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1. Capitulo 3 IMC 484
Capítulo 3
Conducción unidimensional en estado
estable

2. Capitulo 3 IMC 484
Objetivos del Capítulo
• Determinar perfiles de temperatura para geometrías comunes
con o sin generación de calor
• Introducir el concepto de resistencia térmica y circuito térmico

3. Capitulo 3 IMC 484
Metodología para el Análisis de la
Conducción del Calor
• Especificar la forma apropiada de la ecuación de difusión del calor.
• Obtener la distribución de temperatura.
• Aplicar la Ley de Fourier para determinar el flux de calor.
El caso más simples : Conducción 1-D, en Estado Estable sin Generación de Energía
Térmica.
• Tipos de Geometrías:
– Pared Plana : Coordenadas rectangulares (x). El área
perpendicular a la dirección de la transferencia de calor es constante
(independiente de x).
– Cilindro: Conducción radial a través de la pared del tubo.
– Capas Esféricas: Conducción radial a través de las capas de la esfera.

4. Capitulo 3 IMC 484
Pared Plana
Considere la situación unidimensional en la
que una PARED PLANA separa dos fluidos a
diferente temperatura, sin generación de
energía y en estado estable
• Temperatura es una función de x
• El calor es transferido en la dirección x
Se debe considerar
• Convección del fluido caliente hacia la pared
• Conducción a través de la pared
• Convección de la pared al fluido frío
Se debe comenzar por determinar la
distribución de temperatura al interior
de la pared
qx
1
,
∞
T
1
,
s
T
2
,
s
T
2
,
∞
T
x
x=0 x=L
1
1
, ,h
T∞
2
2
, ,h
T∞
Fluido Caliente
Fluido frío

5. Capitulo 3 IMC 484
Distribución Temperatura
• A partir de la ecuación de difusión del calor en la dirección x para una
condición de estado estable, sin generación de energía :
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dx
dT
k
dx
d
• Condiciones de frontera: 2
,
1
, )
(
,
)
0
( s
s T
L
T
T
T =
=
• Perfil de temperatura, considerando k constante :
1
,
1
,
2
, )
(
)
( s
s
s T
L
x
T
T
x
T +
−
= ™ La temperatura varia linealmente con x
™ Flux de calor (q”x) independiente de x
™ Tasa de transferencia de calor independiente
de x
• Flux de calor (q”) • Tasa de transferencia de calor (q)
( )
2
,
1
, s
s T
T
L
kA
dx
dT
kA
q −
=
−
=
( )
2
,
1
,
" s
s T
T
L
k
dx
dT
k
q −
=
−
=

6. Capitulo 3 IMC 484
Resistencia térmica
Basados en la solución anterior, la tasa de transferencia de calor por
conducción puede ser calculado:
( ) ( )
kA
L
R
R
T
T
kA
L
T
T
q cond
cond
s
s
s
s
x =
⇒
−
=
−
=
2
,
1
,
2
,
1
,
/
Recordando la teoría de circuitos eléctricos – Ley de Ohm para resistencias
eléctricas :
De la misma forma para la convección del calor, aplicando la ley de
Newton de enfriamiento:
a
Resistenci
Potencial
de
Diferencia
Eléctrica
Corriente =
hA
R
R
T
T
hA
T
T
T
T
hA
q conv
conv
S
S
S
x
1
)
(
/
1
)
(
)
( =
⇒
−
=
−
=
−
= ∞
∞
∞
Y para la transferencia de calor por radiación :
A
h
R
R
T
T
A
h
T
T
T
T
A
h
q
r
rad
rad
alr
s
r
alr
s
alr
s
r
rad
1
)
(
/
1
)
(
)
( =
⇒
−
=
−
=
−
=
(3.1)
(3.2)
(3.3)
R
V
I
∆
=
R
T
q
∆
=

7. Capitulo 3 IMC 484
Resistencia térmica
¾ Podemos utilizar esta analogía eléctrica para representar los
problemas de transferencia de calor empleando el concepto de circuito
térmico (equivalente a un circuito eléctrico).
∑
∆
=
≠
=
R
T
q total
as
Resistenci
las
de
Sumatoria
total
termico
potencial
de
¾ La diferencia de temperatura es el “potencial” o la fuerza de transporte
para el flujo de calor y la combinación de conductividad térmica,
coeficiente de convección, espesor y área del material actuan como
una resistencia al flujo de calor:
A
h
R
hA
R
kA
L
R
r
rad
conv
cond
1
;
1
; =
=
=

8. Capitulo 3 IMC 484
Resistencia Térmica Pared Plana
En términos de diferencia
total de temperatura :
qx
1
,
∞
T
1
,
s
T
2
,
s
T
2
,
∞
T
x
x=0 x=L
1
1
, ,h
T∞
2
2
, ,h
T∞
Fluido Caliente
Fluido Frío
A
h
kA
L
A
h
R
R
T
T
q
tot
tot
x
2
1
2
,
1
,
1
1
+
+
=
−
= ∞
∞
A
h
T
T
kA
L
T
T
A
h
T
T
q s
s
s
s
x
2
2
,
2
,
2
,
1
,
1
1
,
1
,
/
1
/
/
1
∞
∞ −
=
−
=
−
=

9. Capitulo 3 IMC 484
Pared Compuesta
? Expresar la siguiente
geometría en términos
de un circuito térmico
equivalente.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
2
1
1
1
1
h
k
L
k
L
k
L
h
A
R
C
C
B
B
A
A
tot

10. Capitulo 3 IMC 484
Coeficiente global de transferencia de
calor U
( )
( ) ( )
1
2
,
1
,
2
,
1
,
2
,
1
,
tot
x
x
R
T
T
UA
T
T
q
T
T
UA
q
∞
∞
∞
∞
∞
∞
−
=
−
=
−
≡
)]
/
1
(
)
/
(
)
/
(
)
/
(
)
/
1
[(
1
4
1 h
k
L
k
L
k
L
h
U
C
C
B
B
A
A +
+
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
2
1
1
1
1
h
k
L
k
L
k
L
h
A
R
C
C
B
B
A
A
tot
A
R
U
UA
R
tot
tot
1
1
=
⇒
=
U es el coeficiente global de transferencia de calor y ∆T la diferencia
total de temperatura.

11. Capitulo 3 IMC 484
Pared Compuesta
¾ Para resistencias en serie:
Rtot=R1+R2+…+Rn
¾ Para resistencias en paralelo:
1/Rtot=1/R1+1/R2+…+1/Rn
=

12. Capitulo 3 IMC 484
Ejemplo
Se tiene un horno provisto de una puerta compuesta que separa la cavidad del horno del aire
ambiente. El compuesto de la puerta estará constituido de dos plásticos de alta temperatura (A
y B) de espesor LA=2LB y conductividades térmicas kA=0,15W/mK y kB=0,08 W/mK. Durante el
proceso de autolimpieza, las temperaturas de la pared y del aire del horno, TP y Ta, serán
400°C, mientras que la temperatura del aire del cuarto será T∞=25°C. Los coeficientes de
transferencia de calor por radiación (hr) y convección interna (hi) así como el coeficiente de
convección externa ho, serán, cada uno, aproximadamente 25 W/m2K. Cuál debe ser el
espesor mínimo de la ventana, L=LA+LB, necesario para asegurar una temperatura de la
superficie externa de la puerta inferior o igual a 50°C? Por razones de seguridad esta
temperatura no debe ser mayor.

13. Capitulo 3 IMC 484
Sistema Radial- Coordenadas Cilíndricas
¿Cuál será la resistencia de
conducción en un cilindro hueco
en el que el calor se transmite de
forma radial?
∫
∫ −
=
2
,
1
,
2
1
)
(
2
s
s
T
T
r
r
r
dT
T
k
r
dr
L
q
π
dr
dT
r
A
T
k
qr )
(
)
(
−
=
dr
dT
rL
T
k
qr )
2
)(
( π
−
=
( )
2
,
1
,
1
2
ln
2
s
s
r
T
T
k
r
r
q
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
( )
( )
1
2
2
,
1
,
ln
2
r
r
T
T
L
k
q s
s
r
−
⋅
⋅
=
π ( )
L
k
r
r
R
2
ln 1
2
s
cilíndrica
cond,
⋅
⋅
=
π

14. Capitulo 3 IMC 484
Coordenadas Esféricas
Resolver el mismo problema anterior pero para el caso de una esfera. Esto es:
sabiendo que qr es constante, independiente de r, que no hay generación interna
de calor por unidad de tiempo ( ) y asumiendo que k es constante, encontrar la
ecuación que describe la tasa de conducción de calor. Cual es la resistencia
térmica?
q
&
• Encontrarlo a partir de la ecuación
general de difusión del calor en
coordenadas cilíndricas y de la ley
de Fourier
0
1 2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dr
dT
kr
dr
d
r
( ) ( )
2
1 1
1
4
r
r
T
k
qr
−
∆
⋅
=
π
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
2
1
esféricas
coord,
1
1
4
1
r
r
k
R
π

15. Capitulo 3 IMC 484
Conducción con generación de energía
térmica
La energía térmica puede ser generada o consumida debido por
ejemplo a:
– Reacciones exotérmicas (generación de energía térmica,
reacciones de combustión)
– Reacciones endotérmicas (disipación de energía térmica)
– Conversión de energía eléctrica en energía térmica :
e
R
I
V
I
E ×
=
∆
×
= 2
generado
elec,
&
donde I es la corriente, ∆V la diferencia de potencial y Re la resistencia
eléctrica

16. Capitulo 3 IMC 484
Ejemplo
• Se tiene un alambre conductor de corriente de longitud L y radio r0 el cual
genera uniformemente energía eléctrica a razón de . Determinar la
distribución de temperatura en el cilindro sabiendo que la rapidez con que se
genera calor dentro del cilindro es igual a la rapidez con que se transmite calor
por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Estas
condiciones permiten que la temperatura de la superficie se mantenga en un
valor fijo Ts.
L
h
T ,
∞
q
&

17. Capitulo 3 IMC 484
Ejemplo
L
h
T ,
∞
• Ecuación de difusión del Calor en la
dirección radial en condiciones de estado
estable:
0
1
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
q
dr
dT
kr
dr
d
r
&
• Condiciones de
Frontera:
s
o
r
T
r
T
dr
dT
=
=
=
)
(
,
0
0
• Distribución de temperatura:
s
o
o
T
r
r
k
r
q
r
T +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= 2
2
2
1
4
)
(
&
)
)(
2
(
)
( 2
∞
−
π
=
π T
T
L
r
h
L
r
q s
o
o
&
h
r
q
T
T o
s
2
&
+
= ∞
• Calculo de la temperatura en la superficie:
• La solución para esta ecuación es:
2
1
2
ln
4
)
( C
r
C
r
k
q
r
T +
+
−
=
&
y

18. Capitulo 3 IMC 484
Resumen
• Aprendimos a determinar la distribución de temperatura
y las resistencias térmicas para problemas de
conducción en estado estable, unidimensionales en
coordenadas ortogonales, cilíndricas y esféricas, con y sin
generación energía.