REPASO DE MATEMATICA PARA FISICA BASICA

1. CFIS01400
REPASO DE MATEMATICA
PARA FISICA 014
Javier De Js Paulino
Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender y analizar la
abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en prácticamente todas las ramas
del saber humano se recurre a modelos matemáticos y no sólo en la Física, sino que gracias a los
ordenadores las matemáticas se aplican a todas las disciplinas.
CONTENIDO
 NOTACIÓN CIENTÍFICA.
 FUNCIONES Y GRÁFICOS.
 VECTORES.
 DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA.
 CALCULO DE ÁREA Y VOLUMEN PARA FIG. GEOMÉTRICA.
 PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.
JDJP

2. CFIS01400
Parte1
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica (o notación índice estándar) es un modo conciso de representar
números —ya sean enteros ó reales— mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al
sistema decimal, es decir, potencias de diez. Esta notación es utilizada en números demasiado
grandes o demasiado pequeños.
La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas
solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la
información requerida sin malgastar espacio.
Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un
dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces
después del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej
238294360000 = 2,3829436E11 y 0,000312459 = 3,12459E-4
Uso
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es ~4,6x1026m y la masa de un
protón es ~1,67x10-27 kilogramos. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de
computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; los
números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo:
1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también
denotado comúnmente con la letra e.
Escritura
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
106 = 1 000 000
109 = 1 000 000 000
1020 = 100 000 000 000 000 000 000
El resultado de la potencia 10n es igual a la unidad seguida de n ceros.
Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o,
equivalentemente 0, (n-1 ceros) 1:
10-1 = 1/10 = 0,1
10-3 = 1/1000 = 0,001
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10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Por lo tanto un número como
156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234x1029,
y un número pequeño como 0,000 000 000 0234 puede ser escrito como 2,34x10-11.
Historia
El primer intento de representar números demasiados extensos fue emprendida por el
matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Arena en el siglo III
ad C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena
existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del
exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el
exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente
sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -
2 elevado a la 63- granos).
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números
reales a través del coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914),
Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).
Discrepancia
A pesar que la notación científica pretende establecer pautas inviolables sobre la referencia
numérica en materia científica, se presentan discrepancias de estilo.
Por ejemplo en EE.UU. 109 se denomina “billion”. Para los países de habla hispana 109 es mil
millones o millardo (millard) y el billón se representa 1012. Llegamos a un caso práctico donde
para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanoparlantes será un millardo de
dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).
Otra particularidad del mundo hispano es que a 10 4 (10 000), se le denomina miríada. No
obstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar
el diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo cuantificable que elevó su
cuenta significativamente, sin que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres.
Operaciones matemáticas con notación científica
Adición
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la
potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe
convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario
para obtener el mismo exponente):
Ejemplo: 5x106 + 2x106 = 7x106
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Ejemplo2: -9x103 + 9.6x102 = -9x103 + 0.96x103 = -8,04x103
Aquí al número 9.6x102 se multiplico por 10 y se dividió por 10, para que la potencia sea la
misma haciendo este paso tenemos + 9.6/10 x102+1 = 0.96x103
Ejemplo3: sumar 3.00 x108 + 67.8 x106 multiplicando 67.8 x106 por x 100 y dividimos por
100 donde se convierte en 0.678 x108 ahora si podemos sumarlo tienen el mismo exponente.
3.00 x108 + 0.678 x108 = 3.678 x108
Ejemplo4: sumar 45.7 x10-12 - 0.0034 x10-15 multiplicando 0.0034 x10-15 por 1000 y
dividiendo por 1000 tenemos 3.4 x10-12 ahora tienen el mismo exponente podemos sumarlo
algebraicamente.
45.7 x10-12 - 3.4 x10-12 = 42.3 x10-12= 4.23 x10-11
Multiplicación
Se multiplican las mantisas y se suman las potencias de diez:
Ejemplo: (4x106) x (2x106) = 8x1012
División
Se dividen las mantisas y se restan las potencias de diez:
Ejemplo: (4x1012)/(2x106) =2x106
Potenciación
Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:
Ejemplo: (3x106)2 = 9x1012
Radicación
Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:
Ejemplo: 9 𝑥1012 = 3 x 106
Utiliza la calculadora y calcula el producto 9857 * 37563.
El resultado que muestra la calculadora (que tenga una pantalla con una capacidad de mostrar 8
dígitos) es
9857 * 37563 = 3,7025849 08
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Este resultado hay que interpretarlo de la siguiente manera:
3.7025849 08 = 3,7025849 * 108 = 370.258.490
Esta forma extraña de presentar el resultado es debido a que el producto es un número que
tiene 9 cifras (el resultado del producto es 370.258.491) que no cabe en la pantalla. Es decir, la
calculadora no es capaz de mostrar el resultado exacto de la operación y lo muestra
aproximado: no ofrece la última cifra que es la menos representativa del resultado, la menos
importante.
Diremos que el resultado de la calculadora se expresa en notación científica
1 POTENCIA DE 10 VIDEO
Parte 2
FUNCIONES Y GRAFICOS
Cuando en ciencias queremos encontrar la relación de dos variables, hacemos el gráficos y=
f(x), El Cálculo, en cambio, estudia los problemas en los cuales x puede adoptar distintos
valores. Así se introduce la noción de variable: x es la variable independiente y cualquier
magnitud que cambia cuando x cambia se llama variable dependiente (su valor está en función
del valor de x). El conjunto de los pares ordenados (x, f(x) se llama, en general, relación, y,
cuando a cada valor x le corresponde un único valor f(x), función.
Las funciones reales de una variable real, es decir, las relaciones que asignan a cada número
real x de un conjunto un único número real f(x). Muchas veces la variable independiente es el
tiempo y se representa con el símbolo t. (En este sentido se dice que el Cálculo «estudia los
aspectos dinámicos de los problemas» o «resuelve problemas donde los sistemas deben ser
vistos como una película, no como una fotografía». Los primeros problemas estudiados eran
problemas de la Física o, más precisamente, de la Astronomía.) Sin embargo, la del Cálculo es
una aproximación puramente formal: x puede ser el tiempo y f(x) el espacio recorrido (problema
de movimiento); x puede ser la temperatura y f(x) la densidad de una sustancia a una presión
dada (problema de variación de propiedades físicas); x puede ser el tiempo y f(x) la
concentración de cierto componente de una mezcla reactiva (problema de Cinética Química);
etc. Más aún, haciendo la identificación cartesiana de los números reales con los puntos
geométricos, x podría ser la abscisa de un punto de la base (horizontal) de una figura geométrica
de dos dimensiones y f(x) la ordenada (altura) correspondiente.
Estudiemos las funciones más comunes. y = f(x)
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Cuando en y = f(x). una variable aumenta y la otra aumenta en la misma proporción.
Esto es y = k x, donde k es la constante de
proporcionalidad, cuando la variable se y
relacionan de esta forma decimos que son
directamente proporcionales.
La constante se encuentra k = y/x
x
Esto es y = k x + b, donde b es la constante
adictiva y k es la constante de y
proporcionalidad, cuando la variable se
relacionan de esta forma decimos que hay una
variación lineal.
b
La constante se encuentra k = (y-b)/x
x
Esto es y = k/x, donde k es la constante que
y
relacionan x y y cuando la variable se
relacionan de esta forma decimos que son
inversamente proporcionales. Aquí la curva es
una hipérbola.
La constante se encuentra k = y x, x
multiplicando el valor de x por el valor de y
Cuando y= f(x) nos da una parábola decimo y
y= k x2 aquí la constante se encuentra
2 2
dividiendo el valor de y entre x , k=y/x
x
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7. CFIS01400
1 GRAFICO DE UNA FUNCION f(x) SIMULACION
Ejercicios
1.0 Use “SimpleGraph” en la simulación 2 (es una herramienta hecha en java para hacer
grafico) , para la construcción de los siguientes gráficos f(x)=2 x, f(x)=0.5 x, f(x)=6 + 8 x,
f(x)=12-8x, f(x)=2 x^2, f(x)=1/x, f(x)=1/x^2,use las siguientes especificaciones xmin=0, xmax=10,
ymin=0, xmax=16, elegir establecer intervalos, haga cada una de las funciones, use función
nueva para trabajar con cada una de ella. Haga un bosquejo de cada grafico en un papel, decir
que tipo de grafico representa cada función, si son directamente proporcionales, si hay una
variación lineal, etc.
Cambiar estos valores
Usar establecer intervalos
Función Nueva
Introducir la Nueva función
f(x)=?
“SimpleGraph”
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8. CFIS01400
Parte3
VECTORES
Cantidades escalares y vectoriales.
Las cantidades según su cualidad, pueden ser:
- escalares: quedan definidas conociendo su valor numérico y las unidades en que se expresa
éste. Ejemplo, el tiempo, la masa, el volumen, la distancia, etc.
- vectoriales: aparte de conocer su valor numérico y las unidades en que se expresa (módulo),
es necesario conocer su dirección y sentido, para que la magnitud quede perfectamente
definida. Ejemplo, el desplazamiento.
Representación
Los vectores admiten una representación gráfica, que hace el entendimiento de sus
propiedades más intuitivo. Un vector se representa por un segmento orientado (con forma de
flecha), del cual su longitud denota la intensidad del vector, la recta donde está incluido
indica la dirección ("línea de acción"), la punta de la flecha indica el sentido, y el punto del
cual parte determina el punto de aplicación.
En cuanto a la notación matemática los vectores que aparecen en mecánica newtoniana y
otras las aplicaciones Física se suelen representar con flechas sobre el nombre del vector o
con negrita. Ejemplo el desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, etc. ( A,𝐴,v,𝑣,F,𝐹 ) etc
Forma de representar un vector
Magnitudes,
Sentido
o Modulo
A Dirección
θ
Resolución de sistemas de fuerzas
Fuerzas de misma dirección y sentido
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9. CFIS01400
La resultante tiene misma dirección y sentido que los componentes y su intensidad es igual a la suma de la
intensidad de los componentes.
R
Fuerzas de misma dirección y sentido contrario
La resultante tendrá la misma dirección que sus componentes, su sentido el de la mayor y su intensidad es
igual a la diferencia entre sus componentes
R
Norte
Para trabajar y hacer operaciones con
vectores, siempre es más convenientes sus
representación grafica en un sistema de
coordenada, Puede ser Norte, Sur; Oeste,
Oeste Este
Este o simplemente eje X y el eje Y.
X Tenemos que tomar que el ángulo de un
vector siempre se mide con relación al Este o
al eje X+
Y Sur
Para trabajar con vectores es conveniente usar un sistema de coordenada.
Y Norte
Por ejemplo: el vector A tiene 8 unidades de magnitud, y
su ángulo es de 90º con relación al eje x(+) , podemos
escribir el vector a cómo, A=(A, θ)= (8,90º) podemos
C decir que la magnitud es 8 sus ángulo es de 90º .
Oeste A Este
θ
También podemos decir que el vector A tiene dirección
c
Norte-Sur o Sur–Norte y su sentido hacia el Norte (el
B X
x
sentido es hacia donde apunta la flecha).
c
Sur
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10. CFIS01400
El vector B tiene 5 unidades de magnitud y su ángulo es de 180º con relación al eje x(+) , podemos escribir el vector
a cómo: B=(B, θ)= (5,180º) podemos decir que la magnitud es 5 y su dirección es Oeste-Este o Este –Oeste y su
sentido hacia el Oeste.
El vector C tiene una magnitud de 10 unidades y forma un ángulo 53o con relación al eje x(+)
Al vector C lo podemos representar como: C=(10,53º)
Resultante de vectores
EJERCICIOS RESUELTOS
Dados los siguientes vectores: hallaremos varias resultante entre ellos
A=8u B=4u
C=5u
D=6u
E=10u
o
30
1
Hallar la resultante R=A+B, gráficamente y Gráficamente.se coloca un vector a continuación
analíticamente. del otro con el mismo modulo, dirección y
Respuesta sentido.
En este caso los vectores tienen igual
A=8u B=4u
dirección y sentido, la sumas vectorial
coincide con la sumas aritmética
Respuesta Analíticamente.
R=12u
R= A+ B = 8u + 4u = 12u
2
Hallar la resultante R=A+C gráficamente y Colocando los vectores uno a continuación del
analíticamente. otro tenemos
En este caso los vectores tienen igual A=8u
dirección y sentido contrario.
Aquí C= -5 u
R=3u C=5u
R=A+C= 8u- 5u = 3u
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11. CFIS01400
3
Hallar la resultante R=A+ B +C, Respuesta gráficamente.se coloca un vector a
gráficamente y analíticamente. continuación del otro con la misma dirección y
sentido.
En este caso los vectores A, B y C tienen
igual dirección, A y B tienen el mismo A=8u B=4u
sentido y C tiene sentido contrario.
Aquí C= -5 u
R=7u C=5u
R=A+B+C= 8u+4u - 5u = 7u
4
Hallar la resultante R= A+ D gráficamente solución: resultado gráficamente
y analíticamente.
A=8u
En este caso los vectores A y D .son
perpendiculares entre sí, forman 90º entre
ellos. La resultante analítica se encuentra D=6u
por el teorema de Pitágoras.
𝑹= 𝑨𝟐+ 𝑩𝟐 = 𝟖 𝟐 + 𝟔 𝟐= 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝒖
Si medimos la resultante con las mismas
unidades que los vectores R≃10u
5
Hallar la resultante R=B + E gráficamente
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12. CFIS01400
Componentes de un vector
El vector  lo podemos representar de la siguiente forma
Â=(A, θ)
Donde A es la magnitud y θ es el ángulo del vector, con
y relación al Este o al eje x +
Otra forma de representar un vector es.
Â= (Ax + Ay)
Â
Ay Siendo Ax y Ay la componentes en cada eje en este
caso tenemos Ax= A cosθ, y Ay=A senθ,
θ
Estas definiciones salen de las definiciones de seno y
x coseno de un ángulo en este caso θ.
Ax Â= (Ax, Ay) cualquier vector siempre es posible
descomponerlo en su dos componentes.
Ax= A cosθ, Ay=A senθ, y Si tenemos otro vector B dimensiones el vector B lo
podemos expresar como. B= (Bx, By)
Todo vector se puede descomponer en sus componentes, para hallar la magnitud de un vector si
conocemos las componentes usamos la siguiente expresión:
𝑨𝒚
La magnitud de 𝑅 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 ; y el ángulo entre la resulta que es 𝑻𝒂𝒏𝛉 = ;
𝑨𝒙
De esta manera encontramos magnitud y el ángulo del vector.
VIDEO Y SIMULACIONES DE VECTORES
SUMA DE VECTORES UTILIZANDO EL MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Y EL MÉTODO
1 DEL TRIÁNGULO
SIMULACION
2 SUMA DE VECTORES ……….METODO GRAFICO SIMULACION
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR
3 SIMULACION
4 Introducción a los vectores VIDEO
5 Operaciones con vectores (gráficamente) VIDEO
6 Vector Fijo: Componentes y Módulo VIDEO
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13. CFIS01400
Ejercicios
1 Leer la intrusiones de la simulación 1 (COMPONENTES RECTANGULARES DE UN
VECTOR ) para hace los ejercicios, 5 y 6.
2 Hacer los ejercicios del 1-al 4 usando la simulación 2.
3 Viendo los videos 5, 6, hable brevemente sobre, la utilidad e importancia de
los vectores.
Parte 4
Despejar variable en una ecuación o formula
Los mayores problemas que enfrentan los estudiantes para aprobar esta asignatura de Física Básica, se
encuentran en el nivel de matemática con que vienen los estudiantes al aula, necesitamos un nivel de
matemática mínimos que tenemos que usar en esta asignatura, para que sea entendida por los
estudiantes así que inmediatamente ataca queremos ese problemas, que se basa en un repaso de
algebra:
DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA
Por ejemplos muchas de las ecuaciones típicas que veremos en clase tendrán esta forma: Tabla1 tenemos que
aprender como despejar una variable en una ecuación.
1 2 3 4
𝑥= 𝑣 𝑡 𝐸𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ 𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎 𝑡 𝐹 = 𝑚𝑎
5 6 7 8
𝑣2 1 2 𝑎 𝑥 = 𝑣2 − 𝑣 𝑖 2 (𝑣 + 𝑣 𝑖 )
𝑎𝑐 = 𝐸= 𝑚𝑣 2 𝑥= 𝑡
𝑟 2 2
9 10
1
𝑤 = 2 𝑚(𝑣 2 − 𝑣 𝑖 2 ) 2 𝑡2 + 4 𝑡 − 8 = 0
Tabla1
Es bien conocido en matemática que para despejar una variable en una ecuación es dejar la sola en
cualquier lado del signo de igual. Si una variable está multiplicando en un lado del signo de igual pasa al
otro lado dividiendo y viceversa. Si esta sumando pasa restando y así sucesivamente ..
Por Ejemplo: Observemos los siguientes ejercicios resueltos.
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14. CFIS01400
EJERCICIO RESUELTOS
1.0
En la ecuación (2). 𝐸 𝑝 = 𝑚 𝑔 ℎ Solución: en esta ecuación nos damos cuenta que tanto
Despejar la ℎ=? m y 𝑔 están multiplicando a h, por lo tanto pasan al
otro lado dividiendo de esta forma tenemos.
𝐸𝑝
ℎ=
𝑚 𝑔
2.0
En la ecuación (3) de la Tabla1 Solución: Aquí sabemos que 𝑣 𝑖 que esta sumando
𝑣 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 𝑡 despejar 𝑎 =? pasa al otro lado restando, seria 𝑣 − 𝑣 𝑖 = 𝑎 𝑡 ;
y t que; está multiplicando pasa dividiendo entonces
tendríamos.
𝑣 − 𝑣𝑖
𝑎=
𝑡
3.0
En la ecuación (5) de la Tabla1 𝑣2
Solución: si observamos la ecuación 𝑎 𝑐 = 𝑟
; r está
dividiendo pasa al otro lado multiplicando esto es
𝑣2
𝑎𝑐 = despejar 𝑣 =?
𝑟 𝑣 2 = 𝑎 𝑐 𝑟 sacándole la raíz cuadrada a ambos lado
tenemos; 𝑣= 𝑎𝑐 𝑟
4.0
En la ecuación (7) de la Tabla1 Solución: En término −𝑣 𝑖 2 esta restando pasa
2 𝑎𝑥 = 𝑣 2 − 𝑣 𝑖 2 despejar la 𝑣 =? sumando, tenemos 2 𝑎𝑥 + 𝑣 𝑖 2 = 𝑣 2 que podemos
escribir 𝑣 2 = 2 𝑎𝑥 + 𝑣 𝑖 2
y luego extraemos la raíz en ambos lados y
obtenemos:
𝑣 = 2 𝑎 𝑥 + 𝑣𝑖2
VER VIDEO
1 Ecuaciones lineales01 VIDEO
2 Ecuaciones lineales02 “
3 Ecuaciones lineales03 “
CALCULO DE CUADRATICA
4 ECUACION AREA Y VOLUMEN PARA FIGURA GEOMETRICA “
Esto videos le muestran como se despeja una variable en una ecuación lineal y de segundo grado
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15. CFIS01400
FIGURA GEOMETRICA GRAFICA FORMULA
RECTANGULO
h 𝑨 = 𝒃𝒉
b
TRIANGULO
h
h 𝒃𝒉
𝑨=
b b 𝟐
CUADRADO
a
𝑨= 𝒂𝟐
a
TRAPECIO B
h (𝒃 + 𝑩)
𝑨= 𝒉
𝟐
b
CIRCULO
𝒓 = 𝑫/𝟐
D
𝑨= 𝝅 𝒓𝟐
ESFERA
𝒓 = 𝑫/𝟐
D
𝟒
𝑽= 𝝅 𝒓𝟑
𝟑
CILINDRO D 𝒓 = 𝑫/𝟐
h 𝑽= 𝝅 𝒓𝟐 𝒉
CUBO a
a
𝑽= 𝒂𝟑
a
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