1. Universidad de los Andes
Faculta de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Administración y Contaduría
Mérida. Estado Mérida
Métodos Cuantitativos para la Gerencia II
MODELOS DE LINEAS DE
ESPERA
Integrantes.
Ferreira yerlis. C.I: 20572523
Rondón María Andreina CI: 18.308.11
2. Modelos de líneas de espera o colas
Los modelos de líneas de espera o colas ayudan
a los gerentes a comprender y tomar mejores decisiones
concernientes a la operación de
sistemas en que intervienen líneas de espera.
Recuerde la última vez que tuvo que esperar en la caja de un
supermercado, en una ventanilla de su banco local, o a que lo
atendieran en un restaurante de comida rápida. En éstas y en
muchas situaciones de línea de espera, el tiempo que pasa
esperando es indeseable.
La adición de más cajeros en supermercados y bancos o
despachadores en restaurantes de
comida rápida no siempre es la estrategia más económica para
mejorar el servicio, por lo que las empresas tienen que encontrar
formas de mantener los tiempos de espera dentro de
límites tolerables. Se han desar rollado modelos que sirvan para
que los gerentes entiendan y tomen mejores decisiones en
relación con la operación de las líneas de espera. En la
terminología de las ciencias de la administración, una línea de
espera se conoce como cola, y la serie de cono cimientos que
tienen que ver con las líneas de espera como teoría de colas.
3. Los modelos de líneas de espera se componen
de fórmulas y relaciones matemáticas que
pueden utilizarse para determinar las
características de operación (medidas de
desempeño) de una línea de espera. Las
características de operación de interés incluyen:
1.La probabilidad de que no haya
unidades en el sistema .
2.El número promedio de unidades
en la línea de espera
3.El número promedio de unidades
en el sistema (el número de unidades
en la línea de espera más el número
de unidades que están siendo
atendidas)
4.El tiempo promedio que una
unidad pasa en la línea de espera
5.El tiempo promedio que una
unidad pasa en el sistema (el
tiempo de espera más el tiempo
para que atiendan)
6.La probabilidad de que una
unidad que llega tenga que esperar
para que la atiendan
4. ELEMENTOS DE UN MODELO
DE COLAS:
Modelo de colas básico: Los clientes
llegan en forma individual para recibir
alguna clase de servicio. Si un cliente no
puede ser atendido de inmediato,
entonces ese cliente forma una cola (fila
de espera) hasta que lo atiendan. (La
cola no incluye a los clientes que ya
están siendo atendidos.) Uno o más
servidores en la instalación de servicio
son los que dan el servicio. Cada cliente
es atendido en forma individual por uno
de los servidores y luego se va.
Distribución de las llegadas : La
definición del proceso de llegada a
una línea de espera implica
determinar la distribución
probabilística del número de
llegadas en un lapso de tiempo
determinado. En muchas
situaciones de línea de espera las
llegadas ocurren al azar e
independientemente de otras
llegadas, y no podemos predecir
5. En esos casos, los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución
de probabilidad de Poisson provee una buena descripción del patrón de
llegadas.
La función de probabilidad de Poisson da la probabilidad de x llegadas en un
periodo de tiempo específico. La función de probabilidad es la siguiente:
con x = 0,1,2...
Donde:
X = número de llegadas en el periodo de tiempo
λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo
e = 2.71828
El número medio de llegadas por periodo de tiempo λ se llama tasa de
llegadas. Los valores de se determinan con una calculadora o utilizando el
Apéndice E. Suponga que una empresa de hamburguesas analizó los datos
sobre llegadas de clientes y concluyó que la tasa de llegadas es de 45 clientes
por hora. Durante un periodo de un minuto, la tasa de llegadas sería λ = 45
clientes/60 minutos = 0.75 clientes por minuto. Así, podemos utilizar la
siguiente función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x
llegadas de clientes durante un periodo de un minuto.
=
6. Entonces:
La probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo de un minuto
es de 0.4724, la probabilidad de que llegue un cliente en un periodo de
un minuto es de 0.3543 y la probabilidad de que lleguen dos clientes en
un periodo de un minuto es de 0.1329
7. cuantitativos determinaron que si se
puede suponer que la distribución
probabilística del tiempo de servicio sigue
una distribución probabilística
exponencial, existen fórmulas que
proporcionan información útil sobre la
operación de la línea de espera. Utilizando
una distribución probabilística
exponencial, la probabilidad de que el
tiempo de servicio sea menor que o igual
8. donde
μ = número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de
tiempo
e = 2.71828
El número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de
tiempo, μ, se llama tasa de servicio.
Suponga que una empresa de Hamburguesas estudió el proceso de toma y
entrega de pedido y encontró que un despachador puede procesar un
promedio de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio
sería μ = 60 clientes/60 minutos = 1 cliente por minuto. Por ejemplo, con μ = 1,
podemos utilizar la ecuación anterior para calcular probabilidades como la
probabilidad de que un pedido pueda ser procesado en 1 / 2 minuto o menos, 1
minuto o menos y 2 minutos o menos. Estos supuestos son:
P(tiempo de servicio ≤ 0,5 min.) = 1- e-1(0,5) -1 = 0,6065 = 0,3935
P(tiempo de servicio ≤ 1,0 min.) = 1- e-1(1,0) -1 = 0,3679 = 0,6321
P(tiempo de servicio ≤ 2,0 min.) = 1- e-1(2,0) -1 = 0,1353 = 0,8647
Por tanto, concluiríamos que existe 0.3935 de probabilidad de que un pedido
pueda ser procesado en 1 / 2 minuto o menos, 0.6321 de probabilidad de que
pueda ser procesado en 1 minuto o menos, y 0.8647 de probabilidad de que
pueda ser procesado en 2 minutos o menos.
9. Modelo de línea de espera de canal
único con llegadas Poisson y tiempos
de servicio exponenciales:
se presentan fórmulas que pueden
utilizarse para determinar las
características de operación constante
de una línea de espera de canal único.
Las fórmulas son apropiadas si las
llegadas siguen una distribución de
probabilidad de Poisson y los tiempos
de servicio llevan una distribución de
probabilidad exponencial.
Características de operación
Las fórmulas siguientes se utilizan para calcular las
características de operación constante de una línea de
espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos
de servicio exponenciales, donde:
λ = número medio de llegadas por periodo de tiempo
(tasas de llegadas)
μ = número medio de servicios por periodo de tiempo
(tasa de servicios)
10. 1) La probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
2) El número promedio de unidades en la línea de espera:
3) El número promedio de unidades en el sistema:
4) El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera:
5) El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
6) La probabilidad que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendida:
7) La probabilidad de que haya n unidades en el sistema:
11. Los valores de la tasa de llegadas λ y la tasa de servicios μ son,
evidentemente, componentes importantes para determinar las
características de operación. La ecuación (6) muestra que la
relación de la tasa de llegadas a la tasa de servicios, λ/μ , da la
probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar
porque la instalación de servicio está ocupada. Por consiguiente, λ/
μ se conoce como factor de uso de la instalación de servicio. Las
características de operación presentadas en las ecuaciones (1) a
(7) son apropiadas sólo cuando la tasa de servicios μ es mayor que
la tasa de llegadas λ expresado de otra manera, cuando λ/μ = 1. Si
no existe esta condición, la línea de espera seguirá creciendo sin
límite porque la instalación de servicio no tiene suficiente
capacidad para atender a las unidades que llegan. Así, para utilizar
las ecuaciones (1) a (7) debemos tener μ > λ .
12. Características de operación en el
problema de La Empresa de
Hamburguesas Recuerde que en el problema de
Hamburguesas teníamos una tasa de
llegadas de λ = 0.75 clientes por minuto
y una tasa de servicios de μ = 1 cliente
por minuto. Por tanto, con μ > λ, las
ecuaciones (1) a (7) pueden usarse para
obtener las características de operación
de la línea de espera de canal único de
La empresa de Hamburguesas.
La ecuación 7 puede usarse para determinar la probabilidad que haya
cualquier número de clientes en el sistema. Aplicándola se obtiene la
información de probabilidad de que haya n clientes en el sistema en
el problema de la línea de espera de la empresa de hamburguesas.
13. Uso de modelos de línea de espera
por parte de los gerentes :
Los resultados de la línea de espera
de canal único de la empresa de
Hamburguesas muestran varios
aspectos importantes sobre la
operación de la línea de espera. En
particular, los clientes esperan un
promedio de tres minutos antes de
que empiecen a hacer un pedido, lo
que parece un tiempo un tanto largo
para un negocio basado en el servicio
rápido. Además, los datos de que el
número promedio de clientes que
esperan en línea es de 2.25 y que 75%
de los clientes que llegan tienen que
esperar para que los atiendan indican
que se debe hacer algo para mejorar
la operación de la línea de espera.
Mejora de la operación de la línea de
espera :
Los modelos de línea de espera indican
con frecuencia cuando es conveniente
mejorar sus
características de operación. Sin
embargo, la decisión de cómo modificar
la configuración de la línea de espera
para mejorar las características de
operación debe basarse en las ideas
y la creatividad del analista. Después de
revisar las características de operación
provistas por el modelo de línea de
espera, la gerencia de la empresa de
hamburguesas concluyó que las mejoras
diseñadas para reducir los tiempos de
espera son convenientes. Para mejorar la
operación de la línea de espera, los
analistas se enfocan a menudo en formas
de mejorar la tasa de servicios.
14. Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson y tiempos
de servicio exponenciales :
Una línea de espera de múltiples canales se compone de dos o más canales de
servicio que se supone son idénticos en función de capacidad de servicio. En
el sistema de múltiples canales, las unidades que llegan esperan en una sola
línea y luego se dirigen al primer canal disponible para ser atendidas. La
operación de canal único de la empresa de Hamburguesas puede ampliarse a
un sistema de dos canales abriendo un segundo canal de servicio. En esta
sección se presentan fórmulas para determinar la características de operación
constante de una línea de espera de múltiples canales. Estas fórmulas son
apropiadas si existen las siguientes condiciones:
1.Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
2.El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de probabilidad
exponencial.
3.La tasa de servicios μ es la misma para cada canal.
4.Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se dirigen al primer
canal abierto para que las atiendan.
Características de operación
Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular las características de
operación de líneas
de espera de múltiples canales, donde :
15. 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
2. Número promedio de unidades en la línea de espera.
3. Número Promedio de Unidades en el sistema.
4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la
atiendan:
7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:
con n ≤ k
con n > k
16. Como μ es la tasa de servicios de cada canal, kμ es la del
sistema de múltiples canales. Al igual que para el modelo de
espera de canal único, las fórmulas de las características de
operación de líneas de espera de múltiples canales se aplican
sólo en situaciones en las que la tasa de servicios del sistema es
mayor que su tasa de llegadas, en otros términos, las fórmulas
se aplican sólo si kμ es mayor que λ. Algunas expresiones de
las características de operación de líneas de espera de múltiples
canales son más complejas que sus contrapartes de canal
único. Sin embargo, las ecuaciones (1) a (7) dan la misma
información que la provista por el modelo de canal único. Para
simplificar el uso de ecuaciones de múltiples canales, existe una
tabla que contiene valores de P0 para valores seleccionados de
λ/μ y k. Los valores que aparecen en la tabla corresponden a
casos en los que kμ >λ, y por consiguiente la tasa de servicios
es suficiente para procesar todas las llegadas.
18. Características de operación en el problema de la empresa de
Hamburguesa:
Para ilustrar el modelo de línea de múltiples canales, volvamos al
problema de la línea de espera del restaurante de comida rápida.
Suponga que la gerencia desea evaluar la conveniencia de abrir una
estación de procesamiento de pedidos de modo que dos clientes
puedan ser atendidos al mismo tiempo. Suponga una línea de espera
única con el primer cliente que se dirige al primer despachador
disponible. Evaluemos las características de operación de este
sistema de dos canales. Utilizamos las ecuaciones (1) a (7) para el
sistema de k = 2 canales. Con una tasa de llegadas de λ =0.75 clientes
por minuto y una tasa de servicios de μ= 1 cliente por minuto para
cada canal, se obtienen las características de operación.
19. Con las ecuaciones 7 podemos calcular las probabilidades de que haya n
clientes en el sistema. Los resultados de estos cálculos se resumen en la
siguiente tabla.. Ahora podemos comparar las características de
operación constante del sistema de dos canales con las características de
operación del sistema de canal único original, analizado en la sección
anterior.
1.El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (tiempo de espera
más tiempo de servicio) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.1636
minutos.
2.El número promedio de clientes formados en la línea de espera se
reduce de Lq = 2.25 clientes a Lq = 0.1227 clientes.
3.El tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera se reduce
de Wq= 3
4.minutos a Wq= 0.1636 minutos.
5.La probabilidad de que un cliente tenga que esperar a que lo atiendan
se reduce de Pw = 0.75 a Pw=0.2045.
Es evidente que el sistema de dos canales mejorará de forma significativa
las características de operación de la línea de espera. Sin embargo, si se
agrega un despachador de pedidos en cada estación de servicio se
incrementaría aún más la tasa de servicios y mejorarían las
características de operación. La decisión final con respecto a la política
20. configuraciones: un sistema de canal único con un empleado, un sistema de
canal único, y un sistema de dos canales con un empleado en cada canal
Algunas relaciones generales de modelos de línea de espera:
L = λ W (a)
L q = λ Wq (b)
Al utilizar la ecuación (b y resolverla para Wq , se obtiene :
Wq = Lq / λ (c)
La ecuación (c) se obtiene directamente de la segunda ecuación de flujo de Little.
La utilizamos para el modelo de línea de espera de canal único y el modelo de
línea de espera de múltiples canales en la sección. Con Lq calculado para
cualquiera de estos modelos, entonces se utiliza la ecuación (c) para calcular Wq
. Otra expresión general que se aplica a modelos de línea de espera es que el
tiempo promedio en el sistema, W, es igual al tiempo promedio en la línea de
espera, Wq , más el tiempo de servicio promedio. Para un sistema con tasa de
servicios μ, el tiempo de servicio medio es 1/μ . Así, tenemos la relación general:
W = Wq + 1 / μ
21. Esta ecuación la podemos utilizar para obtener el tiempo promedio en el sistema
con modelos de línea de espera tanto de canal único como de múltiples canales.
Si despejamos Wq de esta ecuación entonces obtenemos:
Wq = W- 1 / μ = 4,5 – (1 / 0,50) = 2,5 minutos
Análisis Económico de Línea de espera
Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, comenzamos por
definir la notación que se utilizará:
Cw = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad
L = número promedio de unidades en el sistema
Cs = costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal
k =número de canales
T C = costo total por periodo de tiempo
El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio; es decir:
TC = C w L + CSK
Para realizar un análisis económico de una línea de espera, debemos obtener
estimaciones razonables del costo de espera y el costo del servicio. De estos dos
costos, el de espera; en general, es el más difícil de evaluar. En el problema del
restaurante de hamburguesas, el costo de espera sería el costo por minuto que un
cliente espera para que lo atiendan. Este costo no es un costo directo para la
empresa. Sin embargo, si la empresa de hamburguesas lo ignora y permite líneas
22. perderá ventas y, en realidad, incurrirá en un costo.
El costo del servicio, en general, es el más fácil de determinar. Éste es el costo
pertinente asociado con la operación de cada canal de servicio. En el problema
de hamburguesas, este costo incluiría el salario y las prestaciones del
despachador y cualesquiera otros costos directos asociados con la operación
del canal de servicio. En la empresa de hamburguesas se estima que este costo
es de $7 por hora. Para demostrar el uso de la ecuación del costo total, suponga
que esta empresa desea asignar un costo de $10 por hora al tiempo de espera
de un cliente. Utilizamos el número promedio de unidades en el sistema, L, tal
como calculó en las secciones anteriores para obtener el costo por hora total de
los sistemas de un canal y dos canales:
Sistema de canal único (L = 3 clientes):
TC = C w L + CSK = 10(3)+7(1) =37 $ por hora
Sistema de dos canales (L = 0.8727 clientes):
TC = C w L + CSK = 10(0,8727)+7(2)= 22,73 $ por hora
Por tanto, con base en los costos provistos por la empresa de hamburguesas, el
sistema de dos canales opera de forma más económica.
Modelo de línea de espera de canal único con llegadas Poisson y tiempos de
servicio arbitrarios
23. Características de operación del modelo M/G/1
La notación utilizada para describir las características de operación del modelo
M/G/1 es :
λ = tasa de llegadas
μ = tasa de servicios
σ = desviación estándar del tiempo de servicio
Algunas de las características de operación constante del modelo de línea de
espera M/G/1
son las siguientes:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:
2. Número promedio de unidades en la línea de espera:
3. Número promedio de unidades en el sistema:
24. 4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
6, Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la
atiendan:
Tiempos de servicio constantes
Deseamos comentar brevemente sobre el modelo de línea de espera de
canal único que asume llegadas aleatorias, pero tiempos de servicio
constantes. Una línea de espera como esa puede ocurrir en entornos de
producción y manufactura donde los tiempos de servicio controlados por
máquina son constantes.
25. Modelo de múltiples canales con llegadas Poisson, tiempos de servicio
arbitrarios y sin línea de espera :
Una interesante variación de los modelos de línea analizados hasta ahora
implica un sistema en el cual no se permite esperar. Las unidades o clientes
que llegan buscan que los atiendan en uno de varios canales de servicio. Si
todos los canales están ocupados, a las unidades que llegan se les niega el
acceso al sistema. En terminología de línea de espera, las llegadas que ocurren
cuando el sistema está completo son bloqueadas y eliminadas del sistema.
Tales clientes pueden perderse o intentar regresar más tarde al sistema.
El modelo específico considerado en esta sección se basa en los siguientes
supuestos:
1.El sistema tiene k canales.
2.Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con tasa de
llegadas λ.
3.El tiempo de servicio de cada canal puede tener cualquier distribución de
probabilidad.
4.La tasa de servicios μ es la misma para cada canal.
5.Una llegada entra al sistema sólo si por lo menos un canal está disponible.
Una llegada que ocurre cuando todos los canales están ocupados es
bloqueada, es decir, se le niega el servicio y no se le permite entrar al sistema.
26. Características de operación del modelo con clientes bloqueados
eliminados
donde:
λ= tasa de llegadas
μ= tasa de servicios de cada canal
K = número de canales
Pj= probabilidad de que j de los k canales estén ocupados con j = 0, 1,
2, . . . , k
El valor de probabilidad más importante es P k , el cual es la
probabilidad de todos los k canales estén ocupados. En porcentaje, P
k indica que el porcentaje de llegadas bloqueadas y a las que se les
niega el acceso a sistema. Otra característica de operación de interés
es el número promedio de unidades en el sistema; observe que este
número equivale al número promedio de canales en uso. Con L como
el número promedio de unidades en el sistema, tenemos:
27. Modelos de línea de espera con fuentes finitas :
Para los modelos de línea de espera presentados hasta ahora, la
población de unidades o clientes que llegan para ser atendidos se ha
considerado ilimitada. En términos técnicos, cuando se establece límite
sobre cuántas unidades pueden buscar ser atendidas, se dice que el
modelo tiene una población con fuente finita. Con base en este
supuesto, la tasa de llegadas λ permanece constante
independientemente de cuántas unidades estén en el sistema de línea de
espera. Este supuesto de población con fuente infinita se hace en la
mayoría de los modelos de línea de espera.
El modelo de población con fuente finita analizada en esta sección se
basa en los siguientes supuestos:
1.Las llegadas de cada unidad sigue una distribución de probabilidad de
Poisson, con
2.tasa de llegadas λ.
3.Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad
exponencial, con
4.tasa de servicios μ.
5.La población de unidades que buscan ser atendidas es finita.
28. Características de operación del modelo con una población con fuente finita:
λ= tasa de llegadas
μ= tasa de servicios de cada canal
N = tamaño de la población
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema
2. Número promedio de unidades en la línea de espera:
3. Número promedio de unidades en el sistema:
4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera:
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para que la atiendan
7. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:
