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2. Segunda ley de movimiento de Newton, aplicando
fuerzas variables y fuerzas de fricción
 La observación, los experimentos y la reflexión llevaron a Newton a concluir que en estas condiciones la
velocidad de un cuerpo no se mantiene constante. Si está en reposo, comenzará a moverse y si está en
movimiento, su rapidez o la dirección y sentido de su movimiento cambiará; en pocas palabras, el cuerpo
adquiere una aceleración
 Un ejemplo que sirvió a Newton de guía en su análisis fue el de la caída libre de los cuerpos. En este caso la
única fuerza que actúa sobre el objeto es su peso, y el movimiento que sigue es uniformemente acelerado.
 Newton determinó que la aceleración que adquiere un cuerpo depende tanto de la magnitud, la dirección y el
sentido de la fuerza resultante que actúa sobre él, como de la masa del objeto. La fuerza resultante y la masa
son las únicas variables involucradas.
 La aceleración es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante. Así, si se duplica la fuerza, la
aceleración se duplica; si se triplica la fuerza, se triplica la aceleración.
 Por otro lado, la aceleración es inversamente proporcional a la masa del cuerpo que se acelera. Esto es, a mayor
masa, menor aceleración.
A mayor masa, menor aceleración.

3. La aceleración que adquiere un objeto, sujeto a la acción de una o varias fuerzas, es
directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él, e
inversamente proporcional a la masa del cuerpo considerado.
 Si la fuerza resultante se representa como Fr, la masa como m y la aceleración como a, la segunda ley implica que:
 Cuando la fuerza resultante y la masa se expresan en unidades del SI, newtons (N) y kilogramos (kg),
respectivamente, la aceleración que resulta tiene unidades de m/s2. Por ejemplo, si al empujar un refrigerador de 250
kg la fuerza resultante sobre él es de 500 N, entonces adquirirá una aceleración de:
 El refrigerador aumentará su velocidad en 2 m/s cada segundo. Como puedes ver, al aplicar una fuerza constante se
adquiere una aceleración constante, pero no una velocidad constante. Para que el refrigerador se moviera a velocidad
constante, la fuerza resultante sobre él debía ser cero, lo que se logra sólo cuando la magnitud de la fuerza que lo
empuja iguala a la de la fuerza de fricción que se opone a su movimiento

4. La fuerza de Fricción
 Si se mueve un primer cuerpo sobre otro, aparece una fuerza en sentido contrario que se opone al movimiento del primer
cuerpo, y es aplicada por el segundo cuerpo en contacto con el primero; ésta se denomina fuerza de fricción o de
rozamiento
 Detalle aumentado de las superficies en contacto, aunque son lisas, a nivel micro son muy rugosas y éste es el origen de
la fuerza de rozamiento o fricción.
 Si el cuerpo está en reposo, con respecto a un segundo cuerpo (pudiendo el segundo cuerpo ser la superficie), esta
fuerza se denomina fuerza de rozamiento estático o de fricción estática, si está en movimiento se denomina fuerza de
rozamiento (fricción) cinético.
 Esta fuerza siempre se opone al movimiento o sea si un cuerpo se mueve a expensa de una fuerza de 20 N y el
rozamiento es 15 N, realmente el cuerpo se mueve solo con una fuerza de 5N. La fricción se representa con f (ojo una f
minúscula, pues la mayúscula representa fuerza en general), y se calcula:
 f= μ . N
 f= Fuerza de fricción (se mide en N)
 μ = Coeficiente de rozamiento, existen dos, si está en reposo se denomina coeficiente de rozamiento estático (μe) y si
está en movimiento se denomina coeficiente de rozamiento cinético (μk ). No tiene unidades.
 N = Normal. Fuerza de contacto aplicada por la superficie del segundo cuerpo en la superficie del primer cuerpo. Es la
fuerza de reacción, en este tema corresponde a la fuerza con que el piso sostiene.

5.  Aunque esta fórmula anterior simplemente se le sustituyen las variables de acuerdo con lo que deseemos calcular
para el caso de fuerza de rozamiento cinético:
 fk = μk . N
 Un detalle importante es que en términos generales para el caso de un cuerpo que se desliza sobre un plano
inclinado, el mk se puede conocer a partir del momento exacto en que el cuerpo empieza a moverse mediante la
relación mk = tan q donde q es el ángulo crítico de inclinación del plano en el exacto momento donde empezó a
moverse.
 Y en el caso de la fuerza de rozamiento estático, se debe escribir:
 fe ≤ μe . N
 Nótese que no hay un = sino un ≤ (menor o igual que), esto se debe a que la fuerza de rozamiento estático aumenta
progresivamente a medida que el primer cuerpo incrementa su fuerza sobre el segundo (si eso sucede), por
ejemplo:

 Si una fuerza de 1 Newton empuja una mesa sobre el piso en forma horizontal, si la mesa no se mueve es porque
en las patas de la mesa aparece una fuerza de rozamiento estático equivalente a 1 Newton en sentido contrario, si
la fuerza aumenta a 2N y aún no se mueve es porque la fricción estática ha aumentado ahora a 2N en sentido
contrario y así continúa hasta que la fuerza de rozamiento estático llega a su umbral (punto máximo) y entonces
desaparece la fuerza de rozamiento estático, llamándose ahora fuerza de rozamiento cinético, debido a que ahora
se mueve y generalmente es menor que la fuerza que rompió el rozamiento estático.

6. Segunda ley de newton aplicada al movimiento curvilíneo,
cinética placa de un cuerpo rigido:fuerza y aceleración
En el estudio del movimiento circular uniforme, hemos visto que la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia
constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria,
denominada aceleración normal y cuyo módulo es
La segunda ley de Newton afirma, que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un
movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an.
F=m an

7.  En el applet de más abajo, simulamos una práctica de laboratorio que consiste en medir con ayuda de un
dinamómetro la tensión de la cuerda que sujeta a un móvil que describe una trayectoria circular.
 El dinamómetro está situado en el eje de una plataforma móvil y su extremo está enganchado a un móvil que gira
sobre la plataforma.
 Sistema de Referencia Inercial
 Desde el punto de vista de un observador inercial, el móvil describe un movimiento circular uniforme. El móvil
cambia constantemente la dirección de la velocidad, aunque su módulo permanece constante. La fuerza necesaria
para producir la aceleración normal es
 F=mw2R
 Esta será la fuerza que mide el dinamómetro tal como vemos en la parte derecha de la figura.

8.  Sistema de Referencia No Inercial
 Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos
fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por
la aceleración centrífuga.
 Fc=mw2R
 La fuerza centrífuga, no describe ninguna interacción entre cuerpos, como la tensión de una cuerda, el peso, la
fuerza de rozamiento, etc. La fuerza centrífuga surge al analizar el movimiento de un cuerpo desde un Sistema de
Referencia No Inercial (acelerado) que describe un movimiento circular uniforme.

9. Vector posición r en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra
en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra
en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.Diremos que el móvil se ha
desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la
secante que une los puntos P y P’.
 El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y
el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt.
 El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la
secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los
instantes t y t1.
 El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
 Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a
cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los
puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.
 En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es
tangente a la trayectoria en dicho punto.

10.  Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en
el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
 La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila
corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje
Z.
 Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo
largo de los ejes coordenados.
 Ejemplo 1:
 Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las
expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:
• Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
 vx=6t2-6t m/s
vy=2t-2 m/s
• Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
 ax=12t m/s2
ay=2 m/s2


11. Momento de inercia de masa
 El momento de inercia, que se indica mediante el símbolo I, consiste en
una medida de la inercia rotacional de un sólido. Cuando un sólido rota con
respecto a uno de sus ejes principales de inercia, la inercia rotacional se
puede representar como una magnitud vectorial denominada momento de inercia. Se
utiliza, en especial, para el cálculo de estructuras.
 No obstante, en la situación mas genérica posible, la inercia rotacional se
representa mediante un compuesto de momentos inercia y componentes que
constituyen el denominado tensor de inercia. La identificación tensorial es
imprescindible para el estudio de sistemas complejos, como los movimientos
giroscópicos.
 El momento de inercia describe cómo se distribuyen las masas de un sólido o de
un grupo de elementos en rotación con respecto a un eje de giro. El momento de
inercia depende exclusivamente de la geometría del solido y de la situación del
eje sobre el que gira, no esta influenciado por las fuerzas que generan el
movimiento.
 En un movimiento rectilíneo uniforme, el momento de inercia realiza una función
similar a la de la masa inercial. Siendo el valor escalar del momento angular
longitudinal del cuerpo rígido.


12.  Cálculo del momento de inercia: ecuaciones
 La fórmula con la que se realizará el cálculo cambiará según el tipo de sistema que estemos analizando.
 En un sistema de elementos con eje arbitrario
 El momento de inercia se determina mediante la suma de los productos de las masas (m) de los elementos,
multiplicados por el cuadrado de cada distancia mínima (r) de cada elemento a su eje.
 Se obtiene mediante la expresión:
I=∑ [ mi • ri
2 ]
 En el caso de un sólido con masa homogénea
 Se simplifica de la siguiente manera:
I=∫m [ r2 dm=∫V [ρr2 dV] ]
 En la integral, el subíndice V señala que es necesario integrar en todo el volumen del sólido, resolviéndolo mediante
una triple integral.
 En el movimiento rotacional, esta idea realiza una función similar a la de la masa inercial para el caso del movimiento
rectilíneo uniforme. Se define la masa inercial como la oposición que muestra un sólido a ser acelerado en un
movimiento de traslación, y el momento de inercia como la oposición que muestra el solido a ser acelerado en un
movimiento de rotación.
 Por ejemplo, la segunda ley de Newton:
F=m • a
 Se puede desarrollar para la rotación como:
τ=I • α
 Siendo:
Ƭ: Torque que se aplica al sólido
I: Momento de inercia del solido relativo al eje rotacional
α: Aceleración angular (d^2 θ) / [dt]2
Valido si la distancia al sistema de referencia permanece constante.

13. Un sólido en movimiento con velocidad (v)
Tiene una energía cinética definida por la expresión:
 Ec=1n/2 mv2
Si el sólido está en rotación con una velocidad angular (w)
La expresión que define su energía cinética es:
Ec=1/2 Iw2
Siendo:
•I: Momento de inercia referente al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o el momento lineal tienen como equivalente la conservación del momento angular (L), de forma
que:
L=Iw
Generalmente, el vector momento angular (v) no posee la misma dirección que el vector velocidad angular (w). Los dos vectores tendrían la
misma dirección si el eje de giro coincide con el eje principal de inercia.
Si un eje es de simetría, será un eje principal de inercia. Un giro alrededor del eje lleva a un momento angular al lo largo de este eje.
Cuando un eje es de simetría, es eje principal de inercia. Un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo
de ese eje.
Teorema de Steiner o de ejes paralelos
El teorema indica:
El momento de inercia referente a un eje paralelo que cruza el centro de masas, es igual que el momento de inercia referente al eje que cruza
por el centro de masas sumado al producto de la masa multiplicado por el cuadrado de la distancia entre ejes.
Se define según la expresión:
Ieje=Ieje
(CM) + Mh2
Siendo:
Ieje: Momento de inercia referente al eje paralelo al que cruza el centro de masas.
Ieje
(CM): Momento de inercia del eje que cruza en centro de masas.
M: Masa total
h: distancia entre los ejes paralelos

14. Cálculo del momento de inercia de áreas compuestas
 Este método se puede emplear para calcular el momento de inercia de una viga o para el
cálculo del momento de inercia de perfiles.
1. Se divide el área compuesta en secciones simples
2. Se determina el área de casa sección, y se simboliza como A1, A2, …, An.
3. Se definen las coordenadas del centro de masas de cada sección (xi,yi), con referencia a
los ejes X e Y. Se calcula el centro de masas (xG,YG) de todo el cuerpo constituido por las
secciones simples.
4. Se obtienen las distancias de los centros de masas de cada sección respeto al centro de
masas del cuerpo completo.
5. Se determinan los momentos de inercia de las secciones con referencia a sus ejes de
centro de masas (paralelos a x e y).
6. Se determina para cada sección referente a los ejes x e y utilizando el teorema de Steiner.
 Procedemos al cálculo de los momentos de inercia del cuerpo compuesto a partir de los
valores obtenidos en el punto anterior.

15. Momentos de inercia para cuerpos simétricos
 En la siguiente tabla se muestran los momentos para solidos rígidos homogéneos,
con ejes rotacionales perpendiculares al plano de simetría del solido que
contiene el centro de masas, como el momento de inercia del cono o el momento
de inercia del cilindro.

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