Se describe aspectos generales del análisis de sistemas de control automático en el dominio de la frecuencia.

1. ANÁLISIS DE SCA EN EL DOMINIO
DE LA FRECUENCIA
Jorge Luis Jaramillo
PIET EET UTPL marzo 2011

2. Créditos
Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial
del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y
Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.
La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración
se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles
gratuitamente en la web.

3. Contenidos
• El nacimiento del dominio de la frecuencia
• Funciones frecuenciales
• Diagramas polares
• Diagramas de Nyquist
• Diagramas de Black
• Diagramas de Black Nichols
• Diagramas de Bode
• Análisis de estabilidad
• Análisis y discusión

4. Contenidos
• El nacimiento del dominio de la frecuencia

5. El nacimiento del dominio de la frecuencia
Entre 1920 y 1930, aumentó el interés en las comunicaciones telefónicas a grandes
distancias, y, por lo tanto apareció el problema técnico de la amplificación de señales
de voz.
Por cuanto al amplificar la voz en la línea telefónica también se amplifica el ruido,
surgió la necesidad de analizar el comportamiento de los amplificadores para
diferentes frecuencias. Había nacido el estudio de los sistemas en el dominio de la
frecuencia
El dominio de la frecuencia es menos intuitivo que el de el tiempo. Mientras que el
tiempo se incrementa de manera natural (sin nuestra intervención), lograr que la
frecuencia se incremente implica recurrir necesariamente a métodos artificiales.

6. El nacimiento del dominio de la frecuencia
Las señales de prueba que se utilizan en el estudio de los SCA en el dominio de la
frecuencia, son de dos tipos:
• Señales de frecuencia constante
• Señales de frecuencia incremental

7. El nacimiento del dominio de la frecuencia
Ej: La señal senoidal de frecuencia constante de 500 Hz, puede ser representada
geométricamente como:
1 2 3 4 mseg
Señal de frecuencia constante

8. El nacimiento del dominio de la frecuencia
Ej: el barrido de frecuencia de 10 a 11025 Hz
Señal de frecuencia incremental

9. El nacimiento del dominio de la frecuencia
El análisis de los SCA en el dominio de la frecuencia se basa en el uso de variables
complejas.
Los recursos metodológicos más utilizados en el análisis de los SCA en el dominio de
la frecuencia son:
• Las funciones frecuenciales
• Los diagramas de Bode

10. Contenidos
• Funciones frecuenciales

11. Funciones frecuenciales
La obtención de la función frecuencial de un SCA analizado en el dominio de la
frecuencia, empieza en el concepto de coeficiente complejo de amplificación.
En términos generales, obtener el coeficiente complejo de amplificación equivale a
encontrar la función de transferencia del SCA, para las señales de entrada y salida
definidas como magnitudes complejas.
Operativamente, la función de transferencia de un SCA se lleva al formato del
coeficiente complejo de amplificación, “reemplazando” el operador de Laplace (s)
por el operador complejo (jw).

12. Funciones frecuenciales

13. Funciones frecuenciales

14. Funciones frecuenciales
Las funciones frecuenciales son de tres tipos:
•de amplitud, A
•de fase, F
•de amplitud –fase, A-F
Por otra parte, la función A-F (al ser una función compleja) se representa como

15. Funciones frecuenciales
A(ω) Pω)
K K
ω ω
Q(ω) ϴ(ω)
Funciones frecuenciales del eslabón ainercial

16. Funciones frecuenciales del eslabón aperiódico

17. Funciones frecuenciales
A(ω) Pω)
ω ω
Q(ω) ϴ(ω)
ω ω
-90
Funciones frecuenciales del eslabón aperiódico

18. Funciones frecuenciales del eslabón integrador

19. Funciones frecuenciales
A(ω) Pω)
ω ω
Q(ω) ϴ(ω)
ω ω
-90
Funciones frecuenciales del eslabón integrador

20. Funciones frecuenciales
Funciones frecuenciales del eslabón diferenciador

21. Funciones frecuenciales
A(ω) Pω)
ω ω
Q(ω) ϴ(ω)
90
ω ω
Funciones frecuenciales del eslabón diferenciador

22. Funciones frecuenciales
Funciones frecuenciales del eslabón oscilador

23. Contenido
• Diagramas polares

24. Diagramas polares
Dada la función de transferencia ,
, esta se puede representar indicando la
posición de los ceros –ci y de los polos –pi
en el plano de la variable compleja.
Esta representación, se denomina diagrama
polar.

25. Contenido
• Diagramas de Nyquist

26. Diagramas de Nyquist
En un diagrama de Nyquist, la función
de transferencia G(s) se representa
mediante una curva en un diagrama
polar.
Esta curva se construye
representando para cada valor de ω
el módulo y el argumento de la
expresión compleja que resulta de
hacer s = jω en G(s).
Como se sabe, el módulo y el argumento de G(jω) representan la amplificación (o
atenuación) y el desfase de una señal sinusoidal que atraviese el sistema.
En la figura anexa, se representa un diagrama de Nyquist, en el que ω varía de 0 a ∞.
El diagrama de Nyquist es por tanto una curva parametrizada en ω que, para cada
punto (es decir, para cada frecuencia), da el módulo y el argumento de la función de
transferencia.

27. Contenido
• Diagramas de Black

28. Diagramas de Black
E el diagrama de Black se representa
la función de transferencia G(s)
mediante una curva parametrizada en
ω en un plano cuyos ejes de
coordenadas están definidos por
arg(G(jω)) y 20 log10 A

29. Contenido
• Diagramas de Black Nichols

30. Diagrama de Black - Nichols
El diagrama de Black – Nichols coloca en un mismo plano al módulo y la fase
de la función de transferencia, a partir de sus dos gráficas separadas.

31. Contenido
• Diagramas de Bode

32. Diagramas de Bode
En la década de 1940, Hendrik Wade Bode propuso un método para analizar el
comportamiento de los SCA en el dominio de la frecuencia, método basado en la
respuesta en frecuencia del sistema. Las gráficas que se obtienen al aplicar el
método, se denominan diagramas de Bode
Los diagramas de Bode representan la amplitud de la salida de un sistema en
función del logaritmo de la frecuencia de la señal de salida. Por esta razón también
se conoce a los diagramas de Bode como diagramas de magnitud y de fase
logarítmicas (de frecuencia).
Los diagramas de Bode, muestran dos respuestas en frecuencia para el mismo SCA:
•respuesta (logarítmica) en magnitud
•respuesta (logarítmica) en fase

33. Diagramas de Bode
Para el diagrama de magnitud, en el eje de las abcisas se introduce el concepto de
década mientras que para las ordenadas se emplea el concepto de decibelios.
La representación de la magnitud de la respuesta en frecuencia en decibelios, parte
de la respuesta frecuencial en amplitud, a través de la expresión:
Diagrama de magnitud logarítmica

34. Diagramas de Bode
Diagrama de magnitud logarítmica

35. Diagramas de Bode
La magnitud se conoce como frecuencia de corte y se define como la
frecuencia para la cual se cumple la expresión:
La magnitud se conoce como frecuencia de unión y se define como:
Diagrama de magnitud logarítmica

36. Diagramas de Bode
Este diagrama se corresponde con la respuesta de fase en frecuencia, considerando
la escala logarítmica del eje de las abcisas.
Diagrama de fase logarítmica

38. Contenido
• Análisis de estabilidad

39. Análisis de estabilidad
Dado un sistema típico
analizado en el
dominio de la
frecuencia, se pueden
establecer algunas
magnitudes
características:
•Pico de resonancia, Mr
•Frecuencia de resonancia, ωr
•Ancho de banda, BW

40. Análisis de estabilidad

41. Análisis de estabilidad

42. DISCUSIÓN Y ANÁLISIS