Guía práctica de ejercicios de hidrostatica

1. HIDROSTATICA
Es el estudio de presiones en un fluido en reposo y las fuerzas de presión
actuando sobre áreas finitas. Como el fluido está en reposo, no hay esfuerzos
actuando sobre él; no hay movimiento, no hay aceleración y las fuerzas actúan
perpendicularmente sobre cualquier superficie exterior; independientemente de la
viscosidad
2.1 PRESIÓN
Supongamos dos cuerpos que están en contacto con el suelo figura 2.1. En a) el
cuerpo está ejerciendo una fuerza sobre el suelo, que es debida a su propio peso,
y el suelo a su vez está ejerciendo una fuerza de reacción. La fuerza se transmite
a través de una superficie que es la de contacto entre el cuerpo y el suelo. Si
colocamos un cuerpo b) de igual peso que a) pero con la característica de que la
superficie de contacto sea mayor, la fuerza total ejercida será la misma, pero la
fuerza ejercida sobre un centímetro cuadrado (presión) en el segundo caso será
menor.
Figura 2.1
Si tenemos dos cuerpos con diferente peso figura 2.2, con igual superficie de
contracto, el que tiene mayor peso, estará ejerciendo mayor presión.
Figura 2.2
Se ve que el valor de la presión depende de dos conceptos: está en razón directa
con la fuerza ejercida y en razón inversa a la superficie de contacto. Por lo tanto:
Presión A
F
Area
Fuerza
p 

A
p
F
A
F
p 



Las presiones siempre se consideran perpendiculares a las áreas o superficies
sobre las cuales actúan.
.
; Estática
Fuerza
A
p
F
Dinámica
Fuerza
g
M
F 



Las unidades de la presión serían:
 Sistema MKS 
2
1
2




 T
ML
m
N
Area
Fuerza
p

2.  Sistema Técnico  2
)
(
m
F
Kgr
 Sistema CGS  2
pie
Lbs
 Sistema Inglés 
2
cm
dina
2.2 LEY DE PASCAL:
La presión en un punto dentro de un fluido en reposo es la misma en todas
direcciones. Esto significa que es independiente de la orientación del área
alrededor del punto.
Consideramos un pequeño prisma triangular de ancho unitario rodeando el punto
en un fluido en reposo.
Figura 2.3
Como el cuerpo está en equilibrio estático, podemos considerar que la suma de
las fuerzas tanto en el eje X como en el eje Y, son iguales a cero.
Fx = 0 Fy = 0
p1 (AB  1) - p3 Cos  (BC  1) = 0 y
p2 (AC  1) - p3 Sen  (BC  1) - W = 0
Como
Cos
AB
BC
 
entonces p1 = p3 y como
Sen
AC
BC
 
y W = 0 al reducirse el
prisma a un punto.
Entonces: p2 = p3
 p1 = p2 = p3
2.3 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD
DENTRO DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE EN REPOSO.

3. Consideremos un volumen cilíndrico elemental de fluido (de longitud L y área
transversal dA), dentro de la masa de un fluido en reposo, Figura 2.4; siendo “p”
la presión a una elevación Y, y dp la variación de presión correspondiente a una
variación de elevación dy.
Figura 2.4
Vol
Masa
Vol
Masa



 

Si el volumen elemental considerado está en equilibrio, entonces la suma de las
fuerzas en su eje son iguales a cero.
Para el equilibrio del volumen elemental tenemos:
0
)
( 


 dA
dp
p
Sen
dA
gL
pdA 

Como L
dy
Sen 

, reemplazando tenemos:
pdA gLdA
dy
L
pdA dpdA
   
 0
dp gdy
 
Como  es constante para fluidos incompresibles, entonces podemos escribir:
n
aceleracio
masa
Fuerza
W 


g
Vol
W 

 
Vol
W 
 
Vol
g
W 

 

4. Figura 2.5
la presión a una profundidad “h” será: p p gh
a
  
gh
p 
 por encima de la presión atmosférica
Otra forma más directa y fácil de demostrar la variación de la presión con la
profundidad dentro de un fluido incomprensible en reposo sería:
Si se considera un volumen cilíndrico elemental de fluido, de longitud L y área
transversal dA, dentro de la masa de un fluido en reposo Figura 2.6; siendo p
la presión a una elevación Y y dp la variación de presión correspondiente a una
variación de elevación dy, tenemos:
Figura 2.6
(1)
 

 dy
g
dp 
)
( Y
Y
g
p
p o
a 

 
gh
p
p a 


c
gy
p 

 
 

 dy
g
dp  

5. La presión en un punto, depende sólo de la profundidad “h” del líquido sobre él;
por lo tanto, puntos a una misma profundidad dentro de un mismo líquido,
soportan la misma presión.
De la ecuación de presión anterior, podemos concluir:
a) Si término que se conoce como la cabeza de presión
en metros de fluido de densidad .
b) La ecuación (1) puede ser escrita como:
p
g
Y Cte

 
m
seg
m
m
Kgr
m
N
h 


2
3
2
2
m
N
A
F
p 

g
p
h


gh
p 
 
h
A B pA = pB
a
atmosféric
presión
la
de
encima
por
gh
p
gh
p
p
gh
p
p
dy
g
dp
gdy
dp
dpdA
gdAdy
dpdA
pdA
L
dy
gLdA
pdA
dA
dp
p
gLdAsen
pdA
L
dy
Sen
gLdA
W
gV
W
V
g
W
g
V
W
V
W
V
M
V
M
a
a
h
o
p
pa























































0
0
)
(
g
M
F
W 



6. Que muestra que cualquier incremento en la altura es compensado por la
disminución correspondiente en la cabeza de presión.
( )
p
g
Y


Es conocida como la cabeza piezométrica y tal variación se conoce como la
distribución de presión hidrostática.
2.4 MEDIDA DE LA PRESIÓN
Imaginemos una cubeta que contiene mercurio (Hg = 13600
Kgr
m3
) y un tubo de
unos 85 a 90 cms, cerrado en una extremidad.
Figura 2.7
Se llena completamente de mercurio y tapando la extremidad abierta se invierte
introduciéndolo en la cubeta, se observa que el nivel del mercurio baja en el
interior del tubo, puesto que tiende a vaciarse, pero se observa que dicho nivel
baja hasta cierta altura, dejando un vacío en la parte superior que recibe el
nombre de “cámara barométrica” y en la cual se considera que prácticamente
existe un vacío, figura 2.7.
Si se toma un punto A fuera del tubo y otro B dentro de él; como son puntos
situados a la misma altura dentro de un líquido homogéneo en reposo, las
presiones en ambos puntos deben ser iguales. En el interior, la presión se debe
a la columna de mercurio colocada encima de B, y en A la presión es debida a la
presión atmosférica que obra sobre la superficie libre del mercurio. Para medir la
primera se tiene en cuenta la altura h de la columna y el peso específico del
mercurio.
La altura de la columna barométrica es variable con la altitud del lugar en que se
efectúa el experimento y es claro porque mide justamente el peso del espesor H
de la atmósfera (La presión a nivel de la tierra depende de la columna de aire
sobre ella). A nivel del mar la altura de la columna de mercurio es de 760 mm,
cuando no hay perturbaciones atmosféricas y según la figura 2.7 el valor de esta
presión atmosférica es:
p p
A B
 = presión atmosférica = presión de 760 mm de columna de Hg a nivel
del mar.

7. La presión atmosférica a nivel del mar, en los diferentes sistemas de unidades es:
 Sistema MKS:
2
2
2
3
)
(
4
,
101
16
,
101396
76
,
0
81
,
9
13600
m
KN
m
N
m
seg
m
m
Kgr
gh
p
m
atm 




 
 Sistema TÉCNICO:
2
)
(
2
)
(
3
)
(
0336
,
1
10336
76
,
0
13600
cm
Kgr
m
Kgr
m
m
Kgr
h
p
f
f
f
Hg
atm 



 
 Sistema INGLÉS:
1 Kgr(f) = 2,2 Lbs
1 m = 3,28 pies
1 pulg = 2,54 cms
1 pie = 12 pulgadas
2
2
2
2
)
(
3
,
2113
76
,
10
2
,
2
10336
pie
Lbs
pie
m
Kgr
Lbs
m
Kgr
p
f
atm 



 Sistema CGS:
Sí 1 milibar
103
2
dinas
cm
2
1´013.961
X
cm
dinas

X = 1013,96 milibares  1014 milibares
1 atmósfera = 1014 milibares.
p
N
m
dinas
cm
cm
m
atm   
101396 1 013961
10
2 2
4 2
2
. .
1N = 105 dinas
2.4.1 PRESIÓN ATMOSFÉRICA, EN COLUMNA DE AGUA EQUIVALENTE
Esta es una forma de expresar la presión atmosférica, asimilándola a una
columna de agua que produzca una presión equivalente a la presión atmosférica.
2
6
10
1
cm
dinas
Bar 

2
3
10
1
cm
dinas
milibar 
2
2
3
)
(
6
,
961
.
013
1
76
981
6
,
13
cm
dinas
cm
seg
cm
cm
grs
gh
p
m
atm 




 

8. Presión columna de mercurio Hg
Hg
Hg h
p 
 
Presión columna de agua equivalente w
w
w h
p 
  si igualamos presiones pHg =
pw
w
w
Hg
Hg h
h 

 

336
,
10
76
,
0
6
,
13 





 mtrs
h
h
h Hg
Hg
w
Hg
Hg
w 


mtrs de agua =
Presión atmosférica a nivel del mar.
1´013.961,6
dinas
cm2
10,336 mtrs de agua
106
dinas
cm2
X
X = 10,194 mtrs 1 Bar  10,194 mtrs de columna de agua
2.5 PRESIONES ABSOLUTAS Y RELATIVAS
La presión absoluta, es la presión referida al cero absoluto o vacío total, es decir,
su medida se hace con relación al cero absoluto.
La presión relativa, es la presión referida a la presión atmosférica del lugar; es
decir, la presión atmosférica del lugar sería el punto de referencia cero en este
caso.
Figura 2.8
Presiones absolutas y relativas expresadas en Kgr / Cm2
Con el fin de no manejar cifras muy altas en los aparatos de medición de
presiones, estos vienen con escalas expresadas en Kgr / Cm2

9. 2
2
4
2
2
1
10
000
.
10
cm
kgr
cm
m
m
Kgr


(1) Presión atmosférica normal = 1,033Kgr / Cm2, a nivel del mar.
(2) Presión atmosférica reinante = 1,015Kgr / Cm2, presión atmosférica de un
determinado lugar.
En la figura 2.8, sea A un punto a una presión absoluta de 3,75 Kgr / Cm2. La
presión manométrica dependerá de la presión atmosférica del lugar. Si tal presión
fuera la atmosférica normal a nivel del mar (1,033 Kgr / Cm2), la presión
manométrica en A sería:
3,750 – 1,033 = 2,717 Kgr / Cm2
Si la lectura barométrica del lugar fuera de 1,015Kgr / Cm2, la presión
manométrica sería:
3,750 – 1,015 = 2,735Kgr / Cm2
Sea B un punto a una presión absoluta de 0,52 Kgr / Cm2. Este valor está
representado gráficamente por un punto ubicado por debajo de la línea que
representa la presión atmosférica del lugar, y la presión manométrica en B sería:
0,52 – 1,015 = -0,495Kgr / Cm2
Si la determinación de la presión en B se hubiese hecho a nivel del mar, la
presión manométrica en B hubiera sido: 0,52 – 1,033 = - 0,513 Kgr / Cm2 Man.
Sea C un punto a una presión absoluta igual a cero. A nivel del mar, esta
condición es equivalente a una presión manométrica "Normal" negativa de –1,033
Kgr / Cm2 y a una presión manométrica, referida a la presión atmosférica del
lugar de -1,015Kgr / Cm2.
Pabs = Patm + Prelativa
Prelativa = Pabs - Atmósfera
Las conclusiones que se pueden sacar son importantes:
 La presión absoluta, es la presión medida teniendo como referencia un vacío
perfecto, el cero absoluto; por lo tanto nunca podrá ser negativa.
 Las presiones manométricas son referidas a la presión atmosférica del lugar;
siendo positivas las presiones que están por encima de dicha presión y
negativas las que son menores. Una presión menor que la presión
atmosférica del lugar, es una presión manométrica negativa y se llama “vacío
parcial”.

10.  Las presiones manométricas negativas no pueden exceder de un límite
teórico de la presión atmosférica del lugar, pues se estaría por debajo del
cero absoluto, lo cual no es posible.
2.6 EQUIPOS DE MEDIDA DE PRESIONES
Dentro de los sistemas convencionales de medida de presiones tenemos:
2.6.1 EL PIEZÓMETRO
Consiste en un tubo vertical simple que se fija al sistema, al cual se le va a
determinar la presión, figura 2.9. El líquido sube hasta un nivel tal que el peso de
la columna del líquido equilibra la presión interior del sistema al cual se le está
determinando la presión.
h
gh
p 

 

Figura 2.9
2.6.2 EL MANÓMETRO (O MANÓMETRO EN U)
Es un tubo curvo en forma de U, conocido como un tubo-U y el cual es mucho
más conveniente que un simple piezómetro. Líquidos manométricos inmiscibles y
pesados, (generalmente el mercurio, Hg) son usados para medir grandes
presiones. Pequeñas presiones son medidas usando líquidos más livianos, figura
2.10.
Figura 2.10
2.6.3 TUBO INCLINADO
Hg
Hg
w
w
A h
h
p 
 

B
A p
p 
h

11. El tubo inclinado, figura 2.11; es usado para medir presiones muy pequeñas. La
exactitud de la medida es mejorada con una inclinación adecuada
Figura 2.11
2.6.4 EL MANÓMETRO DIFERENCIAL
Es esencialmente un manómetro en U, figura 2.12, que contiene un solo líquido
manométrico y se usa para medir grandes diferencias de presiones entre dos
sistemas. Si la diferencia es muy pequeña el manómetro puede ser modificado
con terminales más anchas en los extremos y con el uso de dos líquidos
manométricos diferentes en el sistema; se denomina micromanómetro diferencial,
figura 2.13.
Figura 2.12
h
h
h
p
h
P
P
P
Hg
K
H


 





)
( 1
1
2
1
1
1
Figura 2.13
Si la densidad del agua es w, una columna de agua de altura hw, produce una
presión p gh
w w
  , que puede ser expresada en términos de cualquier otra
columna líquida hL, como L g hL; siendo L su densidad.
h
h
h
p
h
p Hg 




 

 )
( 1
2
2
1
1
1
D
C p
p 
P
 h

12. donde hw como columna de agua es igual a



L
w
L L L
h h

y L es la densidad
relativa del líquido.
Para cada una de las formas de medida de presiones anteriores, tal como se
hizo, se puede escribir una ecuación usando el principio de la distribución de
presiones hidrostáticas; expresando las presiones en metros de columna de agua
por conveniencia. (Ver ecuación anterior).
2.7 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
La presión dentro de un líquido en reposo se ejerce siempre en forma normal
(perpendicular) a la superficie; de tal modo que si se tuviera un vaso de forma
caprichosa, que contenga un líquido y se hacen orificios en varios puntos del
vaso, el líquido saldría en chorro cuyas direcciones serían perpendiculares a las
paredes (durante un corto trayecto por supuesto) en los puntos de salida, figura
2.14.
Figura 2.14
2.7.1 EMPUJE
La presión o presiones unitarias ejercidas sobre un área plana, pueden ser
reemplazadas por una fuerza única equivalente, normal a la superficie; la cual
pasaría por el centro de presiones del área y se llama empuje, y tendría un
efecto equivalente al conjunto de presiones unitarias que actúan sobre el área.
Para caracterizar completamente un empuje debemos conocer:
 La intensidad del empuje (Magnitud)
 La ubicación del empuje
2.7.2 PRIMER CASO: SUPERFICIE PLANA PARALELA A LA SUPERFICIE
DEL AGUA.
Si se supone una superficie rectangular paralela a la superficie libre, sumergida
dentro de un líquido en reposo a una profundidad h, figura 2.15, tenemos:
L
L
L
w
L
L
w
L
w h
h
h
g
g
h 


 





L
L
w
w gh
gh 
 

13. La presión en todos los puntos de esa superficie es la misma, es decir, es
uniforme.
Para calcular el valor de la presión es necesario conocer la profundidad h y la
densidad  o peso específico  del líquido. Llamando D a un punto cualquiera
de la superficie en cuestión, tenemos:
h
gh
pD 
 

Figura 2.15
La fuerza equivalente a la acción de la presión sobre la superficie A ( empuje del
líquido sobre la superficie), que se llamará F es:
A
h
A
p
F D 


 
En la anterior expresión debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la
presión. Si la presión es uniforme sobre una superficie determinada, el efecto
conjunto de las presiones unitarias que se ejercen en cada uno de los puntos del
área se puede reemplazar por un "empuje o fuerza total" que pasa por el centro
de gravedad de la superficie. La expresión se interpreta diciendo que: "Cuando la
presión es uniforme sobre una superficie plana, el empuje tiene un valor igual a la
intensidad de la presión en cualquier punto, multiplicado por el área de la
superficie". El empuje queda representado por un vector normal a la superficie, el
cual pasa por el centro de gravedad de ésta.
2.7.3 SEGUNDO CASO: SUPERFICIE PLANA INCLINADA CON RESPECTO A
LA SUPERFICIE DEL AGUA.
Si se considera ahora una superficie plana pero inclinada con respecto a la
superficie libre del líquido, en éste caso, la presión no es uniforme en todos los
puntos de la superficie, sino que varía, siendo menor en E y aumentando
gradualmente hasta D. Figura 2.16

14. Figura 2.16
Aquí el empuje sigue siendo normal a la superficie (como debe ser), pero ya no
pasa por el centro de gravedad de ésta, sino mas abajo, porque la resultante del
sistema de fuerzas paralelas, formado por las distintas presiones, estará cerca de
las fuerzas de mayor intensidad, figura 2.16. El punto por donde pasa el empuje
que el líquido ejerce sobre la superficie se llama "Centro de Presiones".
Para que quede determinado el empuje, es necesario calcular primero su
intensidad y en seguida su localización en el centro de presiones.
2.8 INTENSIDAD DEL EMPUJE
Si se considera una superficie plana, inclinada un ángulo  con respecto a la
superficie libre del agua, como se muestra en la figura 2.17
Figura 2.17
Si el área plana A, se asume que consiste de áreas elementales dA; las fuerzas
elementales dF, siempre normales al área del plano, son paralelas. Por lo tanto,
el sistema es equivalente a una fuerza resultante F, conocida como el empuje
hidrostático, la cual es equivalente al área de la superficie ( dA) por el promedio
de las presiones unitarias. El punto de aplicación de la Fuerza F, que produce el
mismo efecto (momento) que la distribución de los pequeños empujes de las
áreas elementales, se llama el Centro de Presión.
Si se toma una franja elemental de la superficie paralela al eje 0-0, la presión
sobre esta franja es uniforme y a su empuje se denomina dF; entonces:
dA
gh
dA
p
dF 


 
La fuerza F que reemplazaría la acción de todas las fuerzas elementales, sería el
promedio de las presiones de las áreas elementales por el área de la superficie.
El promedio de las presiones de las áreas elementales, es la presión en el centro
de gravedad del área considerada

15. A
gh
A
p
F cg
cg 


 
dA
gh
dF
F
A
A


 
 
Como Sen q

h
X Þ h = X Sen q
X
dA
g
F
A

 

 sen
Momento estático del área A con respecto al eje 0-0
F = rg Sen q A Xcg pero,
cg
cg h
Sen
X 

A
p
A
gh
F cg
cg 

 
Donde hcg es la profundidad a la cual está el centro de Gravedad G
(centroide).
Esto quiere decir que: "La intensidad del empuje sobre una superficie plana,
tiene por valor el producto que resulta de multiplicar la presión en el centro de
gravedad de la superficie por el área de la superficie considerada"
2.9 UBICACIÓN DEL EMPUJE
El efecto (momento) de todos los pequeños empujes dFi sobre el área A, se
puede reemplazar por el momento de un solo empuje F, actuando en un punto
(llamado centro de presiones), situado a una distancia Xcp del eje 0-0.
Para determinar la ubicación del "Centro de Presión" tomemos momentos de
éstas fuerzas alrededor de 0-0.
FXcp =  (dFi  Xi)
F Xcp =
dF X
A


pero
dF g dA X
A A
 
 
 
sen
F Xcp
 

 
g dA X
A
sen 2
 La distancia al Centro de presión C, será:







A
A
dA
g
dA
g
X




sen
sen 2
0

16. X
dA X
dA X
o
A
A





2
dA X
A


Primer momento de el área alrededor del eje 0-0
dA X
A

 2
Segundo momento del área alrededor del eje 0-0
X
I
AX
o
o

Io = Momento de inercia del área con respecto al eje 0-0.
Como se conoce más el momento de inercia de una figura con respecto a su
centro de gravedad; por el teorema de los ejes paralelos (o de Steiner), se
expresa el momento de inercia respecto al eje 0-0, en función del momento de
inercia respecto al centro de gravedad de la superficie (Ig); el cual establece que :
2
0 cg
AX
Ig
I 

Donde Ig es el segundo momento del área de la superficie, alrededor de un eje
que pasa por su centroide (Centro de gravedad) y es paralelo al eje 0-0.
cg
cg
cp
AX
AX
Ig
X
2


cg
cg
cp
AX
Ig
X
X 

La expresión anterior demuestra que el centro de presión está siempre por debajo
del centro de gravedad del área.
La profundidad del centro de presión por debajo de la superficie libre del líquido,
está dada por:
Al multiplicar arriba y abajo por Sen 

Sen
X
h cp
cp 

 sen
AX
Ig
sen
X
h
cg
cg
cp 


sen
AX
Ig
X
h
cg
cg
cp )
( 



17. Para una superficie plana vertical  = 90 y como Sen2 90 = 1
cg
cg
cp
Ah
Ig
h
h 

Valores del momento de inercia de algunas figuras geométricas
3
12
1
bh
Ig 
Figura 2.18
3
36
1
bh
Ig 
Figura 2.19
64
4
d
Ig


Figura 2.20
d
h
b

2
Sen
Ah
Ig
h
h
cg
cg
cp 

cg
cg
cp
Ah
Sen
Ig
h
h

2






Sen
AX
Sen
Ig
sen
X
h
cg
cg
cp




2

18. Figura 2.21
La distancia entre el centroide (Centro de Gravedad) y el Centro de Presión C
será:
cg
cg
Ah
Ig
GC
h
h 


0
Esta expresión indica que "La distancia del centro de gravedad al centro de
presiones, es igual al cociente del momento de inercia con respecto a un eje
central que pasa por el centroide y el momento estático con respecto al eje 0-0.
Si la superficie se hunde, lo que sucede con el centro de presión sería: el
numerador de la expresión anterior no sufre alteración y el denominador se hace
mayor; entonces el centro de presión se acerca al centro de gravedad. Si la
superficie está muy profunda casi coincide el centro de presión y el centro de
gravedad.
 El momento de F alrededor del centroide es:
cg
cg
Ah
Ig
A
gh
GC
F 

 
= g
I
g

el cual es independiente de la profundidad de sumergencia.
Cuando el área de la superficie es simétrica respecto a su eje centroidal vertical,
el centro de presión siempre cae sobre este eje simétrico pero debajo del
centroide del área.
Si el área no es simétrica, una coordenada adicional Yo, debe ser determinada
para localizar el centro de presión completamente.
Figura 2.22

19. Por momentos en la figura 2.22 tenemos:
pero dA = dx dy
2.10 DIAGRAMAS DE PRESIÓN
Otra forma de determinar el empuje hidrostático y su localización es mediante el
concepto de la distribución de la presión sobre la superficie, figura 2.23
Figura 2.23
Si consideramos una superficie rectangular vertical sujeta a la presión del agua
por un lado, el empuje total (Intensidad) sobre dicha superficie sería:
que corresponde al volumen del prisma de
presión ejercido sobre el área
Volumen del Prisma = Area Triángulo x Ancho
B
H
F 

2
2

B
H
H
A
h
F cg 




2


cg
cg
cg
cg
Y
Y
AX
AX
Y 


1
0
ad
simetricid
hay
cuando
Y
Y cg

 0

 

A
A
Y
dF
dF
Y0
 


A
cg
dA
XY
AX
Y
1
0
 



A
cg Y
dA
gx
A
gX
Y 


 sen
sen
0

20. Ubicación
Ah
Ig
h
h cg
o 

que es el centro de gravedad de la figura (centro de gravedad
del volumen del prisma)
 Intensidad del Empuje = Volumen del Prisma Presiones
Ubicación = Centro de gravedad del Prisma de Presiones
Figura 2.24 PRISMA DE PRESIONES
2
gH


Presión promedia sobre la superficie
 Empuje Total F = Presión promedia en el centro de gravedad de la figura x
Área de la superficie
Intensidad del empuje = Volumen del prisma de presiones
 Empuje Total/Unidad de ancho
B
H
gH
F 

2

B
gH
F 
 2
2
1

B
H
H
isma
Vol 


2
Pr
.

2
Pr
.
2
B
H
isma
Vol



21. 2
2
1
gH


= Area del diagrama de presiones
Y el centro de presión (ubicación del empuje) es el centroide (centro de gravedad)
del prisma de presión.
2.11 NIVEL IMAGINARIO DEL AGUA – NIA
Cuando sobre una superficie, pared, compuerta, etc, está actuando la presión
debida a varios fluidos; para facilitar los cálculos se deben reducir las presiones
de todos los fluidos que actúan sobre la superficie, a la presión equivalente de
un solo fluido, preferiblemente agua. La presión de cada fluido, se reduce a la
altura equivalente del fluido con que se va a trabajar y la cual ejercería una
presión idéntica a la del fluido que se quiere reemplazar.
Si por ejemplo, se reducen estas presiones a alturas equivalentes de columnas
de agua que ejercerían idénticas presiones, a la de los fluidos que se quieren
reemplazar, al sumar dichas alturas equivalentes, se obtiene el NIA (Nivel
equivalente de columna de agua).
De esta manera se trabaja con la presión equivalente que produce una
columna de un solo fluido, y todos los cálculos se realizan como si sobre la
superficie considerada estuviera actuando un solo fluido, cuyo nivel superior
sería la suma de las alturas equivalentes calculadas.
Ejemplo: Calcular el NIA (Nivel imaginario de la columna de agua), equivalente
a las presiones ejercidas sobre el fondo de un tanque que contiene dos (2)
tipos de aceites de densidades relativas de 0,8 y 1,6 respectivamente, ver
figura 2.25.
Figura 2.25
Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 1
agua
de
columna
de
m
m
h
h
h
h
h ac
ac
ac
w
ac
w
ac
ac
w
w 6
,
1
2
8
,
0
1
1
1
1
1
1 





 




Esto quiere decir que una columna de 1,6 m de agua, ejerce la misma presión
que una columna de 2 m de un aceite de densidad relativa ac1 = 0,8.
Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 2

22. agua
de
columna
de
m
m
h
h
h
h
h ac
ac
ac
w
ac
w
ac
ac
w
w 8
,
4
3
6
,
1
2
2
2
2
2
2 





 




Esto quiere decir que una columna de 4,8 m de agua, ejerce la misma presión
que una columna de 3 m de un aceite de densidad relativa ac2 = 1,6.
El NIA (Nivel Imaginario de columna de Agua) sería la suma de las dos (2)
columnas de agua equivalentes o sea 1,6 m + 4,8 m = 6,4 m. Esto quiere decir
que una columna de 6,4 m de agua nos ejerce sobre el fondo del tanque una
presión igual a la ejercida por la suma de las columnas de los aceites
considerados en la figura 2.25, con sus respectivas densidades.
La presión total ejercida sobre el fondo del tanque sería:
2
2
2
6400
4800
1600
m
Kgr
m
Kgr
m
Kgr


La presión ejercida por la columna de agua equivalente sería:
2
3
6400
4
,
6
1000
m
Kgr
m
m
Kgr
h
p w
w
w 


 
De esta manera se puede aprovechar el NIA (Nivel equivalente de columna de
agua u otro fluido) para calcular efectos (presiones) de varios fluidos sobre un
área determinada.
2.12 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES
CURVAS
2
3
2
2
2 4800
3
1600
2
aceite
del
Presión
m
Kgr
m
m
Kgr
h
p ac
ac 


 
2
3
1
1
1 1600
2
800
1
aceite
del
Presión
m
Kgr
m
m
Kgr
h
p ac
ac 


 

23. Figura 2.26
Consideremos una compuerta de superficie curva sujeta a la presión del agua
como se ilustra en la figura 2.26
La presión en cualquier punto h, debajo de la superficie libre del agua es gh y es
normal a la superficie de la compuerta y la naturaleza de su distribución sobre
toda la superficie, hace difícil la integración analítica.
Sin embargo, el empuje total actuando normalmente sobre la superficie, puede
ser descompuesto en dos componentes, y el problema de determinar el empuje
se realiza indirectamente combinando estas dos componentes
Figura 2.27 COMPONENTES DEL EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Considerando un área elemental de la superficie dA, fig.2.27, formando un ángulo
 con la horizontal, la intensidad de la presión sobre esta área elemental es igual
a gh
 Empuje total sobre esta área ghdA
dp 


24. Figura 2.28

 cos
ghdA
dpx 
Componente horizontal de dP

 sen
ghdA
dpy 
Componente vertical de dP
 La componente horizontal del empuje total sobre el área curva A
V
cg
A
X A
gh
Cos
dA
gh
P 

 


 
donde Av es el área plana proyectada
verticalmente de la superficie curva
Px es la intensidad de la presión en el centroide del área plana proyectada
verticalmente (BD) por el área proyectada verticalmente.
y la componente vertical
Siendo dV, el volumen del prisma de agua (real o virtual) por encima del área dA.
Py es igual al peso del agua (real o virtual) sobre la superficie curva BC limitada
por la vertical BD y la superficie libre del agua CD
El empuje resultante sería
2
2
Y
X P
P
P 

Py = gV
 


A
Y Sen
dA
gh
P 



A
Y dV
g
P 
dA
A
Cos V


dA
Cos
AV 
 

25. Actuando normalmente sobre la superficie, formando un ángulo








 
X
Y
P
P
tang 1

EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Determinar la presión en sobre un punto sumergido a 6 m de
profundidad en una masa de agua.
En el sistema MKS tenemos:
PROBLEMA 2
Determinar la presión en
,ejercida sobre un
punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de densidad relativa:
En el Sistema Técnico tenemos:

26. PROBLEMA 3
A qué profundidad de un aceite de densidad relativa , se producirá
una presión de 2.80 . A cual sí el líquido es agua?
En el Sistema Técnico tenemos:
Si fuera agua w = 1000
PROBLEMA 4
Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad
relativa ac  0 750
,
Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos:
6,67 mts de aceite de 3
750
m
Kgr
ac 




3
2
750
5000
m
Kgr
m
Kgr
p
h
ac
ac

 5 m = 5000 2
m
Kgr
3
m
Kgr
= 1000
w
wh
p 

w
ac
ac


  3
3
750
750
,
0
1000
m
Kgr
m
Kgr
ac
w
ac 


 



27. PROBLEMA 5
Con referencia a la figura 1, las áreas del pistón A y del cilindro B son
respectivamente de 40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr. Los depósitos y las
conducciones están llenos de aceite de densidad relativa ac  0 750
, . Cual es la
fuerza F necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A?
Figura 1
como
En el Sistema Técnico de unidades tenemos:
PROBLEMA 6
Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a
la columna de mercurio (densidad relativa Hg = 13,6) en el manómetro en U
mostrado en la figura 2.
Como los puntos a y b están al
mismo nivel (igual profundidad)
dentro de un mismo líquido,
entonces están a la misma
presión

28. Figura 2
p p
B C
 por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo líquido
en reposo.
p h h
A w w Hg Hg
 
 
En el Sistema Técnico tenemos:
Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua.
Como
y
En este problema se sumaron alturas de un mismo líquido, como debe ser, en
éste caso metros de agua.
PROBLEMA 7

29. Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa Hg = 13.6),
tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo
conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de niveles
de mercurio en los dos brazos es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo
izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la
presión absoluta en la tubería. También encontrar la nueva diferencia de niveles
del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2.
Figura 3
Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos:
a)
La presión absoluta correspondiente será:
b)
Figura 4
2
m
N
Abs
p 2
m
N
= 124,05  103
(22,76  103 + 101,396  103)

30. Si la presión baja en 2  103
N
m2
, los niveles del mercurio se modificarán tal como
aparecen en la figura 4
Reemplazando los valores de
p
g

m
seg
m
m
Kgr
m
N
116
,
2
81
,
9
10
10
76
,
20
2
3
3
2
3



Por lo tanto
2,116 m = 2,32 m – 26,2 X
.
La nueva diferencia de niveles será:
200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm
 Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería:
De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al
sistema, los niveles de mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo
de la línea central de la tubería.
Figura 5
Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos
= 7,79 m.m
m
m
m
m
X 3
10
786
,
7
2
,
26
204
,
0
2
,
26
116
,
2
32
,
2 






31. PROBLEMA 8
Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie
plana rectangular AB de medidas 1 m  2 m que se muestra en la figura 6
Figura 6
Ubicación
Por prisma de presiones:
m
m
m
Sen
m
m
m
m
h 35
,
2
4
,
4
12
8
2
,
2
90
2
,
2
1
2
2
1
12
1
2
,
2 0
2
2
4
3
0 








2
0 Sen
Ah
Ig
h
h
cg
cg 

 
m
m
m
m
Kgr
F 1
2
2
,
2
1000 3



A
h
F cg 
  En el Sistema
Técnico
Kgr
F 400
.
4


32. Figura 7
Ubicación

2
0 Sen
Ah
Ig
h
h
cg
cg 

Figura 8
Volumen Rectángulo =   1,2m  2m  1m = 2400 Kgr con aplicación de este
empuje en el centro de gravedad del Rectángulo.
Kgr
m
m
angulo
VolumenTri 2000
2
1
2
)
2
,
1
1
,
3
(







Empuje que estaría aplicado a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice
del mismo.
Tomando sumatoria (  de Momentos con respecto al punto O en el vértice del
triángulo
4400 Kgr  X(m) = 2400 Kgr  2,2 m + 2000 Kgr  (2/3(2)+1,2) m
m
Kgr
Kgr
Kgr
X
m
m
m 35
,
2
400
.
4
66
,
5066
5280 )
(
)
(
)
( 



33. PROBLEMA 9
Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área
triangular CD de 1,2 m  1,8 m mostrada en la figura 9, C es el vértice del
triángulo.
Figura 9
F = hcg  A
Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3  1,8 m
= 1,2 m de C
 X cg = 1,414 m + 1,2m = 2,614 m y el hcg será:
Kgr
m
m
m
m
Kgr
A
h
F
m
Sen
m
h
m
h
Sen
cg
cg
cg
84
,
1995
2
8
,
1
2
,
1
848
,
1
1000
848
,
1
45
614
,
2
614
,
2
45
3














Ubicación del Empuje
m
m
m
m
m
m
AX
Ig
X
X
cg
cg
cp
614
,
2
2
8
,
1
2
,
1
8
,
1
2
,
1
36
1
614
,
2
3
3







Xcp = 2,683 m de F
Figura 10
Ig = 1/36 bh3
CF
m
Sen
1
450

m
Sen
m
CF 414
,
1
45
1
0



34. 0
2
3
3
0
2
45
848
,
1
2
8
,
1
2
,
1
8
,
1
2
,
1
36
1
848
,
1
45 Sen
m
m
m
m
m
m
Sen
h
A
Ig
h
h
cg
cg
cp







= 1,848 m + 0,0974 Sen² 45
= 1,897 m
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROBLEMA 1
Determinar la presión en N/m2, sobre un punto sumergido a 6,00 mtrs. de
profundidad en una masa de agua.
PROBLEMA 2
Determinar la presión en kgr/cm2, ejercida sobre un punto sumergido a 9,00
mtrs. en un aceite de densidad relativa de σ = 0,750.
PROBLEMA 3
A qué profundidad de un aceite de densidad relativa σ = 0,750, se producirá
una presión de 2,80 kg./ cm2. A cuál, si el líquido es agua?
PROBLEMA 4
Convertir una altura de presión de 5 mtrs. de agua, en altura de aceite de
densidad relativa σ = 0,750.
PROBLEMA 5
Con referencia a la figura, las áreas del pistón “A” y del cilindro “B, son
respectivamente de 40 cm2 y 4000 cm2; “B” pesa 4000 kg. Los depósitos y las
conducciones están llenos de aceite de densidad relativa σ = 0,750. Cuál es la
fuerza “F” necesaria para mantener el equilibrio, si se desprecia el peso de “A”?

35. Figura 1
PROBLEMA 6
Determinar la presión manomérica en A en kg./ cm2, debida a la columna de
mercurio (densidad relativa σ = 13,6) en el manómetro en U, mostrado en la
figura.
Figura 2
PROBLEMA 7
Un manómetro (tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa σ = 13,6),
tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su izquierdo,
conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de
niveles de mercurio en los dos brazos, es de 200 mm. Si el nivel del mercurio
en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la
tubería, encontrar la presión absoluta de la tubería. También encontrar la
nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la
tubería cae en 2000 N/m2.
Figura 3
PROBLEMA 8
Aceite de densidad relativa 0,750 está fluyendo a través de la boquilla,
mostrada en la figura y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en
U. Determinar el valor de “h” si la presión en “A” es de 1,40 kg/cm2.
Resp. h = 1,14 mtrs.
PROBLEMA 9
Para una presión manométrica en “A” de –0,11 kg/cm2, encontrar la densidad
relativa del líquido manométrico “B” de la figura.
Resp. Dr = 1,00

36. Figura 4
PROBLEMA 10
Para una lectura manométrica en “A” de – 0,18 kg/cm2, determinar:
La elevación en las ramas abiertas de los piezómetros E, F y G.
La lectura del manómetro en “U” de mercurio de la figura 5
Resp. L=12,43mtrs. N= 12,30 mtrs. Q= 10,69 mtrs. h1 =0,61 mtrs.
Figura 5
PROBLEMA 11
Un manómetro diferencial está unido a dos puntos “A” y ”B” de una tubería
horizontal por la que circula agua. La lectura en el manómetro de mercurio es

37. de 0,60 mtrs., siendo el nivel más cercano a “A”, el más bajo. Calcular la
diferencia de presiones entre “A” y “B” en kg/cm2.
Resp. pa - pb = 0,754 kg/cm2.
Figura 6
PROBLEMA 12
Se quiere medir la pérdida de carga a través del dispositivo “X” mediante un
manómetro diferencial, cuyo líquido manométrico tiene una densidad relativa
de 0,750. El líquido que circula, tiene una densidad relativa de 1,50. Hallar la
caída en altura de presión entre “A” y “B” a partir de la lectura manométrica en
el aceite, mostrada en la figura 7.
Resp. pa - pb = 2,25 mtrs. del líquido.
Figura 7
PROBLEMA 13
Los recipientes “A” y “B” contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y
1,40 kg/cm2. Cuál es la lectura en el manómetro diferencial de mercurio,
mostrado en la figura 8?
Resp. h= 1,27 mtrs.

38. Figura 8
PROBLEMA 14
El depósito de la figura contiene un aceite de densidad relativa 0,750.
Determinar la lectura del manómetro “A” en kg/cm2 Resp. pa = -
8,71 ´ 10-2 kg/cm2.
Figura 9
PROBLEMA 15
Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de
un aceite de densidad relativa 0,750, conteniendo aire el espacio sobre el
aceite. Si la presión manométrica en el fondo del depósito es de 3,0 kg/cm2,
cuál será la lectura manométrica en la parte superior del depósito.
Resp. 1,860 kg/cm2.
PROBLEMA 16
Con referencia a la figura, el punto “A” está 53 cm por debajo de la superficie
libre del líquido, de densidad relativa 1,25, en el recipiente. Cuál es la presión
manométrica en “A”, si el mercurio asciende 34,30 cm en el tubo
Resp. –0,40 kg/cm2.

39. Figura 10
PROBLEMA 17
Un depósito “A”, a una elevación de 2,50 mtrs, contiene agua a una presión de
1,05 kg/cm2. Otro depósito “B”, a una elevación de 3,70 mtrs, contiene un
líquido a una presión de 0,70 kg/cm2. Si la lectura de un manómetro diferencial
es de 30 cms de mercurio, estando la parte más baja en el lado de “A” y a una
cota de 30 cms, determinar la densidad relativa del líquido contenido en “B”.
Resp. 0,525
PROBLEMA 18
El aire del recipiente de la izquierda de la figura, está a una presión de -23
cms. de mercurio. Determinar la cota del líquido manométrico en la parte
derecha, en “A”.
Resp. Cota = 26,30 mtrs.
Figura 11
PROBLEMA 19
El cilindro y el tubo mostrados en la figura, contienen aceite de densidad
relativa 0,902. Para una lectura manométrica de 2,20 kg/cm2. Cuál es el peso
total del pistón y la placa “W”
Resp. 60100 kg.

40. Figura 12
PROBLEMA 20
Con referencia a la figura, qué presión manométrica de “A” hará que la glicerina
suba hasta el nivel “B”? Los pesos específicos del aceite y glicerina son 832 y
1250 kg/cm3, respectivamente
Resp. 0,35 kg/cm2.
Figura 13
PROBLEMA 21
Para levantar una plataforma de 10 toneladas, se utiliza un gato hidráulico. Si
en el pistón actúa una presión de 12 kg/cm2 y es transmitida por un aceite de
densidad relativa 0,810, qué diámetro se requiere?
Resp. 32,60 cm
PROBLEMA 22
Si el peso específico de la glicerina es de 1260 kg/cm3, qué presión de succión
se requerirá para elevar la glicerina 22 cm. en un tubo de 12,50 mm de
diámetro?
Resp. -277 kg/cm2
PROBLEMA 23
Encontrar para la compuerta AB de la figura 14, de 2,50 mt de longitud, la
fuerza de compresión sobre la viga CD ejercida por la presión del agua. B, C y
D son puntos articulados.
Resp. 7160 Kgs

41. Figura 14
PROBLEMA 24
Una compuerta vertical rectangular AB de 3,6 mt de altura y 1,5 mt de ancho,
puede girar alrededor de un eje situado 15 cm por debajo del centro de
gravedad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6mt. Que fuerza
horizontal F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el
equilibrio?
Resp. 1490 Kgr.
PROBLEMA 25
Determinar el valor de z en la figura, de forma que la fuerza total sobre la barra
BD no sobrepase los 8000 kgs al suponer que el ancho de la compuerta en
dirección perpendicular al dibujo es de 1,20 mt y que la barra BD esta
articulada en ambos extremos.
Resp. 1,84 mt
Figura 15
PROBLEMA 26
Un aceite de densidad relativa 0,800 actúa sobre un área triangular vertical
cuyo vértice está en la superficie libre del aceite. El triángulo tiene una altura de
2,70 mt y una base de 3,60 mt. Una superficie rectangular vertical de 2,40 mt
de altura está unida a la base de 3,60 mt del triángulo y sobre ella actúa agua.
Encontrar la intensidad y posición de la fuerza resultante sobre la superficie
total.
Resp. 36029 Kgs a 3,57 mt de profundidad
PROBLEMA 27
En la figura, la compuerta AB tiene un eje de fijo en B y su anchura es de 1,20
mt. Qué fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para
mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2000 kgr?
Resp. 5200 kgrs

42. Figura 16
PROBLEMA 28
Un depósito tiene 6,00 mt de longitud y la sección recta mostrada en la figura.
El agua llega al nivel AE . Determinar
a) La fuerza total que actúa sobre el lado BC y
b) La intensidad y la posición de la fuerza total sobre el extremo ABCDE.
Figura 17
PROBLEMA 29
El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante
sobre la pared ABC que tiene 1,20 mt de ancho.
Resp. Fuerza total 11448 kgs, actuando a 3,23 mt de A.
Figura 18
PROBLEMA 30
La compuerta AB de la figura, tiene 1,20 mt de ancho y esta articulada en A.
La lectura manométrica en G es de 0,15 Kgr cm2 y el aceite que ocupa el
depósito de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750. Que fuerza
horizontal debe aplicarse en B para que la compuerta AB se mantenga en
equilibrio? Resp. 2590 Kgs hacia la izquierda

43. Figura 19
PROBLEMA 31
Con referencia a la figura, cual es la anchura mínima b de la base de la presa
de gravedad de una altura de 30 mt al suponer que la presión hidrostática
ascensional en la base de la presa varía uniformemente desde la altura de
presión total en el bordo de aguas arriba hasta el valor cero en el borde de
aguas abajo
Para este estudio se supone que las fuerzas resultantes de la reacción cortan a
la base a un tercio de la base del borde de aguas abajo (en =) y que el peso
específico del material de la presa es 2,50W (W es el peso específico del
agua).
Figura 20
PROBLEMA 32
Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área
rectangular CD de 1,20 mt x 1,80 mt mostrada en la figura.
Figura 21

44. HIDRODINAMICA
3.1 INTRODUCCIÓN
En general el estudio de un líquido en reposo está basado en ciertos principios bien
definidos de física, de tal manera que todos los problemas que usualmente se
encuentran en hidrostática no son más que una aplicación de éstos principios cuya
expresión matemática son fórmulas perfectamente conocidas; en cambio, un fluido en
movimiento presenta en algunos casos condiciones muy complejas y por lo tanto el
fenómeno no puede ser expresado de una manera exacta en alguna forma matemática
debido a las condiciones exteriores mas o menos variadas. A veces para una
concepción clara de un fenómeno es necesario suponer ciertas condiciones ideales que
permiten el establecimiento de algunas fórmulas fundamentales. Otras veces, dentro de
ciertos límites se establecen algunas fórmulas empíricas que se pueden aplicar en la
práctica, pero que sin embargo, resulta aventurado para el ingeniero no solo escoger
para sus cálculos tal o cual fórmula, sino que también es importante que escoja los
coeficientes adecuados para cada caso particular.
Para empezar el estudio de la hidrodinámica, se dan las siguientes definiciones:
Cuando el líquido llena completamente un conducto de sección transversal
circular y ejerce una cierta presión sobre las paredes de la tubería, se dice que el
conducto está trabajando como conducto a presión "Flujo en Tuberías  Flujo a Presión".
- En otros casos, el líquido que circula puede no llenar completamente el tubo
que lo transporta (el líquido estará a la presión atmosférica), entonces se dice que el
conducto está trabajando como canal "Flujo en Canales y Alcantarillados  Flujo sin
Presión  Flujo por gravedad”
-
Es importante tener presente estas definiciones para darse cuenta de cuando se trata de
fuerzas debidas a la fricción y cuando de fuerzas debidas exclusivamente a la acción de
la gravedad.
3.2 FLUJO DE FLUIDOS
El flujo de los fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme;
laminar o turbulento, unidimensional, bidimensional o tridimensional y rotacional o
irrotacional.
Verdaderamente, el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el
módulo (intensidad), dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son
idénticos. No obstante, el análisis como flujo unidimensional es aceptable cuando al

45. tomar como única dimensión espacial, de la que dependen todas las características, la
línea de corriente central del flujo; pueden considerarse como despreciables las
variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de
corriente. En tales casos, se consideran como representativas del flujo completo los
valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones
menores. Por ejemplo, el flujo en tuberías curvas se analiza mediante los principios del
flujo bidimensional, a pesar de que la geometría es tridimensional y la velocidad varía en
las secciones rectas de la tubería.
Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en
planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en
cada plano.
Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y
no tienen lugar movimientos rotatorios de las partículas fluidas alrededor de su propio
centro de gravedad. Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva
mediante la red de corriente, se llaman flujos irrotacionales.
Tipos de flujo: Permanente, no permanente, uniforme, variado, etc.
Regímenes: Turbulento, laminar, de transición. El régimen de flujo está definido por el
número de Reynolds.
3.2.1 FLUJO PERMANENTE
El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las
sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes, es la misma. Por
tanto, la velocidad es constante respecto al tiempo o bien v/t = 0, pero puede variar de
un punto a otro, es decir, ser variable respecto de las coordenadas espaciales. Este
supuesto da por sentado que las otras variables o magnitudes del fluido y del flujo no
varían con el tiempo o /t = 0, p/t = 0, q/t = 0, etc. La mayoría de los problemas
técnicos prácticos implican condiciones permanentes del flujo. Por ejemplo, el
transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de
depósitos por orificios, bajo altura de carga constante, ilustran flujos permanentes.
Estos flujos pueden ser uniformes o no uniformes.
Un flujo es no permanente cuando las condiciones en un punto cualquiera del fluido
varían con el tiempo, o bien v/t es diferente de cero (0).
3.2.2 FLUJO UNIFORME
El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no
varían de un punto a otro del fluido, es decir p/s = 0. Este supuesto implica que las
otras magnitudes físicas del fluido no varían con las coordenadas espaciales o bien

46. y/s = 0, p/s = 0, /s = 0, etc. El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías
de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente
como si es no permanente.
Figura 3.1
El flujo es no uniforme cuando la velocidad, la profundidad, la presión, etc., varían de un
punto a otro en la región del flujo, es decir v/s es diferente de cero (0), etc.
Figuras 3.2
Con el fin de simplificar los cálculos, se trabajará con flujos permanentes y uniformes en
régimen turbulento, considerando la velocidad promedia en la tubería.
3.3 GASTO O CAUDAL.
El Volumen de fluido que pasa por una área transversal perpendicular a la sección recta
de tubería en la unidad de tiempo se llama gasto o caudal, y lo designamos con la letra
Q. Las unidades dependen del sistema usado.
 Sistema Inglés:





47. 
 Sistema Métrico:

3.4 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
 La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la
masa. Para un flujo permanente, la masa de fluido que atraviesa cualquier sección
transversal perpendicular a la sección recta de la tubería de un conducto, por unidad de
tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue para el caso de flujo
permanente.
Figuras 3.3 y Figuras 3.4
 Consideramos un flujo a través de un tubo o conducto circular, figura 3.3., siendo las
secciones 1 y 2 normales a las líneas de corriente formadas por la circulación del líquido
que forman la circulación del líquido en el tubo. Para un valor de la densidad 1 y una
velocidad normal V1, el caudal en masa por unidad de tiempo que atraviesa la sección es
1V1 dA1, ya que V1dA1 es el volumen por unidad de tiempo. Análogamente, el caudal
en masa que atraviesa la sección 2 es 2V2dA2. Como en un flujo permanente la
masa no puede variar con el tiempo, y como no hay paso de fluido a través de la
superficie de contorno del tubo, el caudal en masa a través del tubo de corriente es
constante. Por tanto:
1V1 dA1 = 2V2 dA2
Las densidades 1 y 2 se mantienen constantes en cada sección genérica dA, y las
velocidades V1 y V2 representan las velocidades del fluido en el tubo de corriente en las
secciones 1 y 2, respectivamente. De aquí:

48. Integrando: 1V1 dA1 = 2V2 dA2 ó 1V1 A1 = 2V2 A2
Para fluidos incompresibles (y para algunos casos de flujos comprensibles) la densidad
es constante, es decir 1 = 2, por tanto:
3.5 TEOREMA DE BERNOULLI
Este teorema es básico en hidráulica. Casi todas las relaciones fundamentales de las
que se parte en hidrodinámica están basadas en este principio.
Si se supone un conducto de forma mas o menos caprichosa y se va a estudiar bajo qué
circunstancias se produce la circulación del agua, tenemos:
Las figuras 3.5 y 3.6 representan un tramo de tubo, en el cual se han determinado dos
secciones rectas A1 y A2.
Figuras 3.5 y 3.6
Para examinar que fuerzas están aplicadas a la masa de agua que está entre las dos
secciones, esta debe aislarse, es decir, se supone que no hay agua antes de A1 ni
después de A2 y que no existe la envoltura o tubo que rodea al líquido.
En lo que sigue, todos los datos relativos a la sección A1 se designarán con subíndice 1 y
los relativos a A2 con subíndice 2.

49. Las fuerzas que están actuando sobre la masa líquida están dibujadas en las figuras 3.5
y 3.6 Desde luego está sometida a su propio peso, que es la fuerza W que pasa por su
centro de gravedad G. Otra fuerza es la acción del líquido que está antes de A1 y que
empuja a la masa líquida y está representada por un vector F1 normal a la sección A1 y
cuya intensidad es el producto del área de la sección por la presión:
Otra fuerza es la reacción del líquido que está después de A2:
Otras fuerzas son las reacciones del tubo que provisionalmente se consideran
normales a las paredes, aunque no lo son por efecto del frotamiento; en realidad se
encuentran inclinadas oponiéndose al sentido de la circulación del agua.
Como se verá mas adelante, el frotamiento tiene una gran influencia en la circulación del
agua en tuberías, pues depende de la rugosidad de las paredes, del diámetro y longitud
del conducto.
Al estudiar cómo actúan las fuerzas ya mencionadas para provocar la circulación del
agua, tenemos:
De la física se sabe que la energía cinética de un cuerpo es:
y que trabajo (energía) es Tr = F  distancia.
Se debe también recordar de la física, el principio de la mecánica del movimiento que
dice: “Cuando un sistema de fuerzas está aplicado a un cuerpo en movimiento, la
suma de los trabajos realizados por las fuerzas, es igual a la variación de la fuerza
viva (energía cinética) del cuerpo.”
Para aplicar el principio mecánico de la igualdad de trabajo a la variación de la fuerza viva
es necesario considerar un desplazamiento.
Para ver que clase de desplazamiento conviene considerar, se debe tener en cuenta que
si es muy grande el desplazamiento de la masa líquida, el sistema de fuerzas sufre una
variación, por lo tanto conviene considerar un desplazamiento muy pequeño.
Si se considera en la figura 3.7 que por la sección 1 ha pasado un volumen muy
pequeño, hay que convenir en que ese mismo volumen ha pasado por la sección 2 y que
según la figura, el desplazamiento en A2 tiene que ser mayor que en A1 porque la sección
es menor y estamos considerando régimen permanente.

50. Fig. 3.7
Al calcular los trabajos de las fuerzas que producen el desplazamiento infinitamente
pequeño de la masa líquida, se tiene:
Al desplazamiento en A1 se denomina dl1 y al desplazamiento en A2 se denomina dl2.
En vez de considerar toda la masa y todo el volumen, se considera que el volumen 1 ha
pasado a 2. (Se considera sólo el flujo del área elemental rayada).
Se tiene entonces, recordando que
Trabajo efectuado por la fuerza F1
Trabajo efectuado por la fuerza F2
Trabajo efectuado por el peso dW
Trabajo efectuado por las reacciones del tubo
Al suponer por el momento que no hay rozamiento.
Entonces, la suma de los trabajos efectuados por el sistema de fuerzas aplicadas a la
masa líquida considerada entre las secciones 1 y 2, en un desplazamiento infinitamente
pequeño vale:
y

51. Al tomar los valores de dW y de dM y reemplazarlos en la ecuación anterior tenemos:
Dividiendo por dV;
Si se dividen todos los términos de la ecuación por , la ecuación no se altera,
resultando:
Reagrupando términos con igual índice tenemos:
Esta es la expresión matemática del Teorema de Bernoulli y se interpreta diciendo que:
"Si no hay pérdida de energía (carga) por fricción, entre dos secciones de la circulación
de un líquido en régimen permanente, la suma de las cargas (energías) de altura o
posición, de velocidad y de presión es constante en cualquier sección del líquido".
En la expresión anterior:
Si se estudian las unidades de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli:
h1 = queda medido en mtrs o pies, es decir, unidades de longitud.

52. 3.5.1 SIGNIFICADO DE CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN
DE BERNOULLI
3.5.1.1 3.5.1.1 TÉRMINO h: Energía de posición.
h es una altura o sea la distancia de un plano P de referencia a un cuerpo M.
Figura 3.8
Figura 3.8
Imaginemos que el cuerpo tiene una masa m y un peso W; por su posición respecto a P,
éste cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a P.
Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de
una posición en un plano a otra en otro plano, tenemos:
Cuando W = 1, una unidad de peso del fluido, ya sea un Newton, kilogramo, libra o una
dina, la energía de posición del cuerpo es h.
h - representa entonces la energía de posición de una unidad de peso del fluido, ya sea
un Newton, kilogramo, libra o una dina de agua, en Joules, kilográmetros, libra-pie o
ergios.
3.5.1.2 3.5.1.2 Término Energía de Velocidad
Si se supone un cuerpo cuyo peso es W con una masa m y animado de una velocidad V,
figura 3.9 que se desliza sin frotamiento sobre un plano:

53. Figura 3.9
Por el principio de inercia se sabe que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa
indefinidamente su movimiento; entonces, la energía cinética o sea la capacidad que
tiene el cuerpo para dar trabajo estará medida por la relación:
sustituyendo en la fórmula anterior se tiene:
Cuando W = 1 (un Newton, Kilogramo o una libra), la energía cinética será:
Esto quiere decir que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la
energía cinética que posee cada Newton, kilogramo, libra o cada dina del fluido, en
Joules, kilográmetros, libra-pie o ergios; por esto se llama "Carga de Velocidad".
3.5.1.3 3.5.1.3 Término Energía de presión
Se tiene un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y
conteniendo una cierta cantidad de agua, figura 3.10.
La llave V está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza F que ejerce
compresión sobre el líquido, por lo que éste está sometido a una presión que se llama p y
que es igual a:

54. Figura 3.10
Si se deja actuar a la fuerza F indefinidamente, el líquido estará sometido a la presión p;
si abrimos la llave V, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que
significa que el líquido tiene una cierta energía que es la que da el trabajo que puede
efectuar la fuerza F.
Llamando L a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la
energía que puede poseer el líquido por la acción de F vale:
Cuando: W = 1 (un Newton, kilogramo, libra o una dina)
Está última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior, pero es cómodo
considerarla como poseída por aquel. Este termino representa la energía de presión que
posee cada Newton, kilogramo, libra o cada dina del fluido, en Joules, kilográmetros,
libra-pie o ergios; por esto se llama "Carga de Presión".
3.5.1.4 3.5.1.1 Análisis de situaciones típicas
1- 1- Puntos en tubería horizontal con cambio de diámetro:

55. 2-
3- 2- Puntos en tubería de igual diámetro con cambio de altura de posición:
4-
5- 3- Puntos con igual presión pero diferente altura de posición:
6-
3.5.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA MODIFICADA PARA FLUJO DE FLUIDOS REALES
La ecuación de Bernoulli puede ser modificada en el caso de flujo de fluidos
incompresibles reales así:
1. 1. Introduciendo un término para las pérdidas en la ecuación general, el cual
tomaría en consideración la energía gastada en vencer las resistencias friccionales
causadas por los esfuerzos cortantes de viscosidad y turbulencia y otras resistencias
debidas a cambios de secciones, válvulas, uniones, etc.
2. 2. Corrigiendo el término de energía de velocidad por la verdadera distribución de
velocidad en una tubería; con flujo laminar las pérdidas varían directamente con la
viscosidad, la longitud y la velocidad e inversamente con el cuadrado del diámetro;
mientras que en flujo turbulento las pérdidas varían directamente con la longitud, el
cuadrado de la velocidad e inversamente con el diámetro. Las pérdidas en flujo

56. turbulento también dependen de la rugosidad del área interior de la tubería y de las
propiedades del fluido como son su densidad y viscosidad.
Por lo tanto, para flujo de fluidos incomprensibles reales, podemos escribir:
Donde  es el factor de corrección de la energía de velocidad (cinética). Las pérdidas se
representarán por hf .
Una ecuación general de los principios de conservación de energía puede ser derivada
para el flujo de un fluido tomando en consideración la masa, el momento y la
transferencia de calor y la energía térmica debida a la fricción en un fluido real.
Donde EB es la energía externa suministrada por alguna máquina, como una bomba y ET
es la energía extraída al sistema por alguna máquina, como una turbina.
3.6 SEPARACIÓN Y CAVITACIÓN EN EL FLUJO DE FLUIDOS
Si se considera un tramo de tubería ascendente de diámetro uniforme, tal como se
muestra en la figura 3.11, tenemos:
Figura 3.11
En cualquier punto, por la ecuación de Bernoulli.

57. Si se tiene diámetro uniforme y flujo permanente, la energía de velocidad será la misma
en todas las secciones (diámetro uniforme) y por lo tanto:
A medida que la elevación h aumenta, la presión p en el sistema disminuye, y si p llega a
ser igual a la presión de vapor del fluido, el fluido tiende a hervir liberando gases disueltos
y burbujas de aire. Con la liberación posterior de gases, las burbujas tienden a crecer en
tamaño, bloqueando eventualmente la sección de la tubería, haciendo que la descarga
sea intermitente. Este fenómeno es conocido como "separación" y reduce grandemente
la eficiencia del sistema.
Si las burbujas de aire formadas en el punto de separación son transportadas a una
región de alta presión, figura 3.12, tramo horizontal de tubería con aumento de diámetro
(h permanece constante), al aumentarse el diámetro, la V disminuye y por lo tanto
aumenta la presión. Las burbujas de aire que entran a ésta nueva situación por el flujo
del fluido, revientan en forma extremadamente abrupta o explotan, produciendo un
violento golpe de martillo sobre la superficie de contacto en la cual explotan las burbujas
y causan golpeteos y vibraciones al sistema, lo cual es altamente indeseable.
Figura 3.12
Todo el fenómeno se llama cavitación y debe ser prevenido cuando se diseña cualquier
sistema hidráulico.
3.7 CONDICIONES HIDRÁULICAS DEL SIFON
En algunos casos de conducción de agua puede suceder que se interponga algún
obstáculo. Para salvar ese obstáculo se usa lo que se llama un "sifón" que puede ser de
la forma de la figura 3.13 o bien como la figura 3.14; en este último caso se llama sifón
invertido y se presenta con mucha frecuencia en la conducción de agua en canales
(alcantarillado), cuando el obstáculo por salvar es alguna depresión.

58. Figura 3.13
Figura 3.14
¿Cómo se puede explicar que estando el agua quieta a un determinado nivel, logre
alcanzar un nivel más alto para pasar algún obstáculo y finalmente llegar a un nivel mas
bajo que el inicial?
En el caso de la figura 3.13, para que se origine la circulación del líquido y suba, hay que
hacer el vacío en la parte superior del sifón, entonces el agua sube por la acción de la
presión atmosférica que se ejerce sobre la superficie libre del líquido, por lo tanto para
iniciar la acción del sifón es necesario un dispositivo que puede ser neumático, para
expulsar el aire. En el caso del sifón invertido no es necesario esto porque en realidad es
la acción de la gravedad la que origina la circulación, justificada por el desnivel entre la
entrada y la salida; el principio de los vasos comunicantes está aplicado aquí.
3.8 APARATOS DE MEDICIÓN MÁS COMUNES EN EL FLUJO DE
FLUIDOS
3. 8.1 TUBOS PIEZOMÉTRICOS O PIEZÓMETROS
Consiste en un tubo vertical que se acopla a la tubería y sirve sólo para medir la energía
de presión en el punto dónde se instala.

59. Figura 3.15
Si se tiene un líquido circulando en un tubo figura 3.15, con una presión positiva p y se le
inserta otro tubo llamado piezómetro, el líquido subiría hasta cierta altura que, en función
de esa presión interior valdría:
Si la presión fuera negativa, no se presentaría la subida del agua en el piezómetro,
sino que le entraría aire a la tubería.
Si no se consideran las pérdidas:
h1 = h2
v1 = v2
p1 = p2
Si consideramos las pérdidas:
h1 = h2
v1 = v2
p1/ = h1
p2/ = h2 
p1 = h1 
p2 = h2  , siendo h1  h2
En consecuencia, los piezómetros no miden la energía debida a la carga de velocidad en
las conducciones, sino la presión en su interior.
3.8.2 TUBO PITOT
En algunos casos de conducción de agua, ésta circula con velocidades muy diferentes en
los diversos puntos de una sección, debido al rozamiento con las paredes de condiciones
de rugosidad muy variable, como sucede en los canales o en los ríos y entonces, para
averiguar las condiciones de circulación se emplea un medidor de velocidad que se llama
"Tubo de Pitot", el cual mide la energía de velocidad mas la energía de presión en el
punto donde se coloca.

60. El Tubo de Pitot es un tubo vertical en su mayor parte, y horizontal en un extremo, el cual
se sumerge en contra del flujo, tal como se muestra en la figura 3.17. El tubo está abierto
por ambas extremidades. La velocidad y la presión del agua, hace que ésta ascienda en
el tubo, hasta que la presión de la columna de agua equilibre la energía de velocidad del
agua y de presión en el punto 2.
3.8.2.1 Flujo a Presión:
Figura 3.17 y Figura 3.18
Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:
Si no se consideran las pérdidas:
Si no colocamos el tubo Pitot y si no se consideran las pérdidas:
Porque las condiciones hidráulicas son las mismas. Al colocar el Tubo Pitot la energía de
velocidad

61. En la medición, se observa que a mayor velocidad de circulación del líquido, mayor es la
altura h que alcanza el agua en el interior del tubo de Pitot, por lo tanto la velocidad podrá
conocerse midiendo h. Se puede considerar que una partícula de agua al pasar del
punto 1 al punto 2, pierde toda su energía de velocidad para convertirla en energía de
presión, que es justamente la debida a la columna del líquido h; diferencia de alturas
entre el punto 1 y el punto 2.
3.8.2.2 Flujo Libre:
Figura 3.19
Si el agua estuviera en reposo, ésta penetraría en el interior del tubo hasta alcanzar un
nivel igual al de la superficie del agua; pero cuando hay circulación, el agua penetra en el
tubo hasta un nivel superior al de la superficie del agua.

62. Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:
Como h1 = h2 y V2 = 0
También

63. La velocidad real será un poco menor (debido a las pérdidas de fricción que no se
consideraron. La velocidad dada en la Ec. anterior es modificada introduciendo un
coeficiente K; el cual tiene un valor que varía entre 0,95 y 1,0)
3.8.3 MEDIDOR DE VENTURI Y MEDIDOR DE ORIFICIO
Consiste en dos troncos de conos invertidos, con reducciones y ampliaciones graduales,
con una parte central de igual diámetro, el cual se utiliza para medir caudales que pasan.
En estos tipos de medidores, la medida del gasto (caudal), se realiza por medio de una
diferencia de presiones creadas en la tubería por medio de reducciones de diámetros en
la misma. En el venturímetro la reducción de los diámetros es gradual, mientras que en
el medidor de orificio dicha reducción es repentina. El flujo de los fluidos a través de
estos mecanismos de medida sigue los principios de conservación de energía y la
ecuación de continuidad. El medidor de venturi consiste en dos troncos de cono como se
ve en la figura 3.16 unidos por un tubo recto en la mitad.

64. Figura 3.16
Bernoulli entre el punto 1 de la tubería y el punto 2 de la garganta:
Como
Por Ecuación de Continuidad:
Sacando a como factor común, tenemos:
Sacando común denominador:

65. El flujo real, se obtiene introduciendo un coeficiente Cd (Factor de Corrección) en la
ecuación anterior debido a las pérdidas que no se consideraron inicialmente:
El valor numérico de Cd, coeficiente de descarga, dependerá de la relación A1/A2, el tipo
de transición, la velocidad y viscosidad del fluido.
Para las transiciones graduales del venturímetro se tienen pequeñas cantidades de
pérdidas y el valor de Cd estaría entre 0,96 y 0,99 para flujo turbulento.
La transición en el caso del medidor de orificio es repentina y por lo tanto allí se
presentan mayores pérdidas debido a la contracción y expansión de la vena del flujo a
través del orificio. Su coeficiente de descarga tiene por consiguiente un menor valor (0,6
a 0,63); y el área A2 de la Ec. se refiere al área del orificio y no al área contraída de la
vena del flujo.
La reducción en el diámetro de la constricción causa un incremento en la velocidad, y
consecuentemente se crea una gran diferencia de presión entre la entrada y la garganta,
permitiendo una gran precisión en la medida. Grandes velocidades en la garganta
causan bajas presiones en el sistema y si éstas caen por debajo del límite de la presión
de vapor del fluido, se presentaría el fenómeno de cavitación el cual es altamente
indeseable. Por lo tanto, la selección de la relación d2/d1 se debe considerar
cuidadosamente. Está relación se debe mantener entre 1/3 y 3/4 y el valor más común
es 1/2.

66. 3.8.4 MEDICIÓN DE CAUDALES EN UNA CORRIENTE:
Para obtener las curvas de igual velocidad en la sección transversal de una corriente, se
hacen mediciones determinando la velocidad en diferentes puntos a diferentes
profundidades, observando la altura h en el tubo de Pitot y la profundidad a la que se
hace dicha medición. En el dibujo de la sección transversal de la sección marcamos con
una X los diferentes puntos de observación, figura 3.20, e interpolando, se obtienen los
puntos de igual velocidad, que unidos por medio de una línea continua, muestran las
curvas en cuestión.
Con la ayuda de un planímetro se determinan las áreas de las zonas de igual velocidad,
que multiplicadas por la velocidad correspondiente, se obtienen los flujos parciales.
La sumatoria de los flujos parciales nos darán el caudal total de la corriente.
Figura 3.20
3.10
3.10
3.10
3.10 EJERCICIOS PROPUESTOS
3.10.1 PROBLEMA 1
3.10.2 Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de
agua transportado es de 3800 m3/día?.
3.10.3 Resp. 2,48 m/seg.
3.10.4
3.10.5 PROBLEMA 2

67. 3.10.6 Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3/seg. a una
velocidad media de 3 m/seg.?.
3.10.7 Resp. 92 cm.
3.10.8
3.10.9 PROBLEMA 3
3.10.10 Una tubería de 30 cm de diámetro, que transporta 110 l/seg., está
conectada a una tubería de 15 cm. Determinar la altura de velocidad en la
tubería de 15 cm.
3.10.11 Resp. 1,97 m
3.10.12PROBLEMA 4
3.10.13 Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 l/seg. La tubería se
ramifica en otras dos, una de 5 cm y la otra de 10 cm de diámetro. Si la
velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/seg., Cuál es la velocidad en la
tubería de 10 cm ?
3.10.14 Resp. 7,20 m/seg.
3.10.15 PROBLEMA 5
3.10.16 Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 l/seg. de un aceite de
densidad relativa 0,812 y la presión manométrica en A es de 0,20 kg/cm2. Si el
punto A está situado 1,80 m por encima del plano de referencia, calcular la
energía en A en mtrs.
3.10.17 Resp. 4,27 mtrs.
3.10.18 PROBLEMA 6
3.10.19 A través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro fluye agua a
una presión de 4,20 kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cual es el
caudal si en una reducción de 7,5 cm de diámetro la presión es de 1,40 kg/cm2
?.
3.10.20 Resp. Q = 107 l/seg.
3.10.21 PROBLEMA 7
3.10.22 Si en el problema 6 fluye un aceite de densidad relativa 0,752, calcular
el caudal ?.
3.10.23 Resp. 123 l/seg.
3.10.24
3.10.25 PROBLEMA 8
3.10.26 Si lo que fluye en el problema 6 es tretracloruro de carbono (densidad
relativa 1,594), determinar Q.
3.10.27 Resp. 85 l/seg.
3.10.28 PROBLEMA 9
3.10.29 A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia
arriba 220 l/seg de agua. En el punto A de la tubería la presión es 2,20 kg/cm2.
En el punto B, 4,60 mtrs por encima de A, el diámetro es de 60 cms y la
pérdida de carga entre A y B es igual a 1,80 mtr. Determinar la presión en B en
kg/cm2.
3.10.30 Resp. 1,61 kg/cm2.
3.10.31 PROBLEMA 10

68. 3.10.32 Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el
diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm.
La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la
tubería de 30 cm, donde la presión es de 5,25 kg/cm2. Si entre las dos
secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, cual es
la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120
l/seg?. Supóngase que no existen pérdidas.
3.10.33 Resp. 17,6 cm.
3.10.34 PROBLEMA 11
3.10.35 Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite de densidad
relativa 0,811 a una velocidad de 24 mts/seg. En los puntos A y B las medidas
de la presión y elevación fueron respectivamente 3,70 kg/cm2 y 2,96 kg/cm2 y
30 mts y 33 mts. Para un flujo permanente, determinar la pérdida de carga
entre A y B.
3.10.36 Resp. 6,12 mts.
3.10.37 PROBLEMA 12
3.10.38 Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15
cm de diámetro y 300 mts de longitud. El flujo es a tubería llena y desagua en
la atmósfera un caudal de 65 l/seg. Cuál es la presión en la mitad de la longitud
de la tubería al suponer que la única pérdida de carga es de 6,20 mts cada 100
mts de tubería?
3.10.39 Resp. 0,93 kg/cm2.
3.10.40 PROBLEMA 13
3.10.41 Un aceite de densidad relativa 0,750 es bombeado desde un depósito
por encima de una colina a través de una tubería de 60 cm de diámetro,
manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 1,80 kg/cm2.
La parte superior de la tubería está 75 mts sobre la superficie libre del depósito
y el caudal de aceite bombeado es de 620 l/seg. Si la pérdida de carga desde
el depósito hasta la cima es de 4,70 mts, que potencia debe suministrar la
bomba al líquido?.
3.10.42 Resp. 645 CV.
3.10.43 PROBLEMA 14
3.10.44 Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15
cm. La bomba desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de
diámetro, situada 3,20 mts sobre el nivel del agua del pozo. Cuando se
bombean 35 l/seg, las lecturas de los manómetros colocados a la entrada y a la
salida de la bomba son -0,32 kg/cm2 y +1,80 kg/cm2, respectivamente. El
manómetro de descarga está situado 1 mt por encima del manómetro de
succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la
tubería de succión de 15 cm.
3.10.45 Resp. 10,4 CV y 0,80 mts.
3.10.46 PROBLEMA 15
3.10.47 Calcular la perdida de carga en una tubería de 15 cm de diámetro si es
necesario mantener una presión de 2,35 kg/cm2 en un punto aguas arriba y

69. situado 1,80 mts por debajo de la sección de la tubería por la que desagua en
la atmósfera 55 l/seg de agua.
3.10.48 Resp. 21,70 mts.
3.10.49 PROBLEMA 16
3.10.50 Un depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno
de agua, y el espacio superior con aire a presión. una manguera de 5 cm de
diámetro, conectada al depósito desagua sobre la azotea de un edificio, 15 mts
por encima de la superficie libre del agua del depósito. Las pérdidas por fricción
son de 5,50 mts. Que presión de aire debe mantenerse en el depósito para
desaguar sobre la azotea un caudal de 12 l/seg?.
3.10.51 Resp. 2,24 kg/cm2.
3.10.52 PROBLEMA 17
3.10.53 Mediante una bomba se bombea agua desde un recipiente A, a una
elevación de 225 mtr, hasta otro depósito E, a una elevación de 240 mtr, a
través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la tubería de 30 cm
en el punto D, a una elevación de 195 mtr, es de 5,60 kg/cm2. Las pérdidas de
carga son : de A a la entrada de la bomba B = 0,60 mtr, de la salida de la
bomba C hasta D = 38 v2/2g y desde D a E = 40 v2/2g. Determinar el caudal Q
y la potencia en CV suministrda por la bomba BC.
3.10.54 Resp. 166 l/seg. y 83 CV.
3.10.55 PROBLEMA 18
3.10.56 Desde un depósito hay que transvasar un caudal de agua de 89 l/seg
mediante un sifón. El extremo por el que desagua el sifón ha de estar a 4,20
mts por debajo de la superficie libre del agua en el depósito. Los términos de
pérdida de carga son: 1,50 V2/2g desde el depósito hasta la parte más elevada
del sifón y 1V2/2g desde esta al desagüe. La parte superior del sifón está 1,50
mts por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro de la tubería
necesaria y la presión en la parte superior del sifón.
3.10.57 Resp. 15,3 cms y -0,45 kg/cm2
3.10.58 PROBLEMA 19
3.10.59 Se está ensayando una tubería de 30 cms para evaluar las pérdidas de
carga. Cuando el caudal de agua es de 180 l/seg, la presión en el punto A de la
tubería es de 2,80 Kg/cm2. Entre el punto A y el punto B, agua abajo y 3 mts
más elevado que A, se conecta un manómetro diferencial. La lectura
manométrica es de 1 mt, siendo el líquido mercurio e indicando mayor presión
en A. Cuál es la pérdida de carga entre A y B ?
3.10.60 Resp. 12,57 mts
3.10.61 PROBLEMA 20
3.10.62 La bomba B comunica una altura de 42,20 mts al agua que fluye hacia
E, como se muestra en la figura. Si la presión en C es de -0,15 Kg/cm2 y la
pérdida de carga entre D y E es 8V2/2g. Cuál es el caudal?
3.10.63 Resp. 275 Lts/seg

70. Figura 3.25
3.10.64 PROBLEMA 21
3.10.65 En el sistema mostrado en la figura, la bomba BC debe conducir un
caudal de 160 ltrs/seg de aceite de densidad relativa 0.762, hacia el depósito
D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es de 2.50 mtrs y entre C
y D es de 6.50 mtrs; calcular la potencia de la bomba en CV.
3.10.66 Resp. 88 CV.
Figura 3.26
3.10.67 PROBLEMA 22
3.10.68 De una represa se le suministra agua a una turbina mediante una caída
de 20 mtrs. Cuando la turbina recibe 500 ltrs/seg, las pérdidas en la tubería de
suministro de 300 mm son de 2.5 mtrs. Determinar la presión a la entrada de la
tubería, si en la tubería de salida de 600 mm se presenta una presión negativa
de -30 KN/m2 en un punto situado 1.5 mtrs por debajo de la línea de
suministro. Determinar : a) La energía absorbida por la turbina en KW, si se
desprecian todas las pérdidas por fricción entre la entrada y la salida de la
turbina. b) La energía suministrada por la turbina, si su eficiencia es del 85%.
3.10.69 Resp. a) 107,41 KW; b) 91,30 KW.

71. Figura 3.27
3.10.70 PROBLEMA 23
3.10.71 Un aceite de densidad relativa 0,761, está fluyendo desde el depósito A
al E, según se muestra en la figura. Las distintas pérdidas de carga vienen
dadas así:
3.10.72
Determinar: a) El caudal Q en m3/seg, b) La presión en C en kg/cm2 y c) La
potencia en C, en CV, tomando como plano de referencia el que pasa por E.
Resp. a) 0,086 m3/seg; b) -0,106 kg/cm2; c) 9,85 CV
Figura 3.28
4.1 NÚMERO DE REYNOLDS
Como ya se dijo antes, en el capítulo III, en el flujo de fluidos a través de una
tubería se pueden presentar diferentes tipos de flujo: uniforme, permanente,
variado, etc. y diferentes regímenes: laminar, turbulento, de transición. El
régimen de flujo está definido por el número de Reynolds (número adimensional)

72. 





 VD
como
VD
VD




 Re
Re
donde :
seg
m
V en
Velocidad

m
D en
tubería
Diámetro

 
Tec.
Sist.
M.K.S.;
Sist.
en
líquido
del
Densidad 3
3
m
UTM
m
Kgrm


   
Seg
m
Kgr
m
Seg
N
m
Seg
Kgr m
F



 ,
,
en
fluido
del
Viscosidad 2
2

Seg
m2
en
cinemática
Viscosidad


Sistema Técnico
   
2
3
2
)
(
y
Como
Seg
m
Kgr
g
F
UTM
M
g
M
F
m
UTM
m
Seg
Kgr
F
F










Seg
m
m
Seg
Kgr
m
Seg
Kgr
m
m
Seg
Kgr
m
Seg
Kgr
m
Seg
m
Kgr
m
Seg
Kgr
F
F
F
F
F
F
2
4
2
)
(
2
)
(
3
2
)
(
2
)
(
3
2
)
(
2
)
(










Sistema MKS
También

73. Según el número de Reynolds, los flujos se definen:
Re < 2000  Flujo laminar
Re 2000 - 4000  Flujo de transición
Re > 4000  Flujo turbulento
4.2 PÉRDIDA DE ENERGÍA EN TUBERÍAS
Al hablar de la ecuación de Bernoulli, se definió que:
 de energías en A – Pérdidas =  de energías en B
Cuando un fluido circula por una tubería, sufre pérdidas en su energía por
diferentes causas; siendo las mas comunes las pérdidas por:
1. Rozamiento
2. Entrada
3. Salida
4. Súbito ensanchamiento del tubo
5. Súbita contracción de la tubería
6. Obstrucciones ( válvulas, medidores, etc).
7. Cambio de dirección en la circulación.
Normalmente las pérdidas mas importantes son las debidas al rozamiento y se
denominan "pérdidas mayores". En algunos casos, las pérdidas puntuales
debidas a cambios de diámetro o secciones, cambios de dirección de flujo,
válvulas, etc., que se denominan" pérdidas menores", pueden ser de importancia.

74. 4.3 PÉRDIDAS DE CARGA POR FRICCIÓN O ROZAMIENTO
Las paredes de la tubería ejercen una resistencia continua al flujo de los fluidos.
En flujo permanente en una tubería uniforme, el esfuerzo constante  en la zona
de contacto del fluido con la tubería, es uniforme a lo largo de la misma y ésta
resistencia produce una rata uniforme de pérdida de energía a lo largo de la
tubería. Las pérdidas de energía a lo largo de una tubería se denominan
comúnmente "pérdidas por fricción" y se denotan por hf. La rata de pérdida de
energía o gradiente de energía se define con L
h
S f
f 
donde:
Sf : Rata de pérdida de energía
hf : Pérdidas de energía
L : Longitud de la tubería
Cuando la tubería es de gran longitud, las pérdidas por fricción llegan a ser tan
grandes que a veces pueden despreciarse las demás pérdidas por ser muy
pequeñas comparadas con ella. Las pérdidas por fricción dependen de:
a. El material de que está construido el tubo (hierro, concreto, cobre,
galvanizado..)
b. El estado de la tubería (Nueva, vieja, con incrustaciones,.. etc.)
c. La longitud de la tubería
d. El diámetro de la tubería
e. Velocidad de circulación del fluido en la tubería.
De acuerdo con lo anterior, en las leyes que rigen las pérdidas de carga por
fricción en tuberías intervienen a nivel general los siguientes factores:
1. Es proporcional a la longitud de la tubería
2. Es inversamente proporcional al diámetro de la tubería
3. Es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de
circulación del fluido.
Estas leyes se conocen como las leyes de Chezy, las cuales con la consideración
de que las pérdidas por fricción dependen también del material y del estado de la
tubería, se engloban en una fórmula fundamental para el cálculo de las pérdidas
por fricción en tuberías que fue propuesta por Darcy-Weisbach, usando un
coeficiente  que depende de éstas dos últimas condiciones.
4.4 FÓRMULA DE DARCY- WEISBACH
De Bernoulli tenemos que:

75. g
V
p
h
Pérdidas
h
g
V
p
h B
B
B
f
A
A
A
2
)
(
2
2
2








La pérdida de energía por fricción en flujo permanente y uniforme está dada por:
La cual es una fórmula empírica, resultado de experimentaciones de laboratorio
que no puede demostrarse, donde:
 - Coeficiente de fricción - adimensional
L - Longitud de la tubería en metros
D - Diámetro de la tubería en metros
V - Velocidad del fluido en la tubería en m/seg
g - Aceleración de la gravedad en m/seg2
Para régimen turbulento, el coeficiente de la fricción  está en función de K/D
(rugosidad relativa) y del número de Reynolds
definido.
ya
,
Re

VD








D
K
f Re,

Donde:
K = Tamaño de la rugosidad efectiva de las paredes de la tubería en mm.
D = Diámetro de la tubería en mm.
Este coeficiente de fricción  , ha sido ampliamente estudiado por diferentes
autores como Blasius, Prandt, Nikuradse, Karman, Colebrook White; los cuales
han propuesto diferentes fórmulas para calcular dicho coeficiente.
Se encontró que aplicable en las tres zonas de flujo turbulento (Zona lisa
turbulenta, zona de transición turbulenta y zona rugosa turbulenta) fue graficada
en la forma de  - vs - Re por Moody, dando origen a lo que generalmente se
denomina como "Diagrama de Moody". En éste diagrama, conocidos el número
de Reynolds Re y la rugosidad relativa K/D, para el flujo en una determinada
tubería, obtenemos el coeficiente de rugosidad  a emplear en la fórmula de
Darcy-Weisbach.

76. De la fórmula de Darcy-Weisbach tenemos:
2
1
2 2
2












L
g
D
h
V
L
g
D
h
V f
f


Para tramos de 1000 metros, tenemos que L= 1000 mtrs, entonces:
de
general
forma
la
a
responde
que
ecuación
una
es
cual
la
,
1000
2 2
1
2
1
D
h
g
V f



La cual es una ecuación que responde a la forma general de
t
m
f
f
f
f
D
h
K
Q
D
h
K
D
D
h
K
A
V
Q
como
y
D
h
K
V
3
2
5
2
1
3
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
4








Varios investigadores han encontrado valores diferentes para los coeficientes y
exponentes en la fórmula general de Darcy, dependiendo de las condiciones,
estado y tipo de tubería. Hay muchas fórmulas empíricas debidas a
investigadores como: Scobey, Schoder y Dawson, Manning, Hazen-Williams,
King, Barnes, Tutton, etc.; lo importante es que se escoja la que sea más
indicada para el caso en particular.
Una de las fórmulas mas conocidas, para el cálculo de flujo de agua en tuberías,
es la de Hazen-Williams:
Los autores dan los siguientes valores a los coeficientes:
TABLA 4.1
Valores de los coeficientes de las fórmulas de Hazen Williams
para velocidad, caudal y pérdidas
CLASE Y ESTADO
DE LA TUBERÍA
K2 K3 K4
Tuberías extremadamente
lisas, perfectamente alineadas
1.190 0.935 0.000724
Tuberías muy lisas de hierro
fundido nuevas y muy buen
estado -concreto lisas y
alineadas.
1.105 0.868 0.000831
Tuberías de acero nuevas con 0.935 0.734 0.001132

77. flujo en el sentido del traslape-
Hierro fundido de 10 años de
uso.
Tuberías de acero nuevas con
flujo en contra del traslape -
Hierro fundido de 20 años de
uso.
0.850 0.668 0.001351
Tuberías en concreto
precolado-hierro forjado lisas y
bie alineadas
1.020 0.801 0.000963
Tuberías de hierro viejas y en
muy malas condiciones- varía
entre
0.689
0.510
0.534
0.401
0.002041
0.003399
Tuberías de muy pequeño
diámetro, fuertemente
incrustadas y en pésimas
condiciones.
0.340 0.267 0.007375
También la encontramos expresada como:
54
,
0
63
,
2
2
54
,
0
63
,
0
54
,
0
63
,
0
2788
,
0
4
355
,
0
donde
,
355
,
0
S
D
C
Q
D
S
D
C
A
V
Q
L
h
S
S
D
C
V
f







El coeficiente C depende de la clase de tubería.
TABLA 4.2
Valores de C para la fórmula de Hazen-Williams
TIPO DE TUBERÍA C
Asbesto cemento 140
Latón 130 - 140
Ladrillo para alcantarillas 100
Hierro colado
- Nuevo, sin revestir
- Viejo, sin revestir
- Revestido de cemento
- Revestido de esmalte bitumástico
- Cubierto de alquitrán
130
40 – 120
130 – 150
140 – 150
115 -135
De hormigón o revestido de hormigón
- Cimbras de acero
- Cimbras de madera
- Centrifugado
140
120
135
Cobre 130 - 140
Manguera de incendio (recubierta de hule) 135
Hierro galvanizado 120

78. Vidrio 140
Plomo 130 - 140
Plástico 140 - 150
Acero
- Revestido de alquitrán de hulla
- Nuevo, sin revestir
- Remachado
145 – 150
140 – 150
110
Estaño 130
Barro vidriado 100 - 140
Tabla tomada del libro “Acueductos: Teoría y Diseño” de Freddy Hernán Corcho
Romero y José Ignacio Duque Serna. Centro General de Investigaciones.
Colección Universidad de Medellín.
4.5 PÉRDIDAS MENORES O LOCALES
En la parte de orificios se vio que al salir de un almacenamiento, los filetes
líquidos cambian de dirección al entrar al tubo, originándose una pérdida de
energía. Esta pérdida de carga que es proporcional al cuadrado de la velocidad,
será tanto menor cuanto menos dificultad tengan los filetes al entrar al tubo, lo
cual dependerá del grado de abocinamiento de la entrada. Casos similares
suceden al pasar el agua de la tubería a un almacenamiento, en los cambios de
dirección, en los ensanchamientos y contracciones tanto bruscos como
graduales. Estas pérdidas menores están dadas en general, por fórmulas que
dependen de las cargas de velocidad y cuyas expresiones generales son del tipo
K V2/2g o, K (V12 – V22 )/2g , cuyos coeficientes K son típicos para cada caso
particular y para lo cual se han construido tablas de acuerdo con experiencias de
laboratorio.
A continuación se presenta una tabla con los casos típicos mas usuales, tomada
del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Giles Ronald V.
TABLA 4.3
Pérdidas de carga en accesorios
(Subíndice 1 = aguas arriba y subíndice 2 = aguas abajo)
ACCESORIOS PÉRDIDAS DE CARGA
MEDIA
1- De depósito a tubería. Pérdida de entrada.
- Conexión a ras de la pared
- Tubería entrante

79. - Conexión abocinada
2 - De tubería a depósito. Pérdida a la salida.
3 - Ensanchamiento brusco
4 – Ensanchamiento gradual (véase tabla 4.4)
5 – Venturímetros, boquillas y orificios
6 – Contracción brusca (véase tabla 4.4)
7 – Codos, accesorios, válvulas
Algunos valores corrientes de K son:
- 45°, codo …………..0,35 a 0,45
- 90°, codo …………..0,50 a 0,75
- Tes …………………1,50 a 2,00
- Válvulas de compuerta (abierta) …..
Aprox. 0,25
- Válvulas de control (abierta) ………
Aprox. 3,0
Tabla tomada del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Ronald V. Giles.
Ediciones McGRAW-HILL
TABLA 4.4
Valores de K para contracciones y ensanchamientos
CONTRACCIÓN
BRUSCA
ENSANCHAMIENTO GRADUAL PARA UN ÁNGULO
TOTAL DEL CONO
d1/d2 Kc 4° 10° 15° 20° 30° 50° 60°
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
0,08
0,17
0,26
0,34
0,37
0,41
0,43
0,45
0,46
0,02
0,03
0,03
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,04
0,06
0,07
0,07
0,07
0,08
0,08
0,08
0,08
0,09
0,12
0,14
0,15
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,23
0,26
0,28
0,29
0,30
0,31
0,31
0,31
0,25
0,36
0,42
0,44
0,46
0,48
0,48
0,49
0,50
0,35
0,50
0,57
0,61
0,63
0,65
0,66
0,67
0,67
0,37
0,53
0,61
0,65
0,68
0,70
0,71
0,72
0,72

80. Tabla tomada del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Ronald V. Giles.
Ediciones McGRAW-HILL
4.6 GRADIENTE HIDRÁULICO
Es una forma de visualizar gráficamente la energía de presión (LGH: Línea de
Gradiente Hidráulico) o la suma de todas las energías (LET: Línea de Energía
Total), que tiene el fluido en cada uno de los puntos de la tubería por donde fluye.
Si se considera un tubo horizontal de sección constante, figura 4.1; la energía
total que el líquido posee en un punto dado, es la suma de la energía de posición,
la energía de velocidad y la energía de presión.
Si en un punto A del tubo se hace un orificio y se inserta un tubo que llamamos
piezómetro, el agua ascenderá hasta un determinado nivel, cuya altura es
justamente la medida de presión en ese punto. Si el piezómetro se inserta en un
punto B, el agua subirá allí hasta un nivel menor que el alcanzado en A; esto
debido a las pérdidas por fricción entre esos dos puntos . Lo mismo
sucedería entre B-C, etc. La unión de esos puntos conforman la LGH.
Pendiente de la línea gradiente hidráulico. Es la tangente de ángulo α
La línea de gradiente hidráulico o piezométrica muestra la elevación de la energía
de presión a lo largo de la tubería; permitiendo determinar o visualizar la presión
que se presenta en cada punto de la tubería. En una tubería uniforme la energía
de la velocidad V2/2g, es constante y la línea de energía total es paralela a la
línea de gradiente hidráulico.

81. Figura 4.2
Que se puede hacer para subir la L.G.H. y darle agua a la casa A de la figura
4.2?
1- Construir un tanque elevado T, en lugar del enterrado.
2- Instalar una bomba y subir la línea de gradiente hidráulico.
3- Aumentar el diámetro de la tubería para reducir pérdidas.