Matemáticas discretas grafos

1. Grafos
Los 7 puentes del río Pregel
en Königsberg.
G {V, A}
V={1, 2, 3, …, N}
A={(1, 2), (2, 3), …, (n,m)}

2. Existen diferentes formas de representar un grafo.
La estructura de datos usada depende de las características del
grafo y el algoritmo usado para manipularlo.
Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas
y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de
ambas.
Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un
eficiente uso de la memoria.
Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden
consumir grandes cantidades de memoria.
Representación de Grafos

3. Estructura de lista
Lista de incidencia
Las aristas son representadas con un vector de pares, donde cada par
representa una de las aristas.
Lista de adyacencia
Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él.
Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista
de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al
costo de almacenamiento extra.
Lista de grados
También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo es
una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices
del grafo.
Representación de Grafos

4. Estructuras matriciales
Representación de Grafos
Matriz de adyacencia
El grafo está representado
por una matriz cuadrada M
de tamaño , donde es el
número de vértices. Si hay
una arista entre un vértice
x y un vértice y, entonces el
elemento es 1, de lo
contrario, es 0.
Matriz de incidencia
El grafo está representado
por una matriz de A (aristas)
por V (vértices), donde
[vértice, arista] contiene la
información de la arista (1 -
conectado, 0 - no
conectado)

5. Ciclo
Es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos
veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial.
Ciclo hamiltoniano
Tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una
vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).
Diámetro
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número
de aristas de un recorrido entre ellos. El diámetro, en una
figura como en un grafo, es la mayor distancia de entre
todos los pares de puntos.
Ciclo

6. Tipos de Grafos
 Grafo simple: aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices
cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la
única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
 Multigrafo o pseudografo: aceptan más de una arista entre dos vértices.
Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos
simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les
llama grafos no-dirigido.
 Grafo dirigido: en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas,
representada gráficamente por una flecha
 Grafo etiquetado: en los cuales se ha añadido un peso a las aristas
(número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.
 Grafo aleatorio: las aristas están asociadas a una probabilidad.
 Hipergrafo: las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son
incidentes a 3 o más vértices.
 Grafo infinito: conjunto de vértices y aristas de proporciones infinitas.

7. G1 = (V1, A1)
V1 = {1, 2, 3, 4}
A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de
la siguiente manera:
Diga cual grafo representa cual estructura?
_______ _______ _______
G2 = (V2, A2)
V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}
G3 = (V3, A3)
V3 = {1, 2, 3}
A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

8. Matriz de incidencia
Construcción de la matriz a partir de
un grafo
Las columnas de la matriz representan
las aristas del grafo.
Las filas representan a los distintos
nodos.
Por cada nodo unido por una arista, se
coloca un uno (1) en el lugar
correspondiente, y se llena el resto de
las ubicaciones con ceros (0).
La matriz de incidencia es una
matriz, que se utiliza como una
forma de representar
relaciones binarias.
En el ejemplo de la figura, si sumamos las
cantidades de 1's que hay en cada
columna, veremos que hay solo dos. Pero
si sumamos las cantidades de unos 1's
que hay por cada fila, comprobaremos
que los nodos 2, 4 y 5 poseen un valor de
3. Ese valor indica la cantidad de aristas
que inciden sobre el nodo.

9. Matriz de Adyacencia
Construcción de la matriz a partir de un grafo
Se crea una matriz cero, cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo.
Por cada arista que une a dos nodos, se suma 1 al valor que hay actualmente en la
ubicación correspondiente de la matriz. Si tal arista es un bucle y el grafo es no dirigido,
entonces se suma 2 en vez de 1.
Finalmente, se obtiene una matriz que representa el número de aristas (relaciones) entre
cada par de nodos (elementos).
Existe una matriz de adyacencia única para cada grafo (sin considerar las permutaciones de
filas o columnas), y viceversa.
La matriz de adyacencia es una matriz
cuadrada que se utiliza como una forma de
representar relaciones binarias.

10. Matriz de Adyacencia

11. Con los datos de la matriz, construya el grafo
A
B
D
E
C

12. Con los datos de la matriz, construya el grafo
A
B
C
D
E

13. Con los datos de la matriz, construya el grafo
A
B
C
D
E

14. G = (V, A)
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K}
A = {(a,b), (b,c), (c,d), (d,e), (a,f), (f,g), (g,e), (e,i), (a,h), (h,j), (j,i), (i,k)}
CONSTRUYA EL GRAFO Y LA MATRIZ DE ADYACENCIA E INCIDENCIA
EJERCICIO PROPUESTO
INVESTIGAR PRÓXIMA CLASE
GRAFO HEULERIANO
GRAFO HAMILTONIANO