Apunte de mecanismo de transferencia de calor

1. MECANISMODE
TRANSMICIONDE
CALORMiguel Bustamante
M B S
20 de Octubre 2020

2. Mecanismo de transferencia de calor y
aplicaciones
Miguel Bustamante S.
October 19, 2020
Introducción
En el estudio de calor, debemos entender que es. En un principo , se denominaba
como ojisto : Toda sustancia infamable contiene ojisto. Esta iea la propuso
el alquimista Johann Becher . Sin embargo, esta teoría no sostuvo por la
equivalencia demostrada experimentalmenye por Joule: El calor es energía [6].
En una interpretación molecular, las moleculas tienen velocidad, vibran rotan y
todas estas tipo de energía constituyen el llamado energía interna de la sustancia.
Cuando esta energía se transere a otro cuerpo, se denomina calor y anotado
como Q; un cuerpo cambia de temperatura, este cuerpo recibe ( o delega ) calor
. Este calor es igual a
Q = mc(Tf − Ti) (1)
Esta expresión de calor (ecuación 1) es el calor que ha recibio ( o dado)
cuado un cuerpo cambia de temperatura, de un cuerpo de masa m y capacidad
calórica c. Tambien existe transferencia de calor cuando su fase cambia a presión
constante, cuyo calor corresponde
Q = mL
donde m es la masa transformada y L es el calor necesario en transforma una
unidad de masa. Para producir el cambio de temperatura, o de fase, se necesita
transferir calor [6, 4]. Existen tres mecanismo conocidos de transferencia de
calor [1]:
ˆ Conducción
ˆ Convección
ˆ Radiación
1

3. Figure 1:
Conducción
La coduncción es la transmisión de calor (ujo calórico) a traves de un medio.
Entre los extremos del medio existe una diferencia de temperarura que permiete
el ujo, como se aprecia en la gura 1. La ecuación que describe este mecanismo
es
dQ
dt
= −kA
(T2 − T1)
d
(2)
En este caso k, es una constante numérica propia del material, A es el área de
la conducción. El valor de la constante k se mide y se presenta en la siguiente
tabla para algunos materiales
Note que los valores de k para los metales es alto, en comparación con los
otros materiales. Los metales, son bueno conductores de calor, y también de
electricidad.
Convección
En la convección, una supercie esta en contacto con un uido o gas. La tem-
peratura de la supercie Ts hace cambiar la densidad del gas o uido en la
cercanía de la pared. Este cambio en la densidad, comparado con la densidad
del ambiente (debido a la temperatura del ambiente Tamb), produce un empuje,
y por tanto movimiento de gas de la cercanía. Si se mantiene las condiciones, se
mantendrá el movimiento en forma natutral. Este tipo de mvimiento se llama
convección natual. Si se fuerza el movimiento por una bomba, o por un venti-
lador, se denomina convección forzada. Le ecuación que describe este ujo de
calor es
˙Q = hA(Ts − Tamb) (3)
2

4. Table 1: Valores de k
En este caso, h es la constante de convección, A es el árae de la convección.
En la siguiente tabla 2 se presenta los valores de h y los tipos de supercie
Radiación
Durante el estudio de las emsiones del cuerpo negro (cuerpo que absorve todas
las longitudes) , se descubrió que una temeperatuta T mayor que la emperatura
del 0 K, los cuerpo emiten radiación. La distribución de la emisión radiación
para un cuerpo negro por unidad de área viene dado por al expresión
˙q =
8πhν3
c3
1
e
hν
kT − 1
(4)
donde
ˆ h es la constante de Planck: 6, 626070150(69) × 10−34
Js
ˆ ν, frecuencia de la onda electromagnética hertz
ˆ k: constante de Boltzman 1, 380649 × 10−23
JK−1
ˆ c, la velocidad de la luz, 299 792 458 m/s
La representación de la ecuación 4, depende de la temperatura.Como se puede
apreciar en la gura2
3

5. Table 2: Valores de h
Figure 2: Espectro de emisión de un cuerpo negro depediendo de la temperatura
T
4

6. 2, el espectro de emisión depende de la T. Por ejemplo, a los 5000 K el
máximo de la emisión está en torno del color amarillo (500 nm). La temper-
atura de 300 K, el maximo de emisión esta por debajo del espectro visible.
Aunque emite, la intensidad es muy baja para detectarla. Si se puede detectar
la radiación infrarroja. El máximo de la emsión correspode a una longitud de
onda, que depende de la temperatura. Al buscar el máximo de la emisión, de
la ecuación 4, se obtiene como una solución
hν − 3Tk = 0 (5)
o en una expresión equivalente, reemplazando ν = c/λ, se obtiene que
λ =
hc
3TK
=
0.0028976
T
mK (6)
La ecuación 6 es conocida como la ley de Wein.
La energía que emite el cuerpo negro, es la integral de todas las frecuencias
que emite el cuerpo, es decir
E(T) =
∞
¢
0
8πhν3
c3
1
e
hν
kT − 1
dν =
2π2
15
k4
c2h2
T = σT4
(7)
La ecuación 7 es conocida como la ley de Stephan- Bolztman , que correspdne
a la energía radiante por unidad de area de un cuerpo a una temperatura T, en
escala K. E valor de σ = 5.67x10−8 W
m2T 4
La ecuación 7, es válido para un cuerpo negro ideal teórico. Los cuerpos
reales no emiten o abosrven toda la radiación. Por tanto el modelo debe ser
ajustado, y se hace por medio de un coeciente denominado emisividad que
va entre los valores de 0 y 1 (1 , para cuerpo negro) Tabla 3.
Aplicaciones de los mecanismo de transmición de
calor.
En esta sección, veremos ejemplo y su desarrollo
Problema : transmición de calor
Sunpongamos que tenemos una barra de un material que puede conducir calor,
con una constante de conductividad k. La barra tiene una sección A, y el largo
es L (Figura 3)
Si las condiciones son estacionarias, el ujo de calor por la sección de la barra
es
˙Q = −kA
T1 − T2
L
(8)
5

7. Table 3: Emisividad de distinto materiales
Figure 3:
6

8. Figure 4:
Esto implica que el perl de temperatura en la barra viene dado por al
expresión
T(x) = T2 +
T1 − T2
L
x (9)
La ecuación anteror, es una situación ya estacionaria, donde existe un ujo
permanente y estable. Pero supongamos que incialmente la barra estaba auna
temperatura T1que puede ser la temperatura ambiente.
Se coloca el extremo izquierdo a una fuente, de modo que la temperatura de
la fuente sea T1 T2. Esto implica que la temperatura a comenzar a cambiar,
hasta llegar al perl estacionario, Ecuación 9
Deducción de la ecuación de difusión
Supongamos que tenemos una sección de la barra de largo ∆x
En la gura 4, existe un gradiente en la temperatura. La ecuación reformu-
lada del ujo de calor por conducción en cada punto x de la barra es:
˙Q = −kA
dT
dx
(10)
La diferencia del ujo entre el punto x y x + ∆x será
∆ ˙Q = ˙Qx − ˙Qx+∆x = kA
dT
dx x
−
dT
dx x+∆x
Debemos escribir el gradiente de
dT
dx , en función del diferencial ∆x. La
temperatura en e punto T(x + ∆x) se puede expresar en función de T(x) y ∆x
por una serie de Taylo, ya que el incremento en x es muy pequeño.
T(x + ∆x) = T(x) +
dT
dx
∆x
La ecuaión 10 es por cada corte, la expresión de la serie de Taylor se debe
aplicar a a deriavada, es decr, la expresión anterior queda
d
dx
T(x) −
dT
dx
(x + ∆x) =
d
dx
T(x) −
d2
T
dx2
∆x −
dT
dx
=
−d2
T
dx2
∆x
7

9. Reescribiedo al ecuación 10, nos queda
˙Q = kA
∂2
T
∂x2
∆x (11)
Este ujo de calor debe ser igual al cambio de temperatura en el tiempo de
una masa ∆m asociado a la barra de la gura 4, y su capacidad calórica.
˙Q = kA
∂2
T
∂x2
∆x = ∆mc
∂T
∂t
(12)
Esta ecuación 12 es conocida como la ecuación de difusión. Reescribiendo la
ecuación 12, se tiene que
∂2
T
∂x2
=
cρ
k
∂T
∂t
(13)
Problema aplicado
Supongamos que tenemos una barra de largo L,con sección A y conductividad
térmica k. La barra esta inicialmente a una termperaura T0. En esas condiciones
un extremo se coloca a una fuente de calor que esta a una temperatura Tamb = 0.
Queremos ver la evolución de la temperatura en la barra.
Solución
Inicialmente, la temperatura es uniforme e igual aTamb. Posteriormente( en un
tiempo que se puede conisderar innito), si se mantiene la fuente de calor, la
temperatura de la barra va a tender a un perl descrito por la relación.
T(x, ∞) = Ts +
Tamb − Ts
L
x
Para resolver la ecuación 13, vamos a plicar la técnica matemática de sepa-
ración de variables[5, 3]. Asumamos que la función de la temperatura T(x, t) =
X(x)Y (t).Al reemplazar en la ecuación 13, se obtiene la siguiente igualdad.
X (x)
X(x)
= β
Y (t)
Y (t)
= −α2
(14)
donde β = − c
k ρ y α una constante. La ecuación para X(x), se obtiene que
X + α2
X = 0 (15)
y para Y (y), se tiene la ecuación
Y +
α
β
2
Y = 0 (16)
La ecuación 15 corresponde al oscilador armónico, y la solución general es
X(x) = Asin(αx) + Bcos(αx)
8

10. y la ecuación 16, es la de un exponencial
Y (t) = Ce− α2
β t
+ D
Luego, la solución es
T(x, t) = (X(x) = (Asin(αx) + Bcos(αx))(Ce− α2
β t
+ D) (17)
Ahora, debemos importaner las condiciones en t=0 y t=∞. En T(x,0)=Tamb
y en T(x, ∞) = Ts + Tamb−Ts
L x.
Veamos la condición en t=∞ el perl de la temperatura es una recta. ¾Como
aproximamos una recta a la combinación de funciones senos y cocenos?. La
repuesta es: una serie de Fourier.
La expansión en la serie de Forier del perl de temperatura es
T(x, t) = T +
i=1
−
2
iπ
(Tamb − T0)(−1)i
sin(iπ/4x)(Ce−(iπ
4 )
2 t
β + D)
La solución debe dar cuenta que T(x, 0) = Tamb, lo que implica que C=-D y
falta sumar una constante cuyo valor es Tamb. La solución, queda de la forma
T(x, t) = T0 +
i=1
−
2
iπ
(Tamb − T0)(−1)i
sin(iπ/4x)(−Ce−(iπ
4 )
2 t
β + D)
Cuando ha transcurrido un tiempo ∞,la solución tiene la forma con C=1
T(x, ∞) = T0 +
i=1
−
2
iπ
(Tamb − T0)(−1)i
sin(iπ/4x)
Para ejemplicar esta solució, vamoa tomar los sigientes valores T0 = 100,
Tamb = 0 y β = 1.
Con estos parámetros se obtiene el siguiente resultado.
Como vemos en la gura 5, en un inicio la temperatura en la barra es con-
stante, pero posteriormente comienza a tomar la forma del perl nal de la
temperatura.
Problema: Convección
Sabemos que el calor entregado por el mecanismo de convección ˙Q = hA(Ts −
Tamb). Este ujo de calor se expresa en un cambio de la temperatura análogo
a la ecuación 12. e et manera el ujo por convección se iguala al cambio de
temperatura
˙Q = hA(T − Tamb) = −mc
dT
dt
(18)
9

11. Figure 5:
Este sistemea de ecuaciones dorresonde a un sistema de ecuación diferenial
de primer orden. El signo menos, es po cai de la temperatura a dejar el sistema
libre. La ecuación 18, se puede reescribir de la forma
dT
dt
= −r(T − Tamb) (19)
con r = hA
mc .La solución de la ecuación 19 es
T(t) = Tamb + (T0 − Tamb)e−rt
(20)
conocida coo la ecuación de enfriamiento de Newton[1, 2].
Problema aplicado
Supongamos que tenemos una tasa en una pieza a un temperatura ambiente
de Tamb = 23 °C. Se llena con café, y se mide la temperatura en el tiempo.
Estas datos se registarn en la siguiente tabla.
10

12. Tiempo (s) Temperatura (°C)
0 95
14 93
31 89
57 86
107 84
114 82
135 81
182 79
225 78
261 76
291 75
350 73
390 72
450 70
Figure 6:
Se asume que el mecanismo de enfriamiento viene dado por la ecuación 20,
Vamos a reescribir la ecuación de la forma
T(t) − Tamb = (T0 − Tamb)e−rt
Aplicando el logaritmo natural a la igualdad
ln(T(t) − Tamb) = ln(T0 − Tamb) − rt
La relación anterior, es una recta , como se puede apreciar en el gráco
El primer ajuste, se utlizó todos los datos, y el segundo ajuste se utilizó los
datos de 100 s en adelante. El resulatdo de los ajuste se presenta en la siguiente
tabla
11

13. Figure 7:
Ajuste 1 Ajuste 2
Pendiente -0,000882273945961 -0,00070972657263
Costante 4,21536462418415 4,16349307964141
R -0,973602488202284 -0,993266259047066
Sobre los datos ajustados, el factor de correlación mas alto es el segundo
ajuste, ya que tomo la parte lineal. El valor de r es 0.00070965. De los re-
sulatdos, podemoe decir que la ley se aproxima bien a los datos, sobre todo
para mayores de 100 s. Si usamos el segundo ajuste (ajuste 2), de la constante
podemos calcular la temperatura de la supercie
4.2635 = ln(T0 − Tmb) =⇒ T0 = Tamb + e4.2632
= 86.29◦
C
lo que no esta fuera de la realidad, con un avlor de r=0.000709 °C/s.
Problema: Radiación
Sabemos que un cuerpo negro (cuerpo teórico) irradia de acuerdo a la ecuación
7. En los cuerpos reales, se multiplica por un coeciente llamado emisión y
anotado como , que va desde 0 a 1.
Calcular la potenci ue llega a la Tierra por unidad de área, proveniente del
Sol
Asumamo que el Sol emite como cuerpo negro. Es decir la emisión solar
viene dado por la expresión
˙Q = AsσT
4
s
con Ts =5800 K, As = 4πR
2
s con Rs = 6.86x108
m, y σ = 5.67x10−8
W/m2
K4
,
˙Qs = 3.7944875x1026
W.
La distancia entre el Sol y la Tierra es RST =149597870700 m. Toda esa
potencia se diluye en el área de una esfera de radio RST . El área será AST =
4πR2
ST = 2.81229x1023
m2
. Diviendo el ujo solar por esta área nos da el ujo
que llega a la Tierra por undad de área =1349.25 W.
12

14. Problema que involucra a los tres mecanismo
Se plantea un problema donde se involucran los tres mecanismo de transferencia
de calor. Supongamos que tenemos un lámina innita conductora de calor de
espesor s. En el orgen de uns sistema de referencia se coloca una fuente calor
que esta a una temperatura To. Calcule el cambio de temperatura de cada punto
de placa.
Solución
Una placa conductora,en donde en t=0 , hay fuente de calor que mantiene la
temperatuta a T0 y la temperatura ambiente Tamb = 0. En este caso a ecuación
de difusión de calor es en el plano, y se expresa de la forma
T = β
∂T
∂t
(21)
.
En este caso la condición inicial se puede expersar como T(r, 0) = T0δ(r).
Para resolve la ecaución vamos a aplicar la transformada de Fourier. Al aplicar
la transfrmda en el epacio a la ecuación 21 se transforma en la siguiente ecuación
−
k2
2
Π(k, t) = β
∂Π(k, t)
∂t
(22)
La solución de la ecuación 22, es
Π(k, t) = Π(k, 0)e
−2k2
β t
En este caso Π(k, 0) = FT(T0δ(r)) = T0
2
√
2π
. Aplicamos la transformada
inversa obtenemos la solución
T(r, t) = T0
√
β
2
√
πt
e
−βr2
4t (23)
Esta función depende de la posición como de tiempo t. En una representación
de la teperatura en la placa , se ve
Pero como cada punto de la placa tiene una temperatura T(r, t), va irradiar,
y por cada cada elementod e area irradia como cuerpo negro (asumiendo u
comportamiento ideal)
dQr
dA
= σT4
(r, t)
Lo mismo, si estamos en presencia de un gas o uido, el calor por convección
por unidad de supercie será
dQh
dA
= hT(r, t)
13

15. Figure 8:
References
[1] Yunus A. Cengel and Yunus A. Cengel. Transferencia de calor. McGraw-Hill,
México, 2ª edition, 2004.
[2] V. M. Faires and V. M. Faires. Termodinámica. Uteha, México, 1973.
[3] Andrei D. Polyanin and Andrei D. Polyanin. Handbook of Linear Partial
Dierential Equations for Engineers and Scientists. Chapman Hall/CRC,
Boca Raton, FL, 2001.
[4] Jr. Raymond A. Serway y John W. Jewett. Physics for Scientist and En-
gineers with Modern Physics. Brooks/Cole Cengage Learning, 9 edition,
2012.
[5] Gerald Teschl and Gerald Teschl. Ordinary Dierential Equations and Dy-
namical Systems. Graduate Studies in Mathematics. American Mathemati-
cal Society, Providence, RI, 2012.
[6] Paul A. Tipler and Paul A. Tipler. Física para la ciencia y la tecnología (2
volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté, 2000.
14