Prueba 1

1. Lógica de Predicados.
Freddy Cardoza

2. Reglas de Inferencia:
La clase anterior se estudió algunas reglas de inferencias y su aplicación en la lógica
de enunciados.
Como se mencionó semanas atrás el uso y empleo de la lógica de enunciados tiene un uso
un tanto limitado, debido a que su notación no describe con demasiada rigurosidad las
proposiciones (solo se distinguen entre conectores y proposiciones simples); es por ello que
es necesario hacer un estudio un poco más riguroso empleando la lógica de predicados.

3. Reglas de Inferencia. Lógica de Predicados:
Haciendo memoria recordamos que tenemos tres elementos en la lógica de predicados:
● Término:
● Variable: Término indeterminado. Se identificará con las últimas letras del abecedario
● Constante: Término determinado. Se identificará con las primeras letras del abecedario.
● Predicado
● Cuantificadores:
● Existencial: Algunos(as), Existe, No ocurre que algunos(as), etc.
● Universal: Para todo(a), Todos(as), Ninguna, etc.

4. Reglas de Inferencia. Lógica de Predicados:
El procedimiento de deducción es análogo al realizado en lógica de enunciados, solo es
necesario realizar dos pasos adicionales dependiendo del ejercicio, para los cuales vamos a
definir cuatro reglas de inferencia adicionales:
●
Ley de Especificación Universal (EU): ∀xPx puede simplicarse a Px en el paso siguiente.
●
Ley de Especificación Existencial (EE):∃xPx puede simplicarse a Px si y solo si x no aparece
como variable libre.
●
Ley de Generalización Universal (GU): De Px puede concluirse ∀xPx, si x no es una variable
libre en las premisas y que no provenga de un existencial
● Ley de Generalización Existencial (GE): De Px puede concluirse ∃xPx.

5. Leyes de Morgan para Cuantificadores:
Adicional a las leyes anteriores, también se cuenta con una Ley de Morgan para
Cuantificadores que se enuncia a continuación:
¬(∀xPx)↔∃x(¬Px)
¬(∃xPx)↔∀x(¬Px)
Observe que las dos equivalencias que se muestran fueron vistas previamente en la clase
sobre lógica argumentativa.

6. Ejemplo 1:
Demostrar: ∀x(Rx∧¬Px)
1) ∀x(Px→Qx) P
2) ∀x(¬Qx→Rx) P
3) ¬∃xQx P
4) ∀x¬Qx M3
5) Px→Qx EU1
6) ¬Qx→Rx EU2
7) ¬Qx EU4
8) Rx PP 6,7
9) ¬Px TT 5,7
10) Rx∧¬Px A 8,9
11) ∀x(Rx∧¬Px) GU 10

7. Ejemplo 2:
Demostrar: ∃x(Rx∧Qx)
1) ∀x(Px→Qx) P
2) ∃x(Rx∧Px) P
3) Rx∧Px EE2
4) Px→Qx EU1
5) Rx S3
6) Px S3
7) Qx PP 4,6
8) Rx∧Qx A 5,7
9) ∃x(Rx∧Qx) GE 8

8. Ejemplo 3:
Demostrar: ∃x(Ex∧Fx)
1) ∀x(Ex→Px) P
2) ∃x(Fx∨Lx) P
3) ∃x(Ex∧¬Lx) P
4) Ex→Px EU1
5) Fx∨Lx EE2
6) Ex∧¬Lx EE3
7) ¬Lx S6
8) Fx TP 5,7
9) Ex S 6
10) Ex∧Fx A 9,8
11) ∃x(Ex∧Fx) GE 10

9. En Resumen:
- Primero debes eliminar las negaciones de los cuantificadores empleando la Ley de Morgan.
- Aplicas las leyes de especificación para separar los cuantificadores de las fbf (fórmulas bien
formadas).
- Aplicas las leyes de inferencia para lógica de predicados.
- Devuelves los cuantificadores utilizando para ello las leyes de generalización.

10. Cuantificadores.
Freddy Cardoza

11. Cuantificadores:
Anteriormente se definió a los cuantificadores como, “una expresión que afirma o niega una
condición dada para una población”, A partir de este concepto se construyeron algunas
expresiones, se estudió lo relacionado a teoria argumentativa (interpretación y relaciones)
y se realizaron algunos problemas de inferencia lógica.
El común denominador en estos temas es el uso de cuantificadores en una sola variable,
ahora se nos presenta una duda, si queremos representar varios conjuntos de una población
¿Cómo puedo representarlos?
.

12. Cuantificadores de varias variables:
Para esos casos pueden aplicarse dos o más cuantificadores, lo importante es reconocer
como interpretar la expresión. Veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1:
Para cada x e y, si x es mayor que y, entonces no ocurre que y sea mayor que x.
Dos es mayor que uno.
Por tanto, no ocurre que uno sea mayor que dos.
En forma simbólica,
∀x∀y(x>y → (y>x))
(2>1)
¬(1>2)
Observe que se emplean dos cuantificadores (uno por cada variable) para definir el
enunciado.

13. Adicionalmente, podríamos deducir la inferencia del ejemplo anterior, pero no es objetivo de
este curso profundizar en este análisis, lo que si podría interesarnos estudiar es el grado de
certeza de un cuantificador.
Para ello, hacemos un estudio simplificado de la expresión y emitimos una conclusión
general, el tipo de demostraciones recomendadas es por contradicción (demostración al
absurdo) y por simplificación (subalternación).
Ejemplo 1:
Determinar el grado de certeza de las siguientes expresiones:
a) ∀x∀y x,y∈N (x+y > x-y)
b) ∀x∀y x,y∈R (x2
> y2
)

14. El primero es cierto, ya que siempre la diferencia de dos números es menor que la suma de
los mismos, la demostración puede realizarse tomando dos vairables cualesquiera y
ver la tendencia (graficar las dos curvas en un eje de coordenadas).
El segundo por el contrario es falso, para la demostración se puede tomar un ejemplo
particular y probar que no se cumple la condición del fbf (ejemplo para x = 0 y y = 1).

15. En resumen,
Los cuantificadores siempre deben colocarse al principio de las expresiones y representan
una condición dada para la variable ligada al mismo.
En una expresión matemática pueden existir infinitos cuantificadores de acuerdo al número
de casos que requiera el problema.
Pueden alternarse los cuantificadores sin afectar el orden, aunque la convención es que el
cuantificador más importante (el universal) este ubicado por delante del resto.
Para demostrar el grado de certeza de una expresión, se puede usar demostración al
absurdo (tomas un ejemplo y llegas a una inconsistencia), en general puedes apoyarte en las
relaciones oposición para plantear ejemplos convenientes que te permitan demostrar la
expresión.

16. Teoria de Conjuntos.
Freddy Cardoza

17. Otra forma, de estudiar lo que ocurre dentro de una población y su relación, es empleando la
teoría de conjuntos que básicamente estudia las relaciones existentes en una serie de
elementos (que llamaremos conjunto de ahora en adelante) con otros similares.
Para ese estudio, veremos cuatro tipos de operaciones básicas:
● Unión.
● Intersección.
● Diferencia.
● Complemento.

18. Subconjunto. Definición:
Se entiende por subconjunto si todos los elementos de un conjunto B pertenecen a un
conjunto llamado A. (B ⊂ A)
A
B

19. Unión:
Se define unión de dos conjuntos A y B como:
A∪B = {x∈U / x∈A ∨ x∈B}

20. Intersección:
Se define intersección de dos conjuntos A y B como:
A∩B = {x∈U / x∈A ∧ x∈B}

21. Diferencia:
Se define diferencia entre los conjuntos A y B como:
A - B = {x∈A / x∉B}

22. Problemas de Álgebra de Conjuntos:
Ejemplo 1:
Una empresa automotriz requiere 22 profesionales para que trabajen en ella. Los aspirantes
deben ser Ingenieros Mecánicos, Ingenieros Eléctricos o Ingenieros Químicos.
Los Ingenieros Mecánicos han de ser 11.
Los Ingenieros Químicos han de ser 10.
Los Ingenieros Eléctricos han de ser 12.
Ahora, algunas de las vacantes deben ser ocupadas por Ingenieros con doble titulación:
5 han de ser Ingenieros Mecánicos y Eléctricos
4 han de ser Ingenieros Mecánicos y Químicos.
4 han de ser Ingenieros Eléctricos y Quíimicos.
La empresa también requiere que para unas determinadas áreas existan profesionales con
los tres títulos
a) ¿Cúantos Ingenieros de triple profesión necesita la empresa?
b) ¿Cuántos puestos de trabajo esta ofreciendo la empresa únicamente para Ingenieros
Eléctricos?
c) ¿Cuántos puestos son para Ingenieros Eléctricosy Químicos pero no para Ingenieros
Mecánicos?

23. Solución:
a) Buscamos la intersección entre el conjunto:
Nt = Nm + Ne + Nq - Nme - Nmq - Neq + Nmeq
22 = 11 + 12 + 10 – 5 – 4 – 4 + Nmeq
Nmeq = 2
b) Con el dato obtenido en a) realizamos el Diagrama de Venn del problema:
b) Luego hay 5 puestos para Ingenieros Eléctrica.
c) Hay 2 puestos para Ingenieros Eléctricos y Químicos pero no para Mecánicos.
4 5
4
22
2
3

24. Sobre el curso:
Número de evaluaciones restantes: 4 (Prueba Abierta, 2 Prácticas evaluadas y
1 Problemario).
Clases Pendientes: 1 sola antes de la Prueba Abierta.
Todo el contenido teórico, así como algunos ejercicios ya fue dado en la presente clase.
Sobre las evaluaciones, las dos prácticas evaluadas serán realizadas vía internet a través de
una forma de google, para ello es la solicitud de los correos electrónicos en esta clase; el día
de hoy se enviará a sus respectivos correos un mail con la dirección URL de la forma para
realizar el examen, en caso de no recibir el correo hoy (revisen la carpeta spam) deben
enviarme un correo electrónico a freddycardoza@yahoo.es para el envió de la dirección.
Apenas sea enviado el correo tendrán 72 horas para responder el examen, pasado ese
tiempo la forma se cerrará y así como el envio de respuestas. Instrucciones más específicas
serán dadas a conocer en el correo que recibirán el día de hoy.

25. FIN DE LA CLASE

26. ∃∧∨→¬∀