investigación pequeña sobre los grafos, adyacentes, incidencias y caminos

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CHIAPAS
FACULTAD DE CONTADURÌA
LICENCIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATEMATICAS DISCRETAS
ING. ABEL CENTENO GALINDO
CANCINO ROBLES HERNAN NATANIEL
UNIDAD 5
ACTIVIDAD 14
TUXTLA GUTIERREZ CHIAPAS
21 DE ABRIL 2022
2ºJ

2. Representación de grafos
Hay varias maneras de representar grafos, cada uno con sus ventajas y
desventajas. Algunas situaciones, o algoritmos que queremos ejecutar que tengan
grafos como entrada, requieren una representación, y otros requieren una
representación diferente. Aquí, veremos tres formas de representar grafos.
un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos
por líneas (aristas o arcos).
Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones
entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de
computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los
vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a
su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).
Listas de aristas
Una forma sencilla de representar un grafo es solo una lista, o un arreglo, a la que
llamamos una lista de aristas. Para representar una arista, solo tenemos un arreglo
de dos números de vértices, o un arreglo de objetos que contienen los números de
vértices sobre los que inciden las aristas. Si las aristas tienen pesos, agrega ya sea
un tercer elemento al arreglo o más información al objeto, que dé el peso de la arista.
Como cada arista contiene solo dos o tres números. Por ejemplo, aquí está cómo
representamos una lista de aristas en JavaScript para el grafo de la red social:
[ [0,1], [0,6], [0,8], [1,4], [1,6], [1,9], [2,4], [2,6], [3,4], [3,5],
[3,8], [4,5], [4,9], [7,8], [7,9] ]
Las listas de aristas son sencillas, pero si queremos encontrar si el grafo contiene
una arista en particular, tenemos que buscar en la lista de aristas. Si las aristas

3. aparecen en la lista de aristas sin ningún orden en particular, eso es una búsqueda
lineal.
Un grafo se representa mediante un diagrama en el cual a cada vértice le
corresponde un punto y si dos vértices son adyacentes se unen sus puntos
correspondientes mediante una línea, ejemplo:
Matriz de adyacencia
El grafo está representado por un arreglo de listas de adyacencia.
Para un vértice i, la lista de adyacencia está formada por todos los vértices
adyacentes a i. Puede construirse en tiempo lineal, y las inserciones pueden
hacerse al principio de cada lista, con lo que se asegura tiempo.
Una matriz de adyacencia es una matriz M de dimensión n*n, en donde n es el
número de vértices que almacena valores booleanos, donde M[i,j] es verdadero si y
solo si existe un arco que vaya del vértice i al vértice j.
Para un grafo, una matriz de adyacencia es una matriz. Si quieres indicar un peso
de la arista, ponlo en la entrada del renglón iii,
columna jjj y reserva un valor especial para
indicar una arista ausente. Aquí está la
matriz de adyacencia para el grafo de la red
social:

4. Con una matriz de adyacencia, podemos averiguar si una arista está presente en
un tiempo constante, solo buscando la entrada correspondiente en la matriz.
Por ejemplo, si la matriz de adyacencia se llama graph, entonces podemos consultar
si la arista (i, j) se encuentra en el grafo al mirar graph[i][j].
¿Entonces cuál es la desventaja de una matriz de adyacencia?
Dos cosas, en realidad. En primer lugar, ocupa un espacio, incluso si el grafo
es disperso: relativamente pocas aristas. En otras palabras, para un grafo disperso,
la matriz de adyacencia es en su mayoría 0s, y utilizamos mucho espacio para
representar solo algunas aristas.
En segundo lugar, si quieres averiguar cuáles vértices son adyacentes a un vértice
dado iii, tienes que mirar en todas las entradas, incluso si solo un pequeño número
de vértices son adyacentes al vértice iii.
Para un grafo no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica: la entrada del
renglón iii, columna jjj es 1 si y solo si la entrada del renglón jjj, columna iii es 1. Para
un grafo dirigido, la matriz de adyacencia no necesita ser simétrica.
Matriz de Incidencia
El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde
[arista, vértice] contiene la información de la arista (conectado o no conectado).

5. El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde
[arista, vértice] contiene la información de la arista (conectado o no conectado).
Matriz de incidencia es esa matriz que representa el gráfico de tal manera que con la
ayuda de esa matriz podemos dibujar un gráfico. Esta matriz puede ser denotada como
[AC] Como en todas las matrices, también hay filas y columnas en matriz de incidencia
[AC].
Las filas de la matriz [AC] representan el número de nodos y la columna de la matriz [AC]
representan el número de ramas en el gráfico dado. Si hay n número de filas en una matriz
de incidencia dada, eso significa que en un gráfico hay n número de nodos. De manera
similar, si hay m número de columnas en esa matriz de incidencia dada, eso significa que
en ese gráfico hay m número de ramas.
En el gráfico anterior o gráfico dirigido, hay 4 nodos y 6 ramas. Por lo tanto, el matriz de
incidencia para el gráfico anterior tendrá 4 filas y 6 columnas.
Las entradas de la matriz de incidencia son siempre -1, 0, +1. Esta matriz es siempre
análoga a KCL (Ley actual de Krichoff). Por lo tanto, de la KCL podemos derivar eso.
Pasospara construir la matrizde incidencia
A continuación, los pasos para dibujar la matriz de incidencia :-
1. Si un determinado kth El nodo tiene una rama saliente, entonces escribiremos +1.
2. Si un determinado kth El nodo tiene una rama entrante, entonces escribiremos -1.
3. El resto de las ramas se considerarán 0.

6. La matriz para la imagen de arriba sería:
Puntos para recordar
 Para comprobar la corrección de la matriz de incidencia que hemos dibujado, debemos
comprobar la suma de la columna.
 Si la suma de la columna llega a ser cero, entonces la matriz de incidencia que hemos
creado es correcta, si no, incorrecta.
 La matriz de incidencia puede aplicarse sólo a la gráfica dirigida.
 El número de entradas en una fila aparte de cero nos dice el número de ramas vinculadas
a ese nodo. Esto también se llama grado de ese nodo.
 El rango de completo matriz de incidencia es (n-1), donde n es el número de nodos del
gráfico.
 La matriz de orden de incidencia es (n b), donde b es el número de ramas del gráfico.
 De una determinada reducción matriz de incidencia podemos dibujar completos matriz de
incidencia simplemente añadiendo +1, 0 o -1 con la condición de que la suma de cada
columna sea cero.

7. Caminos y circuitos
Es un camino del nodo w al nodo w, esto es, un camino que regresa al mismo nodo
de donde salió.
En Teoría de grafos, un Grafo ciclo o simplemente ciclo es un grafo que se asemeja
a un polígono de n lados. Consiste en un camino cerrado en el que no se repite
ningún vértice a excepción del primero que aparece dos veces como principio y fin
del camino. Un Grafo ciclo de n vértices se denota Cn. El número de vértices en un
grafo Cn es igual al número de aristas, y cada vértice tiene grado par, por lo tanto
cada vértice tiene dos aristas incidentes.
si es un ciclo Cn, el grafo tiene n vértices y n aristas
formadas de la siguiente manera:
Un camino es una sucesión de vértices tal que de cada uno de sus vértices existe
una arista hacia el vértice sucesor. Un camino simple es aquel que no repite vértices
en su recorrido.
Dos caminos son ajenos o independientes si no tienen ningún vértice en común
excepto el primero y el último.
La longitud de un camino es el número de aristas que usa dicho camino, contando
aristas recorridas varias veces el mismo número de veces que las recorramos. En
el ejemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) es un camino con longitud 5, y (5, 2, 1) es un camino
simple de longitud 2.

8. En un grafo se puede recorrer la información de diferentes maneras para llegar de
un punto a otro. Camino cualquier secuencia de nodos en la que cada par son
adyacentes.
Circuito (Ciclo)
Es un camino del vértice w al vértice w, esto es, un camino que regresa al mismo
vértice de donde salió.
Circuito simple de longitud n
Es aquel camino del vértice w al vértice w que solamente tiene un ciclo en la ruta
que sigue
Camino simple de longitud n
Es una sucesión de aristas que van de un vértice x a un vértice w, en donde las
aristas que componen dicho camino son distintos e iguales a n, Esto significa que
no se puede pasar dos veces por una misma arista. h
Camino y circuito simple
Un camino simple es aquel que no repite vértices en su recorrido.
Dos caminos son ajenos o independientes si no tienen ningún vértice en común
excepto el primero y el último.
Camino simple de longitud n.
Es una sucesión de lados que van de un nodo x a un nodo w, en donde los lados
que componen dicho camino son distintos e iguales a n. Esto significa que no se
puede pasar dos veces por una misma arista.
Ciclo
Un Ciclo (o circuito) es un camino que
empieza y acaba en el mismo vértice. Los
ciclos de longitud 1 se denominan lazos o
bucles.

9. Orden en que se recorre un
grafo en una búsqueda en
profundidad.
Un ciclo simple es un ciclo que tiene como
longitud al menos 3 y en el que el vértice
inicial coincide con el vértice final.
Circuito simple de longitud n.
Es aquel camino del nodo w al nodo w que solamente tiene un ciclo en la ruta que
sigue.
Grafo Conex
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir,
si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a
hacia b. Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por
al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que
al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en
anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS). En términos matemáticos la
propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en
él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de
éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que
son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta
propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
Isomorfismo
Se dice que dos grafos G1 y G2 son isomorfos cuando teniendo apariencia diferente
son iguales, porque coinciden en:  El número de aristas  El número de vértices

10.  El conjunto de grados  Ser o no conexos  El número de circuitos de longitud n
 Tener o no circuito de Euler.
un isomorfismo entre dos grafos G y H es una biyección f entre los conjuntos de
sus vértices que preserva la relación de adyacencia. Es decir,
cualquier par de vérticesu y v de G son adyacentes si y solo si lo son sus
imágenes, f(u) y f(v), en H.
A pesar de su diferente aspecto, los dos grafos que se muestran a continuación son
isomorfos:
Grafo G Grafo H
Un isomorfismo
entre G y H
Dos grafos con matrices de adyacencia respectivas A y B serán isomofos si y solo
si existe una matriz permutación P tal que B = P A P
La determinación de si dos grafos con el mismo número de vértices n y aristas m
son isomorfos o no, se conoce como el problema del isomorfismo de grafos. Este
problema admite un ataque por fuerza bruta que exigiría comprobar si las n!
biyecciones posibles preservan la adyacencia, pero no se conoce un algoritmo

11. eficiente, al menos para el caso general. En este contexto, eficiencia debe
interpretarse como crecimiento del número de pasos inferior a O(en).
Grafos planos
Un grafo plano es uno que es posible dibujar en el plano sin que ningún par de
aristas se crucen entre sí.
un grafo plano (o planar según referencias) es un grafo que puede ser dibujado en
el plano sin que ninguna arista se cruce (una definición más formal puede ser que
este grafo pueda ser "incrustado" en un plano). Los grafos K5 y el K3,3 son los grafos
no planos minimales, lo cual nos permitirán caracterizar el resto de los grafos no
planos.
Todo grafo plano puede ser dibujado sobre la esfera, y viceversa. Una
generalización de los grafos planos son grafos dibujados e incrustados sobre
superficies de género arbitrario. En esta terminología, los grafos planos tienen
género 0, por ser el plano y la esfera de género 0.
Un grafo G es plano si admite una representación en el plano de tal forma que las
aristas no se cortan, salvo en sus extremos. A dicha representación se le denomina
grafo plano. En teoría de grafos, un grafo plano (o planar según referencias) es un
grafo que puede ser dibujado en el plano sin que ninguna arista se cruce (una
definición más formal puede ser que este grafo pueda ser "incrustado" en un plano).

12. Bibliografías
devy balkon. (2014). representa grafos. 2014, de khan academy Sitio web:
https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/graph-
representation/a/representing-graphs
google. (2017). representacion de grafos. 2018, de sities google Sitio web:
https://sites.google.com/site/matediscretasatilanocarrillo/unidad-3-relaciones-
graficos-y-arboles/representacion-de-un-grafo
google. (2016). representación de grafos. 2016, de sities google Sitio web:
https://sites.google.com/site/matematicasmoralesgalindo/6-2-representacion-de-
los-grafos
matriz. (2020). ¿que es la matriz incidencia?. 2020, de electronica facil top Sitio web:
https://www.electronicafacil.top/matriz/que-es-la-matriz-de-incidencia/
pablo carbadillo. (2015). matematicas discretas. 2015, de mateBlog Sitio web:
http://matematicasidscretastemario1.blogspot.com/2015/12/caminos-y-
ciclos.html#:~:text=Un%20Ciclo%20(o%20circuito)%20es,coincide%20con%20el%
20v%C3%A9rtice%20final.
pdf. (2013). grafos parte 2. 2013, de ---- Sitio web:
https://www.cs.buap.mx/~mtovar/doc/MatDiscA/GrafosParte2.pdf
---. (2013). grafos. 2013, de pdf Sitio web:
https://www.unipamplona.edu.co/unipamplona/portalIG/home_23/recursos/general/
11072012/grafo3.pdf