Investigacion Operativa II.pdf

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
2
Prefacio:
sta asignatura de desarrollo teórico
practico y de carácter obligatorio,
tiene el propósito poner a
disposición de los estudiantes una
explicación conceptual del papel que desempeña la
investigación de operaciones en la toma de
decisiones.
Describe el diseño y análisis de modelos
matemáticos, para analizar situaciones en las que se
requiere optimizar el uso de recursos aplicando técnicas matemáticas de
optimización en el análisis económico, así como mostrar cómo puede un ingeniero
utilizar la optimización, a través de tópicos de programación matemática y
optimización dinámica.
Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:
Unidad I: Líneas de espera.
Unidad II: Modelo de Inventario.
Unidad III: Programación de proyectos.
Unidad IV: Simulación dinámica.
E

3
Estructura de los Contenidos
La competencia que el estudiante debe lograr al final de la
asignatura es:
“Aplicar con destreza y seguridad los conocimientos
matemáticos explicados en el texto para lograr
eficiencia y la automatización de los resultados”.
Líneas de Espera
Modelo de
Inventario
Programación
de Proyectos
Simulación
Dinámica
Líneas de espera de
un solo canal.
Líneas de espera
con múltiples
canales.
Líneas de espera
con tiempo de
servicios
arbitrarios.
Otros modelos de
líneas de espera.
Modelo de
cantidad
económica a
pedir.
Modelo de
tamaño de lote
económico de
producción.
Modelo de
inventario con
escasez
planeada.
Descuento por
cantidad para
el modelo EOQ.
Programación de
proyectos con
tiempos de
actividad conocido.
Programación de
proyectos con
tiempos inciertos.
Uso del software
WIN QSB para
programación de
proyectos.
Simulación.
Método
Montecarlo.
Simulación de
sistema de colas.
Teoría de
inventario con
WINQSB
Consideración de los
intercambios de
tiempo y costo.

4
Índice del Contenido
I. PREFACIO 02
II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 - 136
UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: LINEAS DE ESPERA 05-31
1. Introducción
a. Presentación y contextualización
b. Competencia
c. Capacidades
d. Actitudes
e. Ideas básicas y contenido
2. Desarrollo de los temas
a. Tema 01: Líneas de espera de un solo canal.
b. Tema 02: Líneas de espera con múltiples canales.
c. Tema 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios.
d. Tema 04: Otros modelos de líneas de espera.
3. Lecturas recomendadas
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
06
06
06
06
06
06
07-27
07
13
19
23
28
28
29
31
UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: MODELO DE INVENTARIO 32-58
1. Introducción
b. Competencia
c. Capacidades
d. Actitudes
a. Tema 01: Modelo de la cantidad económico a pedir.
b. Tema 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción.
c. Tema 03: Modelo de inventario con escasez planeada.
d. Tema 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ.
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
33
33
33
33
33
33
34-54
34
40
45
49
55
55
56
58
UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: PROGRAMACION DE PROYECTOS 59-100
1. Introducción
b. Competencia
c. Capacidades
d. Actitudes
a. Tema 01: Programación de proyectos con tiempos de actividad conocido.
b. Tema 02: Programación de proyectos con tiempos inciertos.
c. Tema 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo.
d. Tema 04: Uso del software WIN QSB para programación de proyectos.
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
60
60
60
60
60
60
61-91
61
74
82
86
92
92
95
100
UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: SIMULACION DINAMICA 101-131
1. Introducción
b. Competencia
c. Capacidades
d. Actitudes
a. Tema 01: Simulación.
b. Tema 02: Método Montecarlo.
c. Tema 03: Simulación de sistema de colas.
d. Tema 04: Teoría de inventario con WINQSB.
4. Actividades
5. Autoevaluación
6. Resumen
102
102
102
102
102
102
103-127
103
110
116
121
128
128
129
131
III. GLOSARIO 132
IV. FUENTES DE INFORMACIÓN 133
V. SOLUCIONARIO 134

6
Introducción
a) Presentación y contextualización
La teoría de líneas de espera es el estudio de la espera en las distintas
modalidades. Estudiaremos los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas
que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las formulas para
cada modelo indican cual debe ser el desempeño del sistema del sistema
correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en
diversas circunstancias.
b) Competencia
Conoce los diferentes tipos de línea de espera y su correcta aplicación para
lograr un eficiente desarrollo.
c) Capacidades
1. Identifica y comprende el modelo de línea de espera de un solo canal.
2. Analiza las características del modelo de múltiples canales.
3. Reconoce las características de líneas de espera con tiempos de servicio
arbitrarios.
4. Relaciona y compara los resultados obtenidos con otro tipo de modelos.
d) Actitudes
 Valora la utilidad del modelo de línea de espera para dar solución a problemas
de casos reales.
 Tiene una actitud positiva sobre las líneas de espera para realizar el análisis
económico e interpretar los resultados.
 Toma una actitud positiva al momento de investigar más temas sobre los
modelos de líneas de espera.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:
La Unidad de Aprendizaje 01: Líneas de espera, comprende el desarrollo de los
siguientes temas:
TEMA 01: Líneas de espera de un solo canal.
TEMA 02: Líneas de espera con múltiples canales.
TEMA 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios
TEMA 04: Otros modelos de líneas de espera.

7
TEMA 1
Identificar y comprender el modelo de línea
de espera de un solo canal.
Competencia:
de un
Solo Canal
de
Espera
Líneas

8
Desarrollo de los Temas
Tema 01: Líneas de Espera de un solo Canal
MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL
Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de
espera de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las
hipótesis siguientes son razonables.
1) La línea de espera tiene un solo canal.
2) Las llegadas siguen una distribución de
probabilidad Poisson.
3) Los tiempos de servicio siguen una distribución de
probabilidad exponencial.
4) La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio.
Características de operación
Se pueden usar las siguientes formulas para desarrollar las características de
operación en estado estable de una línea de espera de un solo canal, con
llegadas tipo Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:
 Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas).
 Promedio de servicios en el periodo (tasa media de servicio).
1. probabilidad de que no exista unidades en el sistema:
0 1
P


  (1.4)
2. Número promedio de unidades en la línea de espera:
2
( )
q
L

  


(1.5)
3. Número promedio de unidades en el sistema:
q
L L


  (1.6)

9
4. Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera:
q
q
L
W

 (1.7)
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:
1
q
W W

  (1.8)
6. probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio:
w
P


 (1.9)
7. probabilidad de n unidades en el sistema:
0
n
n
P P


 
  
 
(1.10)
Los valores de la tasa media de llegada  y la tasa media de servicios
 claramente son componentes de importancia en la determinación de
las características de operación. La ecuación (1.9) muestra la que la
relación de la tasa media de llegadas a la tasa media de servicios,
/
  , nos da la probabilidad de que una unidad tenga que esperar al llegar, debido a
que la instalación de servicio esté ocupada, por lo que /
  a menudo se conoce
como el factor de utilización de la instalación de servicio.
Las características de operación que se presentan en las
ecuaciones (1.4) a (1.10) son sólo aplicables cuando la tasa
media de servicio  es superior a la tasa media de llegada  ,
en otras palabras, cuando / 1
   . De no ser así, la línea de
espera continuara creciendo sin límite, porque la instalación de servicio no tiene
capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar las
ecuaciones (1.4) a (1.10) debemos tener  

Ejemplo: Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera,
veamos la línea de espera en un restaurante Burger Dome. Burger Dome vende
hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un limitado número de
productos especiales y postres.

10
Aunque Burger Dome desearía poder servir a cada uno de los
clientes de manera inmediata, hay veces que llegan más
clientes de los que puede manejar el personal de servicio de
alimentos de Burger Dome, por lo que los clientes esperan en
fila, para colocar y recibir su pedido. Burger Dome está
preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los
clientes están dando como resultado tiempos de espera excesivos. La administración
ha pedido que se haga un estudio de líneas de espera para ayudar a determinar cuál
es el mejor procedimiento para reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.
 Suponga que Burger Dome ha analizado los datos referentes a la llegada de
clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes por hora.
Para un lapso de un minuto, el número medio de llegadas sería
45/60 0.75
   llegadas por minuto, por lo que podemos utilizar la siguiente
función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas
durante un periodo de un minuto.
 Suponga que Burger Dome ha estudiado el proceso de toma y surtido de pedidos
y que ha llegado a la conclusión de que el único empleado de alimentos puede
procesar un promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un
minuto, la tasa promedio de servicio, es decir la media, seria 60/ 60 1
  
cliente por minuto. Por ejemplo , con 1
  , podemos utilizar la ecuación (1.3)
para calcular probabilidades , como la probabilidad de que
procese un pedido en medio minuto o menos, en minuto o
menos o en dos minutos o menos.
Solución.
Recuerde que para el problema de Burger Dome tenemos una
tasa media de llegada 0.75
  clientes por minuto y una
tasa de servicio de 1
  cliente por minuto, por lo cual,
ya que  
 , se pueden utilizar las ecuaciones (1.4) a
(1.10) para obtener las características de operación de la
línea de espera de un solo canal de Burger Dome:

11
0
2 2
0.75
1 1 0.25
1
0.75
2.25
( ) 1(1 0.75)
0.75
2.25 3
1
2.25
3 min
0.75
1 1
3 4 min
1
0.75
0.75
1
q
q
q
q
q
w
P
L clientes
L L clientes
L
W utos
W W utos
P



  






    
  
 
    
  
    
  
La ecuación (1.10) se puede usar para determinar la probabilidad de cualquier número
de clientes dentro del sistema.
Su aplicación nos la información de probabilidades que se resume en la tabla
siguiente:
Probabilidad de n clientes en el sistema para el problema de
la línea de espera de Burger Dome
Número de clientes Probabilidad
0 0.25
1 0.1875
2 0.1406
3 0.1055
4 0.0791
5 0.0593
6 0.0445
7 o más 0.1335
Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome
muestran varios elementos importantes sobre su operación.

12
En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos
antes de empezar a colocar su pedido, lo que parecería algo
largo para un negocio basado en servicio rápido. Además, el
hecho de que el número promedio de clientes esperando en la
cola sea de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tengan que
esperar para que les dé servicio, son indicadores de que algo debería
hacerse para mejorar la operación de la línea de espera. la tabla anterior
muestra una probabilidad de 0.1335 de que siete o más clientes estén en el
sistema de Burger Dome a la vez. Esta situación indica una probabilidad
razonable elevada de que si continua utilizando la operación de un solo canal, Burger
Dome experimentara algunas líneas de esperas largas.
MEJORA EN LA OPERACIÓN DE LA LINEA DE ESPERA
Después de revisar las características de operación obtenidas con el modelo de la
línea de espera, la administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer
mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en
la operación de la línea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de
servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente:
1) Incrementar la tasa media de servicio  mediante algún cambio creativo en el
diseño o utilizando nueva tecnología
2) Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades de
manera simultánea.

13
TEMA 2
Analizar las características del modelo de
múltiples canales.
Competencia:
con
Múltiples
Canales
de
Espera
Líneas

14
Tema 02: Líneas de espera con Múltiples
Canales
MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON
LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES.
Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o
localizaciones de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de
servicio. En el sistema de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una
sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser
atendidas.
Las formulas que se pueden utilizar para determinar las características de operación
en estado estable para una línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán
aplicables siempre que:
1. la línea de espera tenga dos o más canales,
2. las llegadas sigan la distribución de probabilidad de Poisson,
3. el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de
probabilidad exponencial,
4. la tasa media de servicio  es la misma para cada uno
de los canales,
5. las llegadas esperan en una sola línea de espera y
entonces pasan al primer canal abierto para su servicio, y
6. la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros
servicios.
Las características de operación
Para calcular las características de operación en estado estable de las líneas de
espera de canal múltiple, se pueden utilizar las siguientes formulas,
donde
 Tasa media de llegadas del sistema
 Tasa media de servicio de cada canal

15
k Número de canales
1. probabilidad de ninguna unidad en el sistema:
   
0
1
0
1
/ /
! !
n k
k
n
P
k
n k k
    
 



 
  

 

(1.11)
 
   
0
2
/
1 !
k
q
L P
k k
  
 

 
(1.12)
q
L L


  (1.13)
4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:
q
q
L
W

 (1.14)
5. tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema:
1
q
W W

  (1.15)
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por servicio:
0
1
!
k
w
k
P P
k k
 
  
   
    

   
(1.16)
7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema:
 
0
/
,
!
n
n
P P para n k
n
 
  (1.17)
 
0
( )
/
,
!
n
n n k
P P para n k
k k
 

  (1.18)
Dado que  es la tasa media de servicio de cada canal, k es
la tasa media de servicio para el sistema de canales múltiples.
Como en el caso de un modelo de línea de espera de un solo
canal, las formulas para las características de operación de las
líneas de espera de canal múltiple sólo pueden aplicarse en
situaciones en las que la tasa media de servicio para el sistema sea superior a la tasa

16
media de llegadas del sistema; en otras palabras, las formulas sólo son aplicables si
k es mayor que  .
Ejemplo.
Para ilustrar el modelo de líneas de espera de canal múltiple, regresamos al
problema de la línea de espera del restaurante de comidas rápida Burger Dome.
Suponga que la administración desea evaluar la conveniencia de abrir una
segunda estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender
simultáneamente a dos clientes. Suponga que solo habrá una línea de espera y el
siguiente cliente en la cola pasando al primer servidor disponible, con lo que
tenemos una línea de espera de dos canales para Burger Dome. Evaluemos las
características de operación de este sistema de dos canales.
Utilizando las ecuaciones (1.12) a (1.18) para el sistema de k= 2 canales. Para una
tasa media de llegadas 0.75
  clientes por minuto y una tasa media de servicio
1
  cliente por minuto para cada uno de los canales, obtenemos las
características de operación:
0 0.4545, / 0.75
P con  
 
 
2
2
(0.75/1) (0.75)(1)
(0.4545) 0.1227
(2 1)! 2(1) 0.75
q
L cliente
 
 
0.75
0.1227 0.8727
1
q
L L cliente


    
0.1227
0.16 min
0.75
q
q
L
W uto

  
1 1
0.16 1.16 min
1
q
W W utos

    
2
1 0.75 2(1)
(04545) 0.2045
2! 1 2(1) 0.75
w
P
 
 
 
   

   
Utilizando las ecuaciones (1.17) y (1.18) , podemos
calcular las probabilidades de n clientes en el sistema.

17
Los resultados de estos cálculos se resumen en la siguiente tabla:
Probabilidad de n clientes en el sistema para el
problema de la línea de espera de dos canales de
Burger Dome
Número de clientes Probabilidad
0 0.4545
1 0.3409
2 0.1278
3 0.0479
4 0.0180
5 o más 0.0109
Ahora podemos comparar las características de operación en estado estable del
sistema de dos canales con las características de operación del sistema original de un
solo canal, que se analizo anteriormente.
1. El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de servicio +
tiempo de espera) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.16 minutos.
2. El número promedio de clientes en la línea de espera se reduce de
2.25 0.1227
q q
L a L
  clientes.
3. El tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera se reduce de
3 0.16
q q
W a W
  minutos.
4. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de
0.75 0.2045
w w
P a P
 
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA.
En las secciones anteriores presentamos formulas para calcular las características de
operación de líneas de espera de un solo canal y de canal múltiple, con llegadas
Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Las características operativas de interés
incluían
q
L  Número promedio de unidades en la línea de espera

18
L Número promedio de unidades en el sistema
q
W =tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera
W = tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema
John D. C. Little demostró que entre estas cuatro características existen varias
relaciones y que pueden aplicarse a toda la diversidad de los sistemas de líneas de
espera. Dos de estas relaciones, conocidas como las ecuaciones de flujo de Little, son
L W

 (1.19)
q q
L W

 (1.20)
ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA
Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, empezaremos por
definir las notaciones que se emplearan:
w
c  Costo de espera por periodo de cada unidad
L Número promedio de unidades en el sistema
s
c  Costo de servicio por periodo de cada canal
k Número de canales
TC Costo total por periodo
El costo total es la suma del costo tanto de espera como de servicio; esto es,
w s
CT c L c k
  (1.21)
Ejemplo:
Para demostrar el uso de la ecuación (1.21), suponemos que Burger Dome está
dispuesto a asignar un costo de 10 dólares por hora al tiempo de espera del cliente.
Para obtener el costo total por hora para el sistema de un solo canal y de dos canales
utilizaremos el número promedio de unidades en el sistema L, según se calculo en las
secciones anteriores:
Sistema de un solo canal (L = 3 clientes)
$10(3) $7(1) $37.00
w s
CT c L c k
TC por hora
 
  
El sistema de dos canales (L = 0.8727)

19
$10(0.8727) $7(2) $22.73
w s
CT c L c k
TC por hora
 
  
Por lo que, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el
sistema de dos canales ofrece la solución más económica.
TEMA 3
Reconocer las características de líneas de
espera con tiempos de servicio arbitrarios.
Competencia:
con
Tiempo
Servicios
de
Espera
Líneas
de
Arbitrarios

20
Tema 03: Líneas de Espera con Tiempo de
Servicios Arbitrarios
EL MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS
TIPO POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se
describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora
supondremos que la distribución de probabilidad de los
tiempos de servicio no es exponencial, por lo que,
utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de
espera apropiado es M/G/1, donde G indica una
distribución de probabilidad general o no especificada.
Características de operación para el modelo
m/g/1
La notación utilizada para describir las características de
operación del modelo M/G/1 es:
 Tasa media de llegada
  Tasa media de servicios
1

Tiempo promedio o medio de servicio
 Desviación estándar del tiempo de servicio
A continuación aparecen algunas de las características de operación en estado
estable del modelo de línea de espera M/G/1

21
1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:
0 1
P


  (1.22)
2 2 2
( / )
2(1 / )
q
L
   
 



(1.23)
q
L L


  (1.24)
4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera:
q
q
L
W

 (1.25)
5. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema:
1
q
W W

  (1.26)
6. Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar servicio:
w
P


 (1.27)
Note que las relaciones para L, q
W y W son las mismas que las que se utilizaron para
los modelos de líneas de espera de las secciones anteriores. También están basadas
en las ecuaciones de flujo de Little.
Ejemplo
Un empleado maneja las ventas al menudeo en Hartlage. Las llegadas de los clientes
son aleatorias y la tasa promedio de llegadas es
de 21 clientes por hora, es decir

22
21/60 0.35
   clientes por minuto. Un estudio del proceso de servicio muestra que
el tiempo promedio o medio del servicio es de dos minutos por cliente, con una
desviación estándar 1.2
  minutos.
El tiempo medio de dos minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa de
servicio media de 1/ 2 0.5
   clientes por minuto. Las características de operación
de este sistema de línea de espera M/G/1, son:
0
2 2 2 2 2 2
0.35
1 1 0.30
0.50
( / ) (0.35) (1.2) (0.35/ 0.50)
1.11
2(1 / ) 2(1 0.35/ 0.50)
0.35
1.11 1.81
0.50
1.11
3.17 min
0.35
1 1
3.17 5.17 min
0.50
0.35
q
q
q
q
q
w
P
L clientes
L L clientes
L
W utos
W W utos
P


   
 






    
 
  
 
    
  
    
  0.70
0.50

El administrador de Hantlage puede estudiar estas características de operación para
determinar si merece la pena programar un segundo empleado.

23
TEMA 4
Relacionar y comparar los resultados
obtenidos con otro tipo de modelos.
Competencia:
de
Líneas
Espera
de
Modelos
Otros

24
Tema 04: Otros Modelos de Líneas de
Espera
LÍNEAS DE ESPERA CON TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES
Deseamos comentar brevemente a un modelo
de línea de espera de un solo canal que
supone llegadas aleatorias, pero con tiempos
de servicio constante. Esta línea de espera
puede ocurrir en entornos de producción y
manufactura, en los que los tiempos de servicio
controlados por las maquinas son constantes.
Esta línea de espera se describe como un
modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos.
En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en
la línea de espera, q
L , utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la
desviación estándar del tiempo constante de servicio sea 0
  , por lo que la
expresión para el numero promedio de unidades de la línea de espera M/D/1 se
convierta en:
2
( / )
2(1 / )
q
L
 
 


(1.28)
MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADA POISSON, TIEMPOS DE
SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LINEAS DE ESPERA.

25
El sistema específico considerado en esta sección se basa en las siguientes hipótesis.
1. El sistema tiene k canales.
2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson , con una tasa
media de llegada 
3. Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener cualquier
distribución de probabilidad.
4. La tasa media de servicio  es la misma para cada
canal.
5. Las llegadas entran al sistema únicamente si por lo
menos uno de los k canales está disponible, Las llegadas
que ocurran cuanto todos los canales estén ocupados
quedaran bloqueadas, esto es, se les negara el servicio y no se les permitirá la
entrada al sistema.
Cuando G indica una distribución de probabilidad general o no especificada parea los
tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación se conoce como modelo
M/G/k con “clientes bloqueados y eliminados”, la pregunta que se hace en este tipo de
situación es ¿Cuántos canales o servidores debe utilizarse?
Características de operación para un modelo m/g/k, con clientes
bloqueados y eliminados.
Nos enfrentaremos al problema de seleccionar el número más apropiado de
canales para calcular las probabilidades de estado estable de que j de los
canales estén ocupadas. Estas probabilidades son:
 
 
0
/ / !
/ / !
j
j k
i
i
j
P
i
 
 



(1.29)
Donde:
 : Tasa media de llegada

26
 : Tasa media de servicio de cada canal
k : Número de canales
j
P : Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados para j = 0,1,2,3,…k
El valor más importante de la probabilidad es k
P , que es la probabilidad de que todos
los k canales estén ocupados. En una base porcentual, k
P es el porcentaje de
llegadas que se bloquearan y a las que se les negara acceso al sistema.
Otras características de operación de interés es el número promedio de unidades en el
sistema; note que esto equivale al número promedio de canales en uso. Haciendo que
L represente el número promedio de unidades en el sistema, tenemos:
(1 )
k
P
L



 (1.30)
MODELO DE LINEA DE ESPERA CON POBLACIONES DE SOLICITANTES
FINITAS.
El modelo de población de solicitantes finito que se analizara en esta sección se basa
en las siguientes hipótesis.
1. La línea de espera tiene un solo canal
2. La población de unidades que pudieran solicitar servicio es finita.
3. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de probabilidad Poisson,
con una tasa media de llegada 
4. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con
una tasa media de servicio  .
5. La disciplina de la línea es primeras llegadas, primeros servicios.
El modelo de línea de espera apropiado en estos casos se conoce como
modelo M/M/1, con una población de solicitantes finita.
Las características de operación para el modelo m/m/1, con una población
de solitantes finita

27
Las formulas siguientes se utilizan para determinar las características de operación en
estado estable para el modelo M/M/1 con una población
de solicitantes finita, donde:
 : Tasa media de llegada de cada unidad
 : Tasa media de servicio
N : Tamaño de la población.
1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:
 
0
1
1
!
!
n
N
n
P
N
N n




 
 
  

(1.31)
 
0
1
q
L N P
 


   (1.32)
 
0
1
q
L L P
   (1.33)
4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:
 
q
q
L
W
N L 


(1.34)
5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:
1
q
W W

  (1.35)
6. Probabilidad de n unidades en el sistema:
  0
!
; 0,1,....
!
n
n
N
P P n N
N n


 
 
 
  
(1.36)

28
Lecturas Recomendadas
1) Ingresa al link “Línea de Espera” lee atentamente las indicaciones,
desarróllalo y envíalo por el mismo medio.
En un supermercado local, con sólo una caja de salida. Suponga que los
compradores llegan al carril de salida de acuerdo con una distribución de
probabilidad Poisson, con una tasa media de llegadas de 15 clientes por
hora. Los tiempos de servicios de caja siguen una distribución de
probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 30 clientes por
hora.
a) Calcule las características de operación de esta línea de espera.
b) Si la meta de servicio del administrador es limitar el tiempo de espera
antes de iniciarse el proceso de cobrar a no más de 5 minutos, ¿qué
recomendaciones haría usted en relación con el sistema de caja
actual?
2) Ingresa al link “Línea de Espera 2” lee atentamente las indicaciones,
La compañía Toyota ha decidido contratar un nuevo mecánico para manejar
todos los cambios de llantas de clientes que ordenan juegos nuevos de
llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca
experiencia, puede contratarse por 14 dólares la hora y darle servicio a un
promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de
experiencia, puede dar servicio a un promedio de 4 clientes por hora, pero
se le tendría que pagar 20 dólares la hora. Suponga que los clientes llegan
al taller de Toyota a la tasa de 2 clientes por hora.
a) Calcule las características de la línea de espera de cada mecánico,
suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicios exponenciales.
 TEORÍA DE COLAS
http://www.angelfire.com/planet/recursamiento_invo2/clase22.pdf
 TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA:
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2.pdf
 LÍNEAS DE ESPERA: TEORÍA DE COLAS:
http://oromeroio.blogcindario.com/ficheros/Lineasdeespera.pdf
Actividades y Ejercicios

29
Autoevaluaciones
1) En el modelo de líneas de espera con tiempos de servicio constante se
considera la desviación estándar:
a. 1
 
b. 1
 
c. 0
 
d. 0
 
e. 0
 
2) Los tiempos de servicio en una línea de espera de un solo canal tiene
distribución:
a. Exponencial.
b. Poison.
c. Normal.
d. Uniforme.
e. Binomial.
3) Los modelos de líneas de espera estudian:
a. Las unidades en almacén.
b. Los clientes en cola.
c. Los proyectos en una empresa.
d. Las características de un proyecto para tomar decisiones.
e. Los costos en inventario.
4) Para hallar el costo total de un análisis de sistema de líneas de espera se usa
una de las características lo cual es:
a. El tiempo promedio en cola.
b. El tiempo promedio en el sistema.
c. El número promedio de clientes en cola .
d. El número promedio de clientes en el sistema.
e. La probabilidad de que un cliente este en el sistema.

30
5) Investigó las características de las líneas de espera:
a. Platón.
b. Erlang.
c. Arquímedes.
d. Poisson.
e. Newton.
6) Las características de operación de un modelo de línea de espera de un solo
canal se puede usar si:
a.  

b.  

c.  

d. 1
 
e. 1
 
7) Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta
empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una
distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos
mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial).Suponiendo
que la secretaria trabaja ocho horas diarias. Calcular el número promedio de
cartas que están esperando en cola.
a. 1.
b. 4.17.
c. 2.
d. 3.4.
e. 5.2.
8) Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros,
en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se
estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el
transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo
con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de
vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar la
probabilidad de que Sam este ocioso.
a. 0.99.
b. 0.25.
c. 0.33.
d. 0.5.
e. 0.35.
9) Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por
minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20
segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las
distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta
situación. Calcular el tiempo promedio que debe de esperar una llamada
antes de ser tomada por él operador
a. 0.67 seg.
b. 1.25 seg.
c. 3.5 seg.
d. 2.3 seg.

31
Resumen
e. 1.5 seg.
10) Las llegadas en una línea de espera de un solo canal tienen una
distribución:
a. Exponencial.
b. Poisson.
c. Normal.
d. Uniforme.
e. Binomial.
U
UN
NI
ID
DA
AD
D D
DE
E A
AP
PR
RE
EN
ND
DI
IZ
ZA
AJ
JE
E I
I:
:
Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de espera
de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las hipótesis siguientes son
razonables. La línea de espera tiene un solo canal. Las llegadas siguen una distribución de
probabilidad Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad
exponencial. La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio. Después de revisar
las características de operación obtenidas con el modelo de la línea de espera, la
administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseñadas para
reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de
espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de
servicio se hacen mediante lo siguiente: Incrementar la tasa media de servicio  mediante
algún cambio creativo en el diseño o utilizando nueva tecnología. Agregar canales de
servicio, de manera que se puedan servir más unidades de manera simultánea.
Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o localizaciones
de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema
de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una sola línea de espera y a
continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas. Las formulas que se
pueden utilizar para determinar las características de operación en estado estable para una
línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán aplicables siempre que la línea de
espera tenga dos o mas canales, las llegadas sigan la distribución de probabilidad de
Poisson, el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de probabilidad
exponencial, la tasa media de servicio  es la misma para cada uno de los canales, las
llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para
su servicio, y la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios.
Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se
describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora
supondremos que la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio no es
exponencial, por lo que, utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de espera
apropiado es M/G/1, donde G indica una distribución de probabilidad general o no
especificada.
Deseamos comentar brevemente a un modelo de línea de espera de un solo canal que
supone llegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta línea de espera
puede ocurrir en entornos de producción y manufactura, en los que los tiempos de servicio

32
controlados por las maquinas son constantes. Esta línea de espera se describe como un
modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos. En el caso del modelo
M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en la línea de espera, q
L ,
utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la desviación estándar del tiempo
constante de servicio sea 0
  , por lo que la expresión para el numero promedio de
unidades de la línea de espera M/D/1 se convierta en 2
( / )
2(1 / )
q
L
 
 



33
Introducción
En esta sección veremos modelos de inventarios de elementos que tienen una
demanda independiente. Esto es, la demanda del elemento no depende de la
demanda de otros productos o elementos. Muy frecuentemente, la demanda
independiente se genera por los clientes al colocar pedidos de productos
terminados. La demanda dependiente está caracterizada por ser una demanda de
elementos, como componentes y subensambles, directamente relacionada con la
demanda de otros elementos producidos por la firma.
b) Competencia
Aprende la correcta toma de decisiones teniendo en cuenta los modelos de
inventarios.
c) Capacidades
1. Identifica el modelo de la cantidad económica a pedir.
2. Reconoce las características del modelo de tamaño de lote de producción para
la toma de decisiones.
3. Comprende el modelo de inventario con escasez planeada y analiza sus
características.
4. Determina la correcta planeación de los descuentos por cantidad para el
modelo EOQ.
d) Actitudes
 Valora los modelos de inventario para la toma de decisiones.
 Toma una actitud positiva con respecto a la economía de producción.
 Tiene iniciativa para poder investigar temas relacionados al modelo EOQ.
e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

34
La Unidad de Aprendizaje 02: Modelo de Inventario, comprende el desarrollo
de los siguientes temas:
TEMA 01: Modelo de cantidad económica a pedir.
TEMA 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción.
TEMA 03: Modelo de inventario con escasez planeada.
TEMA 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ.
TEMA 1
Identificar el modelo de la cantidad
económica a pedir.
Competencia:
a
Económico
Pedir
de
Cantidad
Modelo

35
Tema 01: Modelo de Cantidad Económico a Pedir
Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o
mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo
especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para
asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones
considerando cuándo hacer pedidos y en qué
cantidad, son típicas de cada problema de inventario.
La demanda requerida puede satisfacerse
almacenando una vez según todo el horizonte de
tiempo o almacenando separadamente cada unidad
de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que
pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de
tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).
Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo
pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-
almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo
pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin
mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad
ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas
sobre la minimización de una función de costo apropiada la cual balancea los costos
totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.
Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan
primero características básicas de un sistema de inventarios:

36
Parámetros económicos: estos parámetros incluyen los tipos siguientes:
a. Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con
la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente
se supone independiente de la cantidad ordenada o producida.
b. Precios de compra o costo de producción. Este parámetro de especial
interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o
cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una
disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada
debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio.
c. Precio de venta. En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser
afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está
basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el
ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser
constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o
no en la cantidad.
d. Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener
el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de
almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de
llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de
inventario, así como con el tiempo que el artículo se tiene en almacén.
LA DEMANDA
El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el
caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades
necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos
iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas
variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica,
respectivamente:
La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos
durante un cierto período no se conocen con certeza si
no que su modelo puede describirse por una distribución

37
conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es
estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a
demandas estática y dinámica en el caso determinista).
La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio
del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas
instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de
llevar el inventario.
Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario.
Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes
sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas:
a. Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza
continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se
coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos
depósitos".
b. Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente
a intervalos igualmente espaciados.
 Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido,
puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún
tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre
la colocación de un pedido y su surtido se conoce como
demora en la entrega. En general, las holguras de entrega
pueden ser deterministas o probabilista.
 Reabasto del almacén: aunque un sistema de inventario puede operar con
demora en las entregas, el abastecimiento real del
almacén puede ser instantáneo o uniforme. El
instantáneo ocurre cuando el almacén compra de
fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el
producto se fabrica localmente dentro de la

38
organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la
entrega y también con reaprovisionamiento de almacén.
 Horizonte de Tiempo: el horizonte define el período sobre el cual el nivel de
inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito,
dependiendo de la naturaleza o la demanda.
 Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener
varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos
puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa
como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de
operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de
demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación
usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.
 Número de artículos: Un sistema de inventarios puede comprender más de
un artículo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una
clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden
competir en espacio o capital total limitados.
MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA A PEDIR (EOQ)
El modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es
aplicable cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o
prácticamente constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario
en un momento en el tiempo. La hipótesis de la tasa de demanda constante significa
que en cada periodo de tiempo se extrae del inventario un mismo número de
unidades, por ejemplo, 5 unidades todos los días, 25 unidades todas las semanas, 100
unidades en cada periodo de 4 semanas, y así sucesivamente.
Supongamos que:
I = tasa del costo de posesión anual.
C = Costo unitario de un elemento del inventario.
h
C = costo anual de posesión de una unidad en inventario.
El costo anual de posesión de una unidad en el inventario es h
C IC


39
La ecuación general para el costo anual de posesión para el
inventario promedio de 1/2Q unidades es como sigue:
1
2
h
Nivel Costoanual
Costoanual
promediodel de posesión
de posesión
inventario por unidad
QC
  
    

    
    
  

Para completar el modelo de costo total debemos incluir el costo anual de pedir.
D es la demanda anual para el producto. Sabemos que pidiendo Q unidades cada vez
que ordenamos, tendremos que colocar D/Q pedidos al año. Si 0
C es el costo de
colocar un pedido, la ecuación general para el costo anual de pedir es como sigue:
0
Costoanual Númerode Costo por
de pedir pedidos por año pedido
D
C
Q
    

    
    
 
  
 
Por lo que el costo anual total, representado por CT, se puede expresar como sigue:
0
1
2
h
Costo Costo Costo
anual anual de anual de
total posesión pedir
D
CT QC C
Q
     
     
 
     
     
     
 
La cantidad a pedir con mínimo costo total queda identificada con un tamaño de
pedido *
Q . Utilizando calculo diferencial, puede demostrarse que el valor *
Q queda
minimiza el costo anual de pedir está dado por la formula:
0
2
*
h
DC
Q
C

La decisión de cuándo pedir se expresa en función de un punto de
reorden: la posición del inventario en la que debe colocarse un
nuevo pedido.

40
La expresión general del punto de reorden es como sigue:
r dm

Donde:
r = punto de reorden
d = demanda por día
m = tiempo de entrega para un pedido nuevo en días.
Tiempo del ciclo:
250 *
Q
T
D

TEMA 2
Reconocer las características del modelo de
tamaño de lote de producción para la toma
de decisiones.
Competencia:
de Lote
Económico
de
Tamaño
Modelo
de
Producción

41
Tema 02: Modelo de Tamaño de Lote
Económico de Producción
Lote Económico de Producción (conocido en inglés como Economic Production
Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios
que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de
producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción
y venta de productos finales ocurrirán de forma
simultánea, lo que lo diferencia del modelo de
cantidad económica de pedido. Su finalidad es
encontrar el lote de producción de un único producto
para el cual los costos por emitir la orden de
producción y los costos por mantenerlo en inventario
se igualan. El modelo fue formulado inicialmente por E. W. Taft en 1918.
VENTAJAS E INCONVENIENTES
A diferencia del modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos
estático que el anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el
reabastecimiento de inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se
construye progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra
recoger situaciones del mundo real. Así mismo, la consideración de tasas de
producción y demandas diarias permite ajustar más eficazmente el modelo a la
realidad, obteniendo cantidades por pedido óptimas que lograrán minimizar costes
totales teniendo en cuenta costes de mantenimiento de inventario más realistas.

42
Por otro lado, el modelo, aunque más dinámico que el de cantidad económica de
pedido, sigue presentando diversas limitaciones derivadas de sus supuestos. Así, la
demanda será nuevamente constante, fenómeno que no ocurrirá en el mundo real
donde encontraremos demandas variables que podrán presentar estacionalidad o
irregularidad derivada de pocos y periódicos compradores de grandes volúmenes, etc.
Suponiendo que la demanda permanecerá constante a lo largo del año y tomando
decisiones sobre la cantidad por pedido basándonos en ello estamos expuestos al
riesgo de cambios en la demanda que anulen la validez de nuestras predicciones.
No sólo a nivel anual, la demanda también podrá estar expuesta a variaciones durante
el leadtime que podrán conducir a stockouts, lo que supondrá el fracaso de nuestra
política de gestión de inventarios. En este último caso, tendremos que recurrir al uso
de modelos probabilísticos para la estimación de niveles de demanda, costes de
stockout, etc.
Por último, poniendo en comparación el modelo de lote económico de producción con
el modelo de cantidad económica de pedido, observamos que el primero
presenta una reducción en costes totales de mantener inventario
respecto al segundo. Así, el hecho de que en el modelo que
hemos analizado en este artículo el nivel medio anual de
inventario sea menor que en el modelo de cantidad
económica de pedido debido a la producción y simultánea
venta, hace que los costes totales de mantener inventario
sean menores.
Para este modelo Supongamos que:
d = tasa diaria de demanda del producto
p = tasa diaria de producción del producto
t = número de días de una corrida de producción
Entonces:  
Nivel máximo de inventarios = p-d t
Si sabemos que estamos produciendo un tamaño del lote
de producción de Q unidades a una tasa diaria de
producción de p unidades, entonces Q pt
 , y la duración
de la corrida de producción t deberá ser:

43
Q
t días
p

Por lo que:
d
Nivel máximo de inventarios = 1-
p
Q
 
 
 
El nivel promedio del inventario, que es la mitad del nivel máximo de inventarios,
está dado por:
1
Nivel máximo del inventario = 1
2
d
Q
p
 

 
 
Con un costo de posesión anual por unidad de h
C , la ecuación general para el costo
de posesión anual es:
1
1
2
h
Nivel Costo
Costoanual
promediodel anual por
de posesión
inventario unidad
d
QC
p
  
    

    
    
  
 
 
 
 
Si D es la demanda anual del producto y 0
C es el costo de preparación de una corrida
de producción, entonces el costo anual de preparación, que sustituye el costo anual
de pedir del modelo EOQ, es como sigue:
0
Costoanual Númerodecorridas Costode
de preparación de producción por año preparación por corrida
D
C
Q
    

    
    

Por lo que el costo anual del modelo (CT) es:

44
0
1
1
2
h
d D
CT QC C
p Q
 
  
 
 
Como se cumple la relación:
250 250
d D
P p y D d
p P
   
Por lo tanto, podemos escribir el modelo de costo anual total como sigue:
0
1
1
2
h
D D
CT QC C
P Q
 
  
 
 
Además se obtiene que el tamaño del lote de producción está dado por:
0
2
*
1 h
DC
Q
D
C
P

 

 
 
Ejemplo
1) Suponga que una línea de producción opera de tal manera que fuera
aplicable el modelo del tamaño del lote de producción. Dado D = 5800
unidades por año, 0 15 , 2
h
C C dolares
  por unidad por año,
usando una tasa de producción de 6000 unidades :
a) Usando el modelo EOQ calcule la cantidad a pedir y el costo
total.
b) Usando el modelo de producción calcule el tamaño del
lote de producción de costo mínimo y su costo respectivo.
Solución:
a) Usando el modelo EOQ
Datos: Costo de posesión: C h= 2 dólares.
Costo de pedir: Co = 15 dólares.
Demanda anual: D = 6000 unidades.

45
Entonces la cantidad recomendada a pedir es:
0
2
* 208.57
h
DC
Q
C
 
unidades, por lo tanto el costo total: 0
1
* 834.26
2 *
h
D
CT Q C C
Q
   dólares
b) Usando el modelo de producción :
0
2
* 1615.55
1 h
DC
Q
D
C
P
 
 

 
 
Unidades
Y el costo total es: 0
1
1 * 107.70
2 *
h
D D
CT Q C C
P Q
 
   
 
 
dólares
TEMA 3
Comprender el modelo de inventario con
escasez planeada y analizar sus
características.
Competencia:
con Escasez
Planeada
de
Inventario
Modelo

46
Tema 03: Modelo de Inventario con Escasez
Planeada
Escasez de existencia es una demanda que no puede cubrirse. En muchas
situaciones la escasez de inventario es indeseable y debería evitarse. Sin embargo, en
otros casos pudiera resultar deseable desde el punto de vista económico- planear y
permitir estos faltantes. El modelo de pedidos pendientes de surtir que desarrollamos
es una extensión del modelo EOQ .Utilizamos el modelo EOQ, en el cual todos los
bienes llegan al inventario de una vez y hay una tasa constante de demanda.
Si hacemos que S represente el número de pedidos pendientes de surtir acumulados
cuando se recibe un nuevo embarque de tamaño Q, entonces el sistema de
inventarios para el caso de pedidos pendientes de surtir tiene las siguientes
características:
 Si existen pedidos pendientes de surtir S cuando llega un nuevo embarque del
tamaño Q, los primeros se embarcan a los clientes apropiados y las unidades
restantes Q – S permanecen en inventario, por lo que el nivel máximo de
inventarios es Q – S.

47
 El ciclo de inventarios de T días se divide en dos etapas distintas: 1
t días, cuando
hay existencias a la mano y los pedidos se van llenando conforme ocurren, y 2
t
días, cuando hay escasez de inventario y todos los nuevos pedidos se quedan
en la lista de pedidos pendientes por surtir.
 
2
_
2
Q S
Nivel promedio deinventario
Q

D
Númeroanual de pedidos
Q

2
2
S
Nivel promediode pedidos pendientesdesurtir
Q

Supongamos que:
h
C  Costo de mantener una unidad en inventario durante un año
0
C  Costo de pedir
b
C  Costo de mantener una unidad en la lista de pedidos pendientes de surtir durante
un año.
El costo anual total (CT) del modelo de inventarios con pedidos pendientes de surtir se
convierte en
 
2 2
0
2 2
h b
Q S D S
CT C C C
Q Q Q

  
Dadas las estimaciones de costo 0
,
h b
C C y C y la
demanda anual D, los valores de costo mínimo de las
cantidades de pedido Q* y los pedidos pendientes por
surtir S* planeados son como sigue:

48
0
2
*
* *
h b
h b
h
h b
DC C C
Q
C C
C
S Q
C C
 

  
 
 
  

 
Ejemplo
2) Electra es una nueva tienda de especialización que vende televisores, grabadoras
de cinta, juegos de videos y otros productos relacionados con la televisión. Una
nueva grabadora de video fabricada en Japón cuesta a
Electra 500 dólares por unidad. La tasa del costo anual de
posesión de Electra es de 17%. Los costos de pedir se
estiman en 50 dólares por pedido. Si la demanda de la
nueva grabadora de videocinta se espera constante a
una Tasa de 25 unidades por mes,
Asume dos políticas:
a) El modelo EOQ
¿Cuál es la cantidad recomendada de Pedido para la grabadora de cinta? y
el costo total?
Solución
Datos: Costo unitario: C = 500 dólares
Costo de pedir: Co = 50 dólares
Demanda anual: D = 300 unidades
La tasa del costo anual de posesión: I = 17%,
Entonces la cantidad recomendada a pedir es :
0
2
* 18.79
h
DC
Q
C
  , por
lo tanto el costo total: 0
1
* 1596.87
2 *
h
D
CT Q C C
Q
   dólares.
b) Si Electra propone pedidos pendientes por surtir, asumiendo un costo de 85
dólares, ¿Cuál es la cantidad recomendada de Pedido para la grabadora de
cinta? y el costo total?

49
Solución:
Asumiendo costos por pedidos pendientes por surtir: Cb = 85 dólares
La cantidad a pedir: 0
2
* 26.57
h b
h b
DC C C
Q
C C
 

 
 
 
unidades
Cantidad de pedidos pendientes por surtir: * * 13.28
h
h b
C
S Q
C C
 
 
 

 
unidades
El costo total respectivo es:
 
2 2
0 1129.16
2 2
h b
Q S D S
CT C C C
Q Q Q

   
dólares
TEMA 4
Determinar la correcta planeación de los
descuentos por cantidad para el modelo EOQ.
Competencia:
para el Modelo
EOQ
por Cantidad
Descuento

50
Tema 04: Descuento por Cantidad para el
Modelo EOQ
Los descuentos por cantidad se dan en numerosas situaciones en las que los
proveedores dan un incentivo por pedidos grandes al ofrecer un costo menor de
adquisición cuando los productos se ordenan en lotes o cantidades mayores. En esta
sección mostraremos cómo se puede utilizar el modelo EOQ cuando hay descuentos
por cantidad.
Paso 1. Para cada plan de descuento,
calcule un Q* utilizando la formula EOQ
basada en el costo unitario asociado
con el plan de descuento.
Paso 2. Para aquel Q* que sea
demasiado pequeño para calificar por lo
que se refiere al plan de descuento
supuesto. Ajuste la cantidad a pedir hacia la cantidad a pedir más próxima superior
que permita que dicho producto se pueda adquirir al precio supuesto.

51
Si un Q* calculado para un precio con descuento dado es suficiente grande para
calificar para un descuento aun superior. El valor de Q* no puede llevar a una solución
óptima. Aunque la razón pudiera no ser obvia, es una propiedad del modelo de
descuento por cantidad EOQ.
En los modelos de inventarios que hemos considerado antes no se
incluyó el costo anual de compra del elemento porque era constante
y nunca afectaba la decisión de política de pedido y de inventarios.
Sin embargo, en el modelo de descuentos por cantidad, el
costo anual de las compras depende de la cantidad pedida y
del costo unitario asociado, por lo que el costo anual
de la compra (la demanda anual D por el costo unitario
C) se incluye en la ecuación del costo total, según se
muestra aquí:
0
2
h
Q D
CT C C DC
Q
  
Paso 3. Para cada cantidad a pedir, resultado de los pasos 1 y 2, calcule el costo total
anual utilizando el precio unitario del plan de descuento apropiado, y la ecuación:
0
2
h
Q D
CT C C DC
Q
  
La cantidad a pedir que dé el mínimo costo total anual será la cantidad óptima a pedir.
Ejemplo:
1) Suponga que es apropiado el programa siguiente de descuentos por cantidad. Si
la demanda anual es de 180 unidades, los costos de pedir son 50 dólares por
pedido y la tasa de costo de posesión anual es de 25%,
Tamaño del
pedido
Costo
Unitario ($) Q*
Q*
recomendado
Costo
total($)
0 a 99 80 30 30 6000
100 a 199 70 32 100 13565
200 a mas 60 34 200 12345

52
a) ¿Qué cantidad a pedir recomendaría usted?
Datos: D = 180 unidades
I = 25 %
Co = 50 dólares
0
2
* 30
h
DC
Q
C
  Unidades,
b) Cual es el costo total respectivo?
0
1
* 6000
2 *
h
D
CT Q C C DC
Q
    Dólares
MODELO DE INVENTARIOS DE UN SOLO PERIODO CON DEMANDA
CONSTANTE.
Los modelos de inventario que hemos analizado se basan en la hipótesis de que la
tasa de demanda es constante y deterministica a lo largo del año.
Con base en esta hipótesis desarrollamos políticas de costo de pedido y de cantidades
de pedido de costo mínimo. En situaciones en las que la tasa de demanda no es
deterministica, se han desarrollado modelos que tratan la demanda de manera
probabilística y que se describen mejor mediante una distribución de probabilidad. En
esta sección veremos un modelo de inventarios de un solo periodo con demanda
probabilística.
El modelo de inventarios de un solo periodo se refiere a situaciones de inventarios en
los que se coloca un solo pedido para el producto; al final del periodo, el producto, se
ha vendido todo, o un saldo excedente sin vender se venderá a un valor
de salvamento. El modelo de inventarios de un solo periodo se aplica en
situaciones que involucran productos estacionales o perecederos
que no se pueden mantener en inventario para venderse en
periodos futuros. La ropa estacional (como trajes de baño) y
los abrigos de invierno, típicamente se manejan en forma de
un solo periodo. En estas situaciones, un comprador coloca
un pedido de pretemporada para cada uno de los productos

53
y a continuación sufre de escasez o faltante de inventario o al final de la temporada
tiene que llevar a cabo las ventas excedentes de existencias; no se trasladan
elementos en inventario para su venta al año siguiente.
El análisis incremental es un método que puede utilizarse para determinar la cantidad
óptima de pedir para un modelo de inventario de un solo periodo. El análisis
incremental resuelve la pregunta de cuánto pedir, al comparar el costo o pérdida de
pedir una unidad adicional, con el costo o pérdida de no pedir una unidad adicional.
Los costos involucrados se definen como sigue:
0
C  Costo por unidad por sobreestimar la demanda. Este costo representa la
pérdida de
pedir una unidad adicional y encontrar que ésta no puede venderse.
u
C  Costo por unidad por subestimar la demanda. Este costo representa la pérdida
de oportunidad de no pedir una unidad adicional y encontrar que ésta pudiera
haberse vendido.
Es decir se puede definir:
0
C  Costo de adquisición unitario – precio de venta
unitario
u
C  Precio normal de venta por unidad – costo de
adquisición por unidad
La expresión nos da la condición general para la
cantidad óptima de pedido Q* en un modelo de inventarios de un solo periodo.
 
0
* u
u
c
P demanda Q
c c
 

MODELO DE CANTIDAD A PEDIR Y DE PUNTO DE PEDIDO CON
DEMANDA PROBABILISTICA.
Si se utiliza una distribución normal para la demanda durante el plazo de entrega, la
ecuación general para r es:
r z
 
 

54
Ejemplo
1) Un estanquillo popular está intentando determinar cuántos ejemplares del
periódico local debe adquirir todos los días. La demanda del periódico se puede
aproximar mediante una distribución de probabilidad normal como
450 , 100
 
  . El periódico le cuesta al estanquillo 35 centavos de dólar por
ejemplar y se vende por 50 centavos. El estanquillo no recibe ningún valor por
periódicos excedentes y por lo tanto, absorbe una pérdida de 100% en todos los
periódicos no vendidos.
a. ¿Cuántos ejemplares el periódico deberá adquirir todos los días?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estanquillo se quede sin existencia?
Solución
Datos
Costo: C = 35 centavos
Venta: V = 50 centavos
Reventa: R = 0
a) Calculando los valores de los costos
Cu = V – C = 15
Co = C – R = 35
 
0
15
* 0.3
50
u
u
c
P demanda Q
c c
   
 , Luego

55
Lecturas Recomendadas
De donde:
*
* 450 100( 0.52) 398
Q
z Q z

 


       
b) Probabilidad de quedar sin existencia el estanquillo
 
* 0.7
P demanda Q 
 TEORÍA DE INVENTARIO O STOCK:
http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%209%20Teoria%20de
%20Inventarios%20o%20Stock2.pdf
 MODELOS DE INVENTARIO:
http://www.material_logistica.ucv.cl/en%20PDF/Introd_MODELOS%20DE%20INVE
NTARIO_2004.pdf
 MODELO DE CONTROL DE INVENTARIO:
http://guias.blogspot.es/1185208560/
 EJEMPLO MODELO DE DESCUENTO POR CANTIDAD
http://www.slideshare.net/alconguerrero/ejercicio-modelo-descuento-por-
cantidad
Actividades y Ejercicios

56
Autoevaluaciones
1) Ingresa al link "Distribución" lee atentamente las indicaciones,
Un producto lácteo perecedero se pide diariamente en un
supermercado particular. El producto que cuesta $ 2.00 la unidad,
se vende a $ 2.65. Si las unidades que quedan se quedan sin
vender al final del día, el proveedor las recibe de regreso con un
descuento de un dólar por unidad. Suponga que la demanda diaria
aproximadamente tiene una distribución normal con
150 , 30
 
  .
¿Cuál es su cantidad a pedir diaria recomendada para el
supermercado?
1) En el modelo de cantidad económica a pedir (EOQ)
a. Cada embarque llega en una partida.
b. La demanda es conocida y se presenta a un ritmo constante.
c. Es preciso satisfacer toda la demanda.
d. El número de pedidos es solo una vez.
e. El pedido es igual a la demanda.
2) Wilson Publishing Company produce libros para el mercado al menudeo. Se
espera que la demanda para un libro actual ocurra a una tasa anual constante
de 7200 ejemplares. El costo de un ejemplar es $14.50. El costo de mantener
se basa en una anual de 18% y los costos de montaje de la producción son
$150 por montaje. El equipo con el que se produce el libro tiene un volumen
de producción anual de 25000 ejemplares. Wilson tiene 250 días hábiles
anuales y el tiempo de entrega de una corrida de producción es 15 días.
Utilice el modelo de tamaño del lote de producción para el Tamaño del lote
de producción de costo mínimo
a. 1250 libros.
b. 1578 libros.
c. 2105 libros.
d. 1078 libros.
e. 1800 libros.
3) Tele-Reco es una nueva tienda especializada en la televisión,
videograbadora, juegos de videos y otros productos relacionados con la
televisión. Una videograbadora nueva fabricada en Japón le cuesta a Tele-
Reco $600 por unidad, la tasa del costo de mantener de Tele-Reco es 22%,
los costos de ordenar se estiman en $70 por pedido. Si se espera que la
demanda para la nueva videograbadora sea constante con una tasa de 20

57
unidades por mes, ¿Cuáles son los costos de mantener inventario y de
ordenar anuales estimados asociados con este producto?
a. 3250.5 dólares.
b. 2578.5 dólares.
c. 2105.4 dólares.
d. 3125.4 dólares.
e. 2800.2 dólares.
4) Suponga que la compañía R & B tiene una bebida refrescante que muestra
una tasa de demanda anual constante de 3600 cajas. Una caja de la bebida le
cuesta a R & B $3. Los costos de ordenar son $20 por pedido y los costos de
mantener son 25% del valor del inventario. R & B tiene 250 días hábiles
anuales, y el tiempo de entregar es de cinco días. Determine el lote
económico a ordenar.
a. 380 cajas.
b. 438 cajas.
c. 500 cajas.
d. 600 cajas.
e. 280 cajas.
5) Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a
ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares
por unidad al año. Encuentre el tamaño del lote económico.
a. 150 unidades/ año.
b. 180 unidades/ año.
c. 100 unidades/ año.
d. 60 unidades/ año.
e. 9000 unidades/ año.
por unidad al año. Calcular el número de órdenes por año.
a. 50 ordenes/año.
b. 80 ordenes/año.
c. 10 ordenes/año.
d. 60 ordenes/año.
e. 90 ordenes/año.
por unidad al año. Calcular el costo del inventario anual.
a. 500 dólares/año.
b. 800 dólares/año.
c. 300 dólares/año.
d. 600 dólares/año.
e. 900 dólares/año.
por unidad al año. Cuál es el punto de reorden si el tiempo de entrega es de 3
días.
a. 50 unidades.
b. 80 unidades.
c. 30 unidades.

58
Resumen
d. 60 unidades.
e. 74 unidades.
9) Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil
que compra, el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del
automóvil, el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes será de
20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10
000 dólares determine la cantidad que debe ordenar en cada pedido Q.
a. 50 autos.
b. 80 autos.
c. 30 autos.
d. 60 autos.
e. 74 autos.
10) Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil
que compra, el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del
automóvil, el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes será de
20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10
000 dólares determine el costo mínimo anual.
a. 200000 dólares/año.
b. 800000 dólares/año.
c. 300000 dólares/año.
d. 600000 dólares/año.
e. 100000 dólares/año.
U
UN
NI
ID
DA
AD
D D
DE
E A
AP
PR
RE
EN
ND
DI
IZ
ZA
AJ
JE
E I
II
I:
:
Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo
pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un sub-
almacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo
pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin
mercancía. Los dos extremos son costosos. El modelo de demanda de una mercancía
puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se
conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. El
modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es aplicable
cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o prácticamente
constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un
momento en el tiempo.
Lote Económico de Producción (conocido en inglés como Economic Production
Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios
que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de
producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción
y venta de productos finales ocurrirán de forma simultánea, lo que lo diferencia del
modelo de cantidad económica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de
producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de
producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan. A diferencia del
modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos estático que el
anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de
inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se construye

59
progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger
situaciones del mundo real.
Escasez de existencia es una demanda que no puede cubrirse. En muchas
situaciones la escasez de inventario es indeseable y debería evitarse. Sin embargo, en
otros casos pudiera resultar deseable desde el punto de vista económico- planear y
permitir estos faltantes. Si hacemos que S represente el número de pedidos
pendientes de surtir acumulados cuando se recibe un nuevo embarque de tamaño Q,
entonces el sistema de inventarios para el caso de pedidos pendientes de surtir tiene
las siguientes características: Si existen pedidos pendientes de surtir S cuando llega
un nuevo embarque del tamaño Q, El ciclo de inventarios de T días se divide en dos
etapas distintas: 1
t días, cuando hay existencias a la mano y los pedidos se van
llenando conforme ocurren.
Los descuentos por cantidad se dan en numerosas situaciones en las que los
proveedores dan un incentivo por pedidos grandes al ofrecer un costo menor de
adquisición cuando los productos se ordenan en lotes o cantidades mayores Paso 1.
Para cada plan de descuento, calcule un Q* utilizando la formula EOQ basada en el
costo unitario asociado con el plan de descuento. Paso 2. Para aquel Q* que sea
demasiado pequeño para calificar por lo que se refiere al plan de descuento supuesto.
En los modelos de inventarios que hemos considerado antes no se incluyó el costo
anual de compra del elemento porque era constante y nunca afectaba la decisión de
política de pedido y de inventarios.

60
Introducción
Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el
estudiante analice, conozca y practique los programas aplicativos para proyectos.
Sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores
operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. Se
estudia la programación de proyectos para lograr programar y controlar el proyecto
que se desarrolla aplicando de esta manera el PERT (evaluación de programa y
técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de
Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de
Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta
utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector
privado.
b) Competencia
Reconoce la importancia que tiene la programación de los proyectos para
alcanzar automatizar los procesos.
c) Capacidades
1. Conoce la utilidad y las características del modelo CPM.

61
2. Reconoce, las características de la programación de proyectos con tiempos
inciertos para lograr un control a tiempo real.
3. Identifica las técnicas empleadas para intercambiar los tiempos y costos.
4. Aplicar el uso del software WIN QSB en la solución de problemas que involucre
pert cpm.
d) Actitudes
 Toma iniciativa de investigación sobre temas relacionados.
 Comprende la importancia de conocer y aplicar la programación de proyectos.
 Sentido de planificación, organización y orden.
e)Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:
La Unidad de Aprendizaje 03: Programación de Proyectos comprende el
desarrollo de los siguientes temas:
TEMA 01: Programación de proyectos con tiempos de actividad conocidos.
TEMA 02: Programación de proyectos con tiempos inciertos.
TEMA 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo.
TEMA 04: Uso del Software WIN QSB para programación de proyectos.
TEMA 1
Conocer la utilidad y las características del
modelo CPM.
Competencia:
de
Con tiempos
Actividad conocidos
de
Proyectos
Programación

62
Tema 01: Programación de Proyectos con
Tiempos de Actividad Conocidos
ANTECEDENTES
Dos son los orígenes del método del camino crítico: el
método PERT (Program Evaluation and Review
Technique) desarrollo por la Armada de los Estados
Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de
ejecución de las diversas actividades integrantes de los
proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una
de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente
por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el
programa espacial.

63
El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue
desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro
de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand,
buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la
planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.
Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el
método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución
y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el
menor tiempo y al menor costo posible.
DEFINICIÓN
El método del camino crítico es un proceso
administrativo de planeación, programación,
ejecución y control de todas y cada una de las
actividades componentes de un proyecto que debe
desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo
óptimo.
USOS
El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y
adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores
resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes
características:
a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su
totalidad.
b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo,
sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.
c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo
disponible.
Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y
control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de
caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos,
investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos
regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de

64
tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de
itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc., etc.
DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM
Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y
CPM es la manera en que se realizan los estimados de
tiempo. En PERT supone que el tiempo para realizar cada
una de las actividades es una variable aleatoria descrita por
una distribución de probabilidad. En CPM por otra parte,
infiere que los tiempos de las actividades se conocen en
forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
La distribución de tiempo que supone en PERT para una actividad es una distribución
beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados:
(1) el estimado de tiempo más probable, m;
(2) el estimado de tiempo más optimista, a; y
(3) el estimado de tiempo más pesimista, b.
La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más probable
es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los
tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre
inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de
mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.
DEFINICIÓN Y USOS
El método de ruta crítica es un proceso
administrativo (planeación, organización,
dirección y control) de todas y cada una de las
actividades componentes de un proyecto que
debe desarrollarse durante un tiempo crítico y al
costo óptimo. La aplicación potencial del método
de la ruta crítica, debido a su gran flexibilidad y adaptación, abarca desde los estudios
iníciales para un proyecto determinado, hasta la planeación y operación de sus

65
instalaciones. A esto se puede añadir una lista indeterminable de posibles aplicaciones
de tipo específico. Así, podemos afirmar que el método de la ruta crítica es aplicable y
útil en cualquier situación en la que se tenga que llevar a cabo una serie de
actividades relacionadas entre sí para alcanzar un objetivo determinado. El método es
aplicable en tareas tales como: construcción, estudios económicos, planeación de
carreras universitarias, censos de población, estudios técnicos, etc. Los beneficios
derivados de la aplicación del método de la ruta crítica se presentarán en relación
directa a la habilidad con que se haya aplicado. Debe advertirse, sin embargo, que el
camino crítico no es una panacea que resuelva problemas administrativos de un
proyecto. Cualquier aplicación incorrecta producirá resultados adversos. No obstante,
si el método es utilizado correctamente, determinará un proyecto más ordenado y
mejor balanceado que podrá ser ejecutado de manera más eficiente y normalmente,
en menor tiempo.
Un beneficio primordial que nos brinda el método de la ruta crítica es que
resume en un sólo documento la imagen general de todo el proyecto, lo
que nos ayuda a evitar omisiones, identificar rápidamente
contradicciones en la planeación de actividades, facilitando
abastecimientos ordenados y oportunos; en general, logrando que el
proyecto sea llevado a cabo con un mínimo de tropiezos.
En la práctica el error que se comete más a menudo es que la técnica se utiliza
únicamente al principio del proyecto, es decir, al desarrollar un plan y su
programación y después se cuelga en la pared el diagrama resultante,
olvidándose durante el resto de la vida del proyecto. El verdadero valor de la
técnica resulta más cuando se aplica en forma dinámica. A medida que se
presentan hechos o circunstancias imprevistas, el método de la ruta crítica
proporciona el medio ideal para identificar y analizar la necesidad de replantear o
reprogramar el proyecto, reduciendo al mínimo el resultado adverso de dichas
contingencias. Del mismo modo, cuando se presenta una oportunidad para
mejorar la programación del proyecto, la técnica permite determinar fácilmente que
actividades deben ser aceleradas para que se logre dicha mejoría.
METODOLOGÍA
El método de la ruta crítica consta básicamente de dos ciclos:
1. Planeación y programación
2. Ejecución y Control

66
El primer ciclo termina hasta que todas las
personas directoras o responsables de los
diversos procesos que intervienen en el
proyecto están plenamente de acuerdo con el
desarrollo, tiempos, costos, elementos
utilizados, coordinación, etc., tomando como
base la red de camino crítico diseñada al
efecto. Al terminar la primera red, generalmente hay cambios en las actividades
componentes, en las secuencias, en los tiempos y algunas veces en los costos, por lo
que hay necesidad de diseñar nuevas redes hasta que exista un completo acuerdo de
las personas que integran el grupo de ejecución.
El segundo ciclo termina al tiempo de hacer la última actividad del proyecto y entre
tanto existen ajustes constantes debido a las diferencias que se presentan entre el
trabajo programado y el realizado.
Será necesario graficar en los esquemas de control todas las decisiones tomadas para
ajustar a la realidad el plan original. Con objeto de entender este proceso, se presenta
la figura 1.
Considerando que el principal objetivo de este trabajo consiste en establecer la
metodología de la construcción de la red del camino crítico se abarcará
únicamente el primer ciclo, con objeto de presentar la elaboración de la red del
camino crítico y entienda sus ventajas y limitaciones.
El primer ciclo se compone de las siguientes etapas: definición del proyecto, lista
de actividades, matriz de secuencias, matriz de tiempos, red de actividades,
costos y pendientes, compresión de la red, limitaciones de tiempo, de recursos
económicos, matriz de elasticidad.

67
DEFINICIÓN DEL PROYECTO
Esta etapa aunque es esencial para la ejecución del
proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa
que debe desarrollarse separadamente y para la cual
también puede utilizarse el método de la ruta crítica. Es
una investigación de objetivos, métodos y elementos
viables y disponibles, lo que nos aclara si el proyecto va a satisfacer una necesidad o
si es costeable su realización.
LISTA DE ACTIVIDADES
Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos interrelacionados
en un proyecto total. No es necesario que las actividades se listen en orden de
ejecución, aunque si es conveniente porque evita que se olvide alguna de ellas.
Sin embargo, las omisiones de las actividades se descubrirán más tarde al hacer la
red correspondiente. Es conveniente numerar progresivamente las actividades para
su identificación y en algunos casos puede denominarse en clave, no es necesario
indicar la cantidad de trabajo ni las personas que la ejecutarán. En términos
generales, se considerará actividad a la serie de operaciones realizadas por una
persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos
determinables de iniciación y terminación.
MATRIZ DE SECUENCIAS
Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:
a) Por antecedentes
b) Por secuencias
En el primer caso se preguntará a los responsables de
los procesos cuales actividades deben quedar
terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen
en la lista. Debe cuidarse que todas y cada una de las

68
actividades tenga cuando menos un antecedente. En el caso de ser iníciales, la
actividad antecedente será cero. En el segundo procedimiento se preguntará a los
responsables de la ejecución, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una
de las que aparecen en la lista de actividades. Para este efecto se debe presentar la
matriz de secuencias iniciando con la actividad cero que servirá para indicar solamente
el punto de partida de las demás.
MATRIZ DE TIEMPOS
Mediante esta matriz conocemos el tiempo de
duración de cada actividad del proyecto. El
método de la ruta crítica utiliza únicamente un
tipo de estimación de duración, basada en la
experiencia obtenida con anterioridad
mediante una actividad X. Para asignar el
tiempo de duración de una actividad debemos
basarnos en la manera más eficiente para terminarla de acuerdo con los recursos
disponibles.
Tanto la Matriz de Secuencias como la Matriz de Tiempos se reúnen en una sola
llamada Matriz de información, que sirve para construir la Red Medida.
RED DE ACTIVIDADES
La representación visual del método de la ruta crítica es el diagrama de flechas o red
de actividades, que consiste en la ilustración gráfica del conjunto de operaciones de un
proyecto y de sus interrelaciones. La red esta formada por flechas que representan
actividades y nudos o uniones que simbolizan eventos.
Cuando se encuentran varias flechas conectadas una tras otra es que existe una
secuencia entre ellas; esa es la manera de ilustrar dicha dependencia. Los nudos o
uniones de flechas, denominados eventos, se representan en la gráfica en forma de
círculos y significan la terminación de las actividades que culminan en un evento
determinado y la iniciación de las subsecuentes.

69
Para preparar un diagrama de flechas se deben contestar tres preguntas básicas
sobre cada flecha o actividad específica:
1. ¿Qué actividades deben ser realizadas inmediatamente antes de la ejecución de
ésta?
2. ¿Qué actividades deben llevarse a cabo inmediatamente después de realizar la
presente?
1. ¿Qué actividades se pueden realizar simultáneamente a la ejecución de ésta?
Otros dos aspectos que deben considerarse son los siguientes:
1. La numeración de los eventos
2. La existencia de actividades ficticias
La numeración de los eventos permite identificar las diferentes actividades mediante
los eventos de iniciación (i) y de terminación (j). Para cada actividad puede ser
identificada por una combinación única de hechos de iniciación y de terminación, es
necesario incluir en la elaboración de una red a las llamadas actividades ficticias, que

70
son aquellas que no representan la realización de una tarea finita, tiempo de duración
o costo (o sea que el evento de iniciación, corresponde al evento de terminación con
respecto al tiempo).
Indistintamente se podrían numerar los eventos
al azar y realmente no hay razón por la cual no
se pueda o no se deba hacer. La experiencia ha
demostrado, sin embargo, que el numerar los
eventos de una manera especial hace más
simple el procedimiento aritmético. Es buena
práctica numerar los eventos de tal manera que
el número del inicio de cualquier flecha sea simple menor que el número indicado en
su punta; en otras palabras “i” debe ser menor que “j”.
Para establecer la red se dibuja o dibujan las
actividades que parten del evento cero. A
continuación no debe tomarse la ordenación
progresiva de la matriz de secuencias para
dibujar la red, sino las terminales de las
actividades de arriba hacia abajo y de
izquierda a derecha, este proceso se repite considerando las recomendaciones
para la construcción de la red.
Una vez realizada la red de actividades, se debe asignar la duración
correspondiente a cada una de ellas, para calcular la duración total del proyecto y
a la determinación de las fechas próximas de realización de cada actividad.
Para llevar a cabo estos cálculos se hacen las siguientes suposiciones:
a) el proyecto se inicia en cero de tiempo relativo
b) no se debe iniciar ninguna actividad sin antes, haber completado las tareas
cuya ejecución depende ésta
c) la realización de cada actividad debe iniciarse tan pronto como sea posible

71
d)una vez iniciada, cada actividad se ejecuta sin interrupción, hasta ser
terminada.
Cómo es posible calcular las fechas próximas de
iniciación y terminación de cada actividad, podemos
realizar el mismo procedimiento de cálculo para obtener
los tiempos remotos de iniciación y de terminación de
cada actividad, de acuerdo, con la duración total del
proyecto. El cálculo de estos tiempos denominados
también como fechas, es muy sencillo; lo más pronto que una actividad se puede
iniciar es la fecha más próxima en que todas sus actividades precedentes se pueden
terminar. Lo más pronto que se puede terminar es simplemente la fecha de iniciación
más próxima más el tiempo requerido para la terminación.
El primer cálculo que se hace es de los tiempos próximos de iniciación de cada
actividad y el procedimiento es el siguiente:
1. Primeramente se asigna al evento de iniciación de la primera actividad de la red,
un día hábil igual a cero, el que se anota dl lado izquierdo del evento y es su
tiempo próximo de inicio.
2. después se procederá a sumarle la duración de cada una de las actividades
que principian en ese evento y se anotan del lado izquierdo del evento de
terminación respectivamente. Siendo también su próximo del inicio.
3. En el caso de actividades cuyo evento de terminación sea el mismo, deberá
considerarse el valor máximo que arrojen los cálculos del paso 2, siendo éste
el tiempo próximo de inicio de la siguiente actividad.
4. Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que se calcule el tiempo próximo de
realización de todas las actividades.
5. La cifra final de tiempos próximos de inicio constituye el tiempo en el que se
puede llevar a cabo el proyecto.
El segundo cálculo que se hace es el de los tiempos remotos de terminación. Esta
determinación se efectúa en forma inversa a la anterior, el procedimiento es el
siguiente:
1. Se supone que el tiempo remoto de
terminación del último evento es igual a

72
su tiempo más próximo de iniciación. Es decir, se toma como dato inicial la
duración total del proyecto y se anota en el extremo derecho del evento final.
2. Posteriormente se irán restando de dicho valor las duraciones de cada una de
las actividades que terminan en ese evento de iniciación, respectivamente.
Siendo estos valores su tiempo remoto de terminación.
3. Cuando dos o más actividades tengan el mismo evento de iniciación, debe
considerarse el valor mínimo que arrojen los cálculos del paso 2. siendo este el
tiempo remoto de terminación de las actividades anteriores.
La etapa final consiste en calcular el tiempo remoto de iniciación y el tiempo próximo
de terminación de acuerdo a las siguientes relaciones:
EJEMPLO
Un proyecto de un ajuste general de un motor.
Código de
actividad
Descripción de la actividad Predecesores
inmediatos
A Sacar y desarmar motor ------
B Limpiar y pintar la base A
C Rebobinar la armadura A
D Reemplazar anillos A
E
Ensamblar e instalar el motor en la
base
B, C, D.
Para el ejemplo se requieren de 5 actividades; es evidente que el
número de actividades variará según el tipo de proyecto.

73
En cualquier caso, el punto clave es tener, en esta etapa de planeación, una lista
precisa y exhaustiva de actividades (y las relaciones correctas de precedencia
entre ellas). Además cabe destacar en el ejemplo anterior se tiene una columna de
“Predecesores inmediatos”. Para cada actividad determinada, deben terminarse
todas las precedentes inmediatas antes que poder comenzar esa actividad. En el
ejemplo, las actividades B, C y D no pueden comenzar sino hasta que la actividad
A se haya terminado.
ESTRUCTURA DE RED
Una vez que se ha elaborado una lista completa y
precisa de actividades y de sus predecesoras, es posible
ilustrar en forma grafica sus relaciones. Antes del
desarrollo de PERT se utilizaban diagramas de barras
que fueron diseñados por H.L. Gantt, y a los que con
frecuencia se denominaba grafica o carta Gantt.
Características
Conceptualmente correcta
1 3 4 5
2 6 7 8 9
A
C
D
E
F
G
H
B
TIEMPO (SEMANAS)
ACTIVIDADES

74
Poco clara la relación de precedencia (ejemplo ¿las actividades E y F
dependen de B o D? ¿la actividad D depende de que se termine A y C, sólo A,
solo C o ninguna de ellas?
Diagrama de red
3
2 5 6
4
REBOBINAR LA
ARMADURA
FICTICIA
ENSAMBLAR
E INSTALAR
EL MOTOR
EN LA BASE
SACAR
Y
DESARMAR
EL MOTOR
LIMPIAR
Y PINTAR
BASE
D
C
A
B
E
1
FICTICIA
Reemplazar
los anillos
TEMA 2
Reconocer, las características de la
programación de proyectos con tiempos
inciertos para lograr un control a tiempo
real.
Competencia:
con
Tiempos
Inciertos
de
Proyectos
Programación

75
Tema 02: Programación de Proyectos con
Tiempos Inciertos
LIMITACIÓN DE RECURSOS Y ECONÓMICAS
Otra de las ventajas mayores que se ofrecen
a quien utilicee el método de camino crítico
para administrar un proyecto consiste en que
permite nivelar las necesidades de recursos
humanos y materiales a lo largo del
proyecto. Llevar a cabo un proyecto que
requiera 50 hombres un día, 28 al día
siguiente, 64 el tercero y así sucesivamente, es a todas luces costoso e ineficaz.
El método del camino crítico, al permitir planear varias alternativas de operación,
ofrece una solución práctica al problema de programar de manera uniforme los
recursos humanos y materiales requeridos para ejecutar un proyecto.

76
Para lograr una nivelación de recursos se prepara un diagrama preliminar de
flechas. En seguida se estima el número de hombres requerido para realizar cada
actividad y el tiempo que emplearían en ejecutarla. El siguiente paso incluye el
cálculo normal de fechas de realización y tiempos flotantes. Una vez hecho esto
para cada actividad, el proyecto se plasma en una gráfica de tiempo, que se
elabora de manera tal que cada actividad empieza en su fecha próxima de
iniciación y su tiempo flotante se indica con línea punteada. Las actividades
ficticias se representan con líneas verticales conservando la lógica de la red; es
decir, cada actividad debe empezar y terminar en el evento correspondiente.
Los días deberán estar marcados en la parte
superior de la gráfica y en la inferior se
encuentran anotados los requerimientos
totales de mano de obra. Es obvio, que si se
mantiene constante el tiempo de duración del
proyecto la realización de las actividades no
críticas puede ser reprogramadas aprovechando sus tiempos flotantes.
Cuando se quieren nivelar los requerimientos de mano de obra, se debe escoger
qué es mejor, si disminuir los requerimientos máximos de mano de obra o las
fluctuaciones diarias de personal, puesto que es muy difícil lograr ambos objetivos
en una misma programación.
La nivelación de recursos materiales se hace en la misma forma utilizada para
nivelar la mano de obra. Se estiman los recursos necesarios para realizar cada
actividad y se aprovechan los tiempos flotantes de las actividades no críticas, para
reducir al máximo de recursos requeridos y las variaciones durante el proyecto.
COSTOS, PENDIENTE Y COMPRESIÓN
Una vez elaborado un plan de acción lógico se plasma
en un diagrama de flechas, estimándose el tiempo y
recursos necesarios para llevar a cabo las diferentes
actividades, es posible calcular los costos de mano de
obra de varias alternativas y entre ellas, seleccionar la
más económica. Existe una relación entre el tiempo

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