1ro bachillerato-matematica-f2

Bachillerato General Unificado
1.º BGU
TEXTO DEL ESTUDIANTE
MATEMÁTICA
P
r
o
h
i
b
i
d
a
s
u
c
o
m
e
r
c
i
a
l
i
z
a
c
i
ó
n

Matemática
Texto del alumno
BGU
1

ADVERTENCIA
Un objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo
y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a
través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para
alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no
reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica
preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras,
tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en
lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no
existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia
tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica
comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su
Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español
es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical
masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía
expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente
ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los,
os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y
por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y
cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada.
DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA
© Ministerio de Educación del Ecuador
Av. Amazonas N34-451 y Av. Atahualpa
Quito-Ecuador
www.educacion.gob.ec
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA
Lenín Moreno Garcés
MINISTRA DE EDUCACIÓN
Monserrat Creamer Guillén
Viceministra de Educación
Susana Araujo Fiallos
Viceministro de Gestión Educativa
Vinicio Baquero Ordóñez
Subsecretaria de Fundamentos Educativos
María Fernanda Crespo Cordovez
Subsecretario de Administración Escolar
Mariano Eduardo López
Directora Nacional de Currículo
Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja
Director Nacional de Recursos Educativos
Ángel Gonzalo Núñez López
Directora Nacional de Operaciones
y Logística
Carmen Guagua Gaspar
Primera impresión
Marzo 2020
Impreso por:
MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.
Dirección general
Patricio Bustos Peñaherrera
Edición general
Juan Páez Salcedo
Autoría
Guillermo Benalcázar Gómez
Coordinación editorial
Soledad Martínez Rojas
Dirección de arte
Paulina Segovia Larrea
Diseño y diagramación
Equipo de diseño Maya Ediciones
Investigación gráfica
Flavio Muñoz Mejía
Investigación TIC
Fernando Bustos Cabrera
Terminación y acabados
Santiago Carvajal Sulca
Ilustraciones
Archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Fotografías
Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos
Nº de derecho de autor QUI-057203
de 13 de septiembre de 2019
ISBN: 978-9978-52-329-2
Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante
ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2017-00063-A, con fecha 18 de
octubre de 2017.
© MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020
Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro
Teléfono: 02 510 2447
coordinacion@mayaeducacion.com
www.mayaeducacion.com
Quito, Ecuador

Índice
Unidad 3
Función cuadrática y el espacio
vectorial en R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Análisis de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Intervalos de la función cuadrática
donde es decreciente o creciente . . . . . . . . . . . . . . 124
Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Ecuaciones que se reducen a una
ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Intersección gráfica de una recta y una
parábola como solución de un sistema
de dos ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Intersección gráfica de dos parábolas . . . . . . . . . . . . . 139
Sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas en forma analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Modelos matemáticos con funciones
cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
El conjunto R2
. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Interpretación geométrica de las
operaciones en R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Vectores colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
El espacio euclídeo R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Longitud o norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 169
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 172
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Unidad 4
Rectas en R2
y derivada de la función
cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 180
Ecuación cartesiana de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Rectas paralelas y perpendiculares.
Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Distancia entre dos números reales . . . . . . . . . . . . . 192
Noción intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Significados de: x → 0, x → x0
+
y x → x0
–
. . . . . . . 194
Noción de límite de una función real . . . . . . . . . . 195
Cociente incremental. Noción de derivada . . . . . 198
Interpretación geométrica y física del
cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 201
Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 212
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Unidad 5
Polinomios reales con coeficientes en R
y distacia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . 216
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . 218
Aplicaciones geométricas del producto
escalar en R2
. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . 224
Ley del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
El conjunto [R] de polinomios
con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Producto de números reales por polinomios . . 237
Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . 240
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 244
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Unidad 6
División de polinomios reales con
coeficientes en R. Probabilidad . . . . . . . . . . . . 248
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
División de polinomios. Teorema del residuo . . . . . 250
Aplicaciones de polinomios en la Informática . . 256
Conversión de binario a decimal y viceversa . . 257
polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Operaciones con sucesos. Leyes
de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Intersección. Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . 270
Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Factorial de un número natural.
Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 282
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Respuestas a las evaluaciones sumativas . . . . . . . 286
Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
BC
1
BC
1
BC
3
BC
2
BC
2
BC
2
BC
1
BC
1
BC 2
BC 3
BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones
Bloque Curricular 2: Geometría y medida
Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad

Conoce tu libro
Apertura de unidad
Contiene: título de unidad, fotografía motivadora relacio-
nada con los temas que se tratarán, texto introductorio,
preguntas de comprensión y de lectura de imagen, obje-
tivos de unidad.
Contenidos científicos y pedagógicos
Inician con la destreza con criterio de desempeño. Incluyen:
• Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo cono-
cimiento con las experiencias previas del estudiante: su
experiencia, su entorno.
• Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conocimientos
que posee el estudiante y lo desestabiliza para que re-
construya la información que posee.
Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos,
diagramas, esquemas e ilustraciones.
La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de conteni-
dos + 2 páginas para desarrollo de destrezas.
Taller práctico
Dos páginas por tema (en la estructura de 2+2).
El taller ha sido diseñado para desarrollar las destrezas del
currículo. Incluye actividades en las dimensiones concep-
tual, procedimental o calculativa y de modelización. Estas
invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de
procesos y algoritmos, desarrollo de valores, y aplicación
a la realidad.
Cada pregunta inicia detallando la destreza con criterio
de desempeño. Siempre existe un Trabajo colaborativo
acompañado de un recuadro con Diversidad funcional en
el aula, con recomendaciones para trabajar con estudiantes
con discapacidades.
Secciones variables
• Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la
matemática; hace referencia a conocimientos anteriores o
prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que
se está desarrollando.
• Conexiones con las TIC. Funciona como herramienta
de investigación para que los estudiantes profundicen
temas o aprendan de manera más ágil.
• Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con las
demás ciencias matemática y arte, matemática e historia,
etc.
• Eje transversal. Comprende diferentes temáticas como:
interculturalidad, formación de una ciudadanía democrá-
tica, protección del medioambiente, cuidado de la salud y
los hábitos de recreación de los estudiantes y educación
sexual en los jóvenes.
• Simbología matemática. Sintetiza los símbolos mate-
máticos aprendidos en la lección.

Solución de problemas cotidianos
Esta sección promueve en los estudiantes la capacidad de
resolver problemas, modelándolos con lenguaje matemáti-
co, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e inter-
pretando su solución en su marco inicial. Aquí se pondrá un
problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para
resolverlo, y algunas recomendaciones.
Desafíos científicos
Esta sección detalla con información que permite visuali-
zar que los temas tratados en la unidad se relacionan con
algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida.
La matemática y las profesiones
Espacio para hablar sobre qué estudios universitarios o
tecnologías se pueden estudiar y cómo es la carrera laboral.
TIC
Guía al estudiante, paso a paso, en la utilización de progra-
mas informáticos o en el uso de calculadoras para graficar
funciones, vectores, realizar simetrías, homotecias, gráficos
de rectas paralelas, perpendiculares, etc.
Desafíos y proyectos matemáticos
Permite reforzar el aprendizaje de la matemática,
a través de su aplicación en la práctica.
Evaluación sumativa
Dos páginas al final de cada unidad con pregun-
tas/actividades en función de los indicadores para
la evaluación del criterio. Incluye Heteroevalua-
ción, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla
de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar
sobre cómo aprende, y a verificar sus logros y debilidades
para retroalimentar su aprendizaje.

120
Observa y contesta
• ¿Qué formas reconoces en las imáge-
nes?
• ¿Cómo asociarías la función cuadráti-
ca con estas imágenes?
• ¿Dónde has observado parábolas en
la vida cotidiana?
• ¿Cómo crece el turismo en Quito?
La arquitectura y la parábola
E
l Ecuador es un país muy diverso y tie-
ne muchos atractivos turísticos, tanto
antiguos como modernos. Un ejemplo
de ello es el centro histórico de Quito, el cual
fue declarado Patrimonio Cultural de la Hu-
manidad por la Unesco, el 8 de septiembre
de1978. Así, el casco colonial tiene alrededor
de ciento treinta edificaciones monumenta-
les, donde se aloja una gran diversidad de arte
pictórico y escultórico, principalmente de ca-
rácter religioso, inspirado en una multifacética
gama de escuelas y estilos, además de cinco
mil inmuebles registrados en el inventario
municipal de bienes patrimoniales. Una de
estas edificaciones es la catedral primada de
Quito; sus arcos, su techo y altar barrocos, sus
coros neoclásicos y su fachada la hacen única
y deslumbrante.
Tomado de: http://museosquitoecuador.blogspot.
com/2015/05/
catedral-primada-de-quito.html
Función cuadrática
y el espacio vectorial en R2

121
unidad
3
Objetivos
• O.G.M.2. Producir, comunicar y gene-
ralizar información, de manera escrita,
verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica,
mediante la aplicación de conocimien-
tos matemáticos y el manejo organizado,
responsable y honesto de las fuentes de
datos, para así comprender otras discipli-
nas, entender las necesidades y potenciali-
dades de nuestro país, y tomar decisiones
con responsabilidad social.
• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-
samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-
co, la vinculación de los conocimientos
matemáticos con los de otras disciplinas
científicas y los saberes ancestrales, para
así plantear soluciones a problemas de la
realidad y contribuir al desarrollo del en-
torno social, natural y cultural.
• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la crea-
tividad a través del uso de herramientas
matemáticas al momento de enfrentar y
solucionar problemas de la realidad nacio-
nal, demostrando actitudes de orden, per-
severancia y capacidades de investigación.
Ministerio de Educación, (2016).
Bloques curriculares
Álgebra y funciones
Geometría y medida
Shutterstock,
(2020).
353411243
Flavio
Muñoz
M.,
(2020)
.
Colección
Quito
Histórico

122
DCCD: M.5.1.20 Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales utilizando TIC.
(Ref. DCCD: M.5.1.20)
Análisis de la función cuadrática
La función cuadrática es una función que aparece en muchas partes
de la matemática y tiene numerosas aplicaciones. Sin embargo, por
el momento centraremos nuestro estudio en obtener el recorrido de
la función cuadrática, en los intervalos en los que es creciente o de-
creciente, en la determinación del máximo o mínimo y en el cociente
incremental.
Definición
Sean a, b, c   con a ≠ 0. La función f de  en , definida como
= ,
2
( ) + + ∈
f x ax bx c x R
, x, se llama función cuadrática. Los núme-
ros reales a, b, y c se llaman coeficientes de la función cuadrática.
A la función f la llamaremos polinomio de grado 2 con
coeficientes reales.
Definición
Sean a1
, a2
, b1
, b2
, c1
, c2
  con a1
≠ 0, a2
≠ 0, f, g las funciones
de  en  definidas como = 1
2
1 1
( ) + + ∈
f x a x b x c x R
, x,
= 2
2
2 2
( ) + + ∈
g x a x b x c x R
, x. Diremos que f = g si y solo si a1
= a2
,
b1
= b2
, c1
= c2
.
El dominio de f es todo . Esto es, Dom(f) = .
Determinemos el recorrido de f. Para el efecto, sea y = f(x).
Como a ≠ 0, existe a–1
 , tal que aa–1
= 1. Consecuentemente
= =
2 2
+ + + +
y ax bx c a x
b
a
x
c
a
= =
2 2
+ + + +
y ax bx c a x
b
a
x
c
a
; sumamos y restamos el término
4
2
2
b
a
, obtenemos y = a
4 4
2
2
2
2
2
= + + − +
y a x
b
a
x
b
a
b
a
c
a
= a
=
2
4
4
=
2
4
4
,
2 2
2
2 2
+ +
−
+ +
−
a x
b
a
ac b
a
a x
b
a
ac b
a
= a
=
2
4
4
=
2
4
4
,
2 2
2
2 2
+ +
−
+ +
−
a x
b
a
ac b
a
a x
b
a
ac b
a
,
de donde
4
4
=
2
, .
2 2

y
ac b
a
a x
b
a
x
−
−
+ ∈
=
2
4
4
=
2
4
4
,
2 2
2
2 2
+ +
−
+ +
−
a x
b
a
ac b
a
a x
b
a
ac b
a
, x .
Identificamos dos casos: a > 0 y a < 0. Comencemos con el caso a > 0.
Puesto que para todo x ,
=
2
4
4
=
2
4
4
,
2 2
2
2 2
+ +
−
+ +
−
a x
b
a
ac b
a
a x
b
a
ac b
a
≥ 0, entonces
4
4
=
2
, .
2 2

y
ac b
a
a x
b
a
x
−
−
+ ∈
=
2
4
4
=
2
4
4
,
2 2
2
2 2
+ +
−
+ +
−
a x
b
a
ac b
a
a x
b
a
ac b
a
≥ 0, de donde
4
4
2
≥
−
y
ac b
a
, con lo cual el
recorrido de f es el conjunto Rec(f) =
=
4
4
, .
2
( )
−
∞
Rec f
ac b
a
Desequilibrio cognitivo
¿Cómo determinas las
raíces de las ecuaciones cuadrá-
ticas mediante la aplicación
de las propiedades algebraicas
de los números reales?
Saberes previos
En la notación de
determinación de conjuntos,
A = {xE | p(x)}, siendo p una
función proposicional definida
en el conjunto referencial E,
¿qué elementos intervienen en
la definición de función?
Conexiones con las TIC
Visita el siguiente enlace:
bit.ly/2J0FTzY
El objetivo de esta actividad
es que los estudiantes se fami-
liaricen con el uso y el valor
numérico de la función cuadrá-
tica y que también descubran
la importancia de la aplicación
de esta función en el contexto
que los rodea.

123
: subconjunto
≠: diferente de
: conjunto de números reales
Dom(f): dominio de f
Rec(f): recorrido de f
] ]
−∞, :
p intervalo cerrado a la
derecha
[ [
∞
, :
p intervalo cerrado a
izquierda
Simbología matemática
Ahora tratamos el caso a < 0.
Nuevamente, para todo x ,
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≥ 0 y siendo a < 0, resulta
a
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≤ 0. Luego, −
−
+ ≤
y
ac b
a
a x
b
a
4
4
=
2
0,
2 2
= a
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≤ 0, de donde
4
4
.
2
≤
−
y
ac b
a
En este caso, el recorrido de f es el conjunto = ,
4
4
.
2
( ) −∞
−
Rec f
ac b
a
Rec f
( )=
,
4ac b2
4a
, si a<0,
4ac b2
4a
, , si a>0.
.
En conclusión, Rec f
( )=
,
4ac b2
4a
, si a<0,
4ac b2
4a
, , si a>0.
En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la
gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre
hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto
2
,
4
4
2
−
−
b
a
ac b
a
se llama vértice de la parábola.
Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas
Mínimo de la función cuadrática
Sea a > 0. Puesto que para todo x  , ( )
4
4
,
2
≥
−
f x
ac b
a
el número
real =
4
4
2
−
m
ac b
a
se llama mínimo global de la función cuadrática.
Escribiremos:

=
−
= ∈
4
4
mín ( ),
2
m
ac b
a
f x
x
mín f (x),
que se lee "m es el mínimo de la función f en todo ".
Máximo de la función cuadrática
Sea a < 0. Como para todo x , ( )
4
4
,
2
≤
−
f x
ac b
a
el número real
=
4
4
2
−
M
ac b
a
se llama máximo global de la función cuadrática.
Escribiremos:

−
∈
=
4
4
=máx ( ),
2
M
ac b
a
f x
x
máx f (x),
que se lee “M es el máximo de la función f en todo ".
Nótese que: f
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
x
x
Recuerda que…
• El mínimo global de la
función cuadrática es el mínimo
de la función que se representa
como:
m = mín f (x)


≤ ∀ ∈
∈ f x
m f x x
x
mín ( )
( ), .
• Si a < 0, y la función cuadrá-
tica f no tiene mínimo global,
escribiremos:
mín f (x) = – ∞, o simple
mente,
mín f (x) no existe.
• El máximo global de la fun-
ción cuadrática es el máximo
de la función que se representa
como:
M = máx f (x)

≤ ∀ ∈
∈
máx ( )
( ) ,
f x
f x M x
x
.
• Si a 0, y la función cuadrá-
tica f no tiene máximo global,
escribiremos:
máx f (x) = ∞, o simple
mente,
máx f (x) no existe.
x
x
x
x
x
x

124
Para calcular algunos valores de la función f, se procede así:
f
1
2
=
1
2
+
1
2
2
+
3
4
=
7
4
f
1
2
=
1
2
+
1
2
2
+
3
4
=
3
4
f
3
2
=
3
2
+
1
2
2
+
3
4
=
7
4
x
b
2a
0
decrece crece
p Figura 3.1.
p Figura 3.2.
p Figura 3.3.
x
b
2a
0
decrece
crece
–3 –2 –1 0 1 2
1
2
1
2
x
y
y=x2
+x+1
1
2
3
4
5
Intervalos de la función cuadrática donde es decreciente
o creciente
Si a0, la función cuadrática es estrictamente decreciente en el
intervalo ,
b
2a
b
2a
,
y creciente en el intervalo
b
2a
, .
este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente (Figura 3.1.):
Si a0, la función cuadrática es estrictamente creciente en el intervalo
,
b
2a
b
2a
,
y decreciente en el intervalo
b
2a
, .
En la Figura 3.2. se interpreta este resultado.
Ejercicios resueltos
1. Consideremos la función cuadrática f, definida por
f x x x x 
+ + ∈
( )= 1
2
, ∀x. Se tiene Dom(f) = . Como:
f(x)= x2
+x+1= x+
1
2
2
+
3
4
x , y dado que x+
1
2
2
0
∀x, entonces f (x)= x+
1
2
2
+
3
4
3
4
, ∀x, y se sigue que
Rec( f)=
3
4
, .
En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de f . Esta es una parábola que
se abre hacia arriba (a = 1) y su vértice es el punto
1
2
,
3
4
.

Obsérvese que f
3
2
= f
1
2
=
7
4
, f
5
2
= f
3
2
=
19
4
,
y en general f x0
1
2
= x0
2
+
3
4
, f x0
1
2
= x0
2
+
3
4
. Luego,
f x0
1
2
= x0
2
+
3
4
f x0
1
2
= , x0
.
Se tiene
3
4
= f
1
2
=mínx f(x).
= mín f (x). Por otro lado, la función f
es estrictamente decreciente sobre el intervalo ,
1
2
y
estrictamente creciente sobre el intervalo
1
2
, .
En efecto, sean x1 , x2 ,
1
2
con x1
x2
.
x

125
x
1
2
0
decrece crece
p Figura 3.4.
p Figura 3.5.
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
y
x
0
y = –(x–2)²
Interdisciplinariedad
Matemática con la
vida cotidiana
Las funciones cuadráticas son
ampliamente usadas en la cien-
cia, los negocios y la ingeniería.
La parábola, puede describir
trayectorias de chorros de agua
en una fuente y el botear de
una pelota o definir la curva-
tura en estructuras como reflec-
tores y antenas parabólicas que
forman, respectivamente, los
faros de los carros y la base de
los platos satelitales. ¿Qué otro
tipo de aplicaciones tienen las
funciones cuadráticas?
Shutterstock,
(2020).
368766932
Entonces ≤ −
x x

1
2
.
1 2 Sumando
1
2
en la desigualdad, se obtiene
1
2

1
2
0,
1 2
+ + ≤
x x de donde x1 +
1
2
2
x2 +
1
2
2
0 , y
sumando
3
4
en esta última desigualdad, se deduce
x1 +
1
2
2
+
3
4
x2 +
1
2
2
+
3
4
3
4
, es decir que ( ) ( )
3
4
.
1 2 ≥
f x f x
De modo similar, se muestra que si x1 ,x2
1
2
, , tal que x1
x2
,
entonces
3
4
( ) ( ).
1 2
f x f x La prueba se propone como ejercicio.
En la gráfica siguiente se interpretan estos dos resultados (Figura 3.4.).
2. Consideremos la función g, definida como

− + − ∀ ∈
( )= 4 4, .
2
g x x x x
Puesto que

− + − − − + − − ∀ ∈
( )= 4 4 = ( 4 4 )= ( 2) , ,
2 2 2
g x x x x x x x x y
tomando en consideración que ( 2) 0, ,
2

x x
− ≥ ∀ ∈ resulta
( ) 0, ,

g x x
≤ ∀ ∈ es decir que el recorrido de g es el conjunto
Rec g − ∞
( )=] , 0]. El dominio de g es obviamente el conjunto .
Calculemos algunos valores de la función g.
(2)= (2 2) =0, (1)= (1 2) = 1,
2 2
− − − − −
g g − − −
g(3) = (3 2) = 1.
2
En la Figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g.
Esta es una parábola que se abre hacia abajo,

− − ∀ ∈
( ) = ( 2) ,
2
g x x x , y su vértice es el punto (2, 0).
x
Se tiene 0 = g(2) = máx g(x).
Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estric-
tamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ .
Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2].
Sean x1
, x2
]–∞, 2], tal que x1
x2
≤ 2. Sumando –2 en la desigual-
dad, obtenemos x1
–2 x2
–2 ≤ 0, de donde x x
− −
( 2) ( 2)
1
2
2
2
,
y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce
x x
− − − −
( 2) ( 2) ,
1
2
2
2
es decir que ( ) ( ).
1 2
g x g x
Así, ∈ −∞
, ] ,2], ( ) ( ),
1 2 1 2 1 2
x x x x g x g x
⇒
∈ −∞
, ] ,2], ( ) ( ),
1 2 1 2 1 2
x x x x g x g x lo que muestra que g es
creciente en el conjunto I = ]–∞, 2]. En forma similar, se prueba que g
es decreciente en el conjunto I = [2, ∞[.
p Antena parabólica satelital.

Taller práctico
126
1
DCCD: M.5.1.20. Graficar y analizar el dominio,
el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y
paridad de las diferentes funciones reales utili-
zando TIC.
Expresa cada función cuadrática f en
la forma ( ) = ( ) ,
0 0
2

− − ∈
f x y p x x x
donde x0
, y0
, p son elegidos apro-
piadamente. Indica las coordenadas del
vértice de la parábola, el mínimo o máxi-
mo de la función f, sobre todo . Traza
la gráfica de f.
a) 
+ − ∀ ∈
( ) =2 3 5, .
2
f x x x x
a) 
∀ ∈
( )= , .
2
g t t t
a) ( )=1 2 ,
2
− −
f x x x =
1
4
,
5
4
, 0,
3
4
,
7
4
.
− −
x
b) 
− ∀ ∈
( )= , .
2
h t t t t
b) ( ) =
1
2
2 3, = 2, 1, 0, 2, 3, 4.
2
f x x x x
− + + − −
c) ( ) =
1
4
1
25
, .
2

f x x x x
− ∀ ∈
d) 
− + − ∀ ∈
( )= 3 5 10, .
2
p a a a a
b) 
− + + ∀ ∈
( )= 3 7 9, .
2
f x x x x
c) 
− + + ∀ ∈
( ) = 2 3 1, .
2
f x x x x
2
3
Determina el intervalo donde la fun-
ción es creciente, el intervalo donde la
función es decreciente, el vértice de la
parábola, así como el mínimo o máximo
global, donde x. Traza la gráfica de la
función cuadrática.
Con cada función cuadrática f, calcula los
valores de f(x) en cada uno de los puntos
x que se indican en cada literal. Además,
traza la gráfica de f, escribe las coordena-
das del vértice e indica si la función tiene
máximo o mínimo en todo .
___________________________________________
___________________________________________

127
a) f es decreciente sobre el intervalo ,–
10
5
.
a) h es decreciente en el conjunto ,
3
8
.
b) f es creciente sobre el intervalo –
10
5
, .
b) h es creciente en el conjunto
3
8
, .
4
6
Considera la función cuadrática f dada
por 
− + ∈
( )=5 2 10 2, .
2
f x x x x
Demuestra.
5 Dada la función cuadrática h, definida
por ( ) =
4
9
1
3
1
16
, ,
2

h x x x x
+ + ∈
demuestra que:
Sea f la función cuadrática, definida por

+ + ∀ ∈
( )=3 4
8
9
, .
2
f x x x x Prueben
que f es creciente en el intervalo
2
3
,
y decreciente en el conjunto ,
2
3
.
Determinen el mínimo global de f .
Indaguen, analicen y resuelvan en equipo.
Diversidad funcional
en el aula
Adopten en su vocabulario ‘persona con disca-
pacidad’ y nunca ‘discapacitado’ o ‘minusválido’
o ‘inválido’ o ‘incapacitado’.
Trabajo colaborativo
Archivo editorial, (2020).
Consideren la función cuadrática f,
definida por 
+ + ∀ ∈
( )= 1, .
2
f x x x x
Demuestren que f es estrictamente
creciente en el intervalo
1
2
, , es
decir que si x1 ,x2
1
2
, con x1
x2
,
entonces
3
4
( ) ( ).
1 2
≤ f x f x
≤ f(x1
) f(x2
).
7
Sea g la función real definida por

− + − ∀ ∈
( )= 4 4, .
2
g x x x x Indaguen
y demuestren que la función g es decre-
ciente en el conjunto = 2, .
[ [
∞
I
8
Sean λ y u la función cuadrática que
se define. Determinen el vértice de la
parábola, los intervalos en los que u es
creciente y decreciente, y expliquen si la
función u tiene máximo global o mínimo
global.

λ λ
+ + + ∈
( ) = 2, .
2
u x x x x
9

128
Ecuación de segundo grado
DCCD: M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática.
Sean a, b, c  con a ≠ 0 y f la función de  en , definida por

+ + ∀ ∈
( ) = ,
2
f x ax bx c x . Consideremos la ecuación: para hallar
x tal que f (x) = 0, que se escribe como sigue:
hallar tal que =0.
2

∈ + +
x ax bx c
Esta ecuación se llama ecuación de segundo grado, donde x es la in-
cógnita. En la práctica, esta ecuación surge en muchas aplicaciones,
por lo que es importante saber las condiciones bajo las cuales tiene
soluciones reales y cómo calcularlas, además de conocer las condicio-
nes para las que la ecuación no tiene soluciones reales.
1. Sea 
− + ∀ ∈
( )=10 7 , .
2
P t t t t Los números reales r1
= 2 y r2
= 5
son raíces del polinomio o función P.
En efecto, (2) =10 7 2 2 = 0,
2
P − +
× (5) =10 7 5 5 = 0.
2
P − +
×
2.
Los polinomios siguientes, 
+ ∀ ∈
( ) = 1, ,
2
P t t t

+ + ∀ ∈
( ) = 1, ,
2
Q t t t t 
− + ∀ ∈
R t t t t
( ) = 2,
2
no tienen
raíces en el conjunto , pues para todo t, t2
+ 1 0,
t2
+ t + 1 0, t2
– t + 2 0. Así, P(t) ≠ 0, Q(t) ≠ 0, R(t) ≠ 0, para
todo t.
Resolver en  la ecuación ax2
+ bx + c = 0, donde a, b, c ,
a ≠ 0, significa hallar, si existe, al menos, un elemento 
x ∈ que
satisface la ecuación. Si existe 
x ∈ , tal que ax bx c x
+ +
ˆ ˆ =0, ˆ
2
es
una raíz de la ecuación de segundo grado y diremos que la ecua-
ción de segundo grado tiene solución en . Si no existe un núme-
ro real que satisfaga la ecuación de segundo grado, se dirá que esta
no tiene solución en .
Definición
i.
Se dice que r   es una raíz simple de f si para todo 
x ∈ ,
f x x r Q x
−
( )=( ) ( ), donde Q es un polinomio de grado 1 y Q(r) ≠ 0.
ii.
Se dice que r   es una raíz doble o de multiplicidad 2 si existe
una constante α  , α ≠ 0, tal que ( ) = ( ) , .
2

f x x r x
α − ∀ ∈
Ejercicio resuelto
1. Sea 
+ + ∀ ∈
( ) =2 16 32, .
2
f t t t t Entonces r = –4 es una raíz de
f, pues f(–4) = 0, luego, ( ) =( (–4)) ( ) =( 4) ( ), ,
f t t Q t t Q t t
− + ∀ ∈ 
donde Q(t) = at + b, ∀t, a, b con a ≠ 0. Estudiemos si
r = –4 es una raíz doble. Puesto que

f t t at b at b a t b t t
+ + + + + + +
( )=( 4)( )= ( 4 ) 4 =2 16 32,
2 2
y, por la
igualdad de polinomios, tenemos a = 2, b + 4a = 16, 4b = 32, con lo
cual a = 2 y b = 8. Luego, 
+ + + ∀ ∈
f t t t t t
( ) =( 4)(2 8) =2( 4) , .
2
Es decir que r = –4 es una raíz doble o de multiplicidad 2. La escri-
tura de la función f, en la forma 
+ ∀ ∈
( ) =2( 4) , ,
2
f t t t se cono-
ce como factorización del polinomio f.
Saberes previos
¿Qué es una ecuación
cuadrática en el conjunto ?
Si v es una expresión
algebraica en  y k es un real
negativo, entonces, ¿qué tipo
de solución tendrá la ecuación
v2
= –k?
Recuerda la definición
i. Un número real r se
dice una raíz de la función f si
satisface la condición f(r)=0.
ii. Se dice que la función f no
tiene raíces en  si f(x)≠0 para
todo ×.

129
Pasemos a la resolución de la ecuación =0
2
+ +
ax bx c , donde
a, b, c , a ≠ 0. Como a ≠ 0, a–1
∙ a = 1.
Multiplicando por a–1
tenemos:
=0,
2
+ +
x
b
a
x
c
a
de donde =
2
+ −
x
b
a
x
c
a
.
Sumando
4
2
2
b
a
en ambos miembros de la última igualdad, tenemos:
x2
+
b
a
x+
b2
4a2
=
c
a
+
b2
4a2
x+
b
2a
2
=
b2
4ac
4a2
.
El lado izquierdo de la última ecuación es un número real no negativo,
mientras que el lado derecho puede ser positivo, negativo o cero; es
decir que su signo depende del discriminante d = b2
–4ac. Entonces,
x2
+
b
a
x+
b2
4a2
=
c
a
+
b2
4a2
x+
b
2a
2
=
b2
4ac
4a2
.
2
=
4
.
2
2
+
x
b
a
d
a
Estudiemos en qué casos esta ecuación tiene solución.
i. Si d 0, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los núme-
ros reales. Así: = | ( ) = 0

S x f x
{ }
∈ = .

Nótese en este caso que para x  ,
x2
+
b
a
x+
b2
4a2
=
c
a
+
b2
4a2
x+
b
2a
2
=
b2
4ac
4a2
.
2 4
0
2
2
+ −
x
b
a
d
a
, con
lo cual f(x)=a x+
b
2a
2
d
4a2
y, en consecuencia, para todo
x   se tienen las desigualdades siguientes:
f(x)0,sia0, o
f(x)0,sia0.
Esto se representa gráficamente en la Figura 3.6.
ii. Si d = 0 se tiene
x2
+
b
a
x+
b2
4a2
=
c
a
+
b2
4a2
x+
b
2a
2
=
b2
4ac
4a2
.
= 0, con lo cual
2
=0,
+
x
b
a
de donde
=
2
.
−
x
b
a
Por lo tanto, si d = 0, =
2
−
x
b
a
es una raíz doble de la
ecuación de segundo grado. Es decir que f (x) se expresa en la
forma f(x)=a x
b
2a
2
=a x+
b
2a
2
, x .

El conjunto solución es S={x |ax2
+bx+c =0}=
b
2a
.
Tenemos que r
b
a
= −
2
es una raíz doble de la ecuación f (x) = 0.
Esto se representa gráficamente en la Figura 3.7.
iii. Si d 0, la ecuación x+
b
2a
2
=
d
4a2
y, por tanto, la ecuación de
segundo grado tiene solución en . Calculemos la solución. Los
números reales
4 2
d
a
− y
4 2
d
a
son tales que su cuadrado es
4
,
2
d
a
esto es
d
4a2
2
=
d
4a2
=
d
4a2
.
Recuerda la definición
Sean a, b, c con a ≠ 0.
El número real d = b2
– 4ac se
llama discriminante.
a 0, f(x) 0
x
y
0
y=ax2
+bx+c
a 0, f(x) 0
x
y
0
y=ax2
+bx+c
p Figura 3.6.
La ecuación de segundo grado no tiene
solución en .
y
x
y = a x + 2
a 0
b
2a
b
2a
–
0
p Figura 3.7.
La ecuación de segundo grado
tiene una raíz doble.

130
Como x+
b
2a
2
= x+
b
2a
, de la ecuación x+
b
2a
2
=
d
4a2
se tiene que
2
=
4 2
x
b
a
d
a
+ y, de la definición de valor absoluto,
se deduce que
2
=
4
,
2
x
b
a
d
a
+ − o
2
=
4 2
x
b
a
d
a
+ , con lo cual
=
2 4 2
x
b
a
d
a
− − o =
2 4
.
2
x
b
a
d
a
− +
Abreviadamente escribiremos: =
2 4
.
2
x
b
a
d
a
− ±
Como
4
=
2
,
2
d
a
d
a
resulta =
2 2
.
x
b
a
d
a
− ±
Si a 0, |a| = a, entonces =
2 2
=
2
.
x
b
a
d
a
b d
a
− ±
− ±
Si a 0, |a| = –a, luego 

=
2 2
=
2 2
=
2
.
x
b
a
d
a
b
a
d
a
b d
a
− ±
−
−
−
En cualquiera de los casos anteriores, indicamos con x1
, x2
las dos
raíces dadas por:
− − − − −
x
b d
a
b b ac
a
=
2
=
4
2
1
2
,

=
2
=
4
2
.
2
2
x
b d
a
b b ac
a
− + − + −
Los números reales x1
, x2
son soluciones de la ecuación de segun-
do grado, pues ( )= ( )=0.
1 2
f x f x Además x1
≠ x2
. Por lo tanto, si
= 4 0,
2
d b ac
− el conjunto solución S está definido como:

= | =0 = , .
2
1 2
S x ax bx c x x
{ } { }
∈ + +
Por comodidad, se utiliza la fórmula =
4
2
,
2
x
b b ac
a
− ± −
para pos-
teriormente determinar si la ecuación de segundo grado tiene o no
solución en , según d ≥ 0 o d 0. Para su representación gráfica,
observa la Figura 3.8.
1. Considera la ecuación x2
+ x + 1 = 0 en el conjunto . Puesto que
+ +
x x 1= 0
2
⇔ + −
x x = 1
2
⇔ + + − +
x x
1
4
= 1
1
4
2
⇔ x+
b
2a
2
=
d
4a2
El primer miembro de la última igualdad es no negativo, mientras
que el segundo miembro es negativo. Por tanto, la ecuación no tiene
solución en  o, lo que es lo mismo, el conjunto solución S = 0, pues
no existe un número real cuyo cuadrado sea 3
4
.
− Nótese que ∀x,
x+
1
2
2
+
3
2
0 , con lo cual ( )= 10
2
f x x x
+ + , ∀x.
En este caso, la gráfica de f no corta al eje x.
y
x
0
y = ax2
+bx+c
x1
x2
a 0
y
x
0
y = ax2
+bx+c
x1
x2
p Figura 3.8.
Observa que, en el caso de que la ecuación
de segundo grado no tenga raíces reales,
la gráfica de f no corta al eje x (primer
caso). En los casos en los que la ecuación
de segundo grado tiene solución en ,
la gráfica de la función cuadrática f corta
al eje x en un punto o en dos puntos
distintos (segundo y tercer casos).
La ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones reales y distintas.

131
Recuerda que…
• Hemos visto que la
función f se escribe como
f(x)= a x2
+
b
a
x+
c
a
, x .
Además, la ecuación en ,
 + +
( ) = 0 = 0
2
f x ax bx c
⇔
 + +
( )= 0 = 0
2
f x ax bx c ,
tiene solución en  si y
solo si el discriminante
= − ≥
4 0,
2
d b ac en cuyo
caso sus raíces reales son:
=
− − −
=
− + −
4
2
,
4
2
.
1
2
2
2
x
b b ac
a
x
b b ac
a
• En conclusión, dada la función
cuadrática f, definida como

= + + ∀ ∈
( ) , ,
2
f x ax bx c x
con a, b, c  , a ≠ 0, las raíces
reales x1
, x2
de la ecuación
ax2
+ bx + c = 0 satisfacen las
relaciones + = −
1 2
x x
b
a
y
⋅ =
1 2
x x
c
a
.
Además, la función f se
factoriza en la forma
( ) = ( )( ), .
1 2 
f x a x x x x x
− − ∈
Obsérvese la equivalencia
 − −
( ) = 0 ( )( )= 0
1 2
f x a x x x x
 − −
( )= 0 ( )( )= 0
1 2
f x a x x x x
y siendo a ≠ 0, se deduce
x x1 =0,o
x x2 =0
x = x1, o
x = x2
Este último resultado muestra
que la ecuación de segundo
grado tiene, a lo más, dos raíces
reales y distintas.
.
2.
Si es posible, factoriza la función f definida por

+ + ∀ ∈
( )= 2 2, .
2
f x x x x

En primer lugar, estudiemos la existencia de raíces reales de la
ecuación x2
+ 2x + 2 = 0. Para el efecto, calculamos el discrimi-
nante d de dicha ecuación. Tenemos a = 1, b = 2, c = 2, luego,
d = b2
– 4ac = 4 – 8 = –4 0.
Laecuaciónx2
+2x+2=0 notieneraícesreales,porlotanto,lafunción
realfnopuedefactorizarseenlaforma ( ) =( )( ), ,
1 2 
f x x x x x x
− − ∈
con x1
, x2
.
Obsérvese que
( ) = 2 2 =( 1) 1 1, ,
2 2

f x x x x x
+ + + + ≥ ∀ ∈
x
con lo que mín f (x) = 1.
Propiedades de la raíces. Factorización de funciones cuadráticas
Consideremos la función cuadrática f, dada por

+ + ∈
( ) = , ,
2
f x ax bx c x donde a, b, c  con a ≠ 0.
Calculemos x1
+ x2
. Tenemos:
=
4
2
4
2
=
4 4
2
= .
1 2
2 2 2 2
x x
b b ac
a
b b ac
a
b b ac b b ac
a
b
a
+
− − −
+
− + − − − − − + −
−
4 4
2
=
4 4
2
= .
2 2 2 2
b ac
a
b b ac
a
b b ac b b ac
a
b
a
−
+
− + − − − − − + −
−
Luego, la suma de las raíces x1
, x2
de la ecuación de segundo grado
satisfacen la relación = .
1 2
x x
b
a
+ −
Calculemos x1
∙ x2
:
x x
b b ac
a
b b ac
a
b ac b b ac b
a
c
a
=
4
2
4
2
=
4 4
4
.
1 2
2 2
2 2
2
( )( )
⋅
− − −
⋅
− + −
−
− + − −
=
ac
a
b b ac
a
b ac b b ac b
a
c
a
4 4
2
=
4 4
4
.
2 2
2 2
2
( )( )
−
⋅
− + −
−
− + − −
=
Por lo tanto, el producto de las raíces x1
, x2
de la ecuación de segundo
grado satisface la relación = .
1 2
x x
c
a
⋅ En consecuencia, la función f se
escribe como sigue:
=a x(x x1)+x2 ( x+x1)
[ ]=a x(x x1) x2 (x+x1)
[ ]=a(x x1)(x+x2).
f(x)=a x2
+
b
a
x+
c
a
=a x2
(x1 +x2)x+x1x2 =a x2
x1x+x2x+x1x2

Nótese que hemos utilizado la propiedad distributiva de los números
reales y la identidad ( ) = ( ), , , .

a b c a b c a b c
− + − − ∀ ∈ Así, la función
cuadrática f o polinomio de grado 2 con coeficientes en  se escribe
en la forma ( ) = ( )( ), .
1 2 
f x a x x x x x
− + ∈ Es decir que la función f
se ha factorizado.

Taller práctico
132
1
DCCD: M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las
raíces de la ecuación de segundo grado en la
factorización de la función cuadrática.
a) 
( ) − ∀ ∈ =− =
= 4, , 2, 2.
2
P t t t r r
a) 
− ∀ ∈
( )=3 2 , .
2
p x x x x
b) 
+ ∀ ∈
( )=2 5 , .
2
p x x x x
c) 
− ∀ ∈
( )=
1
16
49
81
, .
2
p x x x
a) 
( ) + ∀ ∈ =
=5 , , 0.
2
P t t t t r
b) 
( ) − + ∀ ∈ = =−
=8 80 200, , 5, 2.
2
P x x x x r r
b) 
( ) − + ∀ ∈ =−
= 1 , , 1.
2
P t t t r
c) 
( ) − − + ∀ ∈ = =−
= 70 4 2 , , 1, 8.
2
P t t t t r r
c) = 6 , , 3.
2

P x x x x r
( ) − − + ∀ ∈ =
Para cada función cuadrática P y para los
números reales r que se dan a continua-
ción, verifica si son o no raíces de P.
2
3
Para cada polinomio P y para la raíz r de
P que se presenta a continuación, deter-
mina si es raíz simple o de multiplicidad
2.
Para cada función cuadrática P que se
define en cada caso, calcula, si existen,
las raíces reales de la ecuación p(x) = 0
y sea 
={ | ( )=0}.
S x p x
∈ Si S ≠ 0, fac-
toriza p(x), x.
a) 
( ) − + ∀ ∈
= , .
2
f x x x x
b) 
( ) − + ∀ ∈
= 13 40, .
2
u x x x x
c) 
( ) + + ∀ ∈
= 6 9 3 , .
2
v t t t t
d) 
φ( ) + + ∀ ∈
= 6 8 2 , .
2
y y y y
e) 
θ ( ) + + ∀ ∈
=128 32 2 , .
2
z z z z
f) = 5, .
2

a a a a
( ) − + ∀ ∈
4 Estudia si la función que se define en
cada ítem es factorizable en . En caso
de no serlo, justifica tu respuesta.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________

133
5
b)
5
8
11x 2x2
45x 125
( )=0.
c) − − +
x x x x
(4 3 )( 60 900) = 0.
2 2
d) ( 90 2025)(5 5 30)=0.
2 2
x x x x
+ + + −
a) 2 =0.
2
x x
− −
a) = , .
2

p t a t t t
( ) + + ∀ ∈
b) = , .
2

q x a x x
( ) − ∀ ∈
6 Determina las condiciones que ha de
verificar a   con a ≠ 0 para que la
función cuadrática que se da en cada
caso sea factorable en .
Resuelve en  las ecuaciones siguientes.
Ten presente que el producto de núme-
ros reales es cero si y solo si cada factor
es cero.
b) 2 2 12 =0.
2 2
x ax a
− −
c) 2 2 5 5 =0.
2 2 2
x a x a
( )
+ + +
d) 2 4 3 6 =0.
2 2 2
x a x a
( )
+ − −
a) 5 5 =0.
2 2
x a
−
7 Resuelvanenlasecuacionesquesedan,
en las que a   es fijo a ≠ 0. Estudien la
existencia de raíces reales en función de a.
en el aula
Sin importar las diferencias o similitudes que
podamos tener unos con otros, debemos inte-
grarnos y trabajar en equipo..
a) r1
= –1, r2
= 0. b) r1
= 1, r2
= –3.
9 Los números reales r1
, r2
que se dan en
cada caso son raíces de un polinomio de
la forma P(t) = t2
+ at + b, ∀t, donde
a, b  son constantes elegidas apro-
piadamente. Hallen dicho polinomio.
Tracen la gráfica de P e indiquen dónde
es creciente y dónde decreciente.
Indaguen, analicen, trabajen en equipo en sus
cuadernos.
8 Consideren la ecuación hallar x   so-
lución de ax2
+ bx + c = 0, donde a, b, c
 , a ≠ 0. Supongan que b2
– 4ac 0.
Demuestren que esta ecuación tiene
exactamente dos raíces reales y distintas.
Para el efecto, asuman que la ecuación
tiene tres raíces reales y distintas entre sí:
x1
, x2
, x3
. Obtengan una contradicción.

134
Ecuaciones que se reducen
a una ecuación de segundo grado
DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Ecuación de la forma at4
+ bt2
+ c
Sean a, b, c   con a ≠ 0. Consideremos la función definida por
( ) = , .
4 2

f t at bt c t
+ + ∈ Esta función es un polinomio de grado 4.
Determinemos si existe t  , solución de la ecuación at4
+ bt2
+ c = 0.
Denotamos con S su conjunto solución. Ponemos x = t2
, entonces
x2
= t4
y la ecuación se expresa en la forma ax2
+ bx + c = 0.
Puesto que at bt c t
b
a
b ac
a
+ + +
−
=0
2
=
4
4
,
4 2 2
2 2
2
at bt c t
b
a
b ac
a
+ + +
−
=0
2
=
4
4
,
4 2 2
2 2
2
se sigue que si d b ac
− ≥
= 4 0,
2
entonces t
b b ac
a
− − −
=
4
2
2
2
o t
b b ac
a
− + −
=
4
2
.
2
2
Por otro lado, las raíces de la ecuación ax2
+ bx + c = 0 están dadas por
x
b b ac
a
x
b b ac
a
− − −
− + −
=
4
2
,
=
4
2
,
1
2
2
2
y como x = t2
, se obtiene así el par de ecuaciones t2
= x1
, t2
= x2
. Sea S1
su conjunto solución, es decir, 
S t t x t x
∈ ∨
={ | = = }.
1
2
1
2
2
1.
Consideremos la ecuación: t tal que 4t4
– 37t2
+ 9 = 0.
Sea x = t2
, entonces la ecuación propuesta se transforma en la
ecuación 4x2
– 37x + 9 = 0, cuyas raíces son x1
= 9, x =
1
4
.
2
Resolvamos el par de ecuaciones t2
= 9, t =
1
4
.
2
Resulta t1
= –3, t2
= 3, t −
=
1
2
,
3 t =
1
2
.
4
El conjunto solución es:
S={t |4t4
37t2
+9 =0}= 3,
1
2
,
1
2
, 3 .
Nótese que
4t4
37t2
+9 = 0 t2 37
8
2
=
1297
64
t2 37
8
35
8
t2 37
8
+
35
8
= 0
= 3 v =3 v =
1
2
v =
1
2
.
t t t t
− −
Además, ( ) = 4 37 9,
4 2

P t t t t
− + ∈ se factoriza en la forma
P(t)=4 t+3
( ) t 3
( ) t+
1
2
t
1
2
, t .
Saberes previos
¿Qué procesos cono-
ces para resolver ecuaciones
cuadráticas?
¿Cómo encontrarías la
solución de una ecuación de
cuarto grado de la forma
ax4
+ bx2
+ c = 0,
con a, b, c , a ≠ 0?
Recuerda que…
Toda solución de la
ecuación at4
+ bt2
+ c = 0 es
solución de las ecuaciones
t2
= x1
, o t2
= x2
y, recíprocamen-
te, resulta S = S1
, siendo x1
, x2
soluciones de ax2
+ bx + c = 0.
Por consiguiente, la sustitución
x = t2
permite transformar la
ecuación at4
+ bt2
+ c = 0 a una
ecuación de segundo grado y si
d ≥ 0, el par de ecuaciones
t2
= x1
, t2
= x2
permiten determi-
nar el conjunto solución S.
Si d 0, es S ≠ 0 y con mayor
razón S1
≠ 0. Además, si d 0 y
x1
0, x2
0, entonces S1
≠ 0, en
cuyo caso, para todo t,
t2
– x1
0, t2
– x2
0, de donde
( ) 0,
, 0,
( ) 0,
, 0.
4 2
4 2


P t at bt c
t si a
P t at bt c
t si a
= + +
∀ ∈
= + +
∀ ∈

135
Ecuación de la forma ax b cx d
=
+ +
1. Hallar x  , si existe solución de la ecuación x x
− − +
2 3 = 1.
En primer lugar, la raíz cuadrada de números reales está bien
definida para números reales no negativos. En consecuencia,
2x – 3 ≥ 0, de donde x ≥
3
2
, o bien x 
x ∈ ∞
3
2
, .
. Además, para
≥ − ≥
x x
3
2
, 2 3 0, con lo que la igualdad x x
− − +
2 3 = 1 tiene
sentido si y solo si 1 0,
3
2
, .
x x
− + ≥ ∈ ∞
x 
x ∈ ∞
3
2
, .
.
Sea x 
x ∈ ∞
3
2
, .
, entonces x ≥
3
2
. Multiplicando por –1 a esta
última desigualdad, se obtiene x
− ≤ −
3
2
, y sumando 1 en ambos
miembros, se tiene x
− + ≤ −
1
1
2
. Así, x x
− + ≤ − ∈ ∞
1
1
2
3
2
, ,
, x 
x ∈ ∞
3
2
, .
,
es decir que –x + 1 es negativo para x 
x ∈ ∞
3
2
, .
, lo que significa
que la igualdad x x
− − +
2 3 = 1 es contradictoria. Por lo tanto,
la ecuación propuesta x x
− − +
2 3 = 1 no tiene solución en .
Sean u, v las funciones definidas por u x x v x x
− − +
( )= 2 3, ( )= 1.
Se tiene Dom u ∞
( )=
3
2
, ,
x ∈ ∞
3
2
, .
, 
Dom v
( )= . En la Figura 3.9. se mues-
tran las gráficas de las funciones u y v, se ve que no se cortan.
2.
Considérese la ecuación x   y x x
− −
2 3 = 1.
Seanu,vlasfuncionesrealesdefinidasporu x x v x x
− −
( )= 2 3, ( )= 1.
Entonces Dom u ∞
( )=
3
2
, ,
x ∈ ∞
3
2
, .
, Dom(v) = . En la Figura 3.10. se
muestran las gráficas de las funciones u y v, las cuales se cortan en
un punto. Nótese que x −
2 3 está bien definido, si x 
x ∈ ∞
3
2
, .
,
y 2 3 0,
3
2
, .
x x
− ≥ ∈ ∞
x 
x ∈ ∞
3
2
, .
.
Además, x − ≥
1
1
2
para x 
x ∈ ∞
3
2
, .
, por lo que la igualdad
x x
− −
2 3 = 1 es compatible en el conjunto
x ∈ ∞
3
2
, .
.

¿Tiene solución esta ecuación? Para dar respuesta a esta pregunta,
elevamos al cuadrado ambos miembros 2x 3
( )
2
=(x 1)2
,
de donde 2x – 3 = x2
– 2x +1, con lo que (x – 2)2
= 0.
La solución =2
3
2
,
x̂ pertenece al conjunto.

Se verifica inmediatamente que 2 3 = 1
x̂ x̂ es la única solu-
ción del sistema.
Recuerda que…
Tenemos la ecuación
+ = + ,
ax b cx d don-
de a, b, c, d   con a ≠0,
c ≠ 0. Sean u, v las funcio-
nes reales definidas por
u x ax b v x cx d
( ) , ( ) ,
= + = +
entonces

{ }
∈ + ≥
( )= | 0 ,
Dom u x ax b

( )=
Dom v .
Si v(x)≥0 para x  Dom(u), la
igualdad + +
=
ax b cx d es
compatible para, al menos, un
número real x  Dom(u).
En tal caso, procedemos a resol-
ver la ecuación. Elevamos am-
bos miembros al cuadrado. Si el
discriminante de esta ecuación
de segundo grado es negativo,
la ecuación + +
=
ax b cx d
no tiene solución en .
1
–1 2 3 4 5 6
1
2
3
0
y
x
y =√2x –3
3
2
y = –x+1
p Figura 3.9.
1
–1 2 3 4 5 6
1
2
3
0
y
x
y =√2x –3
3
2
y = x+1
–1
p Figura 3.10.

Taller práctico
136
2
4
3
5
Estudia la existencia de raíces reales y
factoriza, siempre que sea posible, la
función f.
Estudia y resuelve en  las ecuaciones
que se proponen en cada ítem, donde x
denota la incógnita.
En cada ítem, se define una función f.
factoriza la función f, siempre que sea
posible.
Estudia y resuelve en +
las ecuaciones
que se proponen a continuación, siendo
x la incógnita.
1
DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se
pueden reducir a ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
a) 
− ∈
( )=
1
16
81, .
4
f x x x
a) 
+ − ∈
( )=2 10, .
6 3
f x x x x
a) 2 3 20 =0.
4
3
2
3
x x
− −
a) 0,36 1,2 1=0.
1
2
x x
+ +
b) 25 2
1
25
=0.
1
2
x x
− −
b) 
− + − ∈
( )= 5 2 1, .
4 2
f x x x x
a) 
+ − ∈
( )= 11 1, .
8 4
f x x x x
b) 
+ ∈
( )= 64, .
6
f x x x
b) 4 2 1=0.
4
3
2
3
x x
+ −
c) 
+ + ∈
( )= 0,2 10, .
4 2
f x x x x
b) 
+ + − + ∈
( )=( 3 2)( 8 15), .
4 2 4 2
f x x x x x x
c) 
+ − ∈
( ) =3 10, .
6 3
f x x x x
factoriza la función f, siempre que sea
posible.

137
6
8
7
que se dan a continuación:
Estudien y resuelvan en  las ecuacio-
nes siguientes:
que se dan a continuación:
a) 5 = 2 1.
x x
+ − +
a) 4 20 =10.
x x
− + +
a) 1= 1.
2
x x x
+ + −
b)
1
2
2 = 3 2.
x x
+ +
b) 2 1 2 1= 4 10.
x x x
− + + +
c) 4 5 4 =17.
x x
+ +
b) 1 2 =2 3.
2
x x x
− − +
c) 8 = 3 2.
2
x x x
+ − +
en el aula
Al trabajar en equipo es importante que una
persona lidere la actividad e integre a todos los
miembros que conforman el grupo.
9 Seana,b,c cona≠0 yulafunciónreal
definidapor ( ) = , .
4 2

u x ax bx c x
+ + ∈
Con base en el discriminante d = b2
– 4 ac
y la gráfica de la función v, dada por
( )= ,
2
v y ay by c
+ + indiquen las condi
ciones bajo las cuales la ecuación
=0
4 2
ax bx c
+ + tiene solución en :
dos raíces distintas, cuatro raíces distin-
tas, una raíz de multiplicidad 2, una raíz
de multiplicidad 4.
10 Sean a, b, c   con a ≠ 0 y
w la función real definida por

+ + ∈
( ) = , .
4
3
2
3
w x ax bx c x
Precisen las condiciones que se han de
verificar para que la ecuación w(x) = 0
tenga solución en  y calculen las
soluciones.
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.

138
Intersección gráfica de una recta y una
parábola como solución de un sistema
de dos ecuaciones
DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra
lineal.
M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.
Consideremos la parábola = , | = 2
P x y y ax bx c

{ }
( )∈ + + , donde
a, b, c   a ≠ 0 y la recta = , | = ,
2
L x y y x
 α β
{ }
( )∈ + donde,
α, β  . Para fijar las ideas, se supone que a 0, α 0. Analicemos
tres casos.
1. En la Figura 3.11. se muestran las gráficas de esta parábola P y de la
recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos
distintos, de abscisas x1
y x2
. Es decir que x y x y P L
( ) ( )∈ ∩
, , , ,
1 1 2 2
más aún, P L x y x y
{ }
( ) ( )
∩ = , , , .
1 1 2 2
Este par de puntos son solución del par de ecuaciones
α β
+ +
+
= ,
= .
2
y ax bx c
y x
Al igualar miembro a miembro, se tiene:
α β
+ + +
x ax bx c
= 2
α β
( )
+ − + −
ax b x c = 0
2 α β
+
−
+
−
x
b
a
x
c
a
= 0
2
α α β
+
−
−
−
+
−
x
b
a
b
a
c
a
2 2
= 0
2 2
x
b
a
b
a
c
a
2
=
2
.
2 2
α α β
+
− −
−
−
De esta última igualdad, para que existan estos dos puntos de corte
distintos, se debe verificar que
2
=
4
4
0.
2 2
2
b
a
c
a
b a c
a
α β α β
( ) ( )
−
−
− − − −
y = ax²+bx+c
y = αx +β
β
y
x
x1 x2
c
0
p Figura 3.11.
Saberes previos
¿Qué es para ti un siste-
ma de ecuaciones?
Si la recta L no interse-
ca a la parábola, entonces, ¿el
sistema tiene solución?
Para ampliar tus cono-
cimientos sobre la intersección
de una recta y una parábola,
visita el siguiente enlace:
bit.ly/2VEhuqx
Glosario
intersección. Lugar en
que se cortan o se encuentran
dos líneas, dos superficies o dos
sólidos.
parábola. Curva abierta formada
por dos líneas o ramas simétricas
respecto de un eje y en que to-
dos sus puntos están a la misma
distancia del foco (un punto) y
de la directriz (recta perpendicu-
lar al eje).
a
cb

139
2.
En la Figura 3.12. se muestran las gráficas de la parábola P y de la
recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en un punto de
abscisa x, es decir que ( )∈ ∩
, ,
x y P L más aún, { }
( )
∩ = , .
P L x y
Estepuntoessolucióndelsistemadeecuaciones
α β
+ +
+
= ,
= ,
2
y ax bx c
y x
del que, procediendo del mismo modo que el anterior, se obtiene:
x+ =ax2
+bx+c x+
b
2a
2
=
b
2a
2
c
a
.

De esta última igualdad, y para que exista un punto de corte, se
debe verificar que

α β α β
( ) ( )
−
−
− − − −
2
=
4
4
=0
2 2
2
b
a
c
a
b a c
a
, con lo que

x =
b
2a
,
y =
b
2a
+
y, en consecuencia, ( )∈ ∩
,
x y P L .
3.
En la Figura 3.13. se muestran las gráficas de la parábola P y de la
recta L. Se observa que estas dos gráficas no se cortan.
En este caso, procediendo de modo similar al precedente, se tiene:

α β α β
( ) ( )
−
−
− − − −
2
=
4
4
0,
2 2
2
b
a
c
a
b a c
a

con lo que el sistema de ecuaciones
= ,
= ,
2
y ax bx c
y x
α β
+ +
+
no tiene solución en el conjunto de los números reales. Entonces,
resulta ∩ ∅
= .
P L
Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un
sistema de dos ecuaciones
Ahora, consideremos la intersección de dos parábolas designadas
con P1
y P2
:
{ }
( )
= ∈ + +
, | =
1
2 2
P x y y ax bx c

,
α β λ
{ }
( )∈ + +
= , | =
2
2 2
P x y y x x

,
donde a, b, c, α, β, λ,   a ≠ 0 y α ≠ 0 son constantes. Se supone
que P1
≠ P2
.
Analizaremos dos casos (los restantes se dejan como ejercicio).
y
x
y = ax²+bx+c
y = αx +β
β
c
x 0
p Figura 3.12.
y = ax²+bx+c
y = αx +β β
y
x
0
p Figura 3.13.
Hay calculadoras, como
la fx-9860, que te permiten
resolver sistemas de ecuaciones
cuadráticas.

140
1. En la Figura3.14. se muestran las gráficas de las parábolas P1
y P2
.

Nótese que se ha supuesto que a 0, α 0. Se observa que
estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abs-
cisas x1
y x2
. Es decir que x y x y P P
( ) ( )∈ ∩
, , , ,
1 1 2 2 1 2 más aún,
P P x y x y
{ }
( ) ( )
∩ = , , , .
1 2 1 1 2 2

Este par de puntos son solución del par de ecuaciones
α β λ
+ +
+ +
= ,
= .
2
2
y ax bx c
y x x

Procediendo en forma similar al caso de intersección de una recta
con una parábola, al igualar miembro a miembro, se tiene:

x2
+ x+ =ax2
+bx+c a
( )x2
+ b
( )x+c =0.
Si a ≠ α, a – α ≠ 0, y podemos dividir la última ecuación para
a – α, resulta:
x2
+
b
a
x+
c
a
=0 x+
b
2 a
( )
2
b
2 a
( )
2
+
c
a
=0
x+
b
2 a
( )
2
=
b
2 a
( )
2
c
a
.

De esta última igualdad, para que existan dos puntos de corte
distintos, se debe verificar que

b
2 a
( )
2
c
a
=
b
( )
2
4 a
( ) c
( )
4 a
( )
2
0.
En el caso a = α, a – α = 0, resulta: (b – β) x + c – λ = 0.
Si b – β = 0, se tiene b = β, con lo que c = λ contradice el
supuesto de que P1
≠ P2
. En consecuencia, b – β ≠ 0, en cuyo
caso, la solución de la ecuación precedente es ˆ = ,
λ
β
−
−
x
c
b
b ≠ β, de donde ˆ = ˆ ˆ
2
+ +
y ax bx c , luego ˆ,ˆ 1 2
( )∈ ∩
x y P P .
Se deja como ejercicio trazar las gráficas de las parábolas que
satisfacen esta condición.

En la Figura 3.15. se muestran las gráficas de las parábolas
P1
y P2
. Se observa que estas dos gráficas no se cortan. Se ha
supuesto que a 0, α 0. El análisis matemático respectivo
se deja como ejercicio.
λ
y= αx²+βx+λ
y = ax²+bx+c
0 x2
x1 x
y
p Figura 3.14.
y= αx²+βx+λ
y = ax²+bx+c
0 x
y
p Figura 3.15.

141
Ejercicio resuelto
En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme y variado
de cuerpos. Se obtienen dos ecuaciones elementales que relacionan
el desplazamiento (posición) x en términos de la velocidad inicial
v0
, la aceleración a y el tiempo t. Así:
=
= +
x vt
x v t at
o
, movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante),
, movimiento rectilíneo variado (aceleración constante).
1
2
2
En una avenida, el auto 1 se mueve con velocidad constante de veinte
metros por segundo, lo cual se escribe 20 m/s (72 km/h). La persona
que conduce observa en un panel una advertencia de entrada y salida
de autos. El auto 2 ingresa a la avenida con una velocidad inicial v0
=
2 m/s, una aceleración de 1m/s2
. Al instante en que el auto 2 ingresa
a la avenida, el auto 1 se encuentra a 60 m a la izquierda del ingreso.
¿Existe o no accidente (choque por alcance)?
Parasabersiexisteonochoque,denotamosconxlaposicióndelosau-
tostsegundosmástarde.Conlainformaciónsuministrada,obtenemos
el par de ecuaciones:
x t
x t t
60 20 , (auto 1),
2 0,5 , (auto 2),
2
= − +
= +
donde x y t son las incógnitas.
Graficamos las dos ecuaciones.
Conclusión: ¡Si se produce un
accidente!
La solución de este problema nos
muestra varias reflexiones. En un
tiempo aproximado de 3,72 se-
gundos, se produce el accidente
por impericia y descuido de los
dos conductores de los autos. El
conductor del auto 1 no toma en
consideración la advertencia y al
observar el ingreso del auto 2, no reduce la velocidad. El conductor del
auto 2 desestima la posición y velocidad del auto 1, y comete la impru-
dencia de ingresar a la avenida. En lo sucesivo, toma en consideración las
advertencias en las vías, las velocidades, tiempos y distancias. Este ejem-
plo nos muestra cómo la matemática ayuda a comprender esta clase
de riesgos y a tomar precauciones en las vías. Ten presente que en 3 s el
auto 1 recorre 60 m.
Auto 1 Auto 2
Carril derecho
Entrada
Instante inicial
Instante inicial
Visita el siguiente enlace
para que puedas practicar este
tema:
bit.ly/2UMhsbP
B = (3,72; 14,34)
5
0
–5
–10 10
5
10
15
20
0
c
x
y
Toma en cuenta que:
Si son parábolas secantes,
el sistema tiene dos soluciones.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
2
–2
–4
–6 4 6 x
y
y = x²
y = –x2
- 14
(–3, 9)
(3, 9)
Si son parábolas tangentes,
el sistema tiene una solución.
–2
–3
–4
–5
–1
0
1
2
3
4
5
1
–1
–2
–3 2 3 x
y
Si son parábolas que no se cortan,
el sistema no tiene solución.
–2
–3
–4
–1
0
1
2
3
4
5
1
–1
–2
–3 2 3 x
y

Taller práctico
142
2
4
3
Resuelve el siguiente sistema de ecua-
ciones no lineales:
a b
a b
0,
( 1) 25,
3
4
3
4
2 2
+ + =
− + =
−
donde a, b   denotan las incógnitas.
Comprueba que las soluciones son
(–3, –3) y (5, 3). En el mismo sistema de
referencia, representa gráficamente la
recta y la circunferencia y precisa los pun-
tos de intersección de estas dos gráficas.
Considera en 2
las representaciones
gráficas de dos subconjuntos R, S de
2
, de modo que R S . Observa
y determina las soluciones en forma
aproximada.
Resuelve en 2
el siguiente sis-
tema de ecuaciones no lineales:
u v
u u v
4 0,
0,
1
9
1
45
2 4
25
20
9
+ − =
+ − + =
donde u, v   denotan las incógnitas.
1
DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección grá-
fica de una recta y una parábola como solución
de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrá-
tica y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la inter-
sección gráfica de dos parábolas como solución
de un sistema de dos ecuaciones de segundo
grado con dos incógnitas.
a) En el mismo sistema de referencia, repre-
senta gráficamente la recta y la parábola.
b) Resuelve el sistema de ecuaciones no
lineales y obtén las soluciones (–2, ¼) y
(3, –1). Comprueba que estas son efectiva-
mente soluciones del sistema no lineal de
ecuaciones.
a) Confirma que las soluciones son
(–5, 11/9) y (4, 20/9).
b) En el mismo sistema de referencia, repre-
senta gráficamente las dos parábolas y
marca los puntos de intersección.
a)
Considera en 2
el siguiente sis-
tema de ecuaciones no lineales:
x y
x x y
4 1 0,
2 4 7 0,
2
+ + =
− − − =
donde x, y  denotan las incógnitas.
___________________________________________
___________________________________________
c
A
B
1
1
1
–2
–3
–4
–5
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5 1 1 2 3 4 5

143
b)
c)
d)
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
5 Resuelvan en 2
los siguientes sistemas
de ecuaciones no lineales, donde x, y  
denotan las incógnitas.
x y
xy
1,
20.
− = −
=
a) El producto de dos números es 4 y la suma
de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles son los
números?
b) Determinen dos números cuya suma sea
90 y su cociente sea 9.
c) ¿Cuáles son los dos números positivos cuya
suma es 10 y su producto 21?
d) Se desea cercar un terreno rectangular, uno
de cuyos lados linda con un río. Si el área
del terreno es de 0,2 hectáreas y los tres
lados por cercar miden 140 m, ¿cuáles son
el largo y el ancho del terreno?
6 Planteen un sistema de ecuaciones no
lineales y resuelvan los problemas en 2
,
donde x, y   denotan las incógnitas.
a)
y x
y x
,
1.
2
=
= +
b)
y x
y x
1,
1.
2
2
= −
= − +
7 Resuelvan en 2
los sistemas de ecua-
ciones no lineales donde x, y   desig-
na las incógnitas.
B
A
0
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
f
A
B
c
2
4
6
8
10
12
14
–14
–12
–10
–8
–6
–4
–2
14 12 10 8 6 4 2
0
2 4 6 8 10 12 14
2 2 4 6 8 10 12 14 16
8
6
4
2
0
–2
a A
0
c
en el aula
Cuando una persona tiene una discapacidad, lo
mejor es preguntarle directamente si hay algo en
lo que puedas ayudar. Por ejemplo para resolver
las actividades de esta sección.

144
Sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas en forma analítica
DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: una de primer grado y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones
de segundo grado con dos incógnitas, de forma analítica.
Específicamente, trataremos sistemas de ecuaciones no lineales de la
la siguiente forma:
=
= ,
1
2
1
2
1 1 1 1
2
2
2
2
2 2 2 2
+ + + +
+ + + +
a x b y c x d y f xy e
a x b y c x d y f xy e
donde (x, y)2
denotan las incógnitas, ai
, bi
, ci
, di
, fi
  i = 1, 2 son
los coeficientes y ei
, e2
 se llaman términos independientes.
Resolver en el conjunto 2
el sistema de ecuaciones no lineales con
coeficientes y términos independientes en  significa hallar dos nú-
meros reales x, y, que se escriben (x, y)2
y que satisfacen dichas
ecuaciones. Si no es posible hallar (x, y)2
que satisfaga el sistema
de ecuaciones dado, se dirá que dicho sistema no tiene solución en
el conjunto 2
.
Si existe (x, y)2
, que satisface el sistema de ecuaciones, el par (x, y)
es la solución de dicho sistema.
1.
Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
(x, y)2
y
=1,
3 2 = 1.
2
+ +
− −
x x y
x y

Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, si acaso
existe, observamos que se facilita obtener la incógnita y de la se-
gunda ecuación y luego reemplazarla en la primera. Así, tenemos
=
1
2
(3 1),
+
y x luego
1
2
(3 1)=1
2
+ + +
x x x o bien 2 5 1=0.
2
+ −
x x

El discriminante de esta ecuación es =5 4 2 ( 1)=33,
2
− × × −
d
que muestra que la ecuación de segundo grado precedente tiene
dos raíces reales y distintas x1
, x2
, dadas por

=
5 33
4
=
5 33
4
, =
5 33
4
.
1 2
− −
−
+ − +
x x
Como =
1
2
(3 1).
+
y x Reemplazamos x por x1
y x2
, y obtenemos
y1
y y2
, definidos por:

y1 =
1
2
(3x1 +1)=
1
2
3
5+ 33
4
+1 =
1
8
11+3 33
( ),
y1 =
1
2
(3x1 +1)=
1
2
3
5+ 33
4
+1 =
1
8
11+3 33
( ),

Las soluciones del sistema de ecuaciones no lineal propuesto está
constituido por el conjunto = ( , ),( , ) .
1 1 2 2
{ }
S x y x y
Saberes previos
¿Para qué sirve analizar
el discriminante?
¿Crees que un sistema
de ecuaciones cuadráticas pue-
de tener infinitas soluciones?
¿Por qué?
Recuerda que…
El estudio de rectas y
parábolas nos lleva a resolver
sistemas formados por:
y mx b
y ax bx c
,
.
2
= +
= + +
El estudio de un sistema forma-
do por dos parábolas nos lleva
a resolver sistemas cuadráticos
formados por:
= + +
= + +
,
,
2
2
y ax bx c
y px qx c
con x, y  , las incógnitas.

145
2.
Considera el sistema de ecuaciones no lineales caracterizado por
(x, y)2
tal que
x y
x y
=5,
= 1.
2 2
+
+ −
Obtenemos x de la segunda ecuación, esto es, x = –1 – y, y reem-
plazamos en la primera. Tenemos entonces: (–1 –y)2
+ y2
= 5, de
la que, luego de realizar simplificaciones, obtenemos y2
+ y – 2 = 0.
Las raíces de estas ecuaciones están definidas como

=
1 9
2
=
1 3
2
= 2, =
1 9
2
=
1 3
2
=1,
1 2
− − − −
−
− + − +
y y

puesto que x = –1 – y. Reemplazando y por y1
, y2
, obtenemos x1
,
x2
, definidos por:
= 1 = 1 ( 2)=1, = 1 = 1 1= 2.
1 1 2 2
− − − − − − − − − −
x y x y
Así, el conjunto solución S del sistema de ecuaciones no lineales es
= ( , ),( , ) = (1, 2),( 2,1) ,
1 1 2 2
{ } { }
− −
S x y x y .
3.
Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

x xy
xy y
3 =18,
1
3
=2.
2
2
+
+

Usamos una incógnita auxiliar v definida como v
x
y
= con y ≠ 0.
Así, x = vy.
Reemplaza en las dos ecuaciones del sistema dado y obtenemos

(vy)2
+3(vy)y =18
1
3
(vy)y+ y2
=2.
v2
y2
+3vy2
=18
1
3
vy2
+ y2
=2.
(v2
+3v)y2
=18
1
3
v+1 y2
=2.

De la segunda ecuación, obtenemos =
2
1
3
1
2
+
y
v
con v ≠ –3.

Reemplazando en la primera, resulta 3
2
3
1
=18
2
( )
+
+
v v
v
.

Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado,
2v2
= 18, de donde = 9 = 3.
± ±
v Ponemos v1
= –3, v2
= 3. Luego,
=
2
1
3
1
=
2
1
3
(3) 1
=1,
2
2 + +
y
v
con lo cual = 1= 1.
± ±
y
Ponemos = 1, =1.
1 2
−
y y Como = ,
v
x
y
se sigue que x = vy. Enton-
ces, = =3 ( 1)= 3,
1 2 1 × − −
x v y = =3 1=3.
2 2 2 ×
x v y Por otro lado,
como =
2
1
3
1
2
+
y
v
con v ≠ –3,
la solución v1
= –3 queda descartada, pues para v1
= –3 la variable
y no está definida. Así, la solución del sistema de ecuaciones no
lineales propuesta está dada por el conjunto S, constituido por
(x1
, y1
), (x2
, y2
), o sea, = ( 3, 1), (3,1) .
S { }
− −
Matemática
y economía
En economía se usan las
ecuaciones cuadráticas para re-
presentar modelos económicos
de oferta y demanda. Este tipo
de modelos se asemeja más a
la realidad, en comparación del
modelo que usa las ecuaciones
de primer grado. Las ecuacio-
nes cuadráticas son realmente
útiles porque nos ayudan en
distintos objetivos, dependien-
do de la profesión que una
persona ejerza. Si una persona
no sabe resolverlas, no estará
en la posibilidad de aprender
temas superiores debido a que
son la base de las matemáticas.
Además, las ecuaciones cuadrá-
ticas ayudan a los economistas
a tener una orientación de la
situación económica de un
mercado.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
200 250 300 350 400 450 500 550
Exceso Demanda
Punto de equilibrio
Precio
por
unidad
Cantidad demandada
Interacción entre la Oferta y la Demanda
Glosario
modelo. Esquema
teórico, generalmente en forma
matemática, de un sistema o de
una realidad compleja (como
la evolución económica de un
país) que se elabora para facilitar
su comprensión y el estudio de
su comportamiento.
a
cb

Taller práctico
146
2 Resuelve en 2
los sistemas de ecuacio-
nes propuestos, siendo x, y las incógnitas.
1
DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecua-
ciones con dos incógnitas: una de primer gra-
do y una de segundo grado; y sistemas de dos
ecuaciones de segundo grado con dos incógni-
tas, de forma analítica.
a)
=3,
=2.
+
−
x
y
y
x
x y
Una solución es: 1 5, 1 5
= + = − +
x y .
b)
=2,
2 =4.
2 2
−
+
x y
x y
Una solución es: 2 2 ; 3
= ± = ±
x y .
b)
1
2
= 1,
3 =0.
2
+ −
+
x y
x y
c)
0,01 =10,
=9.
2 2
+
+
x y
x y
d)
5,
6.
+ =
=
x y
xy
e)
7,
8.
− + = −
− =
x y
xy
c)
2 3 =1,
2 =8.
2 2
−
+
x y
x y
Una solución es:
4 3 134
17
=
− ±
y .
d)
2 =3,
3 2 =5.
2 2
2 2
+
−
x y
x y
a)
1 1
= 1,
=4.
+ −
+
x y
x y
Resuelve en 2
los sistemas de ecuacio-
nes que se indican en cada ítem y verifi-
ca que la o las soluciones halladas satisfa-
gan el sistema de ecuaciones dado.

147
3 Resuelve en 2
los siguientes sistemas
de ecuaciones: Diversidad funcional
en el aula
Es importante recordar que una persona con
discapacidad visual suele requerir tiempo extra
en cuanto a la realización de actividades.
4 Sea λ  . Determinen, siempre que sea
posible, todos los valores de λ, para los
cuales los sistemas de ecuaciones no linea-
les propuestos no tienen solución en 2
.
a)
b)
c)
a)
1,
1.
2
2 2
λ
+ = −
+ =
x y
x y
b)
2,
2 3 10.
2 2
2 2
λ
+ =
+ =
x y
x y
c)
2 1,
3 1.
2
λ
+ = −
+ =
x y
x y
d)
1
1,
1.
x y
x y
λ
+ =
+ =−
e)
5,
2 .
λ
+ =
− =
x y
x y xy
f)
1
1,
3
4.
λ
λ
+ =
+ =
x y
x y
g)
18,
.
λ
+ + =
+ =
x xy y
x
y
y
x
=20,
=5.
2 2
+
+
−
+
−
+
x y
x y
x y
x y
x y
=8,
1 1
=
1
2
.
2 2
2 2
+
+
x y
x y
=
5
2
,
1 1
=
45
.
2 2 2 2
+
+
x
y
y
x
x y x y
d)
1, ,
1.
2
−
+
−
+
−
= − ≠ ≠ −
+
−
+
−
+
=
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
1, ,
1.
2
−
+
−
+
−
= − ≠ ≠ −
+
−
+
−
+
=
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y

148
cuadráticas
DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones
cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.
Crecimiento del área urbana de una ciudad
Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o
construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular,
en forma aproximada, su crecimiento. En este ejemplo, se plantea el
crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad
del Ecuador. En la siguiente tabla se muestran los resultados:
Año t Área urbana aproximada (km²)
1950 0 15,0
1970 20 23,0
1990 40 39,8
2007 57 61,0
Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con
40; y al año 2007, con 57. Estos datos se grafican en el sistema de coor-
denadas rectangulares (Figura 3.16.).
Saberes previos
¿Qué es un modelo
matemático?
¿Qué factores intervie-
nen en el crecimiento urbano
de la ciudad?
Visita el siguiente enlace:
bit.ly/2Wg7WyY
Esta actividad ampliará tu co-
nocimiento sobre la aplicación
de ecuaciones cuadráticas para
resolver problemas en situacio-
nes del mundo real.
Se asume que el crecimiento es continuo, lo que permite trazar una
curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que expe-
rimenta la ciudad se modela con una función cuadrática de la forma
= , 0,
2
A t a bt ct t
( ) + + ≥ donde a, b, c   son constantes. Para esa
información, se ha encontrado que a = 15, b = 0,18, c = 0,001, con lo
que la función A se escribe como sigue:
( ) =15 0,18 0,011 =15 (0,18 0,011 ), 0.
2
A t t t t t t
+ + + + ≥
Nótese que A A A A
0 =15, 20 =23, 40 =39,8, 57 =60,999
( ) ( ) ( ) ( )
y A A A A
0 20 40 57 .
( ) ( ) ( ) ( ) De manera general, si t t 
,
1 2 ∈ +
con t1
t2
, se tiene A(t1
) A(t2
), es decir que la función A es estricta-
mente creciente.
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
60
70
A(t)
km²
t(años)
0
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
A(t) = 15+0,18t+0,01t²
p Figura 3.16.
Dr. H. Benalcázar, 2020

149
Por otro lado, de mantenerse la misma tendencia de crecimiento ur-
bano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas
urbanas aproximadas experimentará esta ciudad?
En la siguiente tabla se muestran los resultados de A(t) en t = 65, 70,
80, 100:
Año t A(t)
2015 65 73,175
2020 70 81,5
2030 80 99,8
2050 100 143,0
Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho
más complejos que los que estamos proponiendo en esta parte.
Sin embargo, nos interesa la información cuantitativa que obtenemos
de este modelo simple para fines de planificación. Así, junto con este
crecimiento del área urbana, crecen también las necesidades, algunas
de las cuales se plantean como interrogantes:
• ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente?
• ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado se deberán construir?
• ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos?
• ¿Cuántas escuelas y colegios deben construirse y cuántos docen-
tes deben incorporarse sucesivamente?
• ¿Cuánta basura se producirá?
• ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse?
• ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana?
• ¿Cuántos recursos económicos deberán invertirse?
Estas son solo unas pocas interrogantes de las muchas que podemos
plantear. Entonces, te dejamos como ejercicio reflexionar acerca de
ellas y proponer otras en torno al crecimiento de la ciudad.
Igualmente, te recomendamos investigar cómo obtener información
y procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas.
Por último, te recomendamos también indagar sobre modelos mu-
cho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas.
Matemática e historia
François Viète
(Francia, 1540-1603)
Fue un matemático francés
que consideró las ecuacio-
nes cuadráticas de la manera
general, ax2
+ bx + c = 0, donde
a, b, c son cantidades conoci-
das. Gracias a esto, es posible
escribir la fórmula de resolución
de la ecuación cuadrática para
resolver ecuaciones de este tipo
y convertir otras reducibles a
cuadráticas.
Eje transversal
Ciudadanía
Al analizar los modelos de creci-
miento urbano surgen, sin duda
alguna, innumerables preguntas
como las anotadas en esta
página. Las soluciones a todas
estas interrogantes y a otras
conducen a establecer estrate-
gias de planificación urbana y a
implementar soluciones para
mejorar la calidad de vida de la
población.
François
Viète,
(2020)
.
www.biografiasyvidas.com
Shutterstock,
(2020).
426548836
Dr. H. Benalcázar, 2020
p François Viète
p Desarrollo urbano de una ciudad.

Taller práctico
150
1
DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de
la tecnología) problemas o situaciones, reales o
hipotéticas, que pueden ser modelizados con
funciones cuadráticas, identificando las va-
riables significativas presentes y las relaciones
entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los
resultados obtenidos.
a) Calcula las constantes a, b y c.
b) Calcula C(2007) y compara, si es posible,
con datos estimados actuales.
c) Traza la gráfica de la función C.
d) Si se conserva la tendencia, pronostica
C(2020).
a) Con los datos proporcionados en la gráfica,
calcula las constantes αi
βi
i = 1, 2, 3, si
D D D
0 = 0 = 0
1 2 3
( ) ( ) ( ) y
D1 0,5
( )=D2
3
4
=D3 1
( )=20 km, D1
, D2
, D3
representan la distancia recorrida por un
auto en un día feriado, en un día laboral que
no es hora pico, y en un día laboral en horas
pico.
b) Calcula D D
1,5 , 1,5
1 2
( ) ( ) y D 1,5 .
3 ( ) Analiza
los resultados.
c) Calcula D D
1,5 , 1,5
1 2
( ) ( ) y D 1,5 .
3 ( ) Analiza
los resultados.
El consumo promedio de agua en el
sector comercial en la ciudad X, en
1970, es de 80 litros por habitante por
día. En 1980, es aproximadamente 95
litros por habitante por día, y en el año
2000 es de 135 litros por habitante por
día. Se busca una función C de la forma
C t a b t c t t
( ) ( ) ( )
+ − + − ≥
= 1970 1970 1970.
2
2 En la gráfica siguiente, se muestran tres
porciones de rectas que representan las
gráficas de tres tipos de funciones, D1
, D2
,
D3
, definidas como
= , = ,
1 1 1 2 2 2
α β α β
( ) ( )
D t t D t t
= , 0,
3 3 3
α β
( ) ≥
D t t t donde αi
, βi
son
constantes reales i = 1, 2, 3.
10
20
1 0,5 3 1 1,5
4 4
D
t (horas)
(km)
D = D1(t)
D = D2(t)
D = D3(t)
___________________________________________
___________________________________________

151
3 Un equipo mecánico cuesta v dólares,
v = 20 p + r 500, p, r +
, 0 ≤ r 20.
El comprador dispone solo billetes de
veinte dólares. La cajera tiene únicamen-
te billetes de cinco dólares y tres billetes
de un dólar. ¿Es posible disponer de m
billetes de veinte dólares para el pago y
n billetes de cinco dólares para el vuelto
que arregle la compra del equipo? Mues-
tra las soluciones gráficamente.
a) Calculen las constantes t0
, a, α1
.
b) Calculen las constantes a1
, v0
, β1
, β2
, β3
y t1
.
Para el efecto, asuman que ( )= 400
2 0
s t m
y v t v
= .
0 0
( )
c) Escriban en forma explícita las funciones
S y V.
d) Muestren que V es creciente en [0, t0
]
y decreciente en [t0
, t1
]
Comentario. Se debe resolver una ecua-
ción de la forma 20m – 5n –3 = v, con
m, n  Z+
, conocida como ecuación dio-
fantina (en honor al matemático Diofante).
En este problema se requieren conocimien-
tos del espacio vectorial 2
y subespacios
de 2,
de la ecuación vectorial y cartesiana
de una recta, la representación gráfica, así
como de la divisibilidad en Z. Es obvio que
se requieren propiedades algebraicas y de
orden en el conjunto .
en el aula
Es importante que haya tiempo suficiente para
que realicen su trabajo personas que puedan
tener dificultades en su motricidad, deben tener
paciencia e incorporarlos al trabajo.
4 Resuelvan. La distancia entre dos paradas
de buses es 800 m. Una unidad de trans-
porte público debe recorrer esta distancia
siguiendo dos criterios: acelerar en una
primera etapa y, luego, desacelerar.
Se buscan dos funciones S y V de las for-
mas siguientes:
s t
t si t t
t t t t s t t t t
α
β β β
( ) ( )
( )
( )
≤ ≤
− + − + ≤
=
, 0 ,
= ,
1
2
0
1 0 2 0
2
3 2 0 1
v t
at si t t
a t t v si t t
=
, 0 ,
, ,
0
1 0 0 0
( )
( )
≤ ≤
− +
v t
at si t t
a t t v si t t
=
, 0 ,
, ,
0
1 0 0 0
( )
( )
≤ ≤
− +
donde: v v t
m
s
0 =0, =10
0
( )
( ) y
s t m s t m
400 , 800
0 1
( ) ( )
= = , cuando
v(t1
) = 0.
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
m
s
t0 t1
400
800
0
s = α1t²
s = s2(t)
s
(m)
10
v
m
s
v1 = at
t0 t1
v1 = a1 (t–t0)–v0
t(s)
0

152
El conjunto 2
. Operaciones
DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de 2
y de producto por un número escalar de manera analítica aplicando
propiedades de los números reales.
Adición en 2
Definición
Sean U a b V c d
( ) ( )
= , , = , dos elementos de 2
. Se define la suma de
U con V, que se escribe U + V, como sigue:
U V a b c d a c b d
= , , = , .
( ) ( ) ( )
+ + + +
La definición expresa que la suma de dos elementos de 2
se realiza
sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemen-
to de 2
.
1. Sean ( ) ( )
− −
= 5, 8 , = 3,5; 6,3 .
U V Entonces
( ) ( ) ( ) ( )
+ − + − − + − −
= 5, 8 3,5; 6,3 = 5 3,5; 8 6,3 = 1,5; 1,7 .
U V
2. Dado a  , se definen 
( ) ( )
− − ∈
= , , = , .
2
U a a V a a
Entonces ( ) ( ) ( ) ( )
+ − + − − − +
= , , = , = 0, 0 = .
U V a a a a a a a a O
3. Dado a   y 
( )
− ∈
= , 5 ,
2
U a a se tiene
( ) ( ) ( ) ( )
+ − + + − + −
= , 5 0, 0 = 0, 5 0 = , 5 = .
U O a a a a a a U
De la definición precedente, se sigue que la suma de dos elementos
de 2
es otro elemento de 2
. Más aún, la operación adición en 2
es una ley de composición interna. Esto es, “+” es una función de
2
×2
en 2
, definida como sigue:
+:
U V U V
  
:
, ,
2 2 2
( )
+
× →
→ +
donde U + V está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausura-
tiva, que se expresa del modo siguiente:
∀ U, V  2
U + V  2
.
Antes de describir otras propiedades de la adición en 2
, es conve-
niente recordar las propiedades de la adición de números reales.
Propiedades de la adición en 2
La operación “+” en 2
satisface las propiedades siguientes:
i.
Conmutativa: para todo U, V  2
, U + V = V + U.
ii.
Asociativa: para todo U, V, W  2
, U + (V + W) = (U + V) + W.
iii.
Existencia del elemento neutro: existe O  2
, tal que para todo
U  2
, U + O = O + U = U.
iv.
Existencia de opuestos aditivos: para cada U   existe V  2
,
tal que U + V = O.
Saberes previos
¿Qué es el sistema de
coordenadas cartesianas?
El par ordenado (a, b)
es igual al par ordenado (b, a).
Explica.
Recuerda que…
Se designa con 2
al
producto cartesiano ×. Esto
es, { }
= ∈
x y x y
 
( , )| ,
2
.
Los elementos de 2
son pares ordenados. Si
∈ ∈
x y x
 
( , ) ,
2
se denomina
primera componente
o abscisa y   se denomina
segunda componente
u ordenada.
A los elementos de 2
los
representamos con las letras
mayúsculas del alfabeto, y a
sus componentes, siempre con
letras minúsculas del alfabeto
o con subíndices. A es un par
ordenado, esto es, existen
a, b  , tal que A = (a, b).
Se tiene la siguiente equivalencia,
A2
∃a, b  , tal que
A = (a, b).

153
Demostración
Sean ( ) ( ) ( )
= , , = , , = ,
U a b V c d W p q tres elementos arbitrarios de 2
.
i.
Conmutativa. De la definición de suma de elementos en 2
, se
tiene ( ) ( ) ( )
+ + + +
= , , = , .
U V a b c d a c b d
Además ( ) ( ) ( )
+ + + +
= , , = , ,
V U c d a b c a d b y por la propiedad
con
mutativa de la operación “+” en , obtenemos
( )
+ + +
= ,
V U a c b d . Por la definición de igualdad de elementos
en 2
, se tiene ( )
+ + + +
= = , .
U V V U a c b d
Conclusión: U V V U
+ +
= .
ii. Asociativa. Por la definición de la adición “+” en 2
, se tiene
( ) ( ) ( )
+ = + = + +
V W c d p q c p d q
, , , .

Luego, y debido a la propiedad asociativa de la adición en ,
resulta ( ) ( ) ( )
+ + = + + +
U V W a b c p d q
, , , a c p a c p
( )
+ + + +
= ,
b d q b d q
( )
+ + + +
= , con lo cual
U V W a c p b d q
( ) ( )
+ + + + + +
= , .

Por otro lado, U V a b c d a c b d
( ) ( ) ( )
+ + + +
= , , = , . Luego,
U V W a c b d p q a c p b d q
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + +
= , , = , .

Por la misma propiedad asociativa de la adición en , se obtiene
U V W a c p b d q
( ) ( )
+ + + + + +
= , .

De la definición de igualdad de elementos de 2
, se concluye que
U V W a b c p d q a c p b d q
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + +
= , , = , ,
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + +
U V W U V W a c p b d q
= = , .
Conclusión: ( ) ( )
+ + + +
U V W U V W
= .
iii. Existencia del elemento neutro. El elemento O = (0, 0) pertenece
a 2
, donde 0 es el elemento neutro.
Entonces, ( ) ( ) ( )
+ + + +
= , 0, 0 = 0, 0 .
U O a b a b
Como a+0=a, b+0=b se sigueque ( ) ( )
+ + +
= 0, 0 = , = .
U O a b a b U
Conclusión: 
∈
O 2
es tal que para todo 
∈
U 2
,

∈ +
U U O U
, = .
2
De manera similar, se prueba que +
O U U
= .
iv.
Existencia de opuestos aditivos. Dado 
( )∈
= , 2
U a b y como
a,b,porlaexistenciadeopuestosaditivosen,existen–a,–b,
tal que ( )
+ −
a a =0, ( )
+ −
b b =0. Definimos 
( )
− − ∈
V a b
= , .
2
.
Entonces ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + − − + − + −
U V a b a b a a b b O
= , , = , = 0,0 = .
Conclusión: dado 
∈
U a b
=( , ) , existe 
( )
− − ∈
V a b
= , 2
, tal que
+
U V O
= .
1.
Sean U = (2, 3), V = (4, –1), W = (8, –10). Entonces,

U+V+W = (2,–3) + (4,–1) + (8,–10) = (2 + 4 + 8, –3–1–10) = (14, –14).
Recuerda que…
Propiedades de la
adición de números reales
i. Conmutativa: para todo
x, y  , x + y = y + x.
ii. Asociativa: para todo
x, y, z  ,
x + (y + z) = (x + y) + z.
iii. Existencia del elemento
neutro: existe 0  , tal que
para todo
x  , x + 0 = 0 + x = x.
iv. Existencia de opuestos
aditivos: para cada x  ,
existe –x  , tal que
x + (–x) = 0.
Debido a la propiedad asociati-
va de la operación “+” en ,
se escribe x + y + z en vez de
x + (y + z) o de (x + y) + z.
El elemento neutro es único.
Igualmente, dado que x  ,
el opuesto aditivo –x es único.
Sean A = (a, b), B = (x, y) 2
.
Diremos que A es igual a B, que
se escribe A = B, si y solo si
a = x y b = y, es decir,
A = B ⇔ a = x ^ b = y.

154
Resta en 2
Definición
Sean ( , ), ( , ) .
2

= = ∈
U a b V c d . Se define U – V como sigue:
( ) ( , ).
− = + − = − −
U V U V a c b d
Obsérvese que el opuesto aditivo de ( , ) 2

= ∈
V c d es
V c d
− = − − ∈
( , ) 2
y que U – V se opera como la suma de U con el
opuesto aditivo de V.
Teorema
Sean ( , ), ( , )
= =
U a b V c d dos elementos de 2
.
Entonces ( ) ( ) ( ).
− + = − + −
U V U V
La demostración se propone como ejercicio para el estudiante.
Teorema
Ley cancelativa
Para todo , , , .
2

∈ + = + =
A B C A B A C B C
⇔
, , , .
2

∈ + = + =
A B C A B A C B C
Demostración
Probemos la implicación + = + = .
A B A C B C
+ = + = .
A B A C B C Supongamos
que se tiene .
+ = +
A B A C Mostremos que B = C. En efecto, como
A  2
, existe – A  2
opuesto aditivo de A, tal que ( ) .
+ − =
A A O
Entonces, por la existencia de elemento neutro y por las propiedades
conmutativa y asociativa, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
= + = + + − = + + − = + + −
B B O B A A A B A A C A
( ) .
= + + − = + =
C A A C O C
Así, .
+ = + → =
A B A C B C .
+ = + → =
A B A C B C
Supongamos que B = C. Mostremos que .
+ = +
A B A C
Puesto que la operación adición “+” en 2
es una función de
2 × 2
en 2
, se sigue que al par (A, B) lo asocia el único elemento
A + B de 2
y como B = C, en la suma A + B, se reemplaza C por B
y se tiene .
+ = +
A B A C
Conclusión: A B A C B C.
+ = + =
A B A C B C.
+ = + =
Teorema
i. El elemento O de 2
es único.
ii. Dado U2
, el opuesto aditivo –U2
es único.
Demostración
i.
Supongamos que existe otro elemento nulo P de 2
, tal que para
todo , ,
2

∈ + =
U P U U y en particular para ,
2

= ∈
U O , se tie-
ne .
+ =
P O O Como O2
es tal que ,
+ =
O U U realizando
2

= ∈
U P y reemplazando en la igualdad precedente, se tiene
.
+ =
O P P Así, ,
= + = + =
O P O O P P que contradice la hipótesis.
Por lo tanto, O2
es único.
ii.
Se propone como ejercicio.
Recuerda que…
Notaciones
1. Por la propiedad asociativa
de la adición “+” en 2
, escribi-
remos U + V + W en vez de
U + (V + W) o de (U + V) + W.
Además, si U = (a, b), V = (c, d),
W = (p, q), entonces U + V + W
= (a + c + p, b + d + q).
2. Debido a la existencia de
opuestos aditivos en 2
, dado
U = (a, b) 2
, el opuesto adi-
tivo de U es V = (–a, –b), que se
nota con –U. Esto es,
–U = (–a, –b), con lo que la
citada propiedad se expresa del
modo siguiente: para cada
U  2
existe – U  2
, tal
que U + (–U) = 0.
Grupo conmutativo (2
, +)
El conjunto 2
en el que se
ha definido la igualdad de
elementos de 2
, junto con la
operación adición “+”, tiene
estructura algebraica de grupo
abeliano o conmutativo. Esto
es, la operación adición “+” es
cerrada en 2
y satisface las
propiedades desde el literal i.
hasta el literal iv. de las propie-
dades en 2
.

155
Producto de escalares por elementos de 2
En lo sucesivo, a los elementos de  los denominamos escalares.
Definición
Sean a   y U = (x, y)  2
. Se define el producto de a por U, que
se escribe a . U, como sigue: a ∙ U = a ∙ (x, y) = (ax, ay).
De la definición, se sigue que el producto de un número real por un
elemento de 2
es otro elemento de 2
, cuyos componentes son los
productos del número real por los respectivos componentes del par
ordenado.
El producto de escalares (números reales) por pares ordenados de 2
es una operación a la que notamos “ ∙ ” y es una función de  × 2
en
2
definida como sigue:
:
( , ) ,
2 2
  
⋅
× →
→ ⋅
a U a U
con a ∙ U arriba definido. Además, se asume que . . ( , )
a U U a ax ay
= = ,
donde 
∈
a , 
= ∈
U x y
( , ) 2
. Siempre que no haya peligro de confu-
sión, se escribirá aU en lugar de a.U.
1. Para a= 2 y U =
2
5
,
4
9
, se tiene
aU= 2
( )
2
5
,
4
9
= 2
( )
2
5
, 2
( )
4
9
=
4
5
,
8
9
.
2. Sea ( , ) .
2

= ∈
U a b . Como , y 0 0, 0 0,

∈ ⋅ = ⋅ =
a b a b entonces
0 0 ( , ) (0 , 0 ) (0, 0) .
⋅ = ⋅ = × × = =
U a b a b O
Conclusión: para todo , 0 .
2

∈ ⋅ =
U U O
3. Sea a .

∈ Entonces (0, 0) ( 0, 0) (0, 0) .
⋅ = ⋅ = × × = =
a O a a a O
Conclusión: para todo , .

∈ ⋅ =
a a O O
Propiedades del producto de escalares por elementos de 2
Teorema
Para todo a, b   y para todo U, V  2
, se verifican las siguientes
propiedades:
i.
( ) ( ) ( ).
= =
a bU ab U b aU
ii.
( ) .
+ = +
a b U aU bU
iii. ( ) .
+ = +
a U V aU aV
iv.
1 .
⋅ =
V V
Demostración de la propiedad 2
i.
Por la definición del producto de números reales por pares orde-
nados de 2
y la propiedad distributiva en , se tiene:
(a + b) U = (a + b) (p, q) = ((a + b) p; (a + b) q).
Por otro lado, aU + bU = a(p, q) + b(p, q) = (ap, aq) + (bp, bq) =
(ap + bp, ap + bq) = ((a + b) p, (a + b) q).
Por la definición de igualdad de elementos de 2
, se concluye que
(a + b) U= aU + bU= ((a + b) p, (a + b) q).
Conclusión: para todo a, b  , U  2
, (a+ b) U = aU + bU.
Recuerda que…
Antes de describir las
propiedades del producto de
escalares por elementos de 2
,
recordemos algunas propieda-
des del producto “∙” de núme-
ros reales.
i. Conmutativa: para todo
x, y  , x ∙ y = y ∙ x.
ii. Asociativa: para todo
x, y, z  , x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z.
iii. Existencia de elemento
unidad: existe 1 tal, que
para todo x  , 1 ∙ x = x.
iv. Existencia de opuestos
multiplicativos:
para cada x  , x ≠ 0, existe
= ∈
−
x
x

1
1
, tal que xx–1
= 1.
La adición y el producto de
números reales están ligados
por la propiedad distributiva:
para todo x, y, z  ,
x (y + z) = xy + xz.
El conjunto 2
en el que se ha
definido la igualdad, la ope-
ración adición + con la que
(2
, +) es grupo conmutativo,
y el producto de escalares por
elemento de 2
que verifican
las propiedades del i al iv del
Teorema precedente, tiene
estructura de espacio vectorial.
El conjunto  con la adición +
y el producto × tiene también
estructura de espacio vectorial,
pues tiene propiedade similares
a las del espacia 2
.

Taller práctico
156
3
Sean A= 2,3
( ), B=
1
2
,1 , C = 4,
1
3
.
Realiza las sumas que se proponen en
cada caso.
1
DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adi-
ción entre elementos de 2
y de producto por
un número escalar de manera analítica aplican-
do propiedades de los números reales.
a) 2, 2
( )
=
P .
a) A + B + C.
a) ( ) .
− + = − −
U V W U V W
b) ( ) .
− + = − −
U V U V
c) ( ) .
− + + = − − −
U V W U V W
d) ( ) .
− − = − +
U V W U V W
e) ( ( )) .
− − − = − + −
U V W U V W
f) ( ( )) .
− − − − = + −
U V W U V W
c) –A + B – C.
b) A – B + C.
a) A=( 3, 8), B=
1
5
, 2 .
b) P =
1
3
,
2
5
.
b) (0, 1), (1, 0).
= =
A B
c) P = 1+ 5,
1
3
3 3 .
c) A= 3 2 ,5 5
( ), B=
3
2
2 ,
5
3
5 .
d) A=
1
8
,
1
3
, B=
5
8
,
7
3
.
e) A=
1
4
,
1
3
, B=
1
5
,
1
2
.
Escribe el opuesto aditivo de cada ele-
mento P de 2
que se da y verifica que
P + (–P) = O.
2
4
Con los vectores A, B de 2
que en cada
caso se proponen, halla A + B y A – B.
Sea ,
En tu cuaderno, verifica la igualdad que
se propone en cada caso.
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
U=
2
5
,1 , V =
1
2
, 2
W =
3
10
,
1
4
.

157
5
6
7
Sea U2
. Prueba que –(–U) = U, y,
–(–(–U)) = –U.
Sean U, V, W2
. Demuestra las
siguientes igualdades:
Sea U  2
. Prueba que el opuesto
aditivo de U es único. Para el efecto,
asume que existe otro opuesto
distinto al opuesto de U y obtén una
contradicción.
8 Sean ( , ),
1 1 1
=
A a b ( , ),
2 2 2
=
A a b
( , ),
3 3 3
=
A a b ( , )
4 4 4
=
A a b cuatro
elementos de 2
. Demuestren que se
tienen las siguientes igualdades:
[ ( )]
1 2 3 4
+ + + =
A A A A
[( ) ]
1 2 3 4
+ + + =
A A A A ( + )+( + )
1 2 3 4
A A A A
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + + + +
a a a a b b b b
En vista de este resultado, se escribe
simplemente + + + ,
1 2 3 4
A A A A y
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + = + + + + + +
A A A A a a a a b b b b
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + = + + + + + +
A A A A a a a a b b b b
9 Resuelvan en el cuaderno.
Sea N el conjunto de los números
naturales. Se denota con N2
al producto
cartesiano N × N. Esto es, N2
= {(m, n)|
m, n  N}. En N2
, se define la igualdad
y la operación adición “” como sigue:
Igualdad. Sean (m, n), (p, q)  N2
.
Entonces (m, n) = (p, q) m = p^n = q.
Adición “”. Sean (m, n), (p, q)  N2
.
Se define (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q),
donde + es la operación adición en N.
Prueben que la operación adición
“” en N2
satisface las siguientes
propiedades: clausurativa, conmutativa,
asociativa, existencia de elemento
neutro. (N2
, ) no es grupo. La
operación “” en N2
es la operación “+”
en 2
, restringida al conjunto N2
 2
.
10 Dados los vectores
( 3,1); (2, 2); (0,3)

= − = − =
A B C , obten-
gan el vector v u
 
λ λ λ λ
( ) ( )
= = =
3,1 3 ,
que se define en cada caso.
a) ( ) .
− − = − + = + −
U V W U V W U W V
b) ( ) .
− + + = − − −
U V W U V W
c) ( ( )) ( ).
− − − = − + − = − +
U V W U V W V U W
a) 2 .
   
= + +
u A B C b) 5
1
3
.
   
= − + +
u A B C
c) 3 10 20 .
   
= − − −
u A B C
d) 10 8 4 .
   
= − +
u A B C
en el aula
Si una persona tiene discapacidad auditiva
o dificultades para escuchar, es necesario encon-
trar otras formas de comunicación, por ejemplo
escribir el mensaje, eso puede ayudar en las
actividades de esta sección.

1ro bachillerato-matematica-f2

1ro bachillerato-matematica-f2

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 1ro bachillerato-matematica-f2

Similar a 1ro bachillerato-matematica-f2 (20)

Último

Último (20)

1ro bachillerato-matematica-f2