Música y Matemáticas 3.2 3.2 Taller De las Cuerdas - Edad Media

1. 3. TALLER DE LAS CUERDAS Período de las Matemáticas Elementales Matemática de las Magnitudes constantes: Aritmética y Geometría MUSICA EN LA ANTIGUA GRECIA. HELENISMO PITAGORAS MUSICA EN LA ANTIGUA ROMA EDAD MEDIA: la Edad Oscura

2. MUSICA Y MATEMATICAS EN LA EDAD MEDIA UN MILENIO OSCURO Con el declive del Imperio Romano, acelerado con la destrucción y aniquilamiento de las culturas paganas. Hasta el siglo XII la sociedad europea fue esencialmente una colección de pueblos aislados y de poco nivel cultural, con la Iglesia Católica como albacea intelectual. Culturalmente durante todo este período no existió mucha relación con la mayor parte del pensamiento clásico griego, distancia que ya se había establecido desde el mismo Imperio Romano. La institución destinada a perpetuar y ampliar el patrimonio cultural de la antigüedad era la Iglesia cristiana, pero no fue un proceso unificado. En la Edad Media , la Edad Oscura en terminología anglosajona, la religión impregna todos los actos de la vida privada y pública. Los simbolos cristianos acompañan el RITMO VITAL de las personas desde el nacimiento hasta la muerte. dado el bajo nivel formativo lo ORAL (Canto Gregoriano y Canto Bizantino), y lo VISUAL (Arte Románico y Arte Bizantino) terminarán imponiéndose.

3. TRIVIUM - QUADRIVIUM El quadrivium (aritmética, música, geometría y astronomía), con el agregado del trivium (gramática, retórica y dialéctica), se convirtieron en las siete artes liberales, pero la posición de la música como un subconjunto de las matemáticas permaneció durante la Edad Media.

4. El nivel matemático era bajo, apenas una aritmética y una geometría muy elementales. La razón fundamental del bajo nivel de las matemáticas y la ciencia era la ausencia de factores que estimularan el desarrollo del conocimiento. Para la Iglesia de esos tiempos la verdad y las fuentes y criterios de la misma sólo se encontraban en la revelación divina, y los estudios tenían que orientarse hacia la lectura y análisis de los textos sagrados, donde se suponía se encontraban la verdad y el conocimiento. En ese sentido, métodos empíricos o experimentales estaban prácticamente excluidos para la investigación del mundo circundante. Como los temas principales de reflexión y análisis eran el pecado, el temor al infierno, la salvación o cómo ascender al cielo, el estudio del mundo físico real no solo se consideraba fuera de los fines de la educación y el conocimiento por parte de la Iglesia, sino que, muchas veces, era considerado algo estéril y, en ocasiones, hasta herético. La forma de vida que dominó durante todos estos siglos, empezó a sentirse afectado alrededor del siglo XII por el descubrimiento por parte de los europeos de las grandes contribuciones en ciencias, matemáticas, literatura y arte, realizados en la Grecia Antigua. Fue a través del comercio y diversos tipos de viajes que tomaron contacto con obras que habían sido conservadas, traducidas e incluso ampliadas por los árabes. Los trabajos de la Antigüedad griega fueron retomados por los intelectuales europeos y religiosos de la época, creando lo que se suele llamar la Escolástica; en síntesis podemos decir que se trató de establecer una unidad entre el pensamiento del gran filósofo de la Antigüedad Aristóteles (c.384-322 a.C.), y las ideas y doctrinas de la Iglesia Católica. A pesar de la vinculación con el pensamiento griego antiguo y los resultados de aquella gran cultura, los dirigentes espirituales de la época no pusieron sus énfasis en los aspectos naturalistas o más relacionados con la indagación empírica, sino en los aspectos, digamos, más metafísicos: en la lógica y en las premisas cosmológicas que menos entraban en contradicción con los dogmas establecidos. Por eso, a pesar de que se lograron algunos resultados de interés en ciencias y en matemáticas, éstos no fueron de una gran trascendencia. La situación sólo cambiaría bajo la acción de importantes transformaciones sociales, culturales y políticas que se suelen asociar con los términos de Renacimiento y, también, de Revolución Científica.

5. MATEMATICAS EN LA EDAD MEDIA Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios. Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Destacan el matemático persa Omar Jayyam, el matemático árabe Al-Jwarizmi (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra). Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la Edad Media. El conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios constituyó la base fundamental de sus trabajos. Severino Boecio (480?-524) Leonardo de Pisa (Fibonaccí) (1170-1250) dirigió sus estudios hacia el álgebra y la teoría de números, principalmente. Luca Pacioli , uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio, Nicole Oresmes (1323 - 1382)

6. MUSICA EN LA EDAD MEDIA La Música medieval comprende toda la música europea compuesta durante la Edad Media. Esta etapa comienza con la caída del Imperio Romano en 476 y finaliza aproximadamente hacia mediados del siglo XV. UN MILENIO OSCURO, CON ALGUNAS LUCES Muchos de los centros culturales de la Iglesia occidental desarrollado características propias, mientras que compartir el patrimonio común de la liturgia hebrea y la cultura griega. La organización de la armonía en la música medieval, deriva de los fragmentos del conocimiento de la antigua música griega, aprovechados por los teóricos medievales CANTO LITURGICO MONOFONICO En Milán, los himnos métricos, a diferencia de la práctica anterior de la salmodia no metrizada, se cultivó, en particular bajo la influencia en el siglo IV del obispo Ambrosio, que intentó por primera vez codificar el repertorio cada vez mayor de los cantos. Este conjunto de música de la iglesia de Milán, por lo tanto, llegó a ser llamado canto ambrosiano. Poco después prevalecen, unos estilos únicos y sus repertorios conocidos como canto mozárabe desarrollado en España y el estilo gálico en Francia.

7. MUSICA EN LA EDAD MEDIA: ROMANICO

8. MUSICA EN LA EDAD MEDIA CANTO GREGORIANO La corriente principal de la música de la Iglesia era el tipo de canto practicado en Roma. A partir de finales del siglo VI, según la tradición, con el Papa Gregorio I, el gran número de melodías tradicionales se codificaron y organizaron, convirtiéndose en la base para el posterior desarrollo de la música occidental. Una organización sistemática de los tonos se llevó a cabo gradualmente, dando lugar a los ocho modos de la iglesia. Cada melodía se le asignó una función específica en los servicios del año litúrgico, algunas Misas y algunos de los oficios divinos como Maitines, Vísperas y Completas. Después de un período de asimilación, el repertorio del Canto Gregoriano comenzó un proceso de expansión en el siglo IX, cuando se origina la práctica de la forma musical del tropo. Un tropo es un texto o una sección melódica añadido a una melodía preexistente o una combinación de texto y la música incorporado en música litúrgica existentes. No es de extrañar que los músicos de la iglesia, después de años de cantar cantos tradicionales, quieran expresarse mediante la adición de palabras a las melodías vocalizadas. Tal vez el motivo era más funcional: las sílabas añadidas harían los largos pasillos sin texto más fáciles de recordar. A Tutilo (muerto en 915), un monje de San Gall en Suiza, se le atribuye la invención de los tropos. Notker Balbulus (muerto en 912) es notable por su asociación con la secuencia, un largo himno que se originó como un tropo añadido a la última sílaba del Aleluya de la Misa.

9. El Canto Gregoriano como Tono Vital El Canto Gregoriano, antifonarios escritos con notación de cuadrado en partitura de tetragrama (4 líneas paralelas), es una plegaria continua a Dios y este rogar y dar gracias a Dios no puede ser interrumpido, cabe el peligro de que Dios abandone al hombre, por este motivo San Anselmo y San Agustín explican que cuando no se canta se debe mantener un TONO VITAL, con cuyo ritmo se sustituya la ausenciua del canto y de esta forma continuar con la plegaria. permanente. Lulismo y su arte combinatoria Paul Larson de la Universidad de Temple, en Filadelfia, afirmó en 1978 que había descubierto la Proporción Àurea en la música occidental más antigua registrada. Eran las salmodias kirie de la colección de cantos gregorianos conocidos como Liber Usualis . Las treinta salmodias kirie de la colección cubren un período de más de seiscientos años, empezando en el siglo X.

10. Severino Boecio (480?-524) Filósofo y matemático, principal traductor de la teoría de la música en la Edad Media, en la que propiciaba a tradición pitagórica . Creía que la música y las proporciones que representaban los intervalos musicales estaban relacionadas con la moralidad y la naturaleza humana y prefería las proporciones pitagóricas. Tuvo intención de transmitir a las nuevas generaciones, a los nuevos tiempos, la gran cultura grecorromana. Precisamente por este motivo, Boecio ha sido calificado como el último representante de la cultura romana antigua y el primero de los intelectuales medievales. Fué condenado a muerte por el rey de los ostrogodos Teodorico. Mientras esperaba su muerte escribió un `Tratado de música´ que se usó como libro de texto en la enseñanza de la música en las universidades durante la Edad Media, el Renacimiento, el Barroco y hasta finales del XVIII. Después de tantos siglos, ese tratado escrito en latín ha sido traducido ahora por vez primera al español por Salvador Villegas Guillén, quien considera que esta traducción «puede marcar un hito en la historia de la musicología española».

11. Boecio compuso un tratado de Música «de institutione música», que contiene una descripción detallada de la armonía griega. Este tratado influye a gran parte del pensamiento medieval. Divide a la música en tres géneros distintos: La música mundana: (Lo que Pitágoras llamaba la armonía de las esferas), es la música que no podemos percibir porque somos imperfectos. La música mundana es la verdadera, y las demás solo son reflejo de ella. La música humana: Es la unión armoniosa del alma con el cuerpo. Se comprende a través de acto de la introspección, todo aquel que se sumerge en sí mismo la entiende, ya que es una armonía psicofísica. La música instrumental: El hecho de producir manualmente, a través de los instrumentos. No tiene valor alguno, es solo soplar un tubo o rasguear una cuerda. Boecio plantea nuevamente la idea expuesta tanto por Platón, como por Aristóteles: La superioridad de lo teórico sobre lo práctico. Del trabajo intelectual sobre el manual.

12. Section of a woodcut showing Pythagoras with bells in Pythagorean tuning. From Theorica musicae by Franchino Gaffurio, 1492 (1480?)

13. Pythagorean Harmonics Woodcut 1492 by Farino The hellenic world

14. Pythagoras, coloured woodcut from Gafurius, Theorica Musicae, Milan, 1492. The Granger Collection, New York

15. En el siglo xii, compositores y ejecutantes empezaron a separarse de la tradición pitagórica creando nuevos estilos y tipos de música. Se creó una nueva división de las ciencias, llamada escolástica divina, que no incluía específicamente a la música. El canto monódico gregoriano poco a poco fue evolucionando en música polifónica con diferentes instrumentos y voces. La ejecución de composiciones más complejas llevaba a experimentar con afinaciones alternativas y temperamentos. Los experimentos de afinación resultaron en una variación de la afinación pitagórica llamada afinación justa.

16. DESARROLLO DE LA POLIFONIA A la vez que el repertorio gregoriano era ampliado por la interpolación de tropos y de secuencias, era enriquecido más a fondo por un concepto revolucionario destinado para dar una nueva dirección al arte del sonido para centenares de años. Este concepto era la Polifonía , o el sonar simultáneo de dos o más líneas melódicas. La práctica emergió gradualmente durante la Edad Oscura o Media, y la carencia de conocimientos definidos con respecto a su origen ha presentado varias teorías plausibles: - resultado de los cantantes con diversas gamas vocales naturales que cantaban en sus niveles más cómodos. - una práctica de los organistas, adoptada por los cantantes. - la repetición de una melodía en un diferente tono, que era cantada simultáneamente con la melodía original. Cualquier motivado esta salida dramática de monofonía tradicional (música que consiste en una sola pieza de voz), era una práctica establecida cuando fue descrita en los “enchiriadis” de Musica (C. 900), un manual para los cantantes y uno de los documentos musicales principales de las Edades Medias. A un plainsong dado, o a principalis de la voz, una segunda voz (organalis de la voz) se podría agregar en el intervalo (distancia entre las notas) de un cuarto o fifth (cuatro o cinco pasos) abajo. La música así que realizado era conocida como organum. Mientras que puede ser asumido que el primer intenta en solamente el movimiento paralelo implicado polyphony en un intervalo del sistema, los enchiriadis de Musica describen y dan ejemplos del canto bipartito en evidencia similar (pero no exactamente del paralelo) y contraria del ” del € del movementâ que había ocurrido un considerable proceso de la evolución ya. Whatever motivated this dramatic departure from traditional monophony (music consisting of a single voice part), it was an established practice when it was described in Musica enchiriadis (c. 900), a manual for singers and one of the major musical documents of the Middle Ages. To a given plainsong, or vox principalis, a second voice (vox organalis) could be added at the interval (distance between notes) of a fourth or fifth (four or five steps) below. Music so performed was known as organum. While it may be assumed that the first attempts at polyphony involved only parallel motion at a set interval, the Musica enchiriadis describes and gives examples of two-part singing in similar (but not exactly parallel) and contrary movement—evidence that a considerable process of evolution had already taken place.

17. “ Música enchiriadis” Tratado musical anónimo del siglo X, en el que se fijan de manera seria, por vez primera, las leyes de la incipiente polifonía, especialmente en lo que concierne a la música sacra. El tratado, referencia de la música hasta la revolucionaria escuela Ars Nova, describe entre otros el órganum básico como la superposición de quintas, cuartas y octavas paralelas, que corresponde a do-sol-do, indicando: «Doblando la melodía mediante una segunda voz a un intervalo constante distinto de la octava se obtiene una melodía de sonido agradable». El intervalo que más se usaba era la cuarta descendente (o sea la quinta ascendente, pero una octava más baja). El Música enchiriadis enfatiza el papel de los intervalos consonantes, los únicos permitidos en polifonía y que en aquella época se limitaban a las cuartas, quintas y octavas justas. También habla de normas de interpretación e incluye antiguas indicaciones de carácter, hoy en desuso, como morosus (triste) o cum celeritate (con celeridad). Notación usada en la Musica Enchiriadis. La escala comprende cuatro tetracordios. Los símbolos que indican las notas son rotados e invertidos dependiendo del tetracordio. Debajo está la transcripción a la escritura actual. Órganum (método de polifonía paralela)

18. Guido D'Arezzo (990-1050) Guido de Arezzo o Guido Aretino fue un monje benedictino, teórico musical, figura central de la música de la Edad Media junto con Hucbaldo (840 - c. 930). También era conocido como Güido Aretinus o Güido Mónaco (el monje Guido). Perfeccionó la escritura musical con la implementación definitiva de líneas horizontales que fijaron alturas de sonido, cercano a nuestro sistema actual y acabando con la notación neumática. Finalmente, después de ensayar varios sistemas de líneas horizontales se impuso el pentagrama griego: cinco líneas. Su obra Micrologus fue el segundo tratado sobre música con mayor difusión en la Edad Media tras las obras de Boecio. Los estudiosos datan su Micrologus en 1025 o 1026. .En su estancia en Arezzo, desarrolló nuevas técnicas de enseñanza, incluyendo el tetragrama (pauta musical de cuatro líneas), precursor del pentagrama, y la escala diatónica. Guido de Arezzo es también el responsable de los nombres de las notas musicales. En la Edad Media, las notas se denominaban por medio de las primeras letras del alfabeto: A, B, C, D, E, F, G (comenzando por la actual nota la).

19. Micrologus de disciplina artis musicae Escrita a principios del siglo XI por el monje italiano y teórico musical de Guido de Arezzo. Percatado de la dificultad de los cantantes para recordar los cantos gregorianos, inventó un método para enseñar a los cantantes a aprender los cantos en poco tiempo. Este método pronto se hizo famoso en todo el norte de Italia, pese a la hostilidad de los monjes del monasterio de Arezzo. Este trabajo documenta los principios que son cruciales para el desarrollo de la Polifonía . La independencia rítmica fue añadida a la independencia melódica, y la voz añadida puede cantar dos o más tonos a uno en el canto llano original. Durante el medio siglo después de la muerte de Guido, la evolución fue más rápida ya que el canto llano o bajo se convirtió en el más usual frente a la voz de los altos. Después de la emancipación de la parte organal, organalis Vox, su libertad definitiva se alcanzó en el organums del monasterio de Saint-Martial de Limoges, Francia, donde la parte de canto llano se redujo a la función de mantenimiento de cada tono mientras que la parte organal se entregó a melismata libre (grupos de notas cantadas a una sola sílaba), ya sea improvisada o compuesta. Este nuevo estilo se llama purum Organum.

20. Guido D'Arezzo (990-1050) el nuevo método personal de Guido d'Arezzo para la notación y la incorporación de las indicaciones rítmicas. procesos formales en música: asociacion sonidos a vocales de un texto Uno de los primeros intentos data de alrededor del año 1026, cuando Guido de Arezzo desarrolló una técnica para componer una melodía asociando sonidos a las vocales de un texto de tal forma que la melodía variaba de acuerdo con el contenido de vocales del texto. Guido tuvo la idea de emplear la primera sílaba de cada frase para identificar las notas que con ellas se entonaban. El texto en latín de este himno rezaba así: Ut queant laxis, Re sonare fibbris, Mi ra gestorum, Fá muli tuorum, Sol ve polluti, La bii reatum, S ancte I oannes.

21. Mano de Guido de Arezzo para la solmisación Mano guidoniana. Sistema mnemotécnico medieval, debido a Guido d'Arezzo (s.XI), utilizado para ayudar a los cantantes a leer a primera vista

22. Illustration from the Nuremberg Chronicle Pythagoras, depicted as a medieval scholar in the Nuremberg Chronicle

23. La Escuela de Notre-Dame de París Se conoce con el nombre de Escuela de Notre Dame al grupo de compositores que trabajaron en la Catedral de Notre Dame de París o en sus inmediaciones desde aproximadamente el 1170 hasta el 1250, junto con la música que compusieron. A principios del siglo XII el centro de la actividad musical se traslada a la iglesia de Notre-Dame de París, donde el compositor francés Léonin recogido en el Magnus Liber Organum ( "Gran Libro de Organo") una colección para todo el año de la iglesia. Una generación más tarde, su sucesor, Pérotin, edita y revisa el Magnus Liber, incorporando los patrones rítmicos ya conocidos en la música profana y añadiéndole una parte del cantus flrmus (lo "dado" o la melodía del canto llano preexistente). Cuando la metrica se aplicó al canto llano original, así como a la “organalis vox”, la forma resultante se llama clausula. Luego, cuando se añaden palabras o partes añadidas, la clausula se convierte en un motete. Al principio las palabras del motete fueron un comentario en latín al texto del tenor en el canto llano original (la parte de la voz "sostenida" en el cantus firmus, del latín tenere , "sostener"). Más tarde, en el siglo XIII se agregaron las palabras de naturaleza secular en francés. Por último, cada pieza añadida se le dio su propio texto, resultando el motete clásico de París : una composición de tres parte que consiste en una parte de canto llano (tenor) superpuesto con dos partes más rápidas, cada una con su propio texto profano en francés. Al mismo tiempo, otra forma polifónica estaba floreciendo, el Conductus. Se diferenciaba de un motete en que su parte fundamental no era canto llano y que todas las partes tenían el mismo texto en latín, en la nota-contra-estilo. El Conductus desapareció gradualmente con el ascenso del motete, que aparentemente servía tanto para funciones litúrgicas y seculares.

24. Leonardo de Pisa, "Fibonacci" (c. 1170 – 1250) matemático italiano, dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los hindúes, por lo que es famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos). En el año 1225 publica su cuarto y principal libro:"Liber Quadratorum", El Libro de los Números cuadrados conocimiento profundo de los Elementos de Euclides

25. En 1202 Leonardo de Pisa, cuyo sobrenombre era Fibonacci (en abreviación de filius Bonacci) escribió un libro llamado Liber Abacci (o libro sobre el ábaco). Sobrevive la segunda edición del año 1228. Contenía casi todo el conocimiento aritmético y algebraico de esa época y jugó un papel fundamental en el desarrollo de la matemática occidental, pues a través de él, los europeos se familiarizaron con el sistema numérico indo arábigo. Contenía muchísimos ejemplos. Veamos uno de ellos, reformulado de la siguiente manera: suponga que los conejos no se reproducen durante su primer mes de vida, pero que a partir del segundo mes cada pareja de conejos produce un nuevo par. Suponga que ningún conejo muere. Si comenzamos con un par de conejos, ¿cuántas parejas de conejos hay a los doce meses y en general a los n meses? La sucesión de las parejas adultas es de la forma 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... es decir, la sucesión dada por la fórmula u1=u2=1 y un=un-1+un-2 para n mayor o igual que 2. Esta sucesión se llama sucesión de Fibonacci y sus términos números de Fibonacci . Si consideramos bn=un+1/un como el cociente de crecimiento, obtendremos una sucesión, cuyo límite cuando n tiende a infinito es 1.618034... Este número, juega un papel muy importante en la Geometría y en la Estética. Si dividimos un segmento de recta AB en un punto C tal que AB:AC=AC:CB tal división se llama sección o razón áurea (Kepler la llamó proporción divina ). Si AB=1 y AC=x entonces x2+x-1=0. Luego x=.618034.... Así, la parte mayor de cualquier longitud, dividida en razón áurea, es igual a la longitud total multiplicada por .618034....

26. Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ,55, 89, 144, 233, 377,... ... Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21= 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci ". Los números de la llamada serie de Fibonacci, son elementos de una serie infinita. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos: 1 : 1 = 1 2 : 1 = 2 3 : 2 = 1´5 5 : 3 = 1´66666666 8 : 5 = 1´6 Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro: 1,61803.... La razón entre dos elementos subyacentes de la serie lleva a converger al decimal 0.618..., y sus recíprocos al decimal 1.61803... La proporción de estas razones, sea en fracción o en decimal, es considerada por muchos como atractiva a la vista, balanceada y bella, y es nombrada proporción (sección) áurea. 13 : 8 = 1´625 21 :13 = 1´6153846.... 34 :21 = 1´6190476.... 55 :34 = 1´6176471.... 89 :55 = 1´6181818....

27. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ..... El triángulo de Fibonacci 1 5 3 11 9 7 19 17 15 13 29 27 25 23 21 41 39 37 35 33 31 55 53 51 49 47 45 43 71 69 67 65 63 61 59 57 89 87 85 83 81 79 77 75 73 109 107 105 103 101 99 97 95 93 91 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

28. El número de oro en el Arte y en la Música Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza se está haciendo mención a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Por su atractiva estética la proporción áurea se usa ampliamente en el arte y en la arquitectura. Muchas elementos de la naturaleza se desarrollan en esta proporción, las vueltas del caracol, los cuernos del cimarrón, la forma en que nacen las ramas y hojas de ciertas plantas, etcétera. Las superficies se dividen para obtener la proporción áurea, dando lugar a una composición bella y balanceada. Los números de la serie se utilizan porque es una manera fácil de lograr la proporción áurea. Pero no sólo es agradable a la vista sino al oído.

29. El número de oro en la música Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica.

30. El número de oro en la música No se sabe si el uso de la serie es intencional o, de manera intuitiva, tal vez el compositor la usa sin saber, sólo porque se oye bien. Por ejemplo: Beethoven no sólo la emplea en el tema de su Quinta Sinfonía, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenece a la serie. Autores como Bártok , Messiaen y Stockhausen , entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea. Béla Bartók usó esta técnica para desarrollar una escala que denominó la escala Fibonacci: El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías , para organizar laspartes (unidades formales). El grupo de rock progresivo norteamericano Tool , en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número desílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.

31. Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly[4] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: * La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir: Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo). =1.618039....

32. Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal. Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza. =1.618039....

33. La sucesión de Fibonacci en la naturaleza La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza. En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

34. * Por su atractiva estética la proporción áurea se usa ampliamente en el arte y en la arquitectura. Muchas elementos de la naturaleza se desarrollan en esta proporción, las vueltas del caracol, los cuernos del cimarrón, la forma en que nacen las ramas y hojas de ciertas plantas, etcétera. Las superficies se dividen para obtener la proporción áurea, dando lugar a una composición bella y balanceada. Los números de la serie se utilizan porque es una manera fácil de lograr la proporción áurea. Pero no sólo es agradable a la vista sino al oído. No se sabe si el uso de la serie es intencional o, de manera intuitiva, tal vez el compositor la usa sin saber, sólo porque se oye bien.

35. Ars Nova Cuando el influyente tratado Ars Nova ( "Arte Nuevo") del compositor Philippe de Vitry apareció a principios del siglo XIV, la época precedente adquirió su denominación de “Ars Antiqua” (Arte Antiguo), pues sólo en retrospectiva, ya que la rápida evolución de siglo y medio desde el 1150 al 1300 podrían aparecer como anticuados. De Vitry registró las innovaciones de su época, particularmente en las áreas de metro y armonía. Si bien la música del siglo XIII se había organizado en torno a los ritmos de triple "modal" derivados de la música secular y un vocabulario armónico basado en las "perfectas" consonancias (unísono, cuarta, quinta, octava), el Arte Nuevo del siglo XIV utiliza la división del pulso básico en binario mejor que en ternario, y trajo consigo el gusto por la armonía de intervalos de terceras y sextas. El centro musical del siglo XIV fué Florencia, donde un organista ciego, Francisco Landini, y sus predecesores y contemporáneos Giovanni da Cascia, Jacopo da Bologna, y Lorenzo y Ghirardello da Firenze fueron los principales compositores de muchas nueva formas musicales: madrigales (composiciones de contrapunto para varias voces), balladas (similar a la virelais franceses), y caccias (tres canciones de voz utilizando imitación melódica).

36. Philippe de Vitry (1291–1361) Compositor, teórico musical y poeta nacido en París. Se considera que es uno de los principales teóricos del Ars Nova, así como un compositor de gran talento, innovador e influyente. Conoció a muchas figuras destacadas de su época, como Petrarca, y al famoso matemático y teórico musical Nicole Oresme. A Philippe de Vitry se le conoce principalmente en la historia de la música, por haber escrito un tratado musical, el Ars Nova, el cuál dio nombre a un periodo de la música medieval, el “Ars Nova”. Sus obras muestran innovaciones en notación, principalmente en la medida y el ritmo, que hicieron posible la creación de obras musicales complejas en las décadas sucesivas y que culminaría en el Ars subtilior. Frecuentemente también se le atribuye el desarrollo del concepto de isoritmia. Aunque escribió canciones y motetes, sólo han llegado hasta nosotros algunos de los motetes. Cada uno de ellos es completamente único, explorando una sola idea estructural.

37. Nicole Oresme (1323-1382) «El Einstein del siglo XIV» Fué un genio intelectual y probablemente el pensador más original del siglo XIV. Economista, matemático, físico, astrónomo, filósofo, psicólogo, y musicólogo; uno de los principales fundadores y divulgadores de las ciencias modernas. Introdujo un método para representar gráficamente las velocidades con el que representó el movimiento uniformemente acelerado. Demostró que las razones propuestas por la física aristotélica contra el movimiento del planeta Tierra no eran válidas e invocó el argumento de la simplicidad en favor de la teoría de que es la Tierra la que se mueve, y no los cuerpos celestes. Según él, no se puede demostrar que sean los cielos y no la Tierra quienes roten. Un avance a las ideas de Copérnico. Tambiéb descubrió la curvatura de la luz a través de la refracción atmosférica; descubrimiento atribuido a Robert Hooke. “ Je ne sais donc que je ne sais rien” Oresme En matemáticas fué precursor de Descartes al plantear las coordenadas de cada punto como latitud y longitud, en relación al calor, el intensio (o el grado de calor en cada punto) y el extensio (o la longitud de la varilla de calor).

38. Oresme Matematico En “Algorismus proportionum and De proportionibus proportionum” , Oresme desarrolló el primer método de cálculo de potencias con exponentes irracionales fraccionarios, es decir el cálculo con proporciones irracionales (proportionum de proportio). La base de este método fue el igualamiento de magnitudes continuas y números discretos, una idea que Oresme tomó de la teoría musical del monocordio (sectio canonis). De esta manera, Oresme superó la prohibición pitagórica de la división regular de los intervalos pitagóricos como 8/9, 1/2, 3/4, 2/3 proporcionando la herramienta con la que se generó el igual temperamento (equal temperament) adelantándose 250 años a Simon Stevin . Este es un ejemplo para la división igual de la octava en 12 partes En su “Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum in context” desarrolla su "insinuación sobre la teoría de tono parcial" Musicology In Oresme's "configuratio qualitatum and the functional pluridimensionality" associated with it, one can see that they are closely related to contemporary musicological diagrams, and most importantly, to musical notation, which equally quantifies and visually represents the variations of a sonus according to given measures of extensio (time intervals) and intensio (pitch). The complex notational representations of music became, in Oresme's work, configurationes qualitatum or difformitates compositae, music functioning once more as the legitimating paradigm. But the sphere of music did not only provide Oresme's theory with an empirical legitimating, it also helped to exemplify the various types of uniform and difform configurations Oresme had developed, notably the idea that the configurationes endowed qualities with specific effects, aesthetical or otherwise, which could be analytically captured by their geometric representation. This last point helps explain Oresme's overarching aesthetical approach to natural phenomena, which was based on the conviction that the aesthetic evaluation of (graphically representable) sense experience provided an adequate principle of analysis. In this context, music played once more an important role as the model for the "aesthetics of complexity and of the infinite" favored by the mentalité of the fourteenth century. Oresme sought the parameters of the sonus experimentally both on the microstructural, acoustical level of the single tone and on the macrostructural level of unison or polyphonic music. In attempting to capture analytically the various physical, psychological and aesthetic parameters of the sonus according to extensio and intensio, Oresme wished to represent them as the conditions for the infinitely variable grades of pulchritudo and turpitudo. The degree to which he developed this method is unique for the Middle Ages, representing the most complete mathematical description of musical phenomena before Galileo's Discorsi. Noteworthy in this enterprise is not only the discovery of “partial tones”or overtones three centuries before Marin Mersenne, but also the recognition of the relation between overtones and tone colour, which Oresme explained in a detailed physico-mathematical theory, whose level of complexity was only to be reached again in the nineteenth century by Hermann von Helmholtz. Finally, we must also mention Oresme’s mechanistic understanding of the sonus in his Tractatus de configuratione et qualitatum motuum as a specific discontinuous type of movement (vibration), of resonance as an overtone phenomenon, and of the relation of consonance and dissonance, which went even beyond the successful but wrong coincidence theory of consonance formulated in the seventeenth century. Oresme's demonstration of a correspondence between a mathematical method (configuratio qualitatum et motuum) and a physical phenomenon (sound) represents an exceptionally rare case, both for the fourteenth century, at large, and for Oresme’s work in particular. The sections of the Tractatus de configurationibus dealing with music are milestones in the development of the quantifying spirit that characterizes the modern epoch.

39. Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum in context of his “overtone or partial tone theory”

40. Monophonic secular song

41. Guillaume Dufay (1400-1474) Fue un compositor y músico franco-flamenco del primer Renacimiento. Como figura central en la escuela borgoñona, es el más famoso e influyente compositor de la escena musical europea de mediados del siglo XV. Larga asociación con la familia de Este en Ferrara, algunos de los más importantes mecenas musicales durante el renacimiento. Son importantes las cuatro Lamentationes que compuso por la caída de Constantinopla en 1453, su famosa misa basada en Se la face ay pale. C:sersuan1_78MusicaMates000UnivPopTC-materialesSeleccionados03TallerCuerdasdadMediaufay1397-14744-ParLeRegardDeVosBeauxYeux-Dufay.mp3 C:sersuan1_78MusicaMates000UnivPopTC-materialesSeleccionados03TallerCuerdasdadMediaufay1397-1474ufay_NuperRosarumFlores-MottettoA4Voci(InaugurazCupolaSantaMariaDelFioreFirenze1436TheHilliardEnsemble.mp3

42. procedimientos composicionales basados en proporciones: Un exponente de este método fue Guillaume Dufay (1400-1474) , quien derivó el tempo de sus motetes de una catedral florentina utilizando la antes mencionada sección áurea (1:1.618). Dufay fue de los primeros en utilizar las traslaciones geométricas de manera deliberada. El uso de secuencias rítmicas como una técnica formal se utilizó entre los años 1300-1450 y el músico G. Machaut lo utilizó en algunos motetes. serie fibonacci: proporción (sección) áurea Los números de la llamada serie de Fibonacci, son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34........ La razón entre dos elementos subyacentes de la serie lleva a converger al decimal 0.618..., y sus recíprocos al decimal 1.618... La proporción de estas razones, sea en fracción o en decimal, es considerada por muchos como atractiva a la vista, balanceada y bella, y es nombrada proporción (sección) áurea. En 1436 Dufay compuso el motete festivo a cuatro voces Nuper rosarum flores , una de sus composiciones más famosas, que se cantó en la bendición de la cúpula de Brunelleschi de la catedral de Florencia. Este motete, al parecer, se creó usando las proporciones matemáticas de la famosa cúpula que, a su vez, intentaba evocar las proporciones del Templo de Salomón. Por increíble que nos pueda parecer, seis siglos después, el compositor y arquitecto griego Inannis Xenakis, “copió” los fundamentos creativos de Dufay en muchas de sus obras, compuestas de manera electroacústica mediante rigurosos criterios matemáticos. El talento musical de Dufay fue muy admirado en Europa a lo largo de toda su vida. Anticipó el estilo renacentista en base a una mayor expresividad cimentada sobre un elevado rango armónico. C:sersuan1_78MusicaMates000UnivPopTC-materialesSeleccionados03TallerCuerdasdadMediaufay1397-1474ufay_NuperRosarumFlores-MottettoA4Voci(InaugurazCupolaSantaMariaDelFioreFirenze1436TheHilliardEnsemble.mp3

43. La obra coral polifónica que compuso para la consagración de la catedral de Florencia en 1436, es famosa y se refiere a que en la forma de este motete se refleja el simbolismo numérico y arquitectónico de la catedral, Dufay se propuso retratar las proporciones de la iglesia en su música. Algunas interpretaciones de la obra van tan lejos como el análisis de todas las notas y las sílabas textuales en el motete a fin de que la composición se corresponda a las distintas partes del edificio. El poner tanto énfasis en los aspectos de numerología en la investigación musical puede ser controvertido, según Haug.

44. www.disfrutaflorencia.com/fotos/subiendo-cupula-duomo.jpg

46. Edad Media, el diabólico Tritono Durante la Edad Media la autoridad adjudicada a Pitágoras llevó a los especuladores a considerar a la cuarta justa como la consonancia perfecta y a utilizarla para la composición de órgano. Durante la misma época, especulaciones de carácter teológico llevaron a considerar a la cuarta aumentada, llamada "tritono", como diabólica (tritonus diabolus in musica est).

47. La Arpista y el Tocador del Laúd en una escena doméstica, aprox. 1490. Caligrafíadel grabador flamenco Israhel van Meckenem, el Joven (1450-1503); 165 x 117 mm. The Metropolitan Museum of Arts, New York, Harris Brisbane Dick Fund, 1927.

48. Detalle de “La Escuela de Atenas” de Raffaello Sanzio, 1509, mostrando a Pitágoras, enseñando música y escribiendo en el libro, con Averroes, Hypatia de Alejandria, y Parmenides detrás de él.

49. 8/6=4/3 -> DIATESSARON Intervalo de cuarta FA-DO 9/6=3/2 -> DIAPENTE Intervalo de quinta SOL-DO 12/6=2/1 -> DIAPASON Intervalo de octava DO-DO 12/8=3/2 -> DIAPENTE Intervalo de quinta DO-FA 12/9=4/3 -> DIATESSARON Intervalo de cuarta DO-SOL 9/8 -> EPOGDUS Intervalo de tono SOL-FA

50. 4.TALLER_DE_LOS_INSTRUMENTOS.odp