CONDUCCION UNIDIMENSIONAL

1. 2. CONDUCCIÓN
UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTABLE.

2. a) LA PARED PLANA
En flujo estable con fuente no distribuida
de energía.
Fluido Fluido
Caliente Ts1 frío
Ts2
T∞1,h1 T∞2,h2
)
(
"
)
(
)
(
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
s
s
x
s
s
x
s
s
s
s
s
s
T
T
L
k
Q
T
T
L
kA
dx
dT
kA
Q
T
x
L
T
T
x
T
entonces
L
T
T
C
y
T
C














2
1
2
1
1
)
(
)
0
(
)
(
;
,
0
s
s T
L
T
y
T
T
con
y
C
x
C
x
T
C
dx
dT
Cte
k
si
dx
dT
k
dx
d















3. RESISTENCIA TÉRMICA
Haciendo una analogía con el sistema eléctrico:
Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje; I → Intensidad de corriente eléctrica
Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor.
A
h
T
T
kA
L
T
T
A
h
T
T
Q
anterior
circuito
el
En
hA
Q
T
T
R
convección
En
kA
L
Q
T
T
R
A
L
I
V
V
R
s
s
s
s
x
s
tconv
x
s
s
tcond
e
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
:
;























4. CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA
Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie.
T∞1 Ts1 Ts2 T∞2 T∞1 T∞2
1/h1A L/kA 1/h2A Rtot
A
h
kA
L
A
h
R
R
T
T
Q
T
T
de
os
tér
En
tot
tot
x
2
1
2
1
2
1
1
1
)
(
)
(
min












x
Q

x
Q

5. PARED COMPUESTA
Para una pared compuesta.
A B C
Ts1 T2
T3 Ts2
T∞1, h1 T∞4;h4
fluido fluido
caliente x frío
Si; U = Coeficiente global de transferencia de
calor, se define:






















A
k
L
T
T
A
h
T
T
Q
A
h
A
k
L
A
k
L
A
k
L
A
h
R
donde
R
T
T
Q
A
A
s
s
x
C
C
B
B
A
A
t
t
x
2
1
1
1
1
4
1
4
1
1
1
1
;
UA
Q
T
R
R
h
k
L
k
L
k
L
h
A
R
U
x
t
tot
C
C
B
B
A
A
t
1
1
1
1
1
4
1












T
UA
Qx 



6. CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO
Una pared compuesta como se muestra
A B D
T1 T2
C
El circuito térmico es
RB
RA RD
T1 T2
RC
Se puede representar como:
RA Req RD
Donde.
Y también:
C
B
C
B
eq
R
R
R
R
R


D
eq
A
tot R
R
R
R 



7. RESISTENCIA DE CONTACTO
Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan
secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo
tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R”tc). El valor de esta
resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del
tipo de fluido entre estas irregularidades.
A B
TA
TB
R”tc depende de:
* Acabado superficial
* Presión de contacto. x
* Fluido entre irregularidades
RA R”tc RB
x
Q"




x
B
A
tc
Q
T
T
R
"
"

8. Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es
desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia
eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0C. La
temperatura interior es de 25 0C y hi = 10 w/m2k, al exterior -10 0C y he = 65 w/m2k
SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y
condiciones interior y exterior de un carro.
SE BUSCA: Potencia por unidad de área para
mantener esa temperatura deseada.
SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado estable
Propiedades constantes, radiación y resistencia
de película despreciables.
ESQUEMA.
Aire interior Aire del ambiente
Td
vidrio
T∞i T∞
hi he
Propiedades: Vidrio a 300 0K; k = 1.4 w/m 0K
ANÁLISIS. El circuito Térmico:
T∞i Tsi T∞e
1/hiA L/kA 1/heA
"
e
Q

e
Q"


"
Q
C
T
Q
con
Nota
m
w
h
T
T
h
k
L
T
T
Q
h
k
L
T
T
Q
h
T
T
si
e
i
si
i
e
e
si
e
e
e
si
e
i
si
i
0
2
6
.
4
;
0
"
:
/
1270
1
1
"
1
"
1






















9. b) SISTEMAS RADIALES
Un problema común es tener un cilindro hueco
cuyas superficies interior y exterior están a
fluidos de diferentes temperaturas.
L d2
d1
fluido fluido
caliente frío
T∞1 h1 Ts1 Ts2 T∞2 h2
En estado estable y sin generación.
Si k = Cte, integrando dos veces:
Con las condiciones de que:
0
1







dr
dT
kr
dr
d
r
  2
1 ln C
r
C
r
T 

   
 
rL
h
R
y
Lk
r
r
R
que
lo
por
r
r
T
T
Lk
Q
T
r
r
r
r
T
T
r
T
C
r
C
T
y
C
r
C
T
T
r
T
y
T
r
T
tconv
tcond
s
s
r
s
s
s
s
s
s
s



2
1
2
ln
ln
)
(
2
ln
ln
ln
ln
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1









































10. CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO)
Un tubo con dos capas de otros materiales
T3 Ts4
T2 B C T∞4, h4
r1 A r2 r3
r4
T∞1, h1
Ts1
Considerando el concepto de resistencia
térmica en sistemas radiales, se puede
deducir la ecuación del calor radial como:
Otra forma:
4
4
3
4
2
3
1
2
1
1
4
1
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
2
1
Lh
r
L
k
r
r
L
k
r
r
L
k
r
r
Lh
r
T
T
Q
C
B
A
r


































 


 1
4
4
3
3
2
2
1
1
1
ln
ln
ln
1
1
4
1
4
1
:
)
(
4
1
1
3
4
1
2
3
1
1
2
1
1












































t
r
r
h
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
tot
r
R
A
U
A
U
A
U
A
U
que
cumple
Se
U
T
T
UA
R
T
T
Q
C
B
A

11. EL RADIO CRÍTICO
Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la
resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por
convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el
radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante.
T∞1h1 T∞3 , h3
ra
r2 L
Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes
T1 T2T3
r1
r
3
3
2
3
1
:
2
1
2
ln

















h
k
r
r
obtiene
se
cero
a
igualando
e
r
a
respecto
derivando
Lh
r
L
k
r
r
T
T
Q
a
crítico
a
a
a
a
a
r


aislante
y
tubo
dades
Conductivi
k
y
k
Lh
r
L
k
r
r
L
k
r
r
Lh
r
T
T
Q
a
t
a
a
a
t
r
3
2
1
2
1
1
3
1
2
1
2
ln
2
ln
2
1
























 



12. LA ESFERA HUECA
Aplicando este método a una esfera
Hueca, para un volumen de control
Diferencial, la conservación de la energía
requiere que.
r
Ts1 Ts2
dr
En estado estable, unidireccional sin
generación de energía.
Si la Rt se define como la diferencia de
Temperaturas dividida por la razón de calor.
r
Q

dr
r
Q 

dr
r
r Q
Q 



Cte
y
r
Q
Q
con
dr
dT
r
k
dr
dT
kA
Q
r
r
)
(
)
4
( 2







 


























































 
h
r
r
r
k
T
T
Q
h
r
R
r
r
k
R
r
r
T
T
k
Q
Cte
k
dT
T
k
r
dr
Q
tconv
tcond
s
s
r
r
r
T
T
r
s
s
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
1
1
1
4
1
4
1
1
1
4
1
1
1
)
(
4
;
)
(
4
2
1
2
1







13. Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de
calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0K y Ts2 = 490 0K. Encuentre el calor radial / m.
SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = Cte
PROPIEDADES: k = 0,089 w/m K.
DIAGRAMA:
Ts2 ANÁLISIS
Ts1
Vapor
D1 = 0.12 m
D2 = 0.16 m COMENTARIO: El calor transferido fuera de
la superficie es disipado a los alrededores
por convección y radiación.
  m
w
Q
T
T
k
L
Q
Q
r
D
D
s
s
r
r
/
603
ln
)
490
800
)(
089
.
0
(
2
´
ln
)
(
2
´
12
.
0
16
.
0
1
2
2
1


















14. c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA
La pared plana.
→ Energía uniforme Gen / Vol T∞1 ; h1 T∞2 ; h2
Si k = Cte
Ts1
q
Ts2
x

q
2
2
1
2
)
(
2
2
;
2
)
(
;
)
(
;
2
0
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
s
s
s
s
L
x
s
s
s
s
s
s
T
T
L
x
T
T
k
qL
x
T
T
T
L
k
q
C
L
T
T
C
T
L
T
T
L
T
C
x
C
x
k
q
T
k
q
dx
T
d









 




















15. CASO ESPECIAL
Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts
-L x L
T∞ h q T∞ h
Qcond Qconv
T0
Ts Ts
Note que en x = 0 no hay transferencia de
Calor a través del plano, puede representarse por una
superficie adiabática. En x = L
Qcond Qconv
T0 q
Ts T∞ h
x L
2
0
0
2
0
2
2
2
)
(
2
)
0
(
1
2
)
(


















 



L
x
T
T
T
x
T
T
k
qL
T
T
T
k
qL
x
T
s
s
s
L
x
0
0


x
dx
dT
h
L
q
T
T
L
x
k
qL
dx
dT
x
T
do
consideran
T
T
h
dx
dT
k
s
L
x
s
L
x













;
)
2
(
2
)
(
)
(
2
2

16. CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA
El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0; fluido frío
T∞ ,h Ts
T(r = 0) = T0 Qr
r0
L
Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞
s
s
s
r
T
r
r
k
r
q
r
T
C
r
k
q
T
C
T
r
T
dr
dT
CI
C
r
C
r
k
q
r
T
C
r
k
q
dr
dT
r
k
q
dr
dT
r
dr
d
r





































2
0
2
2
0
1
2
0
2
0
0
2
1
2
1
2
1
4
)
(
0
;
4
)
(
;
0
:
ln
4
)
(
2
0
1












0
0
1
)
(
r
r
T
T
T
r
T
s
s























2
0
2
2
0
0
0
0
2
0
1
4
2
)
(
2
)
)(
2
(
)
2
(
r
r
k
r
q
h
r
q
T
r
T
h
r
q
T
T
T
T
L
r
h
L
r
q
s
s



17. Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La
resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el
coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función
de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente.
Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene
su valor máximo en el centro, cuando r = 0
Se puede calcular el radio crítico si se forra
el conductor con un material que tenga por
ejemplo una ka = 0.11 w/mK.
Es interesante evaluar ΔT para este caso
del conductor aislado.
 
 
   
 
 
C
en
i
T
x
x
x
i
T
hr
k
k
r
i
T
T
T
r
i
L
r
R
i
q
pero
k
r
q
h
r
q
T
T
r
T
e
e
e
0
2
3
2
3
2
8
2
0
2
0
2
max
2
2
0
2
2
0
2
2
0
0
max
1079
.
0
10
165
.
1
10
380
2
1
380
10
165
.
1
4
10
73
.
1
2
1
4
:
4
2
)
0
(















































mm
h
k
R a
crítico 11
10
11
.
0




18. d) ANÁLISIS DE ALETAS
Se usan aletas para incrementar el área de
contacto del fluido enfriador y así no
incrementar “h” por aumento de potencia.
dQconv
Qx dx
dAx Ac(x)
x Qx+dx
Haciendo el balance de energía:
Es la ecuación generalizada de una aleta
dx
dx
Q
d
Q
Q
Sección
A
dx
dT
kA
Q
Q
d
Q
Q
x
x
dx
x
c
c
x
conv
dx
x
x















 0
)
(
1
1
0
)
(
.
);
(
.
2
2















































T
T
dx
dA
k
h
A
dx
dT
dx
dA
A
dx
T
d
T
T
dx
dA
k
h
dx
dT
A
dx
d
dif
área
dA
T
T
dA
h
Q
d
dx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kA
Q
s
c
c
c
s
c
s
s
conv
c
c
dx
x

19. ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME
Cuando se tienen aletas como en el
Diagrama Qconv
fluido
T(0) = Tb ; T∞ → fluido T∞ , h
Tb t
Ac = Cte Ac
As = Px Qf w
x
L P = 2w+2t
P → Perímetro Qconv Ac= wt
d
As → área de base a “x” L P = πd
Qf Ac =πd2/4
Def.
0
)
(
mod
;
0
2
2





T
T
kA
hP
dx
T
d
queda
elo
el
dx
dA
c
c
:
;
)
0
(
)
(
;
0
;
)
(
)
(
2
1
2
2
2
tiene
Se
L
x
con
y
T
T
Con
C
C
x
kA
hP
m
m
dx
d
dx
dT
dx
d
T
x
T
x
b
b
mx
mx
c

























20. CASO (A) Convección en el filo de la aleta
El calor fluye por conducción en la aleta y pasa
a convección en su filo como muestra la figura
Qconv
Tb
Qb = Qf
Resolviendo para C1 y C2
Se nota que el gradiente de temperatura
decrece con “x” por la pérdida continua de
calor por convección en caras de la aleta.
Af → Área total de aleta incluyendo el filo
de la aleta.
]
)
(
[ 



 T
L
T
hA
dx
dT
kA c
L
x
c
)
(
)
(
)
(
]
)
(
[
2
1
2
1
2
1
mL
mL
mL
mL
b
L
x
L
x
c
c
C
C
km
C
C
h
C
C
dx
dT
k
L
h
dx
dT
kA
T
L
T
hA





















mL
Senh
mk
h
mL
Cosh
x
L
m
Senh
mk
h
x
L
m
Cosh
b
.
.
)
(
.
)
(
.



















  s
A
A
s
f
b
c
f
x
c
x
c
f
b
dA
x
h
dA
T
x
T
h
Q
mL
Senh
mk
h
mL
Cosh
mL
Cosh
mk
h
mL
Senh
hPkA
Q
dx
d
kA
dx
dT
kA
Q
Q
f
f

 





























)
(
)
(
.
.
.
.
0
0




21. OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA
CASO (B). Si la convección en el filo del aleta
es despreciable, se trata como adiabático.
NOTA. Para usar los resultados del análisis
del CASO (A), se tiene que en la práctica es
válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede
usar la aproximación infinita.
CASO ( C). Θ(L) = θL
CASO ( D ). L → ∞ ; θL → o
mL
Tanh
hPkA
Q
mx
Cosh
x
L
m
Cosh
dx
d
b
c
f
b
L
x
.
.
)
(
.
0










 
 
mL
Senh
mL
Cosh
hPkA
Q
mL
Senh
x
L
Senh
mx
Senh
b
L
b
c
f
b
L
b
.
.
.
)
(
.













b
c
f
mx
b
hPkA
Q 








22. EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende
horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200
C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce
a 110 0C; k = 133 w/mK
Diagrama. L = 0.1 m
Aire a T∞ y h x1 = 0.025 m,
x2 = 0.050 m
Tb d
x1 x2 L
x :
Evaluando.
b
c
mL
Seh
mk
h
mL
Cosh
x
L
m
Senh
mk
h
x
L
m
Cosh
mL
con
m
x
x
kd
h
d
k
d
h
kA
hP
m




.
.
)
(
.
)
(
.
34
.
1
43
.
13
005
.
0
133
30
4
4
4
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1






























































)
180
(
07
.
2
)
(
.
0168
.
0
)
(
.
180
20
200
:
0168
.
0
005
.
0
133
30
78
.
1
.
;
04
.
2
.
x
L
m
Seh
x
L
m
Cosh
con
y
x
mk
h
mL
Senh
mL
Cosh
b

























X(
m)
Cosh.
m(L-x)
Senh.
m(L-x)
θ T(0 )
X1 1.55 1.19 136.5 156.5
X2 1.24 0.725 108.9 128.9
L 1.00 0.00 87.0 107.0

23. RENDIMIENTO DE ALETAS
Rendimiento de una aleta
εf → Efectividad. Relación de la transferencia
de calor de la aleta a la razón de calor
transferido si no existiera la aleta. εf > 2 para
justificar las aletas.
En caso ( D )
El rendimiento se puede evaluar en términos
de resistencia térmica.
Acb → Área de sección transversal de aleta
en su base.
Eficiencia de una aleta “ηf”.
Af → Área de la superficie de la aleta.
Aleta recta, área transversal uniforma y filo
adiabático.
Filo adiabático, sección recta o cilíndrica
2
1









c
f
hA
kP

tconv
tcond
f
cb
tconv
f
b
tcond
R
R
hA
R
y
Q
R


 

 1
f
f
f
f
f
hA
Q
Q
Q







max





 L
mL
mL
Tanh
hPL
mL
MTanh
f
b
f ;
1
0
;
.
.



c
c
f
b
c
c
f
c
c
mL
mL
Tanh
hPkA
M
mL
MTanh
Q
cilíndrica
Secc
d
L
L
recta
Secc
t
L
L
.
.
;
.
4
2













24. RENDIMIENTO DE ALETAS II
Errores con la aproximación despreciables si: Aleta sección transversal no-uniforme:
Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ”
Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor.
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0625
.
0
2
c
p
c
c
p
c
c
c
c
c
c
L
kA
h
mL
t
L
A
con
y
L
L
por
ndo
multiplica
L
kt
h
L
kA
hP
mL
y
w
P
t
w
Si
k
hd
ó
k
ht






































 
clase
segunda
y
primera
cero
orden
Bessel
de
funciones
K
y
I
mr
K
C
mr
I
C
r
solución
m
dr
d
r
dr
d
T
T
y
kt
m
con
Sup
la
de
Área
r
r
A
T
T
kt
h
dr
dT
r
dr
T
d
s
0
0
0
2
0
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
)
(
)
(
)
(
:
0
1
2
2
0
)
(
2
1

























25. RENDIMIENTO DE ALETAS III
Eficiencia secc transversal no uniforme
t
r2c = r2 + t/2
r1 L Lc = L + t/2
Ap = Lct
r2
aleta
de
térmica
sistencia
hA
R
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
r
r
m
r
r
r
h
Q
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
m
t
kr
dr
d
t
r
k
dr
dT
kA
Q
mr
I
mr
K
mr
K
mr
I
mr
I
mr
K
mr
K
mr
I
f
f
taleta
b
f
f
b
r
r
r
r
cb
f
b
Re
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
0
2
1
1
0
2
1
0
2
1
0
1
1

































26. EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL
Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es:
)
1
(
1
exp
max
f
T
f
o
b
b
b
f
f
T
T
b
f
T
f
b
f
f
f
o
A
NA
hA
hA
N
Q
ÁreaTotal
A
aletas
de
Número
N
A
NA
A
uesta
porción
Área
aleta
de
Área
A
hA
Q
Q
Q

























27. Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0C. El tubo tiene aletas
circulares de Al (k = 180 w/m 0C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas
es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0C, h = 60 W/m2 K.
Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas.
Análisis:
Si no se tienen aletas:
Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2
Para aletas circulares sujetas a un tubo en
una gráfica se tiene:
Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta:
η = 0.96
La TC en parte libre de aletas es:
W
T
T
hA
Q b
sa
sa
537
)
25
120
)(
0942
.
0
(
60
)
(




 

07
.
2
)
10
2
.
3
(
80
60
)
016
.
0
(
07
.
2
015
.
0
031
.
0
10
2
.
3
)
002
.
0
(
016
.
0
016
.
0
015
.
0
031
.
0
03
.
0
015
.
)
03
.
0
06
.
0
(
)
(
5
2
3
3
2
2
2
5
2
002
.
0
2
2
002
.
0
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2

























x
kA
h
L
r
r
m
x
t
L
A
m
L
L
m
r
r
m
D
D
L
p
c
c
p
t
c
t
c
c

W
T
T
hA
Q
Q
m
r
r
A
b
aleta
aleta
aleta
aleta
c
aleta
3
.
25
)
25
120
)(
004624
.
0
)(
60
(
96
.
0
)
(
004624
.
0
)
015
.
0
031
.
0
(
2
)
(
2
max
2
2
2
2
1
2
2


















10
537
5380
4843
537
5380
5380
)
6
.
1
3
.
25
(
200
)
(
200
/
200
6
.
1
)
25
120
)(
000283
.
0
(
60
)
(
000283
.
0
)
003
.
0
)(
03
.
0
( 2
1
































sa
T
aleta
sa
T
incremento
libre
aleta
T
b
libre
libre
libre
Q
Q
W
Q
Q
Q
W
Q
Q
Q
m
aletas
tienen
Se
W
T
T
hA
Q
m
S
D
A


