1) El documento habla sobre inferencia estadística, específicamente sobre estimación puntual de parámetros, estimadores puntuales, y pruebas de hipótesis. 2) Explica cómo se formulan las hipótesis nula y alternativa, y los pasos para realizar pruebas de hipótesis como seleccionar el nivel de significancia y calcular estadísticos de prueba. 3) Proporciona ejemplos numéricos de cómo realizar pruebas de hipótesis para comparar medias usando z y t de Student

1. INFERENCIA ESTADISTICA

2. Estimación puntual de parámetros Un estimador puntual es simplemente un estadístico (media aritmética, varianza, etc.) que se emplea para estimar parámetros (media poblacional, varianza poblacional, etc.). Es decir, cuando obtenemos una media aritmética a partir de una muestra, tal valor puede ser empleado como un estimador para el valor de la media poblacional. (Algunos autores comparan los estimadores con los lanzamientos en el juego de tiro al blanco; el círculo central sería el valor real del parámetro.)

3. Estimación Puntual Un estimador puntual permite hacer una inferencia acerca de una población estimando el valor de un parámetro desconocido usando un solo valor o punto obtenido de una muestra. Distribución poblacional Parámetro ? Distribución muestral Estimador puntual

4. Definición Contrastar una Hipótesis Estadísticamente o realizar una prueba de hipótesis es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella. En otras palabras, el objetivo de la estimación de parámetros es proveer de métodos que permitan determinar con cierta precisión, el valor de los parámetros desconocidos de un modelo estadístico a partir de una muestra extraída al azar de una Población.

5. ¿Qué es una hipótesis estadística? Una creencia sobre un valor de un parámetro: Media Varianza Proporción/Tasa Es un valor que se supone verdadero y se pone a prueba a través de la evidencia Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis. Después se utilizan los datos de las muestras para obtener evidencias que confirmen o no la hipótesis propuesta.

6. Las hipótesis se plantean como: De existencia del EFECTO (de una variable). De una DIFERENCIA (de las medias observadas entre dos poblaciones ó las proporciones observadas entre dos poblaciones). De la ASOCIACIÓN (entre el tipo de construcción de las casas y la distribución del Dengue).

7. Procedimientos para Pruebas de Hipótesis Evaluar los datos Revisar las suposiciones Formular la hipótesis Seleccionar el nivel de significancia y el estadístico de prueba Determinar la distribución del estadístico de prueba Formular la región de decisión Calcular la estadística de prueba Formular la decisión Estadística No rechazar Ho Concluir que Ho puede ser verdadera Rechazar Ho Concluir que Ha es verdadera

8. Formulación de las Hipótesis La hipótesis que será sometida a prueba se suele designar por H o y se llama Hipótesis nula o Hipótesis de no diferencia , porque parte del supuesto que la diferencias entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia. Se establece con el propósito de ser rechazada. La hipótesis contraria se designa por H 1 y se llama Hipótesis alternativa . También se le conoce como hipótesis del investigador o de la investigación . Describe lo que ha de considerarse si la hipótesis nula es rechazada. Los contrastes de hipótesis pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto (= ó ≠) estamos ante una hipótesis unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor que el valor del parámetro) estamos ante uno unilateral.

9. Formulación de las Hipótesis Reglas para decidir qué proposición se utiliza como hipótesis nula y cuál como alternativa a. La conclusión a la que se desea o esperar llegar como resultado de la prueba se usa como hipótesis alternativa b. La hipótesis debe contener una proposición de igualdad, ya sea =,  ,  . c. La hipótesis nula es la que debe ser comprobada. d. Ambas son complementarias. Es decir, las dos contemplan de manera exhaustiva todos los valores posibles que los parámetros de suposición pueden asumir

10. Estadístico de Prueba Es un número, obtenido a través de los valores de una muestra. Este número, al compararse con el valor critico ( Número que es el punto divisorio entre la región de aceptación y la región de rechazo ), es utilizado para tomar la decisión de no rechazar o rechazar la hipótesis nula. Nivel de significación: α Número pequeño: 1% , 5% Es la probabilidad de rechazar Ho cuando es cierta. Es un valor arbitrario seleccionado a priori por el investigador de acuerdo a su experiencia y deseo. Valores del nivel de significación Nivel de Confianza   /2 Z  /2 0,90 0,10 0,05 1,645 0,95 0,05 0,025 1,96 0,98 0,02 0,01 2,33 0,99 0,01 0,005 2,575

11. Región critica o de Decisión Región critica : Conjunto de valores del estadístico de prueba que causa el rechazo de la hipótesis nula. Es conocida también como región de rechazo. El conjunto de valores que no esta dentro de la región critica, se conoce como región de aceptación. Prueba bilateral o de dos colas Ho:  =  o Ha:    o Prueba unilateral de cola izquierda o inferior Ho:    o Ha:    o Prueba unilateral de cola derecha o superior Ho:    o Ha:    o

12. Regla de Decisión y Conclusión Regla de decisión :o decisión estadística : Si el valor calculado del estadístico de prueba queda localizado dentro de la región critica, se rechazará Ho. De lo contrario no se podrá rechazar Ho. Conclusión : Si se rechaza Ho se concluye: “Existe suficiente evidencia para indicar que ...(el enunciado de la Ha ), a un nivel del  % de nivel de confianza”. Si se acepta Ho se concluye: “Existe suficiente evidencia para indicar que ...(el enunciado de la Ha ), a un nivel del  % de nivel de confianza”.

13. Prueba bilateral o de dos colas: Ho:  =  o Ha:    o Prueba unilateral de cola izquierda o inferior: Ho:    o Ha:    o Prueba unilateral de cola derecha o superior: Ho:    o Ha:    o

14. Valor de p Valor de p : Es la probabilidad de obtener, cuando Ho es verdadera, un valor de la estadística de prueba tan extremo o más (en la dirección adecuada para Ha) que el valor calculado en realidad. En otras palabras P es la probabilidad de que la Hipótesis nula sea cierta. Si p es menor de 0,05 (0,01) , se admite que la probabilidad de que las diferencias encontradas se deban al azar son demasiado pequeñas, por lo que rechazaremos la hipótesis nula y aceptaremos la alternativa. Si p es mayor o igual a 0,05 , la probabilidad de que las diferencias encontradas se deban al azar son demasiado grandes para aceptar la hipótesis alternativa y, por tanto, se acepta la hipótesis nula: las diferencias encontradas están dentro de las que consideramos debidas al azar.

15. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra. Acción correcta Error Tipo I Muy grave Rechazar Ho Error Tipo II Menos grave Acción correcta Aceptar Ho Falsa Verdadera Condición de la Hipótesis Nula (Ho) Acción Posible

16. PRUEBA SIGNIFICATIVA Habitualmente (Tradicionalmente) se especifica a priori un punto de corte (  ) de 0.05 ó 0,01. Esto trasladado a nuestra regla de decisión, significa que el Error tipo I de la prueba estadística será del 5% ó 1%. Una vez especificado el valor de  , tenemos controlada la magnitud del Error tipo I. El Error tipo II (  ) se controla modificando el tamaño de la muestra. En general  y  se minimizan con tamaños de muestra grandes Las probabilidades de cometer errores de tipo I y II se consideran los "riesgos" de decisiones incorrectas. Al realizar la prueba se toma en cuenta el error de tipo I. Por lo tanto, la prueba es significativa si se rechaza la hipótesis nula, pues en este caso se conoce la probabilidad de haber cometido un error. .

17. Diagrama de flujo para decidir entre utilizar z y t cuando se hagan inferencias respecto a las medias de la población La población tiene una distribución normal ¿La muestra es grande? ¿Se conoce la varianza de la población? Si ¿Se conoce la varianza de la población? Si ¿Se conoce la varianza de la población? ¿Se conoce la varianza de la población? No No Si No Si No Si No Si ¿La muestra es grande? No Si z t z t z z . . z o Si No Se aplica el Teorema del Límite Central

18. Pruebas para la media de una población

19. Ejemplo1: Prueba de Hipótesis cuando n es grande y se conoce la δ Un fabricante ha desarrollado un nueva fibra sintética que se considera tiene una resistencia a la ruptura de 8 Kg, con una desviación típica de 0,5 Kg. Queremos probar, a nivel α = 0,01, la hipótesis de que μ = 8 Kg frente la alternativa de que μ≠ 8 Kg, sabiendo que en una muestra aleatoria simple de 50 trozos de la fibra la resistencia a la ruptura media es 7,8 Kg. Solución: Calculando p: Se observa que este valor menor al del valor del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados n = 50 La regla de decisión dice que Ho se rechaza si -2,58< z <2,58.Como z = -2,83 cae en la región de rechazo por lo que Ho es rechazada. Concluimos que la resistencia a la ruptura media no es igual a 8 Kg. Parece que es, en realidad, menor que 8 Kg. (Utilizando el valor P, observamos que es posible rechazar la hipótesis nula al nivel 0,0047, un nivel mucho menor que 0,01.)

20. Ejemplo 2: Prueba de Hipótesis cuando n es pequeño y se desconoce la δ La tasa actual para producir fusibles de 5 amp en Neary Electric Co. es 250 por hora. Se compró e instaló una máquina nueva que, según el proveedor, aumentará la tasa de producción. Una muestra de 10 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora en la nueva máquina es 256, con desviación estándar muestral de 6 por hora. Con 0.05 de nivel de significancia, ¿puede Neary concluir que la nueva máquina es más rápida? Solución: Calculando p: Se observa que este valor NO excede al del valor del nivel de significancia (0.05) concordando con los resultados n = 10 Ho se rechaza si t > 1,833. Como t = 3,16 cae en la región de rechazo entonces Ho es rechazada. Por lo que se puede concluir que la nueva maquina es mas rápida y que es posible rechazar la hipótesis nula al nivel 0,006, un nivel mucho menor que 0,05.

22. Pruebas para la diferencia de medias de dos poblaciones

23. Ejemplo 3: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes del número de puestos de trabajo creados en los últimos seis mes por dos empresas constructoras. Con el fin de conocer el impacto de las nuevas modalidades de contratación en ambos empresas y suponiendo que el número de empleos creados siguiera en ambos empresas distribuciones normales con varianzas iguales : ¿Podríamos afirmar con un 99% de confianza, que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados en los últimos seis mes? Ho se rechaza si t > 3,16. Como t = -2,71 cae en la región de aceptación entonces Ho es aceptada. Por lo que se puede concluir que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados. Admitiéndose la similaridad en la creación de empleos de ambas empresas.

24. Ejemplo 4: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes del número de puestos de trabajo creados en los últimos seis mes por dos empresas constructoras. Con el fin de conocer el impacto de las nuevas modalidades de contratación en ambos empresas y suponiendo que el número de empleos creados siguiera en ambos empresas distribuciones normales con varianzas diferentes : ¿Podríamos afirmar con un 99% de confianza, que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados en los últimos seis mes? Ho se rechaza si t > 3,36. Como t = -2,71 cae en la región de aceptación entonces Ho es aceptada. Por lo que se puede concluir que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados. Admitiéndose la similaridad en la creación de empleos de ambas empresas.

25. Ejemplo 5: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias con Muestras Dependientes Un fabricante desea comparar la resistencia al desgaste de dos tipos distintos de llantas A y B. Para hacer la comparación, asigno al azar una llanta A y una B a las ruedas posteriores de cinco automóviles. Los automóviles recorrieron un número especifico de kilómetros y se observó el desgaste de cada llanta. Brindan estos datos suficiente evidencia para encontrar que existen diferencias significativas entre el desgaste medio de los dos tipos de llantas con un α = 0,05? Ho se rechaza si t > 2,78 Como t = 12,83 cae en la región de rechazo entonces Ho es rechazada. Por lo que se puede concluir que hay diferencias significativas en el desgaste medio de los dos tipos de llantas Calculando p: Se observa que este valor es menor que del nivel de significancia (0.05) concordando con los resultados, acerca de que existen diferencias entre el desgaste medio de los dos tipos de llantas.

26. Pruebas para la proporción

27. Ejemplo 6. Prueba de hipótesis para la proporción de una población En un estudio diseñado para investigar si ciertos detonadores empleados con explosivos en una mina de carbón cumplen con los requerimientos de que al menos 90% encenderá el explosivo al ser detonado, se encontró que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Compruebe esta hipótesis con un nivel de significancia de 0.05. H 0 se rechaza si z < -1,645 Dado que z = -1,41, no es menor que -1,645, H 0 no puede ser rechazada. En otras palabras, no hay suficiente evidencia para afirmar que la clase determinada de detonador no cumple con las normas. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.05) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

28. Ejemplo 7. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos proporciones Un estudio señala que 16 de 200 tractores producidos en una línea de ensamblado requieren ajustes minuciosos antes de ser embarcados, y lo mismo sucede con 14 de 400 tractores producidos en otra línea de ensamblado. Con un nivel de significancia de 0,01, ¿apoya esto la afirmación de que la segunda línea de producción efectúa un trabajo mejor? Ho se rechaza si z > 2,33, y como z = 2,38 cae en la región de rechazo. Se concluye que la proporción real de tractores que requieren ajustes minuciosos es mayor en la primera línea de ensamblado que en la segunda. Calculando p: Se observa que este valor es menor que del nivel de significancia (0.01) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

29. Pruebas para la varianza

30. Ejemplo 8. Prueba de hipótesis para la varianza de una población Un fabricante de baterías para automóviles afirma que la vida de sus baterías está aproximadamente distribuidas en forma normal con una desviación estándar de 0,9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de estas baterías tiene una desviación estándar de 1,2 años, ¿con un nivel de confianza de 0,05, se puede pensar que δ > 0,9 años? Ho se rechaza si λ ² > 16,919, y como λ ² = 16,0 cae en la región de aceptación. Se concluye que no hay razones suficientes para dudar que la desviación estándar es 0,9 años Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.05) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

31. Ejemplo 9. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos varianzas Se realizó una prueba de la diferencia que puede darse entre la resistencia abrasiva de dos materiales laminados, para ello se supuso que las varianzas de las dos poblaciones eran desconocidas pero iguales. Con un nivel de significancia de 0,05, ¿había razón para hacer esta suposición?. Los datos del problema son: La hipótesis nula es rechazada cuando f < 0,34 ó f > 3,10 Dado que f = 0,64 se encuentra en la región de aceptación, se acepta la hipótesis de suponer que las varianzas de las poblaciones eran iguales. Cálculo de P El valor p es mucho mayor que el nivel de confianza 0,05 lo que nos indica que la probabilidad de que las diferencias encontradas se deban al azar son demasiado grandes para aceptar la hipótesis alternativa