2. Se tiene una pared de espesor “L” con temperaturas T1 y T2 en
sus superficies interna y externa
𝑞𝑥
′′
𝑞𝑥
′′
𝑇1 > 𝑇2
3. Análisis de la conducción de calor
unidimensional y estacionaria
A partir de la ecuación diferencial de la conducción de calor:
Eliminando los términos en Y y Z, la generación de calor dentro de la
pared y la variación de la temperatura con el tiempo (por ser
estacionario), tenemos:
5. Cálculo de las constantes 𝐶1 y 𝐶2
Condición de frontera 1:
En x = 0 T = 𝑇1
Reemplazando en (1):
𝐶2 = 𝑇1
Condición de frontera 2:
En x = L, T = 𝑇2
Reemplazando en (1):
𝑇2 = 𝐶1L + 𝐶2
𝑇2 = 𝐶1L + 𝑇1
6. Despejando 𝐶1
𝐶1 =
𝑇2 − 𝑇1
𝐿
Por lo tanto la distribución de temperatura resulta:
T(x) =
𝑇2−𝑇1
𝐿
x + 𝑇1
Además:
q = - kA
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= - kA
𝑇2−𝑇1
𝐿
=
𝑘𝐴(𝑇1−𝑇2)
𝐿
;
es decir: q =
∆𝑇
𝐿
𝑘𝐴
8. Esta expresión q =
∆𝑇
𝐿
𝑘𝐴
es análoga a la ley de Ohm: i =
∆𝑉
𝑅
𝐿
𝑘𝐴
= R (resistencia térmica en °C/W)
Haciendo esto se puede modelar la transferencia de calor en la pared
con una resistencia:
9. Para el caso de transferencia por convección
q = hA( 𝑇𝑠 − 𝑇∞ )
q =
𝑇𝑠 − 𝑇∞
1
ℎ𝐴
En este caso la resistencia térmica es: R =
1
ℎ𝐴
10. En el caso que también ocurra convección en una pared plana
15. • El flujo de calor por unidad de área será:
𝑞′′
=
𝑇∞1 − 𝑇∞2
1
ℎ1
+
𝐿1
𝑘1
+
𝐿2
𝑘2
+
1
ℎ2
16. • Obtención de temperatura 𝑇2:
𝑞′′ =
𝑇∞1 − 𝑇2
1
ℎ1
+
𝐿1
𝑘1
De aquí se despeja la temperatura:
17. Ejemplo 2: Se tiene una pared compuesta, sin
generación de calor y estado estacionario.
Obtener el circuito eléctrico para este caso.
18. El Muro 1 está hecho de material 1.
El Muro 2 está hecho de material 2.
CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO:
q q
𝐿2/𝑘2𝐴2
𝐿1/𝑘1𝐴1
𝑞 = 𝑞2 + 𝑞1
q =
𝑇1 − 𝑇2
𝑅𝑒𝑞
Donde
1
𝑅𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
𝑅1+𝑅2
𝑅1𝑅2
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
21. Balance de energía
𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝐸𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
Por Taylor: 𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟 +
𝑑
𝑑𝑟
𝑞𝑟 𝑑𝑟
𝑑
𝑑𝑟
−𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
dr = 0
A = 2πrL
La derivada resulta:
𝑑
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
= 0
Como la derivada es cero, entonces 𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑟
debe ser una constante.
𝑞𝑟 = 𝑞𝑟+𝑑𝑟
23. Obtención de las constantes con condiciones
de frontera
a) Cuando r = 𝑟1 entonces T = 𝑇1
Reemplazando en:
T(r) = 𝐶1.ln[r] + 𝐶2
Tenemos: T(r) = 𝐶1.ln[r] + 𝐶2
𝑇1 = 𝐶1 ln(𝑟1) + 𝐶2
𝐶2 = 𝑇1 - 𝐶1ln (𝑟1)
b) Cuando r = 𝑟2 entonces T = 𝑇2
𝑇2 = 𝐶1 ln(𝑟2) + 𝐶2
24. Las constante que se obtienen son:
𝐶1=
𝑇2−𝑇1
𝑙𝑛
𝑟2
𝑟1
𝐶2 = 𝑇2 −
𝑇2−𝑇1
𝑙𝑛
𝑟2
𝑟1
ln 𝑟2
La distribución de la temperatura es:
T(r) =
𝑇1 − 𝑇2
𝑙𝑛
𝑟1
𝑟2
𝑙𝑛
𝑟
𝑟2
+ 𝑇2 ……….(a)
Para el flujo en una geometría cilíndrica:
𝑞𝑟 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
Donde A = 2πrL
28. Problema Ejemplo
Se tiene un tubo de cobre (k=400 W/m.K) de 10 cm de diámetro
interno y 12 cm de diámetro externo. Por el tubo fluye vapor saturado
a 110°C . El tubo está ubicado en un espacio que está a 30°C y se
estima que el coeficiente de transferencia de calor en su superficie
exterior es de 15 W/. 𝑚2𝐾. Se pide comparar la pérdida de calor del
tubo sin aislamiento y con aislamiento si es que el aislante disponible
para reducir las pérdidas de calor es de 5 cm de espesor y de 0.2W/mK
de conductividad. El coeficiente de transferencia del del interior del
tubo es h = 10000 W/𝑚2𝐾.
31. 𝑅3=
𝐿
ℎ.𝐴
=
𝐿
2𝜋𝑟2𝐿ℎ
=
1
2𝜋𝑟2ℎ
=
1
(2)(𝜋)(0.06)(15)
= 0.1768
𝑞 =
110 −30
0,000318+0,0000725+0,1768
= 451.49 W/m
Para cuando se usa aislamiento:
Se agrega una resistencia entre R2 y R3 (R4 que es por conducción):
El radio exterior incluyendo el aislamiento es: 𝑟3 = 0.06 + 0.05 =
0.11 𝑚
𝑅4=
𝐿(𝑙𝑛
𝑟3
𝑟2)
2𝜋𝑘𝐿
=
(𝑙𝑛
𝑟3
𝑟2)
2𝜋𝑘
=
(𝑙𝑛0.11
0.06)
2𝜋(0.2)
= 0.48
Además R3 varía:
𝑅3=
𝐿
ℎ.𝐴
=
𝐿
2𝜋𝑟3𝐿ℎ
=
1
2𝜋𝑟2ℎ
=
1
(2)(𝜋)(0.11)(15)
= 0.096
𝑞 =
110 −30
0,000318+0,0000725+0,48+0,096
= 138.89 W/m
32.
33. Problema
• En un proceso de manufactura, un film transparente se une (adhiere) a un
sustrato como se muestra en la figura. Se provee de una fuente de radiación
de calor 𝑞𝑜
′′, que es absorbido por la superficie de adherencia. La superficie
inferior del sustrato está a una temperatura 𝑇1. Sobre el film fluye aire a 𝑇∞.
Se pide mostrar el circuito térmico que representa la transferencia de calor en
estado estacionario y hallar el calor 𝑞𝑜
′′
.
𝑘𝑓 = 0.025
𝑊
𝑚.𝐾
𝑘𝑠 = 0.05
𝑊
𝑚.𝐾
𝑇∞ = 20°C
𝑇1 = 30°C
𝑇𝑜 = 60°𝐶
h = 50 W/𝑚2K
36. Problema
La pared de un refrigerador está construido de aislamiento de fibra de
vidrio entre dos placas de metal tal como se muestra en la figura. Hallar
𝑞′′
.
k(fibra vidrio)=0.046
k (placas)= 60
h (interior y exterior)=
= 5
38. Problema
Un calentador eléctrico delgado está insertado entre una larga varilla
circular y un tubo concéntrico. Hallar el calor porunidad de longitud
requerido
r1= 20 mm
r2 = 40 mm
Ts = 5°C
T∞ = - 15°C
h = 50 W/m^2.K
K1= 0.15 W/m.K
K2=1.5 W/m.K
𝑻∞
𝑻𝒔
𝒉 𝑻𝒉
𝑟1
𝒓𝟐
41. Problema Ejemplo
• Un recipiente esférico metálico de pared delgada se usa para
almacenar nitrógeno líquido a 77 K. El recipiente tiene un diámetro
de 0.5 m.
