Concepto de Respuesta en Frecuencia y Trazas de Bode

1. Es una herramienta muy utilizada en el análisis
de circuitos en electrónica, siendo fundamental
para el diseño y análisis de filtros y
amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el
módulo de la función de transferencia
(ganancia) en
Decibelios en función de la frecuencia (o la
frecuencia angular) en escala logarítmica. Se
suele emplear en procesado de señal para
mostrar la respuesta en frecuencia de un
sistema lineal e invariante en el tiempo
Aplicaciones
Los diagramas de Bode son de amplia
aplicación en la Ingeniería de Control, pues
permiten representar la magnitud y la fase de la
función de transferencia de un sistema, sea éste
eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la
simplicidad con que permiten, atendiendo a la
forma del diagrama, sintonizar diferentes
controladores mediante los empleos.
Un diagrama de Bode
Es una representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de un
sistema. Normalmente consta de dos gráficas
separadas, una que corresponde con la
magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su nombre del
científico estadounidense que lo desarrolló,
Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el análisis
de circuitos en electrónica, siendo fundamental
para el diseño y análisis de filtros y
amplificadores.

2. Respuesta en Frecuencia en
audio
En audio, para que sea un equipo de calidad
debe cubrir al menos el margen de las
audiofrecuencias (20-20.000 Hz).
Por el mismo motivo, cuanto mayor sea la
respuesta en frecuencia de un equipo, más
calidad tendrá el sonido final. Así, a los nuevos
formatos de audio digital que sobrepasan
sobradamente este margen (SACD, 20-100 KHz
y DVD-Audio, 20-80 kHz) se los cataloga como
formatos HI-FI (High Fidelity) "Alta Fidelidad".
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema
debería ser plana, lo que significa que el
sistema trata igual a todo el sonido entrante,
con lo que nos lo devuelve igual.
No obstante, en la práctica, la respuesta en
graves y agudos, normalmente no es la misma.
Hecho que se nota más en unos equipos que en
otros. (En los altavoces, por ejemplo, esta
diferencia entre la respuesta a graves o agudos
es muy acusada, pudiendo estar por encima de
los 10 dB de más o de menos, entre una y otra).
Un equipo con una respuesta inapropiada
afectará al sonido final:
 Si un equipo enfatiza los agudos, el
sonido resultante será "vibrante y
chillón", mientras que si, por el contrario,
pierde agudos, todo lo que reproduzca
tendrá un "matiz oscuro".
 Si un equipo enfatiza los graves, el
sonido resultante resulta "atronador",
mientras que si, por el contrario, pierde
graves, todo lo que reproduzca tendrá un
"matiz metálico".
 Si se acentúan las frecuencias medias se
produce un sonido "nasal".
En la mayoría de equipos, en las
especificaciones técnicas, además de indicar
cuál es la respuesta en frecuencia típica, se
indica también la variación en dB entre una y
otra.
Para ello, lo habitual es elegir -como nivel de
referencia para indicar la respuesta en
frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se le da el
valor de 0 dB. Luego, los fabricantes analizan
todo el margen de frecuencias y establecen la
diferencia en dBs entre la frecuencia más baja y
la más alta.
Con esto, en las especificaciones técnicas nos
dicen, por ejemplo, tal lector de CD tiene una
respuesta en frecuencia de 20-20 kHz (+/-5 dB).
Salvo en los transductores (micrófonos,
altavoces, etc), este margen, para asegurarnos
“calidad”, debe ser:
 Inferior a +/- 1 dB, si hablamos de
formatos digitales.
 Inferior a +/- 3 dB si son equipos
analógicos.
 Como mucho +/- 6 dB, si son micros o
altavoces. En la práctica, los muchos
transductores: altavoces y micrófonos
(salvo los más “profesionales”) llegan a
una variación de +/- 10.
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor
que puede suceder, lo peor, es una respuesta
desigual. Es decir, como a ciertas frecuencias
sube, en otras baja, por lo que el sonido
resultante sale distorsionado. Es deseable una
respuesta plana en la banda de trabajo.
EJEMPLO
Calcule los valores numéricos de 0, , d y R para
el circuito resonante que tiene L = 2.5mH, Q0= 5
y C = 0.01F.
SOLUCION
Interpretación de Qo
Se puede interpretar Q0 en términos de los
polos y ceros de la admitancia Y(s) del circuito
RLC en paralelo.
Conforme Q0 aumenta, la relación entre, Q0 y 0
indica que los dos ceros deben acercarse al eje
j. Se deben alejar al mismo tiempo del eje .
Cuando R es infinita Q0 también es infinita y los
dos ceros se encuentran en s=± j0 sobre el eje j.
Conforme R disminuye los ceros se desplazan
hacia el eje a lo largo de la trayectoria circular
uniéndose para formar un doble cero en s= - 0.
Esta situación es la misma que la del
amortiguamiento crítico de manera que d= 0 y =
0. Ancho de Banda

3. Un diagrama de Bode
es una representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de un
sistema. Normalmente consta de dos gráficas
separadas, una que corresponde con la
magnitud de dicha función y otra que
corresponde con la fase. Recibe su nombre del
científico estadounidense que lo desarrolló,
Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el análisis
de circuitos en electrónica, siendo fundamental
para el diseño y análisis de filtros y
amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el
módulo de la función de transferencia
(ganancia) en decibelios en función de la
frecuencia (o la frecuencia angular) en escala
logarítmica. Se suele emplear en procesado de
señal para mostrar la respuesta en frecuencia
de un sistema lineal e invariante en el tiempo.
El diagrama de fase de Bode representa la fase
de la función de transferencia en función de la
frecuencia (o frecuencia angular) en escala
logarítmica. Se puede dar en grados o en
radianes. Permite evaluar el desplazamiento en
fase de una señal a la salida del sistema
respecto a la entrada para una frecuencia
determinada. Por ejemplo, tenemos una señal
Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos
que el sistema atenúa por un factor x y desplaza
en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema
será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este
desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f));
esta dependencia es lo que nos muestra el
Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá
estar acotada entre -90° y 90°.
La respuesta en amplitud y en fase de los
diagramas de Bode no pueden por lo general
cambiarse de forma independiente: cambiar la
ganancia implica cambiar también desfase y
viceversa. En sistemas de fase mínima
(aquellos que tanto su sistema inverso como
ellos mismos son causales y estables) se puede
obtener uno a partir del otro mediante la
transformada de Hilbert.
Si la función de transferencia es una función
racional, entonces el diagrama de Bode se
puede aproximar con segmentos rectilíneos.
Estas representaciones asintóticas son útiles
porque se pueden dibujar a mano siguiendo una
serie de sencillas reglas (y en algunos casos se
pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).
Esta aproximación se puede hacer más precisa
corrigiendo el valor de las frecuencias de corte
(“diagrama de Bode corregido”).
El uso de cálculo logarítmico nos va a permitir
simplificar funciones del tipo
a un simple sumatorio de los logaritmos de
polos y ceros:
Supongamos que la función de transferencia
del sistema objeto de estudio viene dada por la
siguiente transformada de Laplace:
donde , e son constantes.
Las normas a seguir para dibujar la
aproximación del Bode son las
siguientes
 en los valores de pulsación
correspondientes a un cero ( ) se
tiene que aumentar la pendiente de la
recta un valor de por década.
 en los valores de pulsación
correspondientes a un polo ( ) se
tiene que disminuir la pendiente de la
recta un valor de por década.
 el valor inicial se obtiene poniendo el
valor de frecuencia angular inicial ω en la
función y calculando el módulo |H(jω)|.
 el valor de pendiente de la función en el
punto inicial depende en el número y
orden de los ceros y polos en frecuencias
inferiores a la inicial; se aplican las dos
primeras reglas.
Para poder manejar polinomios irreducibles de
segundo grado ( ) se puede en
muchos casos aproximar dicha expresión por
.
Nótese que hay ceros y polos cuando ω es igual
a un determinado o . Eso ocurre porque la
función en cuestión es el módulo de H(jω), y
como dicha función es compleja,
.

4. Por ello, en cualquier lugar en el que haya un
cero o un polo asociado a un término ,
el módulo de dicho término será
.
Aplicaciones
Los diagramas de Bode son de amplia
aplicación en la Ingeniería de Control, pues
permiten representar la magnitud y la fase de la
función de transferencia de un sistema, sea éste
eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la
simplicidad con que permiten, atendiendo a la
forma del diagrama, sintonizar diferentes
controladores (mediante el empleo de redes de
adelanto o retraso, y los conceptos de margen
de fase y margen de ganancia, estrechamente
ligados éstos últimos a los llamados diagramas
de Nyquist), y porque permiten, en un reducido
espacio, representar un amplio espectro de
frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni
el argumento están acotadas salvo por
características propias del sistema. En este
sentido, sólo cabe esperar, si el sistema es de
orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté
acotada entre 0º y -180º.
Así pues, datos importantes a obtener tras la
realización del diagrama de Bode para en
análisis de la estabilidad de dicho sistema son
los siguientes:
 Margen de fase: Es el ángulo que le falta
a la fase para llegar a los -180º cuando la
ganancia es de 0dB. Si la ganancia es
siempre inferior a 0dB, el margen de fase
es infinito.
 Margen de ganancia: Es el valor por el
que habría que multiplicar (en decimal), o
sumar (en dB) a la ganancia para llegar a
0dB cuando la fase es de -180º.
El sistema representado será estable si el
margen de ganancia y el margen de fase son
positivos.
Corrección del diagrama de amplitud
Para corregir la aproximación dibujada en el
apartado anterior:
 Donde haya un cero, dibujar un punto de
valor por encima de la línea.
 Donde haya un polo, dibujar un punto de
valor por debajo de la línea.
 Dibujar una curva que pase por esos
puntos utilizando los segmentos
rectilíneos de la aproximación a modo de
asíntotas.
Este método de corrección no indica cómo
trabajar con valores de o complejos. En
caso de un polinomio irreducible, el mejor modo
de corregir la gráfica es calcular el módulo de la
función de transferencia en el polo o el cero
correspondiente al polinomio irreducible, y
dibujar ese punto por encima o por debajo de la
línea en el valor de frecuencia angular
correspondiente
Ejemplo
Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la
siguiente respuesta en frecuencia:
La frecuencia de corte (fc) toma el valor (en
hercios):
.
La aproximación lineal del diagrama consta de
dos líneas agudos y centimetricos:
 para frecuencias por debajo de fc es una
línea horizontal a 0 dB
 para frecuencias por encima de fc es una
línea con pendiente de -20 dB por década.
Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia
de corte. Observando el gráfico se verá que a
frecuencias bastante por debajo de dicha
frecuencia, el circuito tendrá una atenuación de
0 decibelios. Por encima, la señal se atenuará, y
a mayor frecuencia, mayor atenuación.
Construcción del Diagrama de Bode
Escala Vertical: ganancia (dB)=20 log|Vout/Vin|
Escala Horizontal: x = log f
Para construir la gráfica de Bode, primero se
Debe normalizar la ecuación de la función de
Transferencia, esto es, escribirla de forma tal
que Contenga:
•Constantes.
•Ceros en el origen.
•Polos en el origen.
•Ceros finitos
•Polos Finitos

5. La escala semilogaritmica se utiliza para poner
en las abscisas el valor de la frecuencia o bien,
de la w o s para tu caso (Recuerda que s = jw).
En el eje ordenado, tienes dos cuestiones
importantes para hacer el diagrama(dos
gráficas): La magnitud y el ángulo de tu función
de transferencia.
Si lo que deseas graficar es la magnitud, lo que
te recomiendo es transformar s = jw, siendo j el
complejo, entonces:
G(w) = k (supongo una constante) / (0.1jw
+1)(jw+1)
G(w) = k / (-0.1w^2 + 1.1jw + 1)
Multiplica por el complejo conjugado del
denominador para tener la parte compleja en el
numerador.
Posteriormente, sacas la magnitud de la
función:
|G(w)| = SQR ( partereal^2 + parteimag^2 )
Finalmente te quedará una expresión en función
de w que dependerá de k.
Entonces, para diferentes valores de frecuencia
(w = 2*pi*f) graficas, recuerda que esto va en la
parte logarítmica
(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,60,70,... vas
graficando para valores de importancia, puedes
tabularlos y graficarlos ya directamente en el
eje ordenado en función de k. (De aquí
dependiendo del comportamiento de la gráfica,
sabrás de que tipo de filtro se trata).
Finalmente, si lo que deseas graficar es el
ángulo, sacas la expresión de la siguiente
forma:
<G(w) = arctan (parteimag /parte real)
Y graficarás de la misma forma para los valores
de frecuencia.
Nota: Te recomiendo comparar tu resultado
gráfico con el ltiviewer de Matlab, para que te
sirva como referencia.
 Análisis de Estabilidad utilizando el
Diagrama de Bode
el análisis de estabilidad de un sistema de
control, la misma que se trata con un cierto
nivel de profundidad, adecuado para impartirse
y lograr el correcto aprendizaje para la
intervención con programas digitales o software
computacionales.
I.INTRODUCCIÓN
En muchas ocasiones las gráficas lineales de la
respuesta en frecuencia, aunque son exactas,
no revelan aspectos importantes en el
comportamiento de los sistemas, los cuales no
son percibidos, por tanto al usar escalas
logarítmicas es posible observar aspectos
relevantes en un sistema. Para tal efecto se
utilizan los diagramas o gráficas de bode.
Las escalas logarítmicas, que permiten
representar en un mismo eje datos de diferentes
órdenes de magnitud, separándolos en
décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el
eje la posición del dato que queremos
representar se marca la de su logaritmo
decimal. Esto se hace aprovechando la
siguiente propiedad de los logaritmos:
Log (N ⋅10D)= log(N)+ D [1]
De este modo, el orden de magnitud (D)
establece un desplazamiento, separando una
década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los
puntos correspondientes a un mismo orden de
magnitud (década) tienen el mismo espacio
para ser representados que los pertenecientes a
una década superior.
Como ejemplo, en la figura siguiente se indica
dónde se ubicarían en un eje logarítmico los
puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.
Representación de puntos en escala
logarítmica. DIAGRAMAS DE BODE (Trazas de
esquina o trazas asintóticas)
El diagrama de Bode ha recibido también los
nombres de trazas de esquinas o trazas
asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden
construir empleando aproximaciones en línea
recta que son asintóticas a la gráfica real.
Autor. Rivas aurelino
c.i 21048817