Un aporte de COREFO a la Educación.

1. Estrategias para un mejor
desarrollo del álgebra y la
aritmética
Primaria 2015
Capacitadores:
Ana Cecilia Holgado Vargas
Luis Carlos Dionicio

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Estrategias para un mejor desarrollo de Aritmética
Las estrategias metodológicas para la enseñanza de la aritmética son secuencias integradas de
procedimientos y recursos utilizados por el docente con el propósito de desarrollar en los estudiantes
capacidades para la adquisición, interpretación y procesamiento de la información; y la utilización de estas
en la generación de nuevos conocimientos, su aplicación en las diversas áreas en las que se desempeñan
la vida diaria para, de este modo, promover aprendizajes significativos.
Las estrategias deben ser diseñadas de modo que estimulen a los estudiantes a:
 Observar
 Analizar
 Opinar
 Formular hipótesis
 Buscar soluciones
 Descubrir el conocimiento por sí mismos
Estrategias de resolución de problemas
Su finalidad no debe ser la búsqueda de soluciones concretas para algunos problemas particulares, sino
facilitar el desarrollo de las capacidades básicas, de los conceptos fundamentales y de las relaciones que
pueda haber entre ellos.
Entre las finalidades de la resolución de problemas tenemos:
 Hacer que el estudiante piense productivamente
 Desarrollar su razonamiento
 Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas
 Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la matemática
 Equiparlo con estrategias para resolver problemas
 Darle una buena base matemática
A continuación, detallaremos algunas estrategias como:
FASES DE DEWEY:
John Dewey (1933) señala las siguientes fases en el proceso de resolución de problemas:
1. Se siente una dificultad: localización de un problema.
2. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto.
3. Se sugiere posibles soluciones: tentativas de solución.
4. Se obtiene consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.
5. Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.
FASES DE PÓLYA
El plan de George Pólya (1945) contempla cuatro fases principales para resolver un problema:
1. Comprender el problema
2. Elaborar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Hacer la verificación
Comprender el problema: Este primer paso es importante, ya que si el estudiante no es capaz de

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desarrollarlo no podrá pasar al siguiente paso, es imposible resolver un problema del cual no se entiende
el enunciado. Generalmente, los estudiantes leen el problema y, de inmediato, comienzan a resolverlo
sin procesar los datos y la información. Para comprender el problema es importante los conocimientos
que posee el estudiante y las características del enunciado, dentro de estas características está la
contextualización que toma en cuenta el entorno del estudiante, este enunciado debe estar redactado de
forma sencilla, clara, directa y objetiva para que la lectura resulte comprensible. En esta parte se plantea
preguntas como: ¿de qué trata el problema?, ¿cuáles son los datos?, ¿qué te pide el problema?
Concepción de un plan: Para el Ministerio de Educación este paso implica explorar, razonar, calcular y
construir posibles caminos o métodos que puede seguir el estudiante para resolver problemas
contextualizados teniendo en cuenta sus saberes previos y relacionándolo con los datos propuestos en el
problema. En esta fase, el estudiante expresa la relación entre los datos y la incógnita a través de una
ecuación o fórmula, así también realiza una búsqueda de patrones. Los estudiantes responden las
siguientes interrogantes: ¿Has visto este problema antes? ¿En forma diferente? ¿Conoces algún problema
relacionado? ¿Algún teorema que pudiera servir? ¿Conoces algún problema similar con la misma
incógnita o con una incógnita similar?
Ejecución del plan: Este paso implica poner en práctica la estrategia elegida por los estudiantes,
efectuando las operaciones y desarrollando el razonamiento de manera ordenada y minuciosa. En esta
etapa el estudiante ejecuta el plan revisando cada paso elegido. Responden las siguientes interrogantes:
¿Por dónde debo empezar? ¿Qué puedo hacer? Para la respuesta de esta interrogante nos debemos
percatar que los estudiantes tienen plena comprensión del problema, que domine las operaciones
algebraicas. ¿Qué gano haciendo esto? La solución debe ser exacta en la que cada paso no ofrezca alguna
duda. En esta etapa, el estudiante es capaz de desarrollar diferentes estrategias como la organización de
información, buscar problemas relacionados o parecidos, buscar patrones, la aplicación del ensayo y
error, usar analogías, entre otras.
Aquí se pueden aplicar las estrategias:
1er grupo: Ensayo-error
Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos
que se hacen. En realidad, algunos métodos específicos de solución, como el de regulación o el de
aproximaciones sucesivas, se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas
correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta.
Realizarán la actividad 1 de Rutas de aprendizaje VI ciclo.
2do grupo: Hacer una lista sistemática
En los casos en que requiere la enumeración de objetos matemáticos, es conveniente realizar un conteo
o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad.
Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación, para encontrar espacios muestrales o
resolver problemas de permutaciones o combinaciones.
3er grupo: Empezar por el final
La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemas en los cuales
tenemos información de una situación final; también para demostrar desigualdades. La combinación de
métodos progresivos y regresivos es una potencia técnica para demostrar teoremas.

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4to grupo: Razonar lógicamente
El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los
pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamiento que se producen en el desarrollo de su
solución.
Visión retrospectiva: Es el cuarto y último paso donde el estudiante verifica su proceso desarrollado
analizando si su respuesta es correcta o si requiere reforzarlo. En esta fase, el estudiante examina la
solución que obtuvo preguntando si la respuesta tiene sentido. Se considera los detalles de la solución
para hacerlos más sencillos, si es necesario se modifica mejorando la solución en su conjunto de tal modo
que se adivine por sí misma. Se examina atentamente el resultado y se trata de aplicar a otros problemas
similares.
Álgebra en Educación Primaria
Ante el reto de lograr en los alumnos de educación primaria el desarrollo del pensamiento
algebraico, me senté todo un fin de semana de marzo frente a la laptop y escribí, rápida y brevemente,
todas las actividades que se me vinieron a la mente relacionadas con el pensamiento algebraico. Los
recursos bibliográficos y en la red son bastantes escasos así que tuve que poner una gran cuota
de creatividad y de conocimientos. Y estos son los primeros resultados. En el área de matemáticas, en la
educación primaria, se debe desarrollar, básicamente, el pensamiento numérico, el pensamiento
geométrico y el pensamiento relacionado con las magnitudes. Nosotros agregamos el pensamiento
algebraico. No buscamos enseñar el álgebra tal como se hace en la secundaria, tampoco queremos apelar
a la memoria de fórmulas y procedimientos.
Apuntamos a desarrollar la capacidad de los educandos de representar algebraicamente objetos,
cantidades, situaciones, magnitudes y relaciones del entorno inmediato, del mundo que rodea al niño.
Por lo tanto, las actividades planteadas son una manera informal y lúdica de acercarnos al álgebra,
buscando que este acercamiento sea lo menos traumático posible para los alumnos, pues debemos de
considerar que el álgebra tiene fama de ser una rama dura de la matemática.
En tanto que el álgebra está relacionada con una mejor comprensión de la aritmética, con la
geometría, el análisis y otros temas matemáticos, parece que no hay duda que una buena experiencia
temprana con el álgebra podría servir para mejorar la formación matemática de los niños. Los resultados
de diversas investigaciones longitudinales sobre la inclusión del razonamiento algebraico desde la escuela
elemental (Derry, Wilsman y Hackbarth, 2007) alientan a iniciar la enseñanza del álgebra en la escuela
primaria para preparar mejor a los niños para asumir el álgebra de la escuela secundaria.
Diversas investigaciones reportan tanto los logros de niños de escuela primaria cuando trabajan con
tareas propias del razonamiento algebraico elemental (Amit y Neria, 2008; Becker y Rivera, 2008) como
la inclusión del razonamiento algebraico elemental en el currículo de la escuela primaria (Fong, 2004;
Watanabe, 2008). Por tanto, es pertinente ofrecer a los maestros experiencias de formación que incluyan
algunos aspectos del razonamiento algebraico elemental para iniciarlos en el reconocimiento y promoción
de este cuando sea manifestado por los niños.
Rechazo al Álgebra
La observación, en el aprendizaje del álgebra, de dificultades como la limitada interpretación del signo
igual, las concepciones erróneas de los alumnos sobre el significado de las letras utilizadas como variables.

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El rechazo de expresiones no numéricas como respuestas a un problema y la no aceptación de la falta de
clausura, han sido atribuidas previamente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el
desarrollo cognitivo de los alumnos (Schliemann et al., 2003).
En cambio, otros investigadores (Blanton y Kaput, 2005; Booth, 1999; Brizuela y Schliemann, 2003;
Carpenter, Franke y Levi, 2003; Carraher et al., 2006; Fuji, 2003; Kaput, 2000) sugieren que las dificultades
de los alumnos con el álgebra pueden ser debidas al tipo de enseñanza recibida. Estudios empíricos
recientes, en línea con la Early-Algebra, apoyan esta última afirmación, al menos en relación con ciertos
contenidos y modos de pensamiento algebraicos, dando muestras de la capacidad de alumnos de
educación primaria de aprender y comprender nociones algebraicas elementales y utilizar modos de
pensamiento algebraicos.
Etapas para la comprensión del álgebra
Etapa Pre-K-2 (hasta 2° de Primaria más o menos):
 Trabajar el patrón subyacente a los números del 1 al 100.
 Predecir cuál es el siguiente número en una secuencia como “azul, azul, rojo, azul, azul, rojo”.
 ¿En qué se parecen los siguientes patrones?: “Azul, azul, rojo, azul, azul, rojo” y “palmas, palmas,
paso”.
 Expresar una cantidad de distintas formas, por ejemplo, dieciocho (nueve grupos de doses, una
decena y ocho unos, tres grupos de seis).
 Contar a saltos con diferentes números en una cuadrícula (10×10) del 1 al 100 y reconocer y
describir los patrones que se generan.
 Otros.
Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando
símbolos algebraicos
Etapa 3-5 (desde 3º a 5º-6º de Primaria):
Investigar propiedades como la conmutativa, la asociativa y la distributiva de la multiplicación respecto a
la adición. ¿Es igual 3×5 que 5×3? ¿Es lo mismo 15×27 que 27×15? ¿Resulta siempre el mismo producto
invirtiendo el orden de los factores? Un modelo de área puede ayudar a que los alumnos vean que el
orden de los factores no influye en el producto o la propiedad distributiva de la multiplicación:

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Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma
Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones
cuantitativas
Etapa Pre-K-2 (hasta 2º de Primaria más o menos):
Ante el siguiente problema:
Hay seis asientos entre sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los taburetes tres. En total, hay
veinte patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?
Un alumno puede representar la situación dibujando seis círculos, e indicar con trazos en el interior el
número de patas. Otro puede representar la situación mediante símbolos y, partiendo de un primer
supuesto de que el número de sillas es igual que el de taburetes, escribir .
Observando que el resultado es demasiado grande, podría ajustar el número de asientos de cada clase
para que el número de patas sea 20.
Analizar el cambio en contextos diversos
Etapa 3-5 (desde 3º a 5º-6º de Primaria):
Como parte de un proyecto científico, los estudiantes podrían plantar semillas e ir anotando el
crecimiento de la planta. Utilizando los datos de la tabla y la gráfica pueden describir cómo varía la tasa
de cambio a través del tiempo. Por ejemplo, uno podría expresar dicha tasa diciendo: “Mi planta no creció
durante los primeros cuatro días; en los dos días siguientes, creció despacio; luego empezó a crecer más
deprisa y, después, otra vez despacio”. En esta situación, los alumnos no se fijan simplemente en el
tamaño que alcanza la planta cada día, sino en lo que ha ocurrido entre las alturas registradas. Este trabajo
es precursor para, más tarde, prestar más atención sobre lo que representa la pendiente de una recta.
Ante el reto de lograr en los alumnos de educación primaria el desarrollo del pensamiento algebraico, me
senté todo un fin de semana de marzo frente a la laptop y escribí, rápida y brevemente, todas las
actividades que se me vinieron a la mente relacionadas con el pensamiento algebraico. Los recursos
bibliográficos y en la red son bastantes escasos así que tuve que poner una gran cuota de creatividad y de

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conocimientos. Y estos son los primeros resultados. En el área de matemáticas, en la educación primaria,
se debe desarrollar, básicamente, el pensamiento numérico, el pensamiento geométrico y el pensamiento
relacionado con las magnitudes. Nosotros agregamos el pensamiento algebraico. No buscamos enseñar
el álgebra tal como se hace en la secundaria, tampoco queremos apelar a la memoria de fórmulas y
procedimientos.
Apuntamos a desarrollar la capacidad de los educandos de representar algebraicamente objetos,
cantidades, situaciones, magnitudes y relaciones del entorno inmediato, del mundo que rodea al niño.
Por lo tanto, las actividades planteadas son una manera informal y lúdica de acercarnos al álgebra,
buscando que este acercamiento sea lo menos traumático posible para los alumnos, pues debemos de
considerar que el álgebra tiene fama de ser una rama dura de la matemática.
¿Por qué no aprendemos álgebra?
Tras platicar con algunos maestros de secundaria, observar la forma en la que ellos enseñan las
matemáticas, y analizar el programa de matemáticas de primero y segundo de secundaria, he llegado a
las siguientes conclusiones:
1. Los alumnos no cuentan con los conocimientos elementales de aritmética, aunque parece
increíble, en el segundo de secundaria los alumnos no siempre tienen estas bases, no obstante
que en primero de secundaria se hace un repaso muy amplio de estos temas. Lamentablemente,
lo mismo sucede en los niveles de bachillerato y licenciatura.
2. La cantidad de temas en 1º y 2º de secundaria es excesiva. El tema del álgebra es fundamental
para continuar aprendiendo matemáticas y otras materias. Esto queda manifiesto en el Programa
de Matemáticas de primero y segundo de secundaria al destacar entre los objetivos el de
desarrollar el proceso algebraico. Sin embargo, al analizar el programa, encontramos más de 120
temas relacionados con aritmética, geometría, medición, cálculo, representación, procesamiento
de la información, etc. Todos estos temas aparecen en lecciones que brincan de uno a otro. Desde
mi punto de vista, los temas están desperdigados, expuestos de manera extensa y sin relación
entre ellos. Esto hace que los profesores no les dediquen el tiempo suficiente para que los
alumnos maduren su aprendizaje. En el Programa de Estudios de Matemáticas pareciera que los
alumnos solamente llevan una sola materia: matemáticas. Además, las lecciones están diseñadas
para que el aprendizaje del álgebra surja como una epifanía producto de cada lección. Debido a
la gran cantidad de contenidos y a los saltos de un tema a otro, es necesario enseñar corriendo y
de brinco en brinco, lo que impide la reflexión. No dudo que, cuando se tiene una buena
preparación, este método pueda dar resultados, pero nuestros alumnos de primaria no siempre
comprenden el uso de las operaciones básicas o ni siquiera saben leer.
3. Los docentes no cuentan con técnicas didácticas exitosas para la enseñanza del álgebra. No todos
los libros de texto seleccionados para la enseñanza del álgebra incluyen técnicas didácticas para
esta materia. Incluso, en muchas ocasiones, se presentan ejemplos y ejercicios que no son
significativos ni para los alumnos ni para los docentes. En la mayoría de los casos, tampoco se dan
recomendaciones sobre los principales obstáculos en el aprendizaje de este tema y, mucho
menos, se sugiere utilizar la gran cantidad de software interactivo que existe en la Red para el
aprendizaje y la aplicación del álgebra. Otro problema grave es que no todos los docentes aman
las matemáticas y eso lo trasmiten a sus alumnos. Los jóvenes de secundaria están listos para
aprender aquello que les sirva y les haga más fácil su vida; si no presentamos al álgebra desde
esta perspectiva, es muy probable que nuestros alumnos no solamente no la aprendan, sino que
la odien. También he observado que el libro de texto es, en muchas ocasiones, el medio que los
docentes usan para aprender los temas que van a enseñar. Si las explicaciones en los libros son

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muy generales, no están bien desarrolladas o parten de supuestos equivocados, los docentes
transmiten estos defectos a sus alumnos.
¿Qué hacer para enseñar álgebra?
Me permito hacer tres sugerencias, las que pueden implementarse sin generar altos costos y que los
docentes estarían dispuestos a aceptar.
1. Disminución de los temas en 1º y 2º de secundaria, concentrándose solamente en los
relacionados con el dominio de la aritmética y el aprendizaje del álgebra. Además se deberán
utilizar técnicas de enseñanza exitosas que permitan al alumno aplicarlos de manera inmediata
en su vida diaria.
2. Creación de talleres de álgebra que puedan ser tomados por los docentes vía Internet y en los
que se incluyan: los temas, sus metodologías de enseñanza, ejercicios y software de práctica.
Estos talleres también los podrían tomar los alumnos, así entre docentes y alumnos desarrollarían
los cursos y nos alejaríamos de idea de que el docente debe saber todo.
3. Diseñar un curso de autoaprendizaje de los conocimientos mínimos necesarios para entender el
álgebra. Este curso puede servir como medio de nivelación y además para definir cuáles son los
conocimientos mínimos que se deben tener para aprender esta materia. Este curso puede
utilizarse antes de iniciar la secundaria o como guía para la mejoría de los alumnos. No debe
formar parte de los contenidos del programa, en realidad debe ser un curso que puedan tomar
todas aquellas personas que deseen enseñar o aprender álgebra. Estoy seguro que estas
propuestas no son suficientes, pero nuestros lectores nos pueden orientar con otras.
Juegos algebraicos
Los juegos que veremos aquí sirven, fundamentalmente, para aclarar conceptos o mejorar
destrezas de álgebra que, de otra forma, los alumnos encontrarían aburridas y repetitivas. Se ha
procurado que estos juegos didácticos reúnan las siguientes características:
 Ser sencillos, adecuados al nivel de los alumnos.
 Tener una finalidad específica.
 Ser atractivos y motivadores.
 Que incorporen, siempre que se pueda, estructuras de juegos ya conocidas.
 Que haya juegos individuales que faciliten la interiorización de conceptos y juegos colectivos.
 Ser asequibles, económicamente, dedicando especial atención a los juegos que el profesor y
los alumnos sean capaces de construir. Los juegos que presentamos, los hemos agrupado en
diversos bloques:
 Juegos de adivinar números
 Juegos con tarjetas
 Juegos con tableros
 Pasatiempos algebraicos
 Dominós algebraicos

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1. Juegos de adivinar números.
JUEGO 1
a. Piensa un número.
b. Multiplícalo por 2.
c. Añade 5 al resultado.
d. Multiplica lo que has obtenido por 5.
e. Añade 10 al resultado.
f. Multiplica el resultado por 10.
g. Dime lo que sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.
JUEGO 2
a. Piensa un número.
b. Súmale 2.
c. Eleva el resultado al cuadrado.
d. Réstale cuatro veces tu número inicial.
e. Dime lo que te sale y te diré, rápidamente, tu número inicial.
JUEGO 3
a. Piensa un número.
b. Elévalo al cuadrado.
c. Resta tu número al resultado.
d. Divide ahora por tu número inicial menos 1.
e. ¿Cuánto te da? ¿Por qué?
Adaptando los juegos para los niños
1. La sabiduría del gran mago
El gran mago me ordenó:
- Piensa un número cualquiera.
Súmale 3.
Multiplica el resultado por 2.
Réstale 8.
Divide por 2.
Me preguntó: ¿Cuánto te da?
Yo le contesté:
- Me da 54.
Y él me dijo inmediatamente:
– El número que cogiste era 55.
¿En qué consiste el truco del gran mago?

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En este ejemplo, la respuesta, gracias al álgebra, es fácil de entender por nuestros alumnos. Al traducir
las órdenes del gran mago, obtenemos lo siguiente:
Piensa un número
x
x+3
2(x+3)
(2x+6)-8
2x – 2
x – 1 queda claro que el número inicial x es uno más que el final.
2. Juega a ser tú el gran mago
Ahora te toca a ti sorprender a tus amigos.
Coge un papel y escribe en él el número –1.
Diles que vas a adivinar un número haciendo un truco de magia.
Hazles que vayan haciendo las siguientes operaciones:
Piensa un número.
Multiplícalo por 5.
Súmale 1.
Multiplica el resultado por 2.
Réstale 12.
Divide tu resultado entre 10.
Réstale tu número inicial.
Antes de que te digan lo que obtienen, saca de tu bolsillo tu trozo de papel donde tenías apuntado el -1.
Los alumnos deben buscar una justificación al hecho de que el resultado sea siempre -1, cualquiera que
sea el valor que se piense al principio. Esta justificación, la tendrán analizando las operaciones que realizan
y simbolizándolas:
x ; 5x ; 5x+1 ; 2(5x+1) ; 10x -10 ; x-1 ; -1
Referencias
http://apoyo-primaria.blogspot.com/2013/07/material-para-desarrollar-habilidades.html
http://www.didactmaticprimaria.com/p/manipulablesvirtualesmatematicas-ii.html
http://recursos.perueduca.pe/rutas/sesiones/primaria.php?grado=4&area=2#
http://recursos.perueduca.pe/rutas/sesiones/primaria.php?grado=4&area=2#