y conjuntos.
Sistemas de
Sistemas de
numeración
numeración
Pensamiento numérico
Pensamiento numérico

11
11
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Educación en valores
Educación en valores
Tolerancia
Tolerancia
Es posible que conozcas personas que utilizan otro
Es posible que conozcas personas que utilizan otro
tipo de lógica para resolver con éxito problemas que
tipo de lógica para resolver con éxito problemas que
también solucionas exitosamente a tu manera.
también solucionas exitosamente a tu manera.

 Supón que debes trabajar con una persona con es-
Supón que debes trabajar con una persona con es-
tas características y esta quiere imponer sus ideas
tas características y esta quiere imponer sus ideas
sobre las de los demás. ¿Cuál es tu actitud frente a
sobre las de los demás. ¿Cuál es tu actitud frente a
este comportamiento?
este comportamiento?
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
Muchas características, muchas especies
Muchas características, muchas especies
Colombia es el segundo país más rico en especies del
Colombia es el segundo país más rico en especies del
mundo, después de Brasil. La primera gran riqueza del
mundo, después de Brasil. La primera gran riqueza del
país es
país es la flora,
la flora, ya que
ya que Colombia posee entre
Colombia posee entre 45
45000 y
000 y
55
55000 especies de plantas, de
000 especies de plantas, de las cuales se
las cuales se destacan las
destacan las
orquídeas, representadas en cerca
orquídeas, representadas en cerca de 3
de 3500 especies. En
500 especies. En
cuanto a vertebrados terrestres, Colombia ocupa el ter-
cuanto a vertebrados terrestres, Colombia ocupa el ter-
cer
cer lugar
lugar,
, con 2
con 2 890 especies,
890 especies, de la
de las
s cuales 1
cuales 1 721 son
721 son
aves, 358 mamíferos y 517 anfibios.
aves, 358 mamíferos y 517 anfibios.
Así
Así como
como existe
existe diversidad de
diversidad de fauna
fauna y
y flora,
flora, la
la lista
lista de
de
plantas amenazadas en Colombia abarca cerca de 1 000
plantas amenazadas en Colombia abarca cerca de 1 000
especies y en ella, uno de los
especies y en ella, uno de los grupos más amenazados lo
grupos más amenazados lo
constituye, precisamente, el de las orquídeas.
constituye, precisamente, el de las orquídeas.
En cuanto a los
En cuanto a los animales, se encuentran en gran peligro
animales, se encuentran en gran peligro
89 especies de mamíferos, 133 de aves, 20 de reptiles
89 especies de mamíferos, 133 de aves, 20 de reptiles
y
y 8
8 de
de peces, según
peces, según datos
datos de
de la
la Unión Mundial
Unión Mundial para
para la
la
Conservación.
Conservación. Encuentra más información acerca del tema
Encuentra más información acerca del tema
en
en www.e-sm.net/6mt01
www.e-sm.net/6mt01
Actividades
Actividades
I.
I. De acuerdo con la lectura inicial, las aves, los mamífe-
De acuerdo con la lectura inicial, las aves, los mamífe-
ros y los anfibios son especies de vertebrados terrestres.
ros y los anfibios son especies de vertebrados terrestres.
Nombra una característica de cada una de estas especies.
Nombra una característica de cada una de estas especies.
¿Cómo distingues un ave de un mamífero y de un anfibio?
¿Cómo distingues un ave de un mamífero y de un anfibio?
II.
II. Ingresa a la página
Ingresa a la página www.e-sm.net/6mt02
www.e-sm.net/6mt02 analiza la infor-
analiza la infor-
mación que allí encuentras y determina el valor de verdad
mación que allí encuentras y determina el valor de verdad
de las
de las siguientes afirmaciones.
siguientes afirmaciones.
a)
a) Todo vertebrado es a la vez invertebrado.
Todo vertebrado es a la vez invertebrado.
b)
b) Los reptiles son a la vez vertebrados.
Los reptiles son a la vez vertebrados.
c)
c) Todo vertebrado es a la vez un reptil.
Todo vertebrado es a la vez un reptil.
d)
d) No hay un animal que a la vez sea vertebrado e inverte-
No hay un animal que a la vez sea vertebrado e inverte-
brado.
brado.
III.
III. Investiga acerca de las características del reino vegetal y
Investiga acerca de las características del reino vegetal y
nombra cinco especies que pertenezcan a este reino. Dis-
nombra cinco especies que pertenezcan a este reino. Dis-
cute tus respuestas con un compañero o compañera de
cute tus respuestas con un compañero o compañera de
curso.
curso.

12
12
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Ten en cuenta
Ten en cuenta
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
CTIVIDADES PROPUESTAS
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
PENSAMIENTO NUMÉRICO
NUMÉRICO
Tabla 1.1
Tabla 1.1
1
1 Proposiciones simples
Proposiciones simples
Una
Una proposición simple
proposición simple es una oración o expresión de la que se puede decir
es una oración o expresión de la que se puede decir
si es verdadera o falsa, pero no las dos al mismo tiempo.
si es verdadera o falsa, pero no las dos al mismo tiempo.
Ejemplo 1
Ejemplo 1 Los
Los siguientes
siguientes son
son algunos
algunos ejemplos
ejemplos de
de proposiciones
proposiciones simples:
simples:
• Bogotá es la capital de Colombia.
• Bogotá es la capital de Colombia.
•
• 2
2 �
� 8
8 �
� 11
11
• El cielo es azul.
• El cielo es azul.
• Juan Valdéz es una tienda colombiana de café.
• Juan Valdéz es una tienda colombiana de café.
Las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas como:
Las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas como: p
p,
, q
q
,
,
r
r
,
, s
s
,
, t
t
, etc., y su
, etc., y su valor de verdad
valor de verdad se nota mediante V, si es verdadera o F,
se nota mediante V, si es verdadera o F,
si es falsa.
si es falsa.
Ejemplo 2
Ejemplo 2 Observa
Observa los
los valores
valores de
de verdad
verdad de
de estas
estas proposiciones.
proposiciones.
p
p: Los perros son animales cuadrúpedos
: Los perros son animales cuadrúpedos �
�V
V�
�
q
q
: Brasil es un país europeo
: Brasil es un país europeo �
�F
F�
�
r
r
: 18
: 18 �
� 2
2 �
� 36
36 �
�V
V�
�
s
s
: Leo Messi es un jugador de fútbol de Perú
: Leo Messi es un jugador de fútbol de Perú �
�F
F�
�
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
1.
1. Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no una proposición simple.
Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no una proposición simple.
a) Los
a) Los buses
buses articulados
articulados del
del transmilenio
transmilenio son
son de
de color
color amarillo
amarillo
b)
b) ¿Qué
¿Qué hora
hora es?
es? c)
c) 18
18 �
� 5
5 �
� 3
3 �
� 20
20 d)
d) ¡Por
¡Por fin
fin llegaste!
llegaste!
Solución:
Solución:
Las expresiones a y c son proposiciones simples, porque se puede determinar si son verdaderas
Las expresiones a y c son proposiciones simples, porque se puede determinar si son verdaderas
o falsas, mientras que no se puede hacer lo mismo con las expresiones b y d.
o falsas, mientras que no se puede hacer lo mismo con las expresiones b y d.
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
2.
2. Indica cuáles de las siguientes expresiones
Indica cuáles de las siguientes expresiones
son proposiciones simples.
son proposiciones simples.
a) Mañana comienza el invierno
a) Mañana comienza el invierno
b)
b) 14
14 �
� 23
23 �
� 35
35
c) Al
c) Al sumar
sumar dos
dos números
números naturales,
naturales, el
el resul-
resul-
tado obtenido es otro número natural
tado obtenido es otro número natural
d)
d) Caracas
Caracas es
es la
la capital
capital de
de Venezuela
Venezuela
e)
e) ¿Pablo
¿Pablo Rodríguez
Rodríguez es
es mexicano?
mexicano?
f)
f) Un
Un cuadrado
cuadrado es
es una
una figura
figura geométrica
geométrica que
que
consta de cuatro lados
consta de cuatro lados
g)
g) ¡Salga
¡Salga rápido!
rápido!
h) Dos,
h) Dos, cuatro,
cuatro, seis
seis y
y ocho
ocho son
son números
números pares
pares
i)
i) La
La Tierra
Tierra gira
gira alrededor
alrededor del
del Sol
Sol
j) Cuidado
j) Cuidado con
con el
el perro
perro
k)
k) ¿Cuándo
¿Cuándo regresó?
regresó?
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
3.
3. Copia la tabla 1.1 y complétala marcando
Copia la tabla 1.1 y complétala marcando
donde corresponda.
donde corresponda.
P
PROPOSICIÓN
ROPOSICIÓN V
V F
F
Hoy es 7 de octubre
Hoy es 7 de octubre
El sistema solar está compuesto por ocho
El sistema solar está compuesto por ocho
planetas
planetas
5
5 �
� 8
8 �
� 40
40
6
6 
 17
17
Los números pares son divisibles por 2
Los números pares son divisibles por 2
Gabriel García Márquez es cantante
Gabriel García Márquez es cantante
No todos los
No todos los números primos son impares
números primos son impares
La capital de Francia es Londres
La capital de Francia es Londres
256
256 �
� 124
124 �
� 380
380
1 es un número natural
1 es un número natural
No son consideradas pro-
No son consideradas pro-
posiciones simples todas
posiciones simples todas
las preguntas, exclama-
las preguntas, exclama-
ciones o expresiones que
ciones o expresiones que
no se encuentren com-
no se encuentren com-
pletas. Por ejemplo,
pletas. Por ejemplo,
¿Qué día es hoy?
¿Qué día es hoy?
¡Hola!
¡Hola!
Juan tiene...
Juan tiene...
• Más actividades en la página 28, numeral 49.

13
13
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
2
2 Negació
Negación de
n de proposiciones simples
proposiciones simples
Si
Si p
p es una proposición simple, entonces
es una proposición simple, entonces la negación de
la negación de p
p
denotada por
denotada por �
�p
p
(que se lee “no
(que se lee “no p
p”), es otra proposición cuyo valor de verdad es opuesto al de
”), es otra proposición cuyo valor de verdad es opuesto al de
p
p. Es decir, si
. Es decir, si p
p es verdadera,
es verdadera, �
�p
p es falsa y si
es falsa y si p
p es falsa,
es falsa, �
�p
p es verdadera.
es verdadera.
Ejemplo 3
Ejemplo 3 Sean
Sean las
las proposiciones
proposiciones simples:
simples:
p
p: La Tierra es plana
: La Tierra es plana
q
q
: 18 es divisible por 3
: 18 es divisible por 3
r
r
: 21 es un número primo
: 21 es un número primo
s
s
: El primer día de la semana es el lunes
: El primer día de la semana es el lunes
Entonces, las negaciones de
Entonces, las negaciones de p
p,
, q
q
,
, r
r y
y s
s
son respectivamente:
son respectivamente:
�
�p
p:
: No es cierto que
No es cierto que la Tierra es plana, o también,
la Tierra es plana, o también,
�
�p
p: La Tierra
: La Tierra no
no es plana
es plana
�
�q
q
:
: No es cierto que
No es cierto que 18 es divisible por 3, o también,
18 es divisible por 3, o también,
�
�q
q
: 18
: 18 no
no es divisible por 3
es divisible por 3
�
�r
r
:
: No es cierto que
No es cierto que 21 es un número primo, o también,
21 es un número primo, o también,
�
�p
p: 21
: 21 no
no es un número primo
es un número primo
�
�s
s
:
: No es cierto que
No es cierto que el primer día de la semana es el lunes, o también,
el primer día de la semana es el lunes, o también,
�
�s
s
: El primer día de la semana
: El primer día de la semana no
no es el lunes
es el lunes
Se observa además, que la proposición
Se observa además, que la proposición p
p es falsa (F), dado que, se conoce
es falsa (F), dado que, se conoce
con certeza, que el planeta Tierra tiene forma esférica curvada, mientras
con certeza, que el planeta Tierra tiene forma esférica curvada, mientras
que su negación
que su negación �
�p
p es verdadera (V).
es verdadera (V).
Con un análisis semejante se deduce que,
Con un análisis semejante se deduce que, q
q
es V y
es V y �
�q
q
es F;
es F; r
r
es F y
es F y �
�r
r es
es
V;
V; s
s
es V y
es V y �
�s
s
es F.
es F.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
4.
4. Niega la proposición
Niega la proposición r
r
: California es uno de los estados de Estados Unidos, de dos formas diferentes.
: California es uno de los estados de Estados Unidos, de dos formas diferentes.
Solución:
Solución:
�
�r
r
: California no es uno de los estados de Estados Unidos.
: California no es uno de los estados de Estados Unidos.
�
�r
r
: No es cierto que California es uno de los estados de Estados Unidos.
: No es cierto que California es uno de los estados de Estados Unidos.
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
5.
5. Simboliza las siguientes proposiciones.
Simboliza las siguientes proposiciones.
Luego, escribe la negación de cada una.
Luego, escribe la negación de cada una.
a) La
a) La bandera
bandera de
de Colombia
Colombia tiene
tiene cinco
cinco colores
colores
b)
b) 8
8 �
� 36
36 �
� 20
20 �
� 15
15
c)
c) El
El producto
producto de
de dos
dos números
números naturales
naturales es
es
otro número natural
otro número natural
d)
d) Un
Un metro
metro tiene
tiene 98
98 cm
cm
e)
e) El conjunto de los números naturales es finito
El conjunto de los números naturales es finito
f)
f) Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos interiores
Un cuadrilátero tiene cuatro ángulos interiores
g) Juanes es un cantante mexicano
g) Juanes es un cantante mexicano
h)
h) El
El año
año terrestre
terrestre equivale
equivale a
a doce
doce meses
meses
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
6.
6. Determina el valor de verdad de cada pro-
Determina el valor de verdad de cada pro-
posición y de su negación.
posición y de su negación.
a)
a) La
La suma
suma de
de dos
dos números
números pares
pares es
es otro
otro número
número
par
par
b)
b) Los
Los animales
animales carnívoros
carnívoros se
se alimentan
alimentan ex-
ex-
clusivamente de las plantas
clusivamente de las plantas
c) Las
c) Las ballenas
ballenas son
son los
los mamíferos
mamíferos más
más grandes
grandes
del mundo
del mundo
d)
d) Los
Los lápices
lápices y
y los
los cuadernos
cuadernos son
son elementos
elementos
empleados para cocinar
empleados para cocinar
e)
e) 136
136 es
es múltiplo
múltiplo de
de 4
4
M
MODELACIÓN
ODELACIÓN
7.
7. Consulta en qué consiste una tabla de verdad y
Consulta en qué consiste una tabla de verdad y
construye la tabla de verdad para la negación.
construye la tabla de verdad para la negación.
La lógica es la rama
La lógica es la rama
del conocimiento que
del conocimiento que
trata los métodos de
trata los métodos de
razonamiento median-
razonamiento median-
te una serie de reglas
te una serie de reglas
y técnicas, para deter-
y técnicas, para deter-
minar si un argumento
minar si un argumento
es válido o no.
es válido o no.

14
14
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Tabla 1.3
Tabla 1.3
Tabla 1.2
Tabla 1.2
[
[www.redes-sm.net
www.redes-sm.net
Proposiciones compuestas
Proposiciones compuestas
Se denominan
Se denominan proposiciones compuestas
proposiciones compuestas a aquellas conformadas por dos o
a aquellas conformadas por dos o
más proposiciones simples. En una proposición compuesta, las proposiciones
más proposiciones simples. En una proposición compuesta, las proposiciones
simples se combinan mediante las expresiones
simples se combinan mediante las expresiones y
y
,
, o
o,
, si ...entonces
si ...entonces
, o
, o si y sólo
si y sólo
si
si
, denominadas
, denominadas conectivos lógicos
conectivos lógicos.
.
Ejemplo 4
Ejemplo 4 Las
Las siguientes
siguientes son
son proposiciones
proposiciones compuestas.
compuestas.
r
r
:
: 2
2 �
� 2
2 �
� 4
4 y
y Argentina es un país suramericano
Argentina es un país suramericano
s
s
: Tres es un número par
: Tres es un número par o
o siete es un número primo
siete es un número primo
t
t
: Alberto ganó la lotería,
: Alberto ganó la lotería, entonces
entonces es millonario
es millonario
v
v
: Un triángulo es equilátero
: Un triángulo es equilátero si y solamente si
si y solamente si todos sus lados tienen la
todos sus lados tienen la
misma medida
misma medida
Conjunción
Conjunción
La
La conjunción
conjunción es una proposición compuesta que resulta de combinar dos
es una proposición compuesta que resulta de combinar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico
proposiciones simples mediante el conectivo lógico y
y
. Esta proposición es
. Esta proposición es
denotada por
denotada por p
p ∧
∧ q
q
y se lee “
y se lee “p
p y
y q
q
”.
”.
p
p ∧
∧ q
q
es verdadera únicamente cuando las proposiciones
es verdadera únicamente cuando las proposiciones p
p y
y q
q
son ambas
son ambas
verdaderas. Por tanto, si al menos una de las proposiciones que la conforman
verdaderas. Por tanto, si al menos una de las proposiciones que la conforman
es falsa, el valor de verdad de la conjunción es falso (tabla 1.2).
es falsa, el valor de verdad de la conjunción es falso (tabla 1.2).
Ejemplo 5
Ejemplo 5 En
En la
la proposición
proposición compuesta
compuesta “3
“3 es
es un
un número
número impar
impar y
y 10
10 es
es
divisible por 2” se identifican las proposiciones simples
divisible por 2” se identifican las proposiciones simples p
p: 3 es un número
: 3 es un número
impar y
impar y q
q
: 10 es divisible por 2, las cuales forman la conjunción
: 10 es divisible por 2, las cuales forman la conjunción p
p ∧
∧ q
q
.
.
En este caso, se puede verificar que tanto
En este caso, se puede verificar que tanto p
p como
como q
q
son verdaderas, por
son verdaderas, por
tanto,
tanto, p
p ∧
∧ q
q
es verdadera.
es verdadera.
Disyunción
Disyunción
La
La disyunción
disyunción es una proposición compuesta que resulta de combinar dos
es una proposición compuesta que resulta de combinar dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico
proposiciones simples mediante el conectivo lógico o
o. La disyunción de las
. La disyunción de las
proposiciones simples
proposiciones simples p
p y
y q
q
se simboliza con
se simboliza con p
p ∨
∨ q
q
y se lee “
y se lee “p
p o
o q
q
”.
”.
La proposición
La proposición p
p ∨
∨ q
q
es verdadera cuando al menos una de las dos proposi-
es verdadera cuando al menos una de las dos proposi-
ciones
ciones p
p o
o q
q
es verdadera. Es decir, la disyunción solamente es falsa si las
es verdadera. Es decir, la disyunción solamente es falsa si las
dos proposiciones son falsas simultáneamente.
dos proposiciones son falsas simultáneamente.
Ejemplo 6
Ejemplo 6 Considera
Considera el
el siguiente
siguiente análisis:
análisis:
Dadas las proposiciones
Dadas las proposiciones p
p: La Luna es un satélite natural de la Tierra y
: La Luna es un satélite natural de la Tierra y q
q
:
:
9
9 �
� 12
12 �
� 100, entonces
100, entonces p
p ∨
∨ q
q
será la siguiente disyunción:
será la siguiente disyunción:
“La Luna es un satélite natural de la Tierra o 9
“La Luna es un satélite natural de la Tierra o 9 �
� 12
12 �
� 100”.
100”.
Observa que
Observa que p
p es verdadera y que
es verdadera y que q
q
es falsa, por tanto,
es falsa, por tanto, p
p ∨
∨ q
q
es verdadera
es verdadera
ya que basta con que una de las proposiciones sea verdadera, para que la
ya que basta con que una de las proposiciones sea verdadera, para que la
disyunción también lo sea. Esto se verifica en la tabla 1.3.
disyunción también lo sea. Esto se verifica en la tabla 1.3.
El arreglo que permite co-
El arreglo que permite co-
nocer todos los posibles
nocer todos los posibles
valores de verdad de una
valores de verdad de una
proposición compuesta a
proposición compuesta a
partir de los valores de
partir de los valores de
verdad de las proposicio-
verdad de las proposicio-
nes componentes se lla-
nes componentes se lla-
ma
ma tabla de verdad
tabla de verdad. Así
. Así
la tabla de verdad de la
la tabla de verdad de la
conjunción está dada por:
conjunción está dada por:
T
TABLA
ABLA DE
DE VERDAD
VERDAD DE
DE LA
LA
CONJUNCIÓN
CONJUNCIÓN
p
p q
q p
p ∧
∧ q
q
V
V V
V V
V
V
V F
F F
F
F
F V
V F
F
F
F F
F F
F
y la tabla de verdad de la
y la tabla de verdad de la
disyunción está dada por:
disyunción está dada por:
T
TABLA
ABLA DE
DE VERDAD
VERDAD DE
DE LA
LA
DISYUNCIÓN
DISYUNCIÓN
p
p q
q p
p ∨
∨ q
q
V
V V
V V
V
V
V F
F V
V
F
F V
V V
V
F
F F
F F
F
3
3
C
COMPLEMENTA
OMPLEMENTA TUS
TUS CONOCIMIEN
CONOCIMIEN-
-
TOS
TOS EN
EN NUESTRO
NUESTRO SITIO
SITIO WEB
WEB.
.

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PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Tabla 1.4
Tabla 1.4
Tabla 1.5
Tabla 1.5
Implicación
Implicación
La
La implicación
implicación o
o condicional
condicional es la proposición compuesta que resulta
es la proposición compuesta que resulta
de combinar dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico
de combinar dos proposiciones simples mediante el conectivo lógico si...
si...
entonces...
entonces... La proposición compuesta si
La proposición compuesta si p
p, entonces
, entonces q
q
se simboliza como
se simboliza como
p
p →
→ q
q
,
, p
p recibe el nombre de
recibe el nombre de antecedente
antecedente y
y q
q
,
, consecuente
consecuente.
.
En general, la proposición
En general, la proposición p
p →
→ q
q
es falsa solamente cuando
es falsa solamente cuando p
p es verdadera y
es verdadera y q
q
es falsa. En todos los demás casos, la implicación será verdadera (tabla 1.4).
es falsa. En todos los demás casos, la implicación será verdadera (tabla 1.4).
Ejemplo 7
Ejemplo 7 En
En la
la proposición
proposición “si 8
“si 8 y
y 22
22 son
son números
números impares,
impares, entonces
entonces
15 y 20 son números primos”, se identifican las componentes
15 y 20 son números primos”, se identifican las componentes p
p: 8 y 22 son
: 8 y 22 son
números impares y
números impares y q
q
: 15 y 20 son números primos.Tanto
: 15 y 20 son números primos.Tanto p
p como
como q
q
son
son
falsas, de modo que
falsas, de modo que p
p →
→ q
q
es verdadera.
es verdadera.
Equivalencia
Equivalencia
La
La equivalencia
equivalencia o
o bicondicional
bicondicional es la proposición compuesta que resulta de
es la proposición compuesta que resulta de
combinar dos proposiciones mediante el conectivo lógico
combinar dos proposiciones mediante el conectivo lógico si y solamente si.
si y solamente si.
La equivalencia de las proposiciones simples
La equivalencia de las proposiciones simples p
p y
y q
q
se simboliza con
se simboliza con p
p ↔
↔ q
q
y se lee “
y se lee “p
p si y sólo si
si y sólo si q
q
”.
”.
p
p ↔
↔ q
q
es verdadera cuando
es verdadera cuando p
p y
y q
q
son ambas verdaderas o ambas falsas. En todos
son ambas verdaderas o ambas falsas. En todos
los demás casos, la equivalencia será falsa, como se verifica en la tabla 1.5.
los demás casos, la equivalencia será falsa, como se verifica en la tabla 1.5.
Ejemplo 8
Ejemplo 8 Dada
Dada la proposición
la proposición “15 es
“15 es divisible por
divisible por 3 si
3 si y sólo
y sólo si 3
si 3 es un
es un
número par”, se pueden identificar sus componentes como
número par”, se pueden identificar sus componentes como p
p: 15 es divisible
: 15 es divisible
por 3 y
por 3 y q
q
: 3 es un número par.
: 3 es un número par.
Se observa que
Se observa que p
p es verdadera y
es verdadera y q
q
es falsa, por tanto
es falsa, por tanto p
p ↔
↔ q
q
es falsa, ya que
es falsa, ya que
las proposiciones componentes tienen diferente valor de verdad.
las proposiciones componentes tienen diferente valor de verdad.
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
8.
8. Determina el valor de verdad de la proposición “4 es divisible por 2 si y solamente si 4 es un
Determina el valor de verdad de la proposición “4 es divisible por 2 si y solamente si 4 es un
número par”.
número par”.
Solución:
Solución:
Como
Como p
p: 4 es divisible por 2 y
: 4 es divisible por 2 y q
q
: 4 es un número par son proposiciones verdaderas, se cumple que
: 4 es un número par son proposiciones verdaderas, se cumple que
p
p ↔
↔ q
q
es verdadera.
es verdadera.
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
9.
9. Escribe la proposición compuesta represen-
Escribe la proposición compuesta represen-
tada en cada caso, si sabes que:
tada en cada caso, si sabes que:
p
p: Un hexágono tiene seis lados, y
: Un hexágono tiene seis lados, y
q
q
: México está en Suramérica.
: México está en Suramérica.
a)
a) p
p ∧
∧ q
q b)
b) p
p →
→ q
q
c)
c) p
p ∨
∨ q
q d)
d) p
p ↔
↔ q
q
e)
e) �
�q
q f)
f) q
q →
→ �
� p
p
g)
g) �
�q
q ∧
∧ �
�p
p h)
h) �
�q
q ↔
↔ �
�p
p
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
10.
10. Determina el valor de verdad de las propo-
Determina el valor de verdad de las propo-
siciones que obtuviste en el ejercicio 9.
siciones que obtuviste en el ejercicio 9.
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
11.
11. Simboliza las proposiciones dadas a conti-
Simboliza las proposiciones dadas a conti-
nuación, si sabes que:
nuación, si sabes que:
p
p: Machu Pichu está en Bolivia;
: Machu Pichu está en Bolivia;
q
q
: Dos ángulos rectos son congruentes, y
: Dos ángulos rectos son congruentes, y
r
r
: 3 es un número primo.
: 3 es un número primo.
a) Machu Pichu no está en Bolivia y 3 es un
a) Machu Pichu no está en Bolivia y 3 es un
número primo.
número primo.
b)
b) Dos
Dos ángulos
ángulos rectos
rectos no
no son
son congruentes
congruentes si
si
y sólo si 3 no es un número primo.
y sólo si 3 no es un número primo.
c) Si
c) Si 3
3 es
es un
un número
número primo,
primo, entonces
entonces Machu
Machu
Pichu está en Bolivia.
Pichu está en Bolivia.
T
TABLA
ABLA DE
DE VERDAD
VERDAD DE
DE LA
LA
IMPLICACIÓN
IMPLICACIÓN
p
p q
q p
p →
→ q
q
V
V V
V V
V
V
V F
F F
F
F
F V
V V
V
F
F F
F V
V
T
TABLA
ABLA DE
DE VERDAD
VERDAD DE
DE LA
LA
EQUIVALENCIA
EQUIVALENCIA
p
p q
q p
p ↔
↔ q
q
V
V V
V V
V
V
V F
F F
F
F
F V
V F
F
F
F F
F V
V
• Más actividades en la página 28, numerales 48 y 51.
• Más actividades en la página 28, numerales 48 y 51.

16
16
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Ten en cuenta
Ten en cuenta
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Cuando se considera la reunión de varios objetos con una característica
Cuando se considera la reunión de varios objetos con una característica
particular y común a todos, se tiene el conocimiento intuitivo de lo que es
particular y común a todos, se tiene el conocimiento intuitivo de lo que es
un conjunto.
un conjunto.
Un
Un conjunto
conjunto es una colección bien definida de objetos. Los objetos de la colec-
es una colección bien definida de objetos. Los objetos de la colec-
ción se denominan
ción se denominan elementos
elementos y se dice que éstos pertenecen al conjunto.
y se dice que éstos pertenecen al conjunto.
Usualmente, los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas como
Usualmente, los conjuntos se simbolizan mediante letras mayúsculas como
A
A,
, B
B
,
, C
C
, y los elementos se denotan por medio de letras minúsculas, como
, y los elementos se denotan por medio de letras minúsculas, como
a
a
,
, b
b,
, c
c
,
, …
…
Para indicar que un elemento
Para indicar que un elemento a
a
pertenece a un conjunto
pertenece a un conjunto A
A, se utiliza la ex-
, se utiliza la ex-
presión
presión a
a 
 A
A, y se lee “
, y se lee “a
a
pertenece a
pertenece a A
A”. Cuando, por ejemplo,
”. Cuando, por ejemplo, t
t
no es uno
no es uno
de los elementos del conjunto
de los elementos del conjunto A
A, se escribe
, se escribe t
t 
 A
A, y se lee, “
, y se lee, “t
t no pertenece
no pertenece
a
a A
A”.
”.
Ejemplo 9
Ejemplo 9 Si
Si A
A es el conjunto de los números pares menores que 10,
es el conjunto de los números pares menores que 10,
entonces la característica común de los elementos de
entonces la característica común de los elementos de A
A es “ser número
es “ser número
par menor que 10”. En particular, se puede afirmar que 6
par menor que 10”. En particular, se puede afirmar que 6 
 A
A, ya que 6 es
, ya que 6 es
un número par menor que 10. También se puede decir que 7
un número par menor que 10. También se puede decir que 7 
 A
A, porque
, porque
7, aunque es menor que 10, no es un número par.
7, aunque es menor que 10, no es un número par.
Determinación de un
Determinación de un conjunto
conjunto
Un conjunto se determina de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Un conjunto se determina de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Un conjunto se determina
Un conjunto se determina por extensión
por extensión cuando se hace un listado de todos
cuando se hace un listado de todos
los elementos que pertenecen a él, separados por comas y encerrados entre
los elementos que pertenecen a él, separados por comas y encerrados entre
llaves
llaves �
�...
...�
�.
.
Un conjunto se determina
Un conjunto se determina por comprensión
por comprensión cuando se indica una propiedad
cuando se indica una propiedad
común a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Si la propiedad que
común a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Si la propiedad que
cumplen los elementos de un conjunto
cumplen los elementos de un conjunto A
A es
es P
P
, se elige un elemento
, se elige un elemento a
a
y se
y se
usa una expresión de la forma:
usa una expresión de la forma:
A
A �
� �
�a
a /
/P
P �
�a
a
��
��
la cual se lee: ”
la cual se lee: ”A
A es el conjunto de todos los elementos
es el conjunto de todos los elementos a
a
tales que cumplen
tales que cumplen
la propiedad
la propiedad P
P”.
”.
Ejemplo 10
Ejemplo 10 Para
Para determinar
determinar por e
por extensión
xtensión el
el conjunto
conjunto V
V
de las vocales, se
de las vocales, se
escribe:
escribe:
V
V �
� �
�a, e, i, o u
a, e, i, o u�
�
Para determinar
Para determinar V
V
, por comprensión se escribe:
, por comprensión se escribe:
V
V �
� �
�x
x/
/x
x
es vocal
es vocal�
�
Representación gráfica de un conjunto
Representación gráfica de un conjunto
Los conjuntos se representan gráficamente mediante una curva cerrada a la
Los conjuntos se representan gráficamente mediante una curva cerrada a la
que se le denomina
que se le denomina diagrama de Venn
diagrama de Venn, donde los elementos que pertenecen
, donde los elementos que pertenecen
al conjunto se representan dentro de la curva.
al conjunto se representan dentro de la curva.
Conjuntos. Clasificación
Conjuntos. Clasificación
Los elementos de todos
Los elementos de todos
los conjuntos pertenecen
los conjuntos pertenecen
a un gran conjunto ﬁjo lla-
a un gran conjunto ﬁjo lla-
mado conjunto
mado conjunto universal
universal
denotado por
denotado por U
U
.
.
4
4

17
17
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.2
Figura 1.2
Figura 1.1
Figura 1.1
1, 3, 5, 7, 9, 11
1, 3, 5, 7, 9, 11
R
R
1
1
A
A
U
U
2
2
3
3
6
6
5
5
4
4
Ejemplo 11
Ejemplo 11 En la
En la figura 1.1, se
figura 1.1, se observa la
observa la representación gráfica
representación gráfica del con-
del con-
junto
junto A
A cuyos elementos son los números naturales menores que 7, y el
cuyos elementos son los números naturales menores que 7, y el
conjunto universal
conjunto universal U
U
de los números naturales.
de los números naturales.
Clases de conjuntos
Clases de conjuntos
Un conjunto puede ser finito, infinito, unitario o vacío.
Un conjunto puede ser finito, infinito, unitario o vacío.
Un conjunto es
Un conjunto es finito
finito cuando tiene un número finito de elementos. E
cuando tiene un número finito de elementos. Es decir,
s decir,
si el proceso de contar los diferentes elementos del conjunto tiene fin.
si el proceso de contar los diferentes elementos del conjunto tiene fin.
Un conjunto es
Un conjunto es infinito
infinito cuando no es finito.
cuando no es finito.
Un conjunto
Un conjunto unitario
unitario consta de un solo elemento.
consta de un solo elemento.
Un conjunto es
Un conjunto es vacío
vacío cuando carece de elementos. Se simboliza con
cuando carece de elementos. Se simboliza con 
 o con
o con �
� �
�.
.
Ejemplo 12
Ejemplo 12 Observa
Observa los
los siguientes
siguientes conjuntos.
conjuntos.
A
A �
� �
�1, 2, 3, 4, 5, …
1, 2, 3, 4, 5, …�
� re
representa el conjunto infinito de los números naturales.
presenta el conjunto infinito de los números naturales.
B
B �
� �
�x
x
/
/x
x
es una letra de la palabra murciélago
es una letra de la palabra murciélago�
� es un conjunto finito que
es un conjunto finito que
consta de diez elementos.
consta de diez elementos.
C
C �
� �
�x
x
/
/x
x
es un satélite natural de la Tierra
es un satélite natural de la Tierra�
� es un conjunto unitario, cuyo
es un conjunto unitario, cuyo
único elemento es la
único elemento es la Luna
Luna
.
.
D
D �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número impar divisible por 2
es un número impar divisible por 2�
� es un conjunto vacío porque
es un conjunto vacío porque
no existe algún número que cumpla esta propiedad.
no existe algún número que cumpla esta propiedad.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
12.
12. Clasifica cada conjunto según sea infinito, finito, unitario o vacío.
Clasifica cada conjunto según sea infinito, finito, unitario o vacío.
a)
a) P
P �
� �
�x
x
/
/x
x
es mes del año terrestre
es mes del año terrestre �
�
b)
b) M
M �
� �
�x
x
/
/x
x
es capital de Colombia
es capital de Colombia �
�
c)
c) D
D �
� �
�x
x
/
/x
x
es un ser humano con 200 años de edad
es un ser humano con 200 años de edad �
�
d)
d) T
T �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número natural par
es un número natural par �
�
Solución:
Solución:
P
P
es un conjunto finito que tiene doce elementos (los meses del año).
es un conjunto finito que tiene doce elementos (los meses del año).
M
M
es un conjunto unitario cuyo único elemento es Bogotá.
es un conjunto unitario cuyo único elemento es Bogotá.
D
D
es un conjunto vacío, porque ningún ser humano vivo cumple la característica de tener 200 años.
es un conjunto vacío, porque ningún ser humano vivo cumple la característica de tener 200 años.
T
T
es un conjunto infinito ya que el proceso de contar sus elementos no tiene fin.
es un conjunto infinito ya que el proceso de contar sus elementos no tiene fin.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
13.
13. Determina cada conjunto por comprensión.
Determina cada conjunto por comprensión.
a)
a) P
P �
� �
� azul, rojo, amarillo
azul, rojo, amarillo�
�
b)
b) M
M �
� �
� 2, 4, 6, 8, 10, 12
2, 4, 6, 8, 10, 12�
�
c)
c) A
A �
� �
� 5, 10, 15, 20, 25, 30,...
5, 10, 15, 20, 25, 30,...�
�
d)
d) H
H �
� �
� �
�
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
14.
14. Determina los conjuntos por extensión.
Determina los conjuntos por extensión.
a)
a) C
C �
� �
�x
x
/
/x
x
es una vocal de la palabra Sara
es una vocal de la palabra Sara �
�
b)
b) X
X �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número natural menor que 15
es un número natural menor que 15 �
�
c)
c) U
U �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número natural comprendido
es un número natural comprendido
entre 5 y 6
entre 5 y 6�
�
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
15.
15. Indica el valor de verdad
Indica el valor de verdad de las afirmaciones
de las afirmaciones
de acuerdo con la información de la figura 1.2.
de acuerdo con la información de la figura 1.2.
a)
a) 1
1 
 R
R �
� �
�
b)
b) R
R
es un conjunto finito
es un conjunto finito �
� �
�
c)
c) R
R �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número par menor que 13
es un número par menor que 13�
� �
� �
�
d)
d) 5
5 
 R
R �
� �
�
e)
e) R
R �
� �
�x
x
/
/x
x
es un impar menor que 13
es un impar menor que 13�
� �
� �
�
16.
16. Clasifica cada conjunto de los ejercicios 13 y
Clasifica cada conjunto de los ejercicios 13 y
14 según sea infinito, finito, unitario o vacío.
14 según sea infinito, finito, unitario o vacío.
A
A �
� �
�1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6�
�
• Más actividades en las páginas 28 y 29,
• Más actividades en las páginas 28 y 29, numeral
numerales 52 a 57.
es 52 a 57.

18
18
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
En la red
En la red
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.3
Figura 1.3
U
U
0
0
A
A
A
A
B
B
B
B
1
1
7
7
3
3
4
4
5
5
2
2
[
[www.redes-sm.net
www.redes-sm.net
Relaciones y operaciones entre conjuntos
Relaciones y operaciones entre conjuntos
Se estudiarán tres relaciones importantes entre conjuntos, contenencia,
Se estudiarán tres relaciones importantes entre conjuntos, contenencia,
igualdad y disyunción, y las principales operaciones.
igualdad y disyunción, y las principales operaciones.
Sean
Sean A
A y
y B
B
dos conjuntos. Se dice que
dos conjuntos. Se dice que A
A está contenido en
está contenido en B
B �
�o
o A
A es subcon-
es subcon-
junto de
junto de B
B
), si cada elemento que pertenece al conjunto
), si cada elemento que pertenece al conjunto A
A también pertenece
también pertenece
al conjunto
al conjunto B
B
. Esta relación se simboliza con
. Esta relación se simboliza con A
A 
 B
B
.
.
Ejemplo 13
Ejemplo 13 Al
Al comparar
comparar los
los conjuntos
conjuntos P
P �
� �
�1, 2, 3
1, 2, 3�
�,
, Z
Z �
� �
�1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6�
� y
y
V
V �
� �
�0, 2, 4, 6, 8
0, 2, 4, 6, 8�
�, se puede afirmar que:
, se puede afirmar que:
P
P
está contenido o es subconjunto de
está contenido o es subconjunto de Z
Z
, porque todos los elementos de
, porque todos los elementos de P
P
son también elementos de
son también elementos de Z
Z
.
.
V
V
no está contenido en
no está contenido en Z
Z �
�o no es subconjunto de
o no es subconjunto de Z
Z�
�, porque los elementos
, porque los elementos
0 y 8 pertenecen a
0 y 8 pertenecen a V
V
, pero no a
, pero no a Z
Z
.
.
Dos conjuntos
Dos conjuntos A
A y
y B
B
son iguales
son iguales, si tienen los mismos elementos. Esta re-
, si tienen los mismos elementos. Esta re-
lación se denota por
lación se denota por A
A =
= B
B
.
.
Ejemplo 14
Ejemplo 14 Dados
Dados los
los conjuntos
conjuntos A
A �
� �
�5, 6, 7, 8, 9
5, 6, 7, 8, 9�
�,
, B
B �
� �
�5, 6, 7, 8, 9
5, 6, 7, 8, 9�
� y
y
C
C �
� �
�5, 6, 7, 8
5, 6, 7, 8�
�, se puede establecer que
, se puede establecer que A
A �
� B
B
, porque los dos conjuntos
, porque los dos conjuntos
tienen los mismos elementos, mientras que
tienen los mismos elementos, mientras que C
C 
 A
A �
�C
C diferente de
diferente de A
A�
� y
y
C
C 
 B
B �
�C
C diferente de
diferente de B
B�
�,
, porque los elementos de
porque los elementos de C
C
son diferentes a los
son diferentes a los
de
de A
A y a los de
y a los de B
B
.
.
Dos conjuntos
Dos conjuntos A
A y
y B
B
son disyuntos
son disyuntos si no tienen ningún elemento en común.
si no tienen ningún elemento en común.
Ejemplo 15
Ejemplo 15 Entre
Entre los
los conjuntos
conjuntos A
A �
� �
�1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4�
� y
y B
B �
� �
�a, b, c, d
a, b, c, d�
�, no hay
, no hay
elementos comunes, por lo tanto
elementos comunes, por lo tanto A
A y
y B
B
son disyuntos.
son disyuntos.
Intersección de conjuntos
Intersección de conjuntos
La
La intersección
intersección de dos conjuntos
de dos conjuntos A
A y
y B
B
es el conjunto de elementos co-
es el conjunto de elementos co-
munes a
munes a A
A y
y a
a B
B
. La intersección se nota como
. La intersección se nota como A
A 
 B
B
y se define como:
y se define como:
A
A 
 B
B �
� �
�x
x
/
/x
x 
 A
A ∧
∧ x
x 
 B
B �
�.
.
Ejemplo 16
Ejemplo 16 A la
A la intersección
intersección de los
de los conjuntos
conjuntos A
A �
� �
�0, 1, 2, 3, 4, 5
0, 1, 2, 3, 4, 5�
� y
y
B
B �
� �
�3, 5, 7
3, 5, 7�
� pertenecen los elementos que están en
pertenecen los elementos que están en A
A y en
y en B
B
, a la vez. Es
, a la vez. Es
decir, 3 y 5. Por lo tanto:
decir, 3 y 5. Por lo tanto:
A
A 
 B
B �
� �
�3,
3, 5
5�
�
En la figura 1.3 la región sombreada representa la intersección de los dos
En la figura 1.3 la región sombreada representa la intersección de los dos
conjuntos
conjuntos A
A y
y B.
B.
Unión de
Unión de conjuntos
conjuntos
La
La unión
unión de dos conjuntos
de dos conjuntos A
A y
y B
B
es el conjunto formado por todos los ele-
es el conjunto formado por todos los ele-
mentos que pertenecen al conjunto
mentos que pertenecen al conjunto A
A o que pertenecen al conjunto
o que pertenecen al conjunto B
B
. La
. La
unión se nota con
unión se nota con A
A 
 B
B
y se define como:
y se define como:
A
A 
 B
B �
� �
�x
x
/
/x
x 
 A
A ∨
∨ x
x 
 B
B �
�
Para deﬁnir las relacio-
Para deﬁnir las relacio-
nes de contenencia e
nes de contenencia e
igualdad entre conjuntos
igualdad entre conjuntos
se utilizan los siguientes
se utilizan los siguientes
símbolos.
símbolos.
Contenencia
Contenencia
A
A 
 B
B ↔
↔ �
�x
x 
 A
A →
→ x
x 
 B
B
�
�
Igualdad
Igualdad
A
A �
� B
B ↔
↔ �
�A
A 
 B
B ∧
∧ B
B 
 A
A�
�
5
5
C
COMPLEMENTA
OMPLEMENTA TUS
TUS CONOCIMIEN
CONOCIMIEN-
-
TOS
TOS ACERCA
ACERCA DE
DE LOS
LOS CONJUNTOS
CONJUNTOS EN
EN:
:
www.e-sm.net/6mt03
www.e-sm.net/6mt03
A
AMPLÍA
MPLÍA TUS
TUS CONOCIMIENTOS
CONOCIMIENTOS EN
EN
NUESTRO
NUESTRO SITIO
SITIO WEB
WEB.
.

19
19
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.4
Figura 1.4
Figura 1.5
Figura 1.5
Figura 1.6
Figura 1.6
Figura 1.7
Figura 1.7
U
U
0
0
A
A
A
A
C
C
C
C
1
1 6
6
8
8
3
3
4
4
5
5
2
2
A
A
U
U
a
a
m
m r
r
e
e
t
t
U
U
a
a
A
A
A
A 
 C
C
C
C
b
b
f
f
d
d
e
e
g
g
c
c
U
U
A
A
B
B
r
r
s
s
t
t
p
p
Ejemplo 17
Ejemplo 17 Para encontrar la unión de los conjuntos
Para encontrar la unión de los conjuntos A
A �
� �
�0, 1, 2, 3, 4, 5
0, 1, 2, 3, 4, 5�
�
y
y C
C �
� �
�5, 6, 8
5, 6, 8�
�, se ponen juntos los elementos de
, se ponen juntos los elementos de A
A con los de
con los de C
C
y cada ele-
y cada ele-
mento común se escribe una sola vez.
mento común se escribe una sola vez.
Por tanto,
Por tanto, A
A 
 C
C �
� �
�0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8�
�, como representa la región som-
, como representa la región som-
breada en la figura 1.4.
breada en la figura 1.4.
Complemento de un conjunto
Complemento de un conjunto
Sea
Sea A
A un subconjunto del conjunto universal
un subconjunto del conjunto universal U
U
. El conjunto de elementos
. El conjunto de elementos
que pertenecen a
que pertenecen a U
U
y no pertenecen a
y no pertenecen a A
A se llama
se llama complemento
complemento de
de A
A y se
y se
nota como
nota como A
A
 y se define como:
y se define como:
A
A
 �
� �
�x
x 
 U
U ∧
∧ x
x 
 A
A�
�
Ejemplo 18
Ejemplo 18 Si
Si U
U �
� �
�m, a, r, t, e
m, a, r, t, e
�
� y
y A
A �
� �
�t
t
,
, e
e
�
�, los elementos que pertene-
, los elementos que pertene-
cen a
cen a U
U
pero no pertenecen a
pero no pertenecen a A
A, están en el complemento de
, están en el complemento de A
A. Entonces
. Entonces
A
A
 �
� �
�m, a, r
m, a, r
�
� y su representación se muestra en la figura 1.5.
y su representación se muestra en la figura 1.5.
Diferencia
Diferencia
A la
A la diferencia de dos conjuntos
diferencia de dos conjuntos A
A y
y B
B
pertenecen todos los elementos de
pertenecen todos los elementos de
A
A que no pertenecen a
que no pertenecen a B
B
. Esta operación se nota con
. Esta operación se nota con A
A �
� B
B
y se define
y se define
simbólicamente como:
simbólicamente como:
A
A �
� B
B �
� �
�x/x
x/x 
 A
A ∧
∧ x
x 
 B
B
�
�
Ejemplo 19
Ejemplo 19 Sean
Sean los
los conjuntos
conjuntos A
A �
� �
�a, b, c, d, e
a, b, c, d, e
�
� y
y C
C �
� �
�d, f, g
d, f, g
�
�. Los ele-
. Los ele-
mentos que pertenecen a
mentos que pertenecen a A
A y no pertenecen a
y no pertenecen a C
C
conforman el conjunto
conforman el conjunto
A
A �
� C
C �
� �
�a, b, c, e
a, b, c, e
�
�, como representa la región sombreada de la figura 1.6.
, como representa la región sombreada de la figura 1.6.
Diferencia simétrica
Diferencia simétrica
A la
A la diferencia
diferencia simétrica
simétrica entre un conjunto
entre un conjunto A
A y un conjunto
y un conjunto B
B
pertenecen
pertenecen
todos los elementos que pertenecen a
todos los elementos que pertenecen a A
A o pertenecen a
o pertenecen a B
B
, pero no a ambos
, pero no a ambos
simultáneamente. Se nota como
simultáneamente. Se nota como A
A 
 B
B
y se define:
y se define:
A
A 
 B
B �
� �
�x
x 
 U
U /
/ �
�x
x 
 A
A ∧
∧ x
x 
 B
B�
� ∨
∨ �
�x
x 
 B
B ∧
∧ x
x 
 A
A��
��
Ejemplo 20
Ejemplo 20 Dados los conjuntos
Dados los conjuntos U
U �
� �
�p, r, s, t
p, r, s, t
�
�,
, A
A �
� �
�p, s
p, s
�
� y
y B
B �
� �
�r, s
r, s
�
�, se
, se
observa que
observa que p
p es el elemento que pertenece a
es el elemento que pertenece a A
A y no a
y no a B
B
; y
; y r
r
es el elemento
es el elemento
que pertenece a
que pertenece a B
B
pero no a
pero no a A
A, por lo tanto,
, por lo tanto, A
A 
 B
B �
� �
�p,r
p,r �
� (figura 1.7).
(figura 1.7).
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
17.
17. Si
Si A
A �
� �
�1, 2, 3, 4
1, 2, 3, 4�
� y
y B
B �
� �
�0, 5, 10, 15
0, 5, 10, 15�
�, determina
, determina A
A 
 B
B
.
.
Solución:
Solución:
En
En este
este caso, n
caso, no h
o hay
ay elementos
elementos comunes
comunes a
a los do
los dos conjun
s conjuntos, es
tos, es decir, son
decir, son disyuntos.
disyuntos. Por
Por tanto,
tanto,
A
A 
 B
B �
� 
.
.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
18.
18. Halla las operaciones que se proponen en-
Halla las operaciones que se proponen en-
tre los conjuntos
tre los conjuntos U
U �
� �
�2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14�
�,
,
A
A �
� �
�2, 4, 6
2, 4, 6�
�,
, B
B �
� �
�2, 6, 10, 14
2, 6, 10, 14�
�,
, C
C �
� �
�6, 10, 14
6, 10, 14�
�.
.
a)
a) A
A 
 B
B b)
b) A
A
 c)
c) C
C


d)
d) A
A 
 C
C e)
e) A
A �
� B
B f)
f) A
A 
 C
C
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
19.
19. Representa gráficamente los conjuntos que
Representa gráficamente los conjuntos que
obtuviste en el ejercicio 18.
obtuviste en el ejercicio 18.
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
20.
20. Responde y justifica. ¿Es posible que entre
Responde y justifica. ¿Es posible que entre
dos conjuntos unitarios exista una relación
dos conjuntos unitarios exista una relación
de contenencia?
de contenencia?
• Más actividades en la páginas 29 y 30,
• Más actividades en la páginas 29 y 30, numeral
numerales 58 a 62.
es 58 a 62.

20
20
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.9
Figura 1.9
Figura 1.10
Figura 1.10
Figura 1.11
Figura 1.11
Figura 1.12
Figura 1.12
Figura 1.8
Figura 1.8
[
[www.redes-sm.net
www.redes-sm.net
Sistemas de numeración
Sistemas de numeración
Un
Un sistema de numeración
sistema de numeración es un conjunto finito de
es un conjunto finito de símbolos
símbolos, que se usan
, que se usan
de acuerdo con ciertas reglas para asignar números a las cantidades.
de acuerdo con ciertas reglas para asignar números a las cantidades.
El número que determina el cambio de símbolo se llama
El número que determina el cambio de símbolo se llama base
base del sistema
del sistema
de numeración.
de numeración.
Los sistemas de numeración pueden ser aditivos, multiplicativos o posicionales.
Los sistemas de numeración pueden ser aditivos, multiplicativos o posicionales.
En los sistemas de numeración
En los sistemas de numeración aditivos
aditivos, se escribe un símbolo para cada
, se escribe un símbolo para cada
número y luego se utilizan tantos símbolos como sean necesarios para ex-
número y luego se utilizan tantos símbolos como sean necesarios para ex-
presar una cantidad.
presar una cantidad.
Ejemplo 21
Ejemplo 21 En la
En la numeración egipcia
numeración egipcia se empleaban
se empleaban jeroglíficos para re-
jeroglíficos para re-
presentar algunas potencias de diez (figura 1.9).
presentar algunas potencias de diez (figura 1.9).
1
1 10
10 100
100 1
1000
000
Cada símbolo se podía repetir hasta nueve veces, y para leer un número se
Cada símbolo se podía repetir hasta nueve veces, y para leer un número se
adicionaban sus valores (figura 1.10).
adicionaban sus valores (figura 1.10).
438
438
En los sistemas de numeración multiplicativos
multiplicativos, un símbolo colocado en cierta
, un símbolo colocado en cierta
posición multiplica la cantidad por un valor determinado.
posición multiplica la cantidad por un valor determinado.
Ejemplo 22
Ejemplo 22 Algunos símbolos
Algunos símbolos del
del sistema de
sistema de numeración chino-japonés
numeración chino-japonés
se muestran en la figura 1.11.
se muestran en la figura 1.11.
1
1 7
7
2
2 8
8
3
3 9
9
4
4
5
5
10
10
6
6 100
100
Para representar el número 39, se escribe 3, debajo el 10 (para expresar
Para representar el número 39, se escribe 3, debajo el 10 (para expresar
3
3 �
� 10) y
10) y debajo el
debajo el 9, como en
9, como en la
la figura 1.12.
figura 1.12.
En los sistemas de numeración posicionales
posicionales, se utilizan un número de sím-
, se utilizan un número de sím-
bolos llamado base. De acuerdo con la posición que ocupa el símbolo en
bolos llamado base. De acuerdo con la posición que ocupa el símbolo en
el número, su valor se multiplica por una potencia de la base del sistema.
el número, su valor se multiplica por una potencia de la base del sistema.
Ejemplo 23
Ejemplo 23 El de
El de numeración decimal
numeración decimal es un
es un sistema posicional
sistema posicional que utiliza
que utiliza
diez dígitos:
diez dígitos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Cada número se puede expresar empleando potencias de 10.
Cada número se puede expresar empleando potencias de 10.
235
235 �
� 2
2 �
� 10
102
2
�
� 3
3 �
� 10
101
1
�
� 5
5 �
� 1
1
En algunos grupos huma-
En algunos grupos huma-
nos, para contar objetos
nos, para contar objetos
bastaba con decir uno,
bastaba con decir uno,
dos y muchos. En otras
dos y muchos. En otras
culturas, como la egipcia
culturas, como la egipcia
y la maya, se elaboraron
y la maya, se elaboraron
grandes sistemas de re-
grandes sistemas de re-
presentación de números.
presentación de números.
La numeración jeroglífica
La numeración jeroglífica
egipcia como la que se ob-
egipcia como la que se ob-
serva en la figura 1.8, data
serva en la figura 1.8, data
del tercer milenio a. C.
del tercer milenio a. C.
6
6
C
COMPLEMENTA
OMPLEMENTA TUS
TUS CONOCIMIEN
CONOCIMIEN-
-
TOS
TOS EN
EN NUESTRO
NUESTRO SITIO
SITIO WEB
WEB.
.

21
21
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
En la red
En la red
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.17
Figura 1.17 1311
1311
Figura 1.18
Figura 1.18
Figura 1.13
Figura 1.13
Figura 1.14
Figura 1.14
Figura 1.15
Figura 1.15
Figura 1.16
Figura 1.16
Sistema de
Sistema de numeración May
numeración Maya
a
Los mayas formaban los números del uno al diecinueve con el punto y la raya (figura 1.13).
Los mayas formaban los números del uno al diecinueve con el punto y la raya (figura 1.13).
1
1 2
2 3
3 4 5
4 5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10
11
11 12
12 13
13 14
14 15
15 16
16 17
17 18
18 19
19
Para escribir números mayores que 19, los símbolos se disponían por niveles y en orden de
Para escribir números mayores que 19, los símbolos se disponían por niveles y en orden de
abajo hacia arriba.
abajo hacia arriba.
Ejemplo 24
Ejemplo 24 El número 1
El número 1 887 se representaba
887 se representaba como la fi
como la figura 1.14.
gura 1.14.
Tercer nivel (se multiplica por 18
Tercer nivel (se multiplica por 18 �
� 20)
20) 5
5 �
� 18
18 �
� 20
20 �
� 1
1800
800
Segundo
Segundo nivel
nivel (se
(se multiplica
multiplica por
por 20)
20) 4
4 �
� 20
20 �
� 80
80
Primer
Primer nivel
nivel (máximo
(máximo hasta
hasta 19)
19) 7
7 �
� 1
1 �
� 7
7
Para indicar la ausencia de unidades en algún nivel, utilizaron el símbolo:
Para indicar la ausencia de unidades en algún nivel, utilizaron el símbolo:
Sistema de
Sistema de numeración Romana
numeración Romana
Los romanos utilizaron letras para representar sus números. Observa la figura 1.16.
Los romanos utilizaron letras para representar sus números. Observa la figura 1.16.
Los demás números se escribían según las si-
Los demás números se escribían según las si-
guientes reglas.
guientes reglas.
R
REGLAS
EGLAS PARA
PARA ESCRIBIR
ESCRIBIR NÚMEROS
NÚMEROS ROMANOS
ROMANOS
Cada símbolo se puede utilizar, en forma consecutiva, hasta tres veces.
Cada símbolo se puede utilizar, en forma consecutiva, hasta tres veces.
Una cifra colocada a continuación de otra mayor le suma su valor.
Una cifra colocada a continuación de otra mayor le suma su valor.
Una cifra que antecede a otra mayor le resta su valor.
Una cifra que antecede a otra mayor le resta su valor.
Una cifra colocada entre dos mayores resta su valor a la que se
Una cifra colocada entre dos mayores resta su valor a la que se
encuentra después de ella.
encuentra después de ella.
Una cifra representa un valor mil veces mayor, si lleva una raya encima.
Una cifra representa un valor mil veces mayor, si lleva una raya encima.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
21.
21. Escribe el número correspondiente a cada cantidad representada o representa con símbolos el
Escribe el número correspondiente a cada cantidad representada o representa con símbolos el
número dado, usando la numeración egipcia.
número dado, usando la numeración egipcia.
Solución:
Solución:
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
22.
22. Representa la cantidad en el sistema de nu-
Representa la cantidad en el sistema de nu-
meración dado.
meración dado.
a)
a) (decimal)
(decimal) b)
b) (decimal)
(decimal)
c)
c) 7.583
7.583 (egipcio)
(egipcio)
d)
d) 98
98 (japonés)
(japonés)
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
23.
23. Escribe cada número en los sistemas maya
Escribe cada número en los sistemas maya
y romano.
y romano.
a)
a) 5
5780
780 b)
b) 114
114 c)
c) 39
39
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
24.
24. ¿Cuáles crees que fueron las causas para que
¿Cuáles crees que fueron las causas para que
las diferentes culturas inventaran los sistemas
las diferentes culturas inventaran los sistemas
de numeración?
de numeración?
1
1 5
5 10
10 50
50 100
100 500
500 1
1000
000
10
10000
000 50
50000
000 100
100000
000
Los
Los símbolos
símbolos representan
representan el
el número:
número:
1
1000
000 �
� 100
100 �
� 100
100 �
� 5
5 �
� 1
1205
205
La representación de 1 311 se muestra en la figura 1.18.
La representación de 1 311 se muestra en la figura 1.18.
numerales 63 a 72.
es 63 a 72.
A
AMPLÍA
MPLÍA TUS
TUS CONOCIMIENTOS
CONOCIMIENTOS
SOBRE
SOBRE LOS
LOS NÚMEROS
NÚMEROS ROMANOS
ROMANOS
VISITANDO
VISITANDO LA
LA PÁGINA
PÁGINA WEB
WEB:
:
www.e-sm.net/6mt04
www.e-sm.net/6mt04

22
22
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDADES
CTIVIDADES RESUELTAS
RESUELTAS
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
Sabías que...
Sabías que...
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.19
Figura 1.19
Figura
Figura
Módulo
Módulo
Diseño
Diseño
Sistema de numeración en base 5
El sistema numérico que utiliza la agrupación cíclica de 5 en 5 se denomina
El sistema numérico que utiliza la agrupación cíclica de 5 en 5 se denomina
sistema de numeración en base 5
sistema de numeración en base 5.
.
En este sistema, cada orden es cinco veces más grande que el anterior.
En este sistema, cada orden es cinco veces más grande que el anterior.
• La cifra del primer orden indica las unidades.
• La cifra del primer orden indica las unidades.
• La del segundo orden indica la cantidad de grupos de cinco unidades.
• La del segundo orden indica la cantidad de grupos de cinco unidades.
• La del tercer orden indica la cantidad de grupos de 5
• La del tercer orden indica la cantidad de grupos de 52
2
�
� 25 unidades.
25 unidades.
• La cifra del cuarto indica la cantidad de grupos de 5
• La cifra del cuarto indica la cantidad de grupos de 53
3
�
� 125 unidades,
125 unidades,
y así sucesivamente.
y así sucesivamente.
• El numeral llevará un subíndice, para indicar la base del sistema numérico
• El numeral llevará un subíndice, para indicar la base del sistema numérico
en que se expresa.
en que se expresa.
Ejemplo 25
Ejemplo 25 El numeral 4232
El numeral 42325
5
equivale a:
equivale a:
4 2 3 2
4 2 3 25
5 indica la base
indica la base
2
2 unidades
unidades sueltas
sueltas 2
2 �
� 5
50
0
�
� 2
2
3
3 grupos
grupos de
de cinco
cinco 3
3 �
� 5
51
1
�
� 15
15
2
2 grupos
grupos de
de cinco
cinco grupos
grupos de
de cinco
cinco 2
2 �
� 5
52
2
�
� 50
50
4
4 grupos
grupos de
de cinco
cinco grupos
grupos de
de cinco
cinco 4
4 �
� 5
53
3
�
� 500
500
grupos
grupos de
de cinco
cinco 567
567
Es decir, 567 unidades de nuestro sistema decimal se expresan con el nu-
Es decir, 567 unidades de nuestro sistema decimal se expresan con el nu-
meral 4232
meral 42325
5
. Se lee: “cuatro dos tres dos en base cinco”.
. Se lee: “cuatro dos tres dos en base cinco”.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
25.
25. Expresa el número 243
Expresa el número 2435
5
en el sistema decimal.
en el sistema decimal.
Solución:
Solución:
Dos
Dos unidades
unidades de
de tercer
tercer orden,
orden, cuatro
cuatro de
de segun-
segun-
do orden y tres de primer orden.
do orden y tres de primer orden.
243
2435
5
�
� 2
2 �
� 5
52
2
�
� 4
4 �
� 5
51
1
�
� 3
3 �
� 5
50
0
�
� 50
50 �
� 20
20 �
� 3
3
�
� 73
73
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
26.
26. Expresa el número 289 como un numeral en
Expresa el número 289 como un numeral en
base 5.
base 5.
Solución:
Solución:
289
289 �
� 125
125 �
� 125
125 �
� 25
25 �
� 5
5 �
� 5
5 �
� 4
4
•
• El
El número
número 125
125 se
se repite
repite dos
dos veces.
veces.
•
• El
El número
número 25
25 está
está una
una vez.
vez.
•
• El
El número
número 5
5 se
se repite
repite dos
dos veces.
veces.
•
• Hay
Hay 4
4 unidades
unidades sueltas.
sueltas.
•
• Por
Por lo
lo tanto,
tanto, el
el número
número 289
289 se
se expresa
expresa con
con
el númeral 2124
el númeral 21245
5
.
.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
27.
27. Encuentra la representación en base 5 de los
Encuentra la representación en base 5 de los
siguientes números.
siguientes números.
a)
a) 6
6 b)
b) 63
63 c)
c) 250
250 d)
d) 13
13 e)
e) 70
70 f)
f) 500
500
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
28.
28. Encuentra el número decimal en cada caso.
Encuentra el número decimal en cada caso.
a) Una
a) Una unidad
unidad de
de tercer
tercer orden,
orden, cuatro
cuatro de
de primer
primer
orden y dos de segundo orden.
orden y dos de segundo orden.
b)
b) Dos unidades de cuarto orden, una unidad de
Dos unidades de cuarto orden, una unidad de
segundo orden y tres unidades de tercer orden.
segundo orden y tres unidades de tercer orden.
c)
c) Cuatro
Cuatro unidades
unidades de
de primer
primer orden,
orden, tres
tres de
de
segundo orden y una de tercer orden.
segundo orden y una de tercer orden.
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
29.
29. Traduce al sistema decimal las cantidades
Traduce al sistema decimal las cantidades
indicadas en cada caso.
indicadas en cada caso.
a)
a) 10
105
5
b)
b) 112
1125
5
c)
c) 10001
100015
5
R
RESOLUCIÓN
ESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
30.
30. Un vendedor de refrescos acomoda sus pro-
Un vendedor de refrescos acomoda sus pro-
ductos en espacios que ha diseñado él mis-
ductos en espacios que ha diseñado él mis-
mo. En una repisa caben cinco refrescos, en
mo. En una repisa caben cinco refrescos, en
un estante caben 25 refrescos, en un casi-
un estante caben 25 refrescos, en un casi-
llero caben 125 refrescos y en una vitrina
llero caben 125 refrescos y en una vitrina
caben 625. ¿Cuántas vitrinas, cuántos casi-
caben 625. ¿Cuántas vitrinas, cuántos casi-
lleros, cuántos estantes y cuántas repisas se
lleros, cuántos estantes y cuántas repisas se
requieren para organizar 2 825 refrescos?
requieren para organizar 2 825 refrescos?
En muchas construccio-
En muchas construccio-
nes se utiliza la agrupa-
nes se utiliza la agrupa-
ción de elementos para
ción de elementos para
formar diseños.
formar diseños.
En la figura 1.19 se usa-
En la figura 1.19 se usa-
ron cinco figuras para for-
ron cinco figuras para for-
mar cada módulo y cinco
mar cada módulo y cinco
módulos para completar
módulos para completar
el diseño. ¿Cuál sistema
el diseño. ¿Cuál sistema
de numeración se aplica
de numeración se aplica
en la construcción?
en la construcción?
7
7

23
23
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDADES
CTIVIDADES RESUELTAS
RESUELTAS
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
Sabías que...
Sabías que...
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Tabla 1.6
Tabla 1.6
Figura 1.20
Figura 1.20
El
El sistema de numeración binario
sistema de numeración binario,
, o
o en
en base 2
base 2 es aquel en el que se hacen
es aquel en el que se hacen
agrupaciones
agrupaciones de dos en dos. Una unidad de cierto orden se obtiene agru-
de dos en dos. Una unidad de cierto orden se obtiene agru-
pando dos unidades del orden inmediatamente inferior.
pando dos unidades del orden inmediatamente inferior.
Para escribir números en sistema binario se utilizan únicamente las cifras
Para escribir números en sistema binario se utilizan únicamente las cifras
0 y 1.
0 y 1.
Ejemplo 26
Ejemplo 26 El
El número
número 1101011
11010112
2
está escrito en sistema binario, y se in-
está escrito en sistema binario, y se in-
terpreta como la suma de los productos de cada cifra por la potencia de 2
terpreta como la suma de los productos de cada cifra por la potencia de 2
correspondiente a su posición en el número.
correspondiente a su posición en el número.
2
26
6
2
25
5
2
24
4
2
23
3
2
22
2
2
21
1
2
20
0
1
1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 1
1
1101011
11010112
2
�
�
1
1 �
� 2
26
6
�
� 1
1 �
� 2
25
5
�
� 0
0 �
� 2
24
4
�
� 1
1 �
� 2
23
3
�
� 0
0 �
� 2
22
2
�
� 1
1 �
� 2
21
1
�
� 1
1 �
� 1
1
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
31.
31. Expresa el 101
Expresa el 1012
2
en el sistema de numeración
en el sistema de numeración
decimal.
decimal.
Solución:
Solución:
Se
Se escribe
escribe el
el desarrollo
desarrollo exponencial
exponencial del
del número
número
y se obtiene el resultado de las operaciones.
y se obtiene el resultado de las operaciones.
101
1012
2
�
� 1
1 �
� 2
22
2
�
� 0
0 �
� 2
21
1
�
� 1
1 �
� 1
1
�
� 1
1 �
� 4
4 �
� 0
0 �
� 2
2 �
� 1
1 �
� 1
1
�
� 5
5
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
32.
32. Expresa el número 7 en base 2.
Expresa el número 7 en base 2.
Solución:
Solución:
Se
Se realizan
realizan divisiones
divisiones sucesivas
sucesivas por
por 2.
2.
7
7 2
2
1
1 3
3 2
2
1
1 1
1
Luego,
Luego, 7
7 �
� 111
1112
2
.
.
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
33.
33. Escribe 0 ó 1, según corresponda, para ob-
Escribe 0 ó 1, según corresponda, para ob-
tener la cantidad indicada.
tener la cantidad indicada.
a)
a) 18
18�
� �
� 2
24
4
�
� �
� 2
23
3
�
� �
� 2
22
2
�
� �
� 2
2�
�
b) 24
b) 24�
� �
� 2
24
4
�
� �
� 2
23
3
�
� �
� 2
22
2
�
� �
� 2
2�
�
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
34.
34. Completa la tabla 1.6.
Completa la tabla 1.6.
E
EXPRESIÓN
XPRESIÓN EN
EN
BASE
BASE 2
2
D
DESARROLLO
ESARROLLO
EXPONENCIAL
EXPONENCIAL
E
EXPRESIÓN
XPRESIÓN EN
EN
BASE
BASE 10
10
100
1002
2
10011010
100110102
2
R
RESOLUCIÓN
ESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
35.
35. En el almacén de deportes se ofrecen dife-
En el almacén de deportes se ofrecen dife-
rentes presentaciones de las bolas de golf:
rentes presentaciones de las bolas de golf:
por unidad, por estuches de un par, por cajas
por unidad, por estuches de un par, por cajas
de dos pares y por tarros de dos cajas. Si
de dos pares y por tarros de dos cajas. Si
Julián ha comprado un tarro, una caja, un
Julián ha comprado un tarro, una caja, un
estuche y una bola suelta, ¿cuántas bolas de
estuche y una bola suelta, ¿cuántas bolas de
golf lleva en total? ¿Cómo se expresa este
golf lleva en total? ¿Cómo se expresa este
valor en el sistema binario?
valor en el sistema binario?
R
RESOLUCIÓN
ESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
36
36.
. En computación se utiliza el sistema de nu-
En computación se utiliza el sistema de nu-
meración binario para representar números,
meración binario para representar números,
mediante combinaciones de los dos posibles
mediante combinaciones de los dos posibles
estados de una bombilla. El estado apagado se
estados de una bombilla. El estado apagado se
representa con el 0, y el encendido, con el 1.
representa con el 0, y el encendido, con el 1.
¿Qué
¿Qué número
número se
se representa
representa en
en cada
cada uno
uno de
de
los siguientes circuitos?
los siguientes circuitos?
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
Los computadores tra-
Los computadores tra-
bajan con el sistema
bajan con el sistema
de numeración binario
de numeración binario
(1: encendido, 0: apa-
(1: encendido, 0: apa-
gado)
gado)
8
8

24
24
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
[
[www.redes-sm.net
www.redes-sm.net
Sistema de numeración decimal
Sistema de numeración decimal
El
El sistema de numeración
sistema de numeración decimal
decimal, utiliza solo diez símbolos o cifras:
, utiliza solo diez símbolos o cifras:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Con estas diez cifras se puede escribir cualquier cantidad o número.
Con estas diez cifras se puede escribir cualquier cantidad o número.
Se denomina
Se denomina sistema de numeración
sistema de numeración decimal
decimal porque 10 unidades del mismo
porque 10 unidades del mismo
orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.
orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.
1 decena
1 decena �
� 10 unidades
10 unidades
1 centena
1 centena �
� 10 decenas
10 decenas �
� 100 unidades
100 unidades
1 unidad de mil
1 unidad de mil �
� 10 centenas
10 centenas �
� 100 decenas
100 decenas �
� 1 000 unidades
1 000 unidades
1 decena de mil
1 decena de mil �
� 10 unidades de mil
10 unidades de mil �
� 10 000 unidades
10 000 unidades
Recuerda que un
Recuerda que un sistema de numeración
sistema de numeración es
es posicional
posicional, si el valor de po-
, si el valor de po-
sición de una cifra en un número depende del lugar que ocupa la cifra en
sición de una cifra en un número depende del lugar que ocupa la cifra en
dicho número.
dicho número.
El sistema de numeración decimal es, además,
El sistema de numeración decimal es, además, posicional
posicional, porque el valor
, porque el valor
numérico de una cifra no es siempre el mismo.
numérico de una cifra no es siempre el mismo.
Ejemplo 27
Ejemplo 27 Observa que en el número 7
Observa que en el número 7179 (siete mil ciento setenta y
179 (siete mil ciento setenta y
nueve) la cifra 7 ocupa el lugar de las unidades de mil. Su valor posicional
nueve) la cifra 7 ocupa el lugar de las unidades de mil. Su valor posicional
es
es 7
7000
000 �
� 7
7 �
� 1000.
1000.
Pero la cifra 7 ocupa también el lugar de las decenas. Su valor posicional
Pero la cifra 7 ocupa también el lugar de las decenas. Su valor posicional
es 70
es 70 �
� 7
7 �
� 10.
10.
De acuerdo con lo anterior, el número se puede desomponer como sigue:
De acuerdo con lo anterior, el número se puede desomponer como sigue:
7179
7179 �
� 7
7000
000 �
� 100
100 �
� 70
70 �
� 9
9
�
� 7
7 �
� 1
1000
000 �
� 1
1 �
� 100
100 �
� 7
7 �
� 10
10 �
� 9
9 �
� 1
1
�
� 7
7 �
� 10
103
3
�
� 1
1 �
� 10
102
2
�
� 7
7 �
� 10
101
1
�
� 9
9 �
� 10
100
0
Un número natural se expresa mediante su
Un número natural se expresa mediante su desarrollo exponencial
desarrollo exponencial cuando
cuando
se descompone como la suma de los productos de cada una de sus cifras
se descompone como la suma de los productos de cada una de sus cifras
por respectivas potencias de 10.
por respectivas potencias de 10.
Ejemplo 28
Ejemplo 28 El nu
El numeral
meral correspondiente
correspondiente a
a la
la expresión
expresión
2
2 �
� 10
105
5
�
� 3
3 �
� 10
104
4
�
� 7
7 �
� 10
103
3
�
� 4
4 �
� 10
102
2
�
� 8
8 �
� 10
100
0
se calcula de la siguiente manera:
se calcula de la siguiente manera:
2
2 �
� 10
105
5
�
� 3
3 �
� 10
104
4
�
� 7
7 �
� 10
103
3
�
� 4
4 �
� 10
102
2
�
� 8
8 �
� 10
100
0
�
� 2
2 �
� 10
105
5
�
� 3
3 �
� 10
104
4
�
� 7
7 �
� 10
103
3
�
� 4
4 �
� 10
102
2
�
� 0
0 �
� 10
101
1
�
� 8
8 �
� 10
100
0
�
� 2
2 �
� 100
100000
000 �
� 3
3 �
� 10
10000
000 �
� 7
7 �
� 1
1000
000 �
� 4
4 �
� 100
100 �
� 0
0 �
� 10
10 �
� 8
8 �
� 1
1
�
� 200
200000
000 �
� 30
30000
000 �
� 7
7000
000 �
� 400
400 �
� 0
0 �
� 8
8
�
� 237
237408
408
9
9
La humanidad tardó más
La humanidad tardó más
de 2000 años en inventar
de 2000 años en inventar
un símbolo para indicar la
un símbolo para indicar la
ausencia de elementos.
ausencia de elementos.
Este número fue llamado
Este número fue llamado
cero
cero y su utilización pro-
y su utilización pro-
viene de antiguos siste-
viene de antiguos siste-
mas de numeración tales
mas de numeración tales
como el hindú y el árabe.
como el hindú y el árabe.
Sistema hindú
Sistema hindú
Sistema árabe
Sistema árabe
P
PRACTICA
RACTICA TUS
TUS CONOCIMIENTOS
CONOCIMIENTOS EN
EN
NUESTRO
NUESTRO SITIO
SITIO WEB
WEB.
.

25
25
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Figura 1.21
Figura 1.21
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
37.
37. Escribe el valor relativo de las cifras que
Escribe el valor relativo de las cifras que
están subrayadas en cada número.
están subrayadas en cada número.
a)
a) 5
539
398
8763
763 b)
b) 156
156065443
065443
c)
c) 99
99041
041292
292 d)
d) 7
73648450189
3648450189
e) 19
e) 19875
875 f)
f) 45
45 230124
230124
g)
g) 765
765321
321 h)
h) 7
73
324659
24659
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
38.
38. Escribe el número que corresponde a cada
Escribe el número que corresponde a cada
desarrollo.
desarrollo.
a)
a) 7
7 �
� 10
106
6
�
� 4
4 �
� 10
105
5
�
� 2
2 �
� 10
104
4
�
� 1
1 �
� 10
103
3
�
� 9
9 �
� 1
1
b) 9
b) 9 �
� 10
107
7
�
� 3
3 �
� 10
106
6
�
� 6
6 �
� 10
105
5
�
� 2
2 �
� 10
104
4
�
� 1
1 �
� 10
103
3
�
� 8
8 �
� 10
106
6
�
� 3
3 �
� 10
101
1
�
� 1
1 �
� 1
1
c) 8
c) 8 �
� 10
106
6
�
� 6
6 �
� 10
105
5
�
� 5
5 �
� 10
104
4
�
� 4
4 �
� 10
103
3
�
� 3
3 �
� 10
102
2
�
� 8
8 �
� 1
1
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
39.
39. Escribe el desarrollo exponencial de:
Escribe el desarrollo exponencial de:
a)
a) 563
563729
729
b)
b) 23
23451
451609
609
c)
c) 3
3560
560204
204
d)
d) 907
907200
200
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
40.
40. Establece las principales diferencias del sis-
Establece las principales diferencias del sis-
tema de numeración decimal frente a otros
tema de numeración decimal frente a otros
sistemas de numeración, como el egipcio, el
sistemas de numeración, como el egipcio, el
maya y el romano.
maya y el romano.
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
41.
41. Resuelve.
Resuelve.
a)
a) ¿Cuál
¿Cuál es
es el
el mayor
mayor número
número natural
natural que
que se
se
puede formar con las cifras de cada lista?
puede formar con las cifras de cada lista?
•
• 4,
4, 3,
3, 6,
6, 4,
4, 7
7
• 7, 9, 0, 5, 0
• 7, 9, 0, 5, 0
• 4, 3, 6, 4, 7, 5
• 4, 3, 6, 4, 7, 5
•
• 9,
9, 5,
5, 0,
0, 5,
5, 4,
4, 8
8
•
• 5,
5, 3,
3, 6,
6, 7,
7, 0,
0, 8
8
b) El
b) El dígito
dígito de
de las
las decenas
decenas de
de mil
mil de
de un
un núme-
núme-
ro de cinco cifras es 3, y el de las unidades
ro de cinco cifras es 3, y el de las unidades
es 2. El dígito de las decenas es el triple
es 2. El dígito de las decenas es el triple
del de las unidades. El de las unidades de
del de las unidades. El de las unidades de
mil es uno más que el de las unidades. Si
mil es uno más que el de las unidades. Si
los dígitos del número suman 14, ¿cuál es
los dígitos del número suman 14, ¿cuál es
el número?
el número?
c
c) Si
) Si se
se aumenta
aumenta en
en 5
5 el
el dígito de
dígito de las
las unida-
unida-
des de mil en el número 1 874, ¿en cuántas
des de mil en el número 1 874, ¿en cuántas
unidades aumenta el número?
unidades aumenta el número?
d) Cuántas
d) Cuántas veces
veces aumenta
aumenta el
el valor
valor de
de 4
4 en
en el
el
número
número 4
4 7,
7, si
si en
en la
la casilla
casilla se
se escribe:
escribe:
•
• 8
8 •
• 26
26 •
• 301
301
e)
e) Escribe el n
Escribe el número correspondiente
úmero correspondiente a cada
a cada de-
de-
sarrollo exponencial, para determinar algunos
sarrollo exponencial, para determinar algunos
datos aproximados acerca de la Tierra.
datos aproximados acerca de la Tierra.
DATOS
DATOS
D
DIÁMETRO
IÁMETRO ECUATORIAL
ECUATORIAL (
(KILÓMETROS
KILÓMETROS)
)
1
1 �
� 10
104
4
�
� 2
2 �
� 10
103
3
�
� 7
7 �
� 10
102
2
�
� 5
5 �
� 10
101
1
�
� 6
6 �
� 1
1
P
PERIODO
ERIODO ORBITAL
ORBITAL (
(DÍAS
DÍAS)
)
3
3 �
� 10
102
2
�
� 6
6 �
� 10
101
1
�
� 5
5 �
� 1
1
P
PERIODO
ERIODO ROTACIONAL
ROTACIONAL (
(HORAS
HORAS)
)
2
2 �
� 10
101
1
�
� 4
4 �
� 1
1
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
42.
42. Copia en tu cuaderno las siguientes expre-
Copia en tu cuaderno las siguientes expre-
siones y escribe los números que faltan.
siones y escribe los números que faltan.
a)
a) 6
6 327
327 �
� 6 um
6 um �
� c
c �
� 2
2 d
d �
� u
u
b)
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um �
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7 c
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9 d
d �
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u
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
43.
43. Escribe, en cada caso, el número que co-
Escribe, en cada caso, el número que co-
rresponda.
rresponda.
a)
a) 37
37 centenas,
centenas, 2
2 unidades
unidades
b)
b) 48
48 u
unidades de mil, 5 centenas, 16 unidades
nidades de mil, 5 centenas, 16 unidades
Escribe
Escribe cómo
cómo se
se nombran
nombran los
los números
números ante-
ante-
riores.
riores.

26
26
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
Sabías que...
Sabías que...
En la red
En la red
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
Tabla 1.7
Tabla 1.7
Tabla 1.8
Tabla 1.8
Tabla 1.9
Tabla 1.9
Tabla 1.10
Tabla 1.10
[
[www.redes-sm.net
www.redes-sm.net
Lectura y escritura de números grandes
Lectura y escritura de números grandes
El sistema de numeración decimal está constituido por
El sistema de numeración decimal está constituido por órdenes
órdenes que se es-
que se es-
tablecen de derecha a izquierda (tabla 1.7).
tablecen de derecha a izquierda (tabla 1.7).
T
TERCER
ERCER ORDEN
ORDEN S
SEGUNDO
EGUNDO ORDEN
ORDEN P
PRIMER
RIMER ORDEN
ORDEN
c
ce
en
nt
te
en
na
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s d
de
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ce
en
na
as
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un
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da
ad
de
es
s
• Además de órdenes, los numerales se organizan en
• Además de órdenes, los numerales se organizan en clases
clases (tabla 1.8).
(tabla 1.8).
6ª
6ª CLASE
CLASE 5ª
5ª CLASE
CLASE 4ª
4ª CLASE
CLASE 3ª
3ª CLASE
CLASE 2ª
2ª CLASE
CLASE 1ª
1ª CLASE
CLASE
MILES
MILES DE
DE
BILLÓN
BILLÓN
BILLONES
BILLONES
MILES
MILES DE
DE
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• La reunión de dos clases forma un
• La reunión de dos clases forma un periodo
periodo: unidades, millones, billones,
: unidades, millones, billones,
trillones, etc. (tabla 1.9).
trillones, etc. (tabla 1.9).
B
BILLONES
ILLONES M
MILLONES
ILLONES U
UNIDADES
NIDADES
6ª
6ª CLASE
CLASE 5ª
5ª CLASE
CLASE 4ª
4ª CLASE
CLASE 3ª
3ª CLASE
CLASE 2ª
2ª CLASE
CLASE 1ª
1ª CLASE
CLASE
miles de
miles de
billón
billón
billones
billones
miles de
miles de
millón
millón
m
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il
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s m
mi
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le
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un
ni
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de
es
s
• Para escribir un número, se anotan las unidades correspondientes a cada
• Para escribir un número, se anotan las unidades correspondientes a cada
orden, comenzando por las superiores, y se coloca cero en el orden en
orden, comenzando por las superiores, y se coloca cero en el orden en
que no haya unidades.
que no haya unidades.
Lo anterior se resume de la siguiente manera.
Lo anterior se resume de la siguiente manera.
Órdenes
Órdenes
Cada una de las posiciones que puede ocupar una cifra en un número:
Cada una de las posiciones que puede ocupar una cifra en un número:
unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, etc.
unidades, decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil, etc.
Clases
Clases
Reuniones de tres órdenes, comenzando por las unidades.
Reuniones de tres órdenes, comenzando por las unidades.
Las unidades de millón, las decenas de millón y las centenas de millón
Las unidades de millón, las decenas de millón y las centenas de millón
forman la clase de los millones.
forman la clase de los millones.
Periodos
Periodos
Reuniones de dos clases: la clase de las unidades y la clase de los miles
Reuniones de dos clases: la clase de las unidades y la clase de los miles
forman el periodo de las unidades.
forman el periodo de las unidades.
Ejemplo 29
Ejemplo 29 ¿Cómo se lee el número 234
¿Cómo se lee el número 234789
789904?
904?
Para responder se ubica el número en una tabla como la 1.10.
Para responder se ubica el número en una tabla como la 1.10.
   C
   C
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2
2 3 4 7 8
3 4 7 8 9
9 9
9 0
0 4
4
Luego, se hace lectura del número y se escribe, así:
Luego, se hace lectura del número y se escribe, así:
234
234789
789904:
904: Doscientos treinta y cuatro millones setecientos ochenta
Doscientos treinta y cuatro millones setecientos ochenta y nueve
y nueve
mil novecientos cuatro.
mil novecientos cuatro.
10
10
La imposibilidad de in-
La imposibilidad de in-
ventar y recordar un sím-
ventar y recordar un sím-
bolo diferente para cada
bolo diferente para cada
número fue estudiada por
número fue estudiada por
los babilonios, unos
los babilonios, unos 2
2500
500
años antes de Cristo.
años antes de Cristo.
Fueron ellos quienes in-
Fueron ellos quienes in-
sinuaron por primera vez
sinuaron por primera vez
una solución genial: utili-
una solución genial: utili-
zar una cantidad finita de
zar una cantidad finita de
símbolos, que pudieran
símbolos, que pudieran
ordenarse en un número
ordenarse en un número
infinito de maneras y así
infinito de maneras y así
sirvieran para represen-
sirvieran para represen-
tar un número infinito de
tar un número infinito de
cantidades.
cantidades.
Tablillas babilonias con textos de
Tablillas babilonias con textos de
matemática
matemáticas 1800
s 1800 a.C.
a.C.
P
PRACTICA
RACTICA LA
LA LECTURA
LECTURA Y
Y ESCRI
ESCRI-
-
TURA
TURA DE
DE NÚMEROS
NÚMEROS GRANDES
GRANDES EN
EN:
:
www.e-sm.net/6mt05
www.e-sm.net/6mt05
C
COMPLEMENTA
OMPLEMENTA TUS
TUS CONOCIMIEN
CONOCIMIEN-
-
TOS
TOS EN
EN NUESTRO
NUESTRO SITIO
SITIO WEB
WEB.
.

27
27
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
A
ACTIVIDAD
CTIVIDAD RESUELTA
RESUELTA
A
ACTIVIDADES
PROPUESTAS
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
N
N
E
E
S
S
O
O
Figura 1.22
Figura 1.22
Tabla 1.11
Tabla 1.11
Tabla 1.12
Tabla 1.12
R
RESOLUCIÓN
ESOLUCIÓN DE
DE PROBLEMAS
PROBLEMAS
44.
44. Se calcula que la pirámide de Gizeh pesa más de 5 950 500 000 gramos.
Se calcula que la pirámide de Gizeh pesa más de 5 950 500 000 gramos.
¿Cómo se lee esta cantidad?
¿Cómo se lee esta cantidad?
Solución:
Solución:
Se
Se ubica
ubica el
el número
número en
en la
la tabla
tabla 1.11,
1.11, así:
así:
B
BILLONES
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ILLONES U
UNIDADES
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MILES DE
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0 0 0 0 0
Por lo tan
Por lo tanto, 5
to, 5950
950500
500000 se
000 se lee: “cinco mil
lee: “cinco mil novecientos cincuenta
novecientos cincuenta millones quinientos
millones quinientos mil”
mil”
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
45.
45. Copia la tabla 1.12 y ubica cada número. Luego, escribe cómo se lee.
Copia la tabla 1.12 y ubica cada número. Luego, escribe cómo se lee.
a)
a) 4
4234
234987
987 b)
b) 64
64746
746821
821 c)
c) 11
11849
849367
367 d)
d) 92
92873
873478
478
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   D
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
46.
46. Escribe cada número.
Escribe cada número.
a)
a) Tres
Tres centenas
centenas de
de mil
mil
b)
b) Nueve
Nueve decenas
decenas de
de mil
mil
c
c)
) Cinco mi
Cinco millones
llones
d)
d) Tres
Tres centenas
centenas de
de millón
millón
e) Once centenas de millón
e) Once centenas de millón
f
f) Tre
) Trece
ce centenas
centenas de
de mil
mil
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
47.
47. Escribe cómo se lee cada número.
Escribe cómo se lee cada número.
a)
a) 28
28543
543034
034
b)
b) 49
49001
001628
628
c
c)
) 8759058
8759058794
794
d)
d) 58
58349
349409
409
e
e)
) 46
46701
701439
439
f)
f) 153
153408
408302
302
numerales 76 a 84.
es 76 a 84.

28
28
PROYECTO
PROYECTO SÉ
SÉ ©
© EDICIONES
EDICIONES SM
SM
PENSAMIENTO
NUMÉRICO
A C T I V I D A D E S
A C T I V I D A D E S
Proposiciones
Proposiciones
Entrena
Entrena
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
48.
48. Niega las proposiciones.
Niega las proposiciones.
a)
a) Hoy
Hoy está
está nublado
nublado
b) Gabriel
b) Gabriel García
García Márquez
Márquez nació
nació en
en Aracataca,
Aracataca,
Magdalena
Magdalena
c) Beethove
c) Beethoven
n fue
fue genio
genio de
de la
la música
música
d)
d) Por
Por un
un punto
punto en
en un
un plano
plano pasa
pasa una
una única
única
recta
recta
e) La
e) La suma
suma de
de dos
dos números
números pares
pares es
es un
un nú-
nú-
mero impar
mero impar
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
49.
49. Escribe las proposiciones que se piden a
Escribe las proposiciones que se piden a
continuación, si sabes que:
continuación, si sabes que:
p
p: La ballena es un mamífero
: La ballena es un mamífero
q
q
: El mercurio es un metal
: El mercurio es un metal
r
r
: La rosa es una flor
: La rosa es una flor
a)
a) �
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q ↔
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R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
50.
50. Determina el valor de verdad de las siguien-
Determina el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones compuestas, sabiendo que
tes proposiciones compuestas, sabiendo que
las proposiciones
las proposiciones p
p y
y q
q
son verdaderas.
son verdaderas.
a)
a) p
p ∨
∨ q
q b)
b) �
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p ∧
∧ q
q
c)
c) p
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∨ �
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p d)
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j) �
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p ↔
↔ �
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p
Amplía
Amplía
C
COMUNICACIÓN
OMUNICACIÓN
51.
51. Realiza lo que se indica con base en la si-
Realiza lo que se indica con base en la si-
guiente información.
guiente información.
Si
Si p
p →
→ q
q
es una implicación dada, entonces:
es una implicación dada, entonces:
La
La recíproca de
recíproca de p
p →
→ q
q
es la implicación
es la implicación q
q →
→ p
p
La
La contrapositiva de
contrapositiva de p
p →
→ q
q
es la implica-
es la implica-
ción
ción �
�q
q →
→ �
�p
p
a) Identifica el antecedente
a) Identifica el antecedente p
p y el consecuente
y el consecuente
q
q
de la implicación:
de la implicación: Si 4 es número primo,
Si 4 es número primo,
entonces 4 es divisible por 2
entonces 4 es divisible por 2
.
.
b)
b) Determina
Determina el
el valor
valor de
de verdad
verdad de
de p
p →
→ q
q
.
.
c)
c) Escribe la recíproca y la contrapositiva de
Escribe la recíproca y la contrapositiva de p
p →
→ q
q
y determina el valor de verdad de cada una.
y determina el valor de verdad de cada una.
Conjuntos
Conjuntos
Entrena
Entrena
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
52.
52. Determina cada conjunto por extensión.
Determina cada conjunto por extensión.
a)
a) A
A �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número primo menor que 22
es un número primo menor que 22�
�
b)
b) H
H �
� �
�x
x
/
/x
x
es un medio de transporte marítimo
es un medio de transporte marítimo�
�
c)
c) Q
Q �
� �
�x
x
/
/x
x
es un miembro de mi familia
es un miembro de mi familia�
�
d)
d) W
W �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número natural mayor que
es un número natural mayor que
10 y menor que 25
10 y menor que 25�
�
e)
e) R
R �
� �
�x
x
/
/x
x
es una de las asignaturas que
es una de las asignaturas que
tomo este año
tomo este año�
�
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
53.
53. Determina cada conjunto por comprensión.
Determina cada conjunto por comprensión.
a)
a) P
P �
� �
�1, 3, 5, 7, 9, 11,...
1, 3, 5, 7, 9, 11,...�
�
b)
b) M
M �
� �
�meñique, índice, anular, medio, pulgar
meñique, índice, anular, medio, pulgar�
�
c)
c) G
G �
� �
�5, 10, 15, 20, 25, 30
5, 10, 15, 20, 25, 30�
�
d)
d) X
X �
� �
�lunes, martes, miércoles, jueves, vier-
lunes, martes, miércoles, jueves, vier-
nes, sábado, domingo
nes, sábado, domingo�
�
e)
e) U
U �
� �
�0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9�
�
E
EJERCITACIÓN
JERCITACIÓN
54.
54. Indica si cada conjunto es finito, infinito,
Indica si cada conjunto es finito, infinito,
unitario o vacío.
unitario o vacío.
a)
a) A
A �
� �
�2
2�
�
b)
b) B
B �
� �
�x
x
/
/x
x
es un estudiante del curso
es un estudiante del curso�
�
c)
c) C
C �
� �
�x
x
/
/x
x
es un ser humano que mide 5 m
es un ser humano que mide 5 m�
�
d)
d) D
D �
� �
�invierno, primavera, verano, otoño
invierno, primavera, verano, otoño�
�
e)
e) E
E �
� �
�x
x
/
/x
x
es un número natural mayor que 100
es un número natural mayor que 100�
�
R
RAZONAMIENTO
AZONAMIENTO
55.
55. Copia cada proposición y completa el espa-
Copia cada proposición y completa el espa-
cio con el símbolo (
cio con el símbolo (
,
,
,
,
 o
o 
) que la hace
) que la hace
verdadera.
verdadera.
a)
a) 2
2 �
�x
x
/
/x
x
es número primo
es número primo�
�
b)
b) �
�2
2�
� �
�x
x
/
/x
x
es número primo
es número primo�
�
c)
c) p
p �
�x
x
/
/x
x
es letra de la palabra “paz”
es letra de la palabra “paz”�
�
d)
d) �
�3, 6, 8
3, 6, 8�
� �
�x
x
/
/x
x
es número par
es número par�
�
e)
e) 36
36 �
�x
x
/
/x
x
es múltiplo de 4
es múltiplo de 4�
�
f)
f) m
m �
�a, r, t, e,
a, r, t, e,�
�
g)
g) 5
5 �
�x
x
/
/x
x
es divisor de 42
es divisor de 42�
�
h)
h) �
�3
3�
� ��
��3
3�
�,
, �
�3,
3, 5
5�
�,
, �
�3, 5, 7
3, 5, 7��
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