Cálculo del tipo de interés de la ecuación de la cuota periódica del préstamo amortizable según el sistema francés.pdf
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Se calacula el tipo de interés en la eucación de la cuota periódica de la amortización de un préstamo según el sistema francés tomando 2 métodos numéricos y comparando las soluciones y los procesos de cálculo
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- 1. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS DE LA ECUACIÓN DE LA CUOTA PERIÓDICA DEL PRÉSTAMO AMORTIZABLE SEGÚN EL SISTEMA FRANCÉS Autor: José Manuel Gómez Vega, ingeniero industrial en mecánica de máquinas (1 versión en noviembre 2.001, 2 revisión corregida en febrero de 2.014). Resumen: Se trata de un artículo sobre métodos numéricos de análisis para calcular la tasa o tipo de interés en la fórmula de la amortización periódica de un préstamo mediante el sistema francés, que es el que rige la ecuación de la amortización de un préstamo en el sistema financiero español, explicando pormenorizadamente la aplicación de los teoremas y técnicas matemáticas con ejemplos para la comprensión clara del lector interesado en estas materias. Abstract: This is an article about numerical analysis methods for calculating the rate or interest rate formula in the periodic repayment of a loan by the French system, which is the governing equation for the repayment of a loan in the financial Spanish system, explaining in detail the application of mathematical theorems and techniques with examples for clear understanding of the reader interested in these issues. El sistema de préstamos francés es el que rige las transacciones financieras españolas desde su introducción en los años 80 por el gobierno de España. Tras estudiar Contabilidad y Finanzas hace años, llegué a la conclusión que no existía una forma directa de cálculo del tanto efectivo equivalente de la periodicidad (tanto efectivo de interés ). El sistema bancario I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 2. opera con listas de tipos de interés sin cálculo directo, pues es imposible su obtención de una forma convencional dado que se llega a una ecuación del tipo = () con expresiones logarítmicas imposibles de resolución directa tras intentar obtener el valor de la expresión dada en 1 al despejar. Se van a ver procedimientos para el cálculo de las cuotas periódicas en la ecuación 1, partiendo de la fórmula que relaciona la cuota con las demás variables intervinientes: = (1 + ) (1 + ) − 1 (1) donde hemos sustituido: = (2) y recordando las variables: = cuota periódica = tanto efectivo de interés equivalente a la periodicidad = tanto efectivo de interés anual = número de años = periodicidad = capital préstamo teniendo también presente que: = (1 + ) 1 − 1 (3) Tomaremos los datos del ejemplo de la página 1.605 del fascículo 67 de Contabilidad y Finanzas - Curso Deusto de Planeta Agostini estudiado por el autor de este blog hace años: = 5 años. = 3000000 ptas. = 1 periodicidad anual. = 95933333 Sin embargo, para calcular directamente las tasas, tipos de interés o tanto efectivo de interés partiendo de la fórmula anterior observaremos como la presencia de expresiones loga- rítmicas en las cuales hay adiciones y sustracciones nos impiden llegar a despejar respecto a las demás variables. Únicamente podremos llegar a obtener una relación de cálculo para aplicando técnicas matemáticas avanzadas recurriendo a lo que se conoce como MÉTODOS NUMÉRICOS. 2 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 3. Dichas técnicas fueron desarrolladas hace tres siglos y medio cuando los matemáticos encontraban frecuentemente ecuaciones en las que en ambos miembros de la igualdad aparecía una misma variable la cual era imposible de despejarse directamente debido a la presencia de expresiones exponenciales o logarítmicas. En los primeros balbuceos del Cálculo Infinitesimal descubierto por Newton (aunque paralelamente Leibnitz lo descubriera un poco después pero lo publicó mientras Newton lo mantuvo sin editar, lo que dio lugar a una gran controversia entre estos dos científicos), se había prestado mucha atención al problema de cómo encontrar una línea tangente a un punto de una función en el plano para cualquier valor de dicha función. La introducción newtoniana del concepto del número real que tiende a elementos infinitésimos (tendentes a cero) o elementos que tienden al infinito, hace descubrir una potente herramienta de cálculo no conocida hasta entonces que posibilitó el arranque de la ciencia después de siglos de igno- rancia, superstición y decadencia. Analizando la diferencia de los valores de una función de una variable en dos puntos dividido por la sustracción de dichos valores, es decir: () − () − posibilitó a Newton la deducción de que tomando valores en el límite de dicha función (que exigía continuidad), representaba el valor de la pendiente a la recta tangente en cada punto de dicha función (y lo que es equivalente, el valor de la función derivada en dicho punto). De ahí a la deducción de la ecuación de la recta tangente hay pocos pasos: − 0 = ( − 0) (4) donde, evidentemente, representa geométricamente la pendiente mencionada anterior- mente que no es más que la derivada en dicho punto, que viene también a ser el coeficiente angular respecto de dicha recta con una paralela al eje = () = 0 ()() = 0 () = ³ ´ Después de lo anterior, se llega a uno de los dos procedimientos para resolver el problema. 1. MÉTODO DE NEWTON (O DE LAS TANGENTES). Se trata de un proceso de cálculo numérico que mediante iteración asegura la convergencia de un valor tras la introducción repetitiva en la fórmula siguiente 3 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 4. +1 = − () 0 () (5) Para ello necesitamos un condicionante, como es elegir un valor 0 apropiado (algunos no efectúan bien la convergencia). Por lo tanto, se necesita probar ciertos valores. Generalmente, para valores tendentes a 0 o en su proximidad, la convergencia está asegurada para un grado de iteración muy pequeño (menos de 10 iteraciones). Las condiciones de este proceso no son tan selectivas como el siguiente método que nece- sita el cumplimiento de las hipótesis de cierto teorema y además, asegura una convergencia si cumple ciertas hipótesis que definiremos a continuación tras estudiar diversos conceptos introductorios que aparecen en dicho teorema que deben quedar claros previamente. 2. MÉTODO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL PUNTO FIJO. El teorema del punto fijo hace uso de una técnica matemática conocida con el nombre de método de las aproximaciones sucesivas (M.A.S.) Dicho teorema lo formuló Banach. Defi- namos algunos conceptos introductorios para aclarar los diferentes términos que aparecen en el teorema. 2.1. Definición de correspondencia. Dados dos conjuntos: e , y una función , que determina alguna relación binaria entre algún elemento de con algún elemento de , diremos que esa función , define una correspondencia entre e , que representaremos: : −→ cuando al menos un elemento de está relacionado con al menos un elemento de . Una vez se ha definido el concepto de correspondencia vamos a definir lo que es una función matemática (se aplica al análisis matemático) o una aplicación (se aplica a la teoría de conjuntos) cuando ambos conceptos son equivalentes. 2.2. Definición de Aplicación o Función Matemática. Dada una correspondencia matemática entre todos los elementos del conjunto con los elementos del conjunto , diremos que esta correspondencia es una aplicación entre e , que suele llamarse función matemática si los conjuntos inicial y final son numéricos 4 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 5. y se representa: : −→ cuando todos los elementos del conjunto origen tienen una y sólo una imagen, aunque puedan existir elementos imagen sin correspondencia con elementos origen. Fig. 1. Ejemplos de aplicaciones y no aplicaciones. 1. No es aplicación porque hay en un elemento que no tiene imagen. 2. No es aplicación porque en hay un elemento con dos imágenes. 3. Es una aplicación por cumplir las dos condiciones exigidas: - Todos los elementos de han de tener imagen. - Cada elemento de ha de tener una sola imagen. Vulgarmente: todos los elementos del conjunto origen tienen flecha y sólo una. Esto es, una correspondencia matemática es una aplicación, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y solo una imagen. 2.3. Definición de Espacio Métrico. Un espacio métrico es un conjunto (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica) : −→ R (donde R es el conjunto de los números reales). Decir que es una distancia sobre es decir que ∀ ∈ , esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia: 5 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 6. 1.( ) º 0 (positividad) 2.( ) = 0, (reflexividad) 3.( ) = 0 ⇐⇒ = ∀ ∈ (identidad de los indiscernibles) 4.( ) = ( ), (simetría) 5.( ) ≤ ( ) + ( ) ∀ ∈ (desigualdad triangular). Un espacio métrico se puede definir como ( ) es decir, un par ordenado entre el con- junto donde están definidos los puntos y la distancia con la métrica de definición de la misma. 2.4. Definición de Sucesión de Cauchy Una sucesión {} de elementos de un espacio métrico es una sucesión de Cauchy si ∀ 0 ∃ ∈ N ∀ =⇒ ( ) Para números reales, sea {}∈N una sucesión. Diremos que {}∈N es de Cauchy, si ∀ 0 ∈ R ∃ ∈ Z+ ∀ ∈ N =⇒ Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. Toda sucesión de Cauchy está acotada. Por ejemplo, el conjunto de los números reales R es un espacio métrico completo, pues toda sucesión de Cauchy encuentra que su límite está contenido en dicho conjunto. No sucede lo mismo en el conjunto de los números racionales Q, pues podría darse que el límite estuviese fuera de dicho conjunto, por ejemplo ser un número irracional que como sabemos no está contenido en Q 2.5. Definición de Espacio Métrico Completo. En análisis matemático, un espacio métrico ( ) se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy converge en dicho espacio, es decir, existe un elemento del espacio que es el límite de la sucesión. Es más fácil demostrar que una sucesión de Cauchy converge que hallar el límite de dicha convergencia. Para que el espacio métrico sea completo, es fundamental que dicho espacio esté acotado y que esté definido en un conjunto cerrado, es decir, que los límites superiores e inferiores de dicho conjunto de valores [ ] ∈ pertenezcan al espacio métrico pues en caso contrario podría darse que si la sucesión de Cauchy convergiera en dichos puntos extremales al no pertenecer esos puntos al dominio de definición, es decir, al no converger la sucesión de Cauchy en dicho conjunto, el espacio sería incompleto. 6 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 7. 2.6. Definición de Intervalo. Un intervalo es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real R, es decir, una porción de recta entre dos valores dados. La unión de dos intervalos conexos no es un subconjunto conexo en la recta real R El intervalo real es la parte de R que verifica la siguiente propiedad : Si ∈ con ≤ =⇒ ∀ ≤ ≤ =⇒ ∈ 2.7. Definición de Intervalo Abierto. Es aquél que no incluye los extremos. Se nota: ( ) o bien ] [ Notación conjuntista o en términos de desigualdades: = ( ), ∀ ∈ : 2.8. Definición de Intervalo Cerrado e Intervalo Semiabierto o Semicerrado. Intervalo cerrado es aquél que incluye los extremos. Se indica: [ ] Notación conjuntista o en términos de desigualdades Incluye únicamente uno de los extremos. Con la notación ( ] o bien ] ] indicamos. En notación conjuntista, un intervalo semiabierto (o semicerrado) en este caso se denomi- naría intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: = ( ] ∀ ∈ : ≤ Y con la notación [ ) o bien [ [ En notación conjuntista, se denominaría intervalo semiabierto (o semicerrado) en este caso se denominaría intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: = [ ) ∀ ∈ : ≤ 7 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 8. 2.9. Definición de Aplicación Lipschitziana y Aplicación Contractiva. Sea la aplicación entre dos espacios métricos ( ) y ( 0 ) es decir : −→ . Se dice que dicha aplicación es lipschitziana de grado o razón 0 si 0 (() ()) ≤ ( ) ∀ ∈ f ∀ ∈ La aplicación se dice que es contractiva si es lipschitziana de grado 0 ≤ 1 2.10. Teorema del Valor Medio. Para funciones de una variable, dada cualquier función continua en el intervalo [ ] y diferenciable en el intervalo abierto ( ) entonces existe al menos algún punto en el intervalo ( ) tal que la tangente a la curva en es paralela a la recta secante que une los puntos ( ()) y ( ()). Es decir: () − () − = 0 () Si observamos el teorema del valor medio y comprobamos la analogía al definir la apli- cación contrativa anterior, vemos como la igualdad se establece a la hora de fijar al menos un punto en el cual la tangente en dicho punto es paralela al trazo de unión de una recta entre () y () Fig. 2. Teorema del Valor Medio. Interpretación geométrica Entonces podríamos establecer para resolver problemas con el teorema del punto fijo que la derivada de la función en el punto es el valor en la definición de la aplicación contractiva: |0 ()| = , con ∈ [0 1) ∈ R 8 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 9. 2.11. Teorema del punto fijo. Sea ( ) un espacio métrico completo y una aplicación. Se dice que es contractiva si ∃ una constante con 0 ≤ 1 (() ()) ≤ ( ) para cualesquiera ∈ . Un punto fijo 0 de es un punto de (0) = 0 y además, su existencia es única, es decir, ∃! 0 (0) = 0 Obsérvese que las condiciones del teorema para la existencia y unicidad de un punto fijo (0) = 0 son necesarias, pero no suficientes. Luego aclararemos ese con- cepto que es fundamental en matemáticas. Esto es, para cierto valor de dicha aplicación el valor del punto es igual al valor sustituido en la aplicación, o dicho de otra forma, se asegura la existencia de un punto para el cual la aplicación converge a dicho punto tras un proceso iterativo. La forma de iterar sería la siguiente: se busca un punto inicial arbitrario para , es decir, 0, y se itera repetidamente sobre la función, quedando: 0 −→ (0) = 1 1 −→ (1) = 2 2 −→ (2) = 3 . . . −→ () = Otra forma de expresar el anterior método de iteración sería el siguiente: = ((((0)1)2)) O en modo abreviado: = (0), donde denota la función obtenida al componer veces con ella misma. 9 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 10. Fig. 3. Interpretación geométrica de la convergencia hacia el punto fijo de aplicaciones contractivas 2.12. Definición de contracción para aplicaciones diferenciables. Sea ⊂ R abierto y convexo. Si : −→ R es una aplicación diferenciable (es de clase 1 y continua) tal que |0 ()| ≤ 1 para una cierta constante y todo ∈ , por la desigualdad del valor medio se cumple para cualesquiera ∈ que |() − ()| ≤ | − | entonces es una contracción. Si es una contracción la aplicación es uniformemente continua. Hecho este análisis introductorio de los métodos empleados para realizar el cálculo, vamos a proceder a despejar en la fórmula (1) para encontrar una función manejable que incorpore las técnicas descritas en los parágrafos anteriores: = (1 + ) (1 + ) − 1 (1) Vamos a realizar dos caminos para establecer una relación partiendo de la fórmula anterior en los cuales lleguemos a: = () 10 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 11. 2.13. Camino 1 Paso 1: pasamos el denominador a la izquierda de la ecuación: h (1 + ) − 1 i = h³ (1 + ) ´i Paso 2: llevamos al otro miembro y reagrupamos variables: h (1 + ) − 1 i = (1 + ) Paso 3: reagrupamos la ecuación para factorizar: (1 + ) − (1 + ) = 1 Paso 4: factorizamos: (1 + ) µ 1 − ¶ = 1 =⇒ (1 + ) µ − ¶ = 1 Paso 5: pasamos al otro miembro: (1 + ) = µ − ¶ Paso 6: despejamos el miembro de la izquierda: (1 + ) = sµ − ¶ =⇒ (1 + ) = µ − ¶ 1 Paso 7: dejamos sola en la expresión: = µ − ¶ 1 − 1 (6) donde efectivamente hemos llegado a una expresión en la cual: = () 11 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 12. De esta forma podemos definir la función: 1() = − µ − ¶ 1 + 1 = − Ã r − ! + 1 (7) donde hemos sustituido por en el segundo miembro y 1() en el primero, por lo que estamos en condiciones de determinar el dominio de 1 que representa los valores en las cuales está definida, teniendo valores reales donde no está el infinito ∞ es decir, el campo de definición donde 1 es continua. Sabemos que la continuidad no implica la derivabilidad en funciones de una variable, pero evidentemente es condición indispensable (necesaria) que lo sea. Es decir: si () es derivable =⇒ () es continua, es decir, es condición necesaria (=⇒) pero no suficiente (⇐=) Todos sabemos que en una raíz de tipo par (por ejemplo cuadrada) sólo existe solución en el cuerpo de los reales cuando las variables subradicales son mayores o iguales que 0. Igualmente sabemos que sí existirían soluciones en el cuerpo de los números complejos, pero no nos interesa para nuestro problema pues no vamos a trabajar con números imaginarios. Esto es, p () para par, o sea = 2 , ∀ ∈ N =⇒ =⇒ () 0 Sabemos que y pertenecen a los naturales (N). Por lo tanto, su producto que es el índice de la raíz es, o bien par o bien impar, pero siempre será un número natural. Como en la expresión (7) existe el término ¡ − ¢ 1 = q¡ − ¢ ,tenemos: ⎧ ⎨ ⎩ si impar =⇒ 1 = R − © ª pues − = 0 =⇒ = , valor que anula el denominador si par =⇒ − ≥ 0 =⇒ ½ 0, siempre − ≥ 0 =⇒ ≤ =⇒ 1 = © ∈ R : ≤ ª Como en los valores del ejemplo = 5, resulta que el índice de la expresión es impar, por lo que el dominio del caso práctico es: 1 = R − © ª =⇒ 1 = R − ©95933333 3000000 ª 12 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 13. Calculamos la derivada 0 1() y observamos su dominio: 1() = " − µ − ¶ 1 + 1 # (7) 0 1() = (1()) = 1 − 1 µ − ¶ 1 −1 µ ( − )2 ¶ =⇒ 0 1() = 1 − 1 µ − ¶−1 µ ( − )2 ¶ =⇒ 0 1() = ( − ) + µ − ¶ 1 ( − ) (8) El dominio de 0 1() lo hacen: 1. el valor que anula el denominador que es = =⇒ 0 1 = R − © ª 2. el valor que anula la expresión ¡ − ¢ 1 , que es como antes: ½ si impar =⇒ 0 1 = R − © ª si par =⇒ 0 1 = R − © ª =⇒ 0 1 = © ∈ R : ≤ ª En el ejemplo resulta que = 5 Por lo tanto el dominio es: 0 1 = R − © ª =⇒ 0 1 = R − ©95933333 3000000 ª por lo que los dominios de 1y de 0 1 son los mismos Por lo tanto, la derivada 0 1() es continua en el mismo campo de definición que 1() 2.14. Camino 2. Partimos nuevamente de la misma expresión (1): = (1 + ) (1 + ) − 1 (1) Expresamos directamente y cambiamos el primer miembro por el segundo. Simple- mente multiplicamos y dividimos en cruz para despejar: 13 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 14. = h (1 + ) − 1 i (1 + ) =⇒ = µ 1 − 1 (1 + ) ¶ (9) Por lo que tenemos otra relación que verifica: = () para su posterior tratamiento mediante los procesos iterativos enunciados. Si procedemos análogamente a como hemos hecho sobre el camino anterior y definimos: 2() = − µ 1 − 1 (1 + ) ¶ (10) vemos claramente como 2 es continua en R, excepto para = −1 2 = {(−∞ −1) ∪ (−1 ∞)} ⇔ 2 = R − {1} Estudiemos la derivada: 0 2() = 1 − µ (1 + )+1 ¶ (11) observando cómo el dominio de 0 2() es el mismo que para 2() 3. APLICANDO EL MÉTODO DE NEWTON. 3.1. Camino 1. Recordemos la fórmula de iteración (5): +1 = − () 0 () (5) Introduciendo los valores de 1() y 0 1() en (5): 1() = " − µ − ¶ 1 + 1 # (7) 14 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 15. 0 1() = ( − ) + µ − ¶ 1 ( − ) (8) resulta: +1 = − " − µ − ¶ 1 + 1 # ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( − ) + µ − ¶ 1 ( − ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (13) 3.2. Cálculo de la iteración con los datos: Función 1 : 1() = ∙ − ³ 95933333 95933333−3000000 ´1 5 + 1 ¸ Derivada da la función 1 : 0 1() = ⎡ ⎢ ⎣ 5 · 1 (3000000 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000 ´1 5 5 · 1 (3000000 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ Construcción de la función para iterar: +1 = − − ³ 95933333 95933333−3000000 ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 · 1 (3000000 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000 ´1 5 5 · 1 (3000000 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ (14) Los valores para los que son válidos los resultados (dominio de la función) verifican: , es decir, para los valores del problema, 95933333 3000000 = 0319 78 =⇒ tipos de interes inferiores al 31,98%, pero como los tipos no pueden ser inferiores a 0, realmente el campo de definición de valores de sería: 15 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 16. 0 ≤ 0319 78 ∈ R ⇐⇒ ∈ [0 0319 78) ∈ R Vamos a empezar las iteraciones: 0 = 025 =⇒ 1 = 025 − 025 − ³ 95933333 95933333−3000000(025) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 · 1 (3000000 · 025 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·025 ´1 5 5 · 1 (3000000 · 025 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 1 = 0213 31 =⇒ 2 = 0213 31− 0213 31 − ³ 95933333 95933333−3000000(0213 31) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 (3000000 · 0213 31 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·0213 31 ´1 5 5 (3000000 · 0213 31 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 2 = 0188 91 =⇒ 3 = 0188 91− 0188 91 − ³ 95933333 95933333−3000000(0188 91) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 (3000000 · 0188 91 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·0188 91 ´1 5 5 (3000000 · 0188 91 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 3 = 0180 77 =⇒ 4 = 0180 77− 0180 77 − ³ 95933333 95933333−3000000(0180 77) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 (3000000 · 0180 77 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·0180 77 ´1 5 5 (3000000 · 0180 77 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 4 = 0180 01 =⇒ 16 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 17. 5 = 0180 01− 0180 01 − ³ 95933333 95933333−3000000(0180 01) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 (3000000 · 0180 01 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·0180 01 ´1 5 5 (3000000 · 0180 01 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 5 = 018000 Por lo que hemos llegado al resultado esperado: = 018 Comprobemos qué ocurre si escogemos una 0 inicial que no esté definida en su dominio de definición, por ejemplo 0 = 031979 ∈ (0 ≤ 0319 78) ¿existirá convergencia? 0 = 0319 79 =⇒ 1 = 0319 789− 0319 789 − ³ 95933333 95933333−3000000(0319 789) ´1 5 + 1 ⎡ ⎢ ⎣ 5 (3000000 · 0319 789 − 95933333) + 3000000 ³ 95933333 95933333−3000000·0319 789 ´1 5 5 (3000000 · 0319 789 − 95933333) ⎤ ⎥ ⎦ 1 = 0319 84 + 5596 1 × 10−6 −→ 1 ∈ C g 1 ∈ R donde observamos como empiezan a obtenerse números no pertenecientes al cuerpo de los reales y que divergen pues va aumentando progresivamente (término positivo sumándose a otro término). Efectivamente al estar iniciando la iteración en un valor de que no pertenece al domino de definición ni de la función ni de su derivada comienzan a aparecer números complejos, como acabamos de demostrar. 3.3. Camino 2. +1 = − () 0 () (5) Introduciendo los valores de 2() y 0 2() en (5): 2() = − µ 1 − 1 (1 + ) ¶ (10) 0 2() = 1 − µ (1 + )+1 ¶ (11) 17 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 18. +1 = − ∙ − µ 1 − 1 (1 + ) ¶¸ ∙ 1 − µ (1 + )+1 ¶¸ (5) Tomamos inicialmente el valor 0 = 2 Observamos que en este caso, cualquier valor en R valdría para tomar como valor inicial, salvo donde no existe continuidad. Procedemos a iterar. +1 = − ∙ − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + )5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + )6 ¶¸ 0 = 2 =⇒ 1 = 2 − ∙ 2 − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 2)5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 2)6 ¶¸ = 0314 77 1 = 0314 77 =⇒ 2 = 0314 77 − ∙ 0314 77 − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0314 77)5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 0314 77)6 ¶¸ = 0204 14 2 = 0204 14 =⇒ 3 = 0204 14 − ∙ 020414 − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 020414)5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 020414)6 ¶¸ = 0181 68 3 = 0181 68 =⇒ 4 = 0181 68 − ∙ 0181 68 − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0181 68)5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 0181 68)6 ¶¸ = 0180 01 4 = 0180 01 =⇒ 18 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 19. 5 = 0180 01 − ∙ 0180 01 − 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0180 01)5 ¶¸ ∙ 1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 0180 01)6 ¶¸ = 0180 00 Por lo que hemos llegado al mismo resultado mediante iteración, = 018 tras tan solo 5 iteraciones. Observamos también que de los caminos empleados el mejor es el segundo pues se puede elegir cualquier valor inicial para 0 y parece la iteración más rápida. 4. APLICANDO EL MÉTODO DE APLICACIÓN DEL TEORE- MA DEL PUNTO FIJO. 4.1. Camino 1. Para aplicar el Teorema del Punto Fijo, necesitamos una transformación de (7): 1() = " − µ − ¶ 1 + 1 # (7) ¿Para qué valores de es válida la iteración? Para los que aseguran una aplicación contractiva, es decir, 0 ≤ |0 ()| = 1. Entonces, recordando (8), vamos a establecer la exigencia de aplicación contractiva. 4.1.1. Exigencia de contractividad. Dicha exigencia se cumple si, como ya hemos estudiado: 0 ≤ ¯ ¯ 0 1() ¯ ¯ = ≺ 1 Entonces, comenzando con valores absolutos en la ec. 8, vamos tomando desigualdades hasta tomar un valor para la derivada: 19 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 20. ¯ ¯ 0 1() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ( − ) + ¡ − ¢ 1 ( − ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ( − ) + ¡ − ¢ ( − ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ( − ) − ¡ − ¢ ( − ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ( − )2 − ( − )2 ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − ( − )2 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯1 − ¯ ¯ ¯ ¯ Y poniendo los valores dados para las variables de este problema, tenemos: ¯ ¯ 0 1() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − 3000000 · 95933333 5 · 1 ¯ ¯ ¯ ¯ = 5756 0 × 1011 1 =⇒ no es una contracción, luego no podemos asegurar la convergencia a ningún punto fijo. Se podría haber visto fácilmente desde el principio, dado que en: ¯ ¯ 0 1() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ( − ) + ¡ − ¢ 1 ( − ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , se observa claramente que el numerador es superior al denominador, por lo que a pesar de lograr acotaciones, siempre será ¯ ¯ 0 1() ¯ ¯ 1 =⇒ no es una función contractiva y no existe un único punto fijo, o bien, el valor de dicho punto no es válido para el problema planteado. Comprobemos que no existe punto fijo o que el proceso de cálculo por iteración no da una convergencia a un valor válido para el problema en cuestión, como hemos citado. Tomemos el valor inicial = 2 con 1() = " − µ − ¶ 1 + 1 # = 2 =⇒ 1 = " 2 − µ 95933333 95933333 − 2 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 2419 4 − 0421 81 ∈ R =⇒ crece y además no pertenece la solución a los reales. Tomemos el valor inicial = 01 20 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 21. = 01 =⇒ 1 = " 01 − µ 95933333 95933333 − 01 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 2211 4 × 10−2 =⇒ decrece. Seguimos: 1 = 2211 4 × 10−2 =⇒ 2 = " 2211 4 × 10−2 − µ 95933333 95933333 − 2211 4 × 10−2 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 7678 5 × 10−3 2 = 7 678 5 × 10−3 =⇒ 3 = " 7 678 5 × 10−3 − µ 95933333 95933333 − 7678 5 × 10−3 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 2805 7 × 10−3 Como se observa que entre la iteración 2 y la 3 existe divergencia, es decir, el valor vuelve a crecer, podemos concluir que no existe convergencia, pues al principio en la 1 iteración decrece y luego entre la 2 y la 3 crece el valor hallado y eso no indica que se va siguiendo una convergencia. 3 = 2805 7 × 10−3 =⇒ 4 = " 2805 7 × 10−3 − µ 95933333 95933333 − 2805 7 × 10−3 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 1041 6 × 10−3 4 = 1041 6 × 10−3 =⇒ 5 = " 1041 6 × 10−3 − µ 95933333 95933333 − 1041 6 × 10−3 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 3888 7 × 10−4 5 = 3 888 7 × 10−4 =⇒ 6 = " 3888 7 × 10−4 − µ 95933333 95933333 − 3888 7 × 10−4 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 1454 8 × 10−4 6 = 1454 8 × 10−4 =⇒ 7 = " 1454 8 × 10−4 − µ 95933333 95933333 − 1454 8 × 10−4 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 5446 7 × 10−5 7 = 5446 7 × 10−5 =⇒ 8 = " 5446 7 × 10−5 − µ 95933333 95933333 − 5446 7 × 10−5 · 3000000 ¶1 5 + 1 # = 2039 8 × 10−5 . . . 21 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 22. +1 = 0000000000000000000000001 =⇒ = ⎡ ⎣0 25 ceros | {z } 1 − à 95933333 95933333 − 0 25 ceros | {z } 1 · 3000000 !1 5 + 1 ⎤ ⎦ = 3745 9 × 10−25 Por lo tanto se ha encontrado un valor de "pseudoconvergencia" finalmente al valor = 0 para valores de iteraciones muy elevados (desconocemos el valor enésimo pero ha sido para probar que sigue decreciendo) que no vale, pues no entra dentro del rango de los tipos de interés válidos (¡a menos que tomemos las tesis aristotélicas del ’pecado’ en los tipos de interés, en préstamos pues todo préstamo al ser sin interés tenía valor 0!) y además hemos visto que la convergencia ha sido alterada entre la 2 y la 3 por crecer el valor hallado. Entonces, podemos decir que, a pesar de haber hallado un punto de convergencia presumible hacia 0, no nos vale para el problema y el resultado no es correcto, siendo una convergencia lenta e inesperada y al ser tan lenta se podría decir que no es válida aplicando la técnica. Además, por hipótesis no existe contracción, luego no existe punto fijo. En este caso, se ve claramente que al no cumplir la condición necesaria de existencia y unicidad del teorema no existe convergencia al punto fijo y no es una aplicación contractiva y se puede afirmar con rotundidad, a pesar de haber llegado a una convergencia a 0 en el límite n-ésimo de iteraciones. 4.2. Camino 2. Partiendo de 2() 2() = − µ 1 − 1 (1 + ) ¶ (10) Para que sea contractiva, debe verificar: 0 ≤ ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ≺ 1 (condición de existencia y unicidad necesaria de punto fijo) siendo el valor de la derivada 0 2() ¯ ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − µ (1 + )+1 ¶¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ¯1 − ¯ ¯ ¯ ¯ 11b Entonces, con los valores del ejemplo tenemos: 22 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 23. ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ≤ ¯ ¯1 − ¯ ¯ = ¯ ¯1 − 95933333 3000000 ¯ ¯ = 0680 22 1 =⇒ la aplicación es contractiva por lo que existe un único punto fijo al cual converge la iteración de la función 2(). Analicemos con profundidad si la desigualdad anterior se cumple, pues depende de los valores que se tomen en la subexpresión µ (1 + )+1 ¶ de 11b. Vamos a suponer que los valores válidos para están comprendidos en el intervalo 0 ≤ ≤ 030 (tipos de interés en tanto por uno normales pues no serán superiores en un préstamo dentro de la ecuación de la cuota de amortización) y considerando los valores del ejemplo, tenemos: si = 0 =⇒ ¯ ¯ ¯ ¯ µ 5 (1 + )6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 5 si = 03 =⇒ ¯ ¯ ¯ ¯ µ 5 (1 + 03)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 1035 9 Entonces queda demostrado que al ser siempre la subexpresión extraída de la ecuación 11b superior a 1 en los valores del intervalo de , se cumple la desigualdad. La solución real con valor positivo para que ¯ ¯ ¯ ¯ µ 5 (1 + )6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 1 es = 6 √ 5 − 1 = 0307 66 Si se sube el valor de hacia 1 desde el valor obtenido anterior ( = 0307 66) sucede que la expresión ¯ ¯ ¯ ¯ µ (1 + )+1 ¶¯ ¯ ¯ ¯ 1 y eso pudiera implicar darse el caso que el valor de la desigualdad no se cumpliese, por lo que la constante de contractividad ya no podría definirse como en 11b. Demostraremos, tomando valores iniciales variados, qué sucede con la convergencia y si afecta a la contractividad y el porqué de la implicación no bicondicional (<) del teorema del punto fijo pues su esitencia y unicidad es solo condición necesaria. Luego lo aclararemos. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la expresión ¯ ¯ ¯ ¯ µ (1 + )+1 ¶¯ ¯ ¯ ¯? Pues que el tanto por uno de fuera 1, es decir, que la tasa o tipo de interés fuera del 100%, cosa totalmente absurda en el sistema financiero. Realmente todavía sería más absurdo que tomase valores superiores a 100%, pues matemáticamente no es imposible; es por ello que matizamos los valores posibles de los valores que no pueden darse en el problema real. Veamos cuál es dicho valor: 23 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 24. ¯ ¯ ¯ ¯ µ 5 (1 + 1)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 5 64 = 7812 5 × 10−2 = 0078 Entonces tomando valores en: ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ queda: ¯ ¯ ¯ ¯1 − µ (1 + )+1 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯1 − 95933333 3000000 · 5 64 ¯ ¯ = 0975 02 =⇒ (condición de existencia y unicidad necesaria) que resulta un valor máximo de la función derivada de 2() sin usar más demostraciones matemáticas para valores posibles de dicha función (0 ≤ ≤ 1), diferenciando de los va- lores permitidos o de uso en el problema, donde hemos considerado (0 ≤ ≤ 0 3) Los valores posibles de pudieran ser superiores al 100% en tanto por ciento, como se ha citado, pero no serían reales a efectos prácticos en este problema en cuestión. Por lo tanto, para el rango aceptable de tipos en tanto por uno para nuestro problema: 0 ≤ ≤ 030 =⇒ 10359 ≤ ¯ ¯ ¯ ¯ (1 + )+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ 5, es decir, dichos valores implican que si ese componente de la subexpresión es superior a la unidad en el rango válido de valores permitidos y normales de , entonces, la desigualdad anterior es cierta en ese rango. Y como el valor de la hallada anteriormente es menor que la unidad la aplicación es contractiva y solo tiene un punto fijo. Función para iterar: 2() = − µ 1 − 1 (1 + ) ¶ Inicialmente tomamos 0 = 015 La iteración resulta: 0 = 015 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 015)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0160 791 7 =⇒ =⇒ 1 = 0160 791 705 6 2 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0160 791 705 6)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0168 045 9 =⇒ =⇒ 2 = 0168 045 911 3 24 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 25. 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0168 045 911 3)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0172 699 4 =⇒ =⇒ 3 = 0172 699 439 4 4 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0172 699 439 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0175 594 5 =⇒ =⇒ 4 = 0175 594 566 1 5 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0175 594 566 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0177 361 2 =⇒ =⇒ 5 = 0177 361 237 1 6 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0177 361 237 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0178 426 5 =⇒ =⇒ 6 = 0178 426 539 9 7 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0178 426 539 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 064 2 =⇒ =⇒ 7 = 0179 064 296 5 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 064 296 5)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 444 4 =⇒ =⇒ 8 = 0179 444 445 4 9 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 444 445 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 670 4 =⇒ =⇒ 9 = 0179 670 454 5 10 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 670 454 5)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 804 6 =⇒ =⇒ 10 = 0179 804 617 1 11 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 804 617 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 884 =⇒ =⇒ 11 = 0179 884 184 6 12 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 884 184 6)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 931 =⇒ =⇒ 12 = 0179 931 348 13 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 931 348)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 959 29 =⇒ =⇒ 13 = 0179 959 295 1 25 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 26. 14 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 959 295 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 975 =⇒ =⇒ 14 = 0179 975 852 1 15 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 975 852 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 985 =⇒ =⇒ 15 = 0179 985 660 1 16 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 985 660 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 991 =⇒ . . . −1 = 01799 99 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 01799 99)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 018 donde llegamos nuevamente a = 018, pues si seguimos calculando decimales lle- garíamos a ese resultado en el límite de decimales para un número determinado de ite- raciones suficientemente grande. Tomemos ahora 0 = 12 (por ejemplo), donde puede no ser contractiva y veamos qué ocurre. Primero comprobamos que, efectivamente, para el valor inicial tomado se cumple que el valor de la derivada de la función es menor que uno. En efecto: = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 12)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0985 90 1 =⇒ (condición de existencia y unicidad necesaria) 0 = 12 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 12)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0313 572 875 4 =⇒ =⇒ 1 = 0313 572 875 4 2 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0313 572 875 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0238 010 897 9 =⇒ =⇒ 2 = 0238 010 897 9 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0238 010 897 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0209 820 002 4 =⇒ 26 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 27. =⇒ 3 = 0209 820 002 4 4 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0209 820 002 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0196 397 858 9 =⇒ =⇒ 4 = 0196 397 858 9 5 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0196 397 858 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0189 319 948 9 =⇒ =⇒ 5 = 0189 319 948 9 6 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0189 319 948 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0185 391 549 7 =⇒ . . . =⇒ −1 = · · · 01800 0001 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 01800 0001)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 018 Tomemos ahora 0 = 10 (por ejemplo), donde puede no ser contractiva y veamos qué ocurre. Primero comprobamos que, efectivamente, el valor inicial de en este caso, no cumple la condición necesaria de contractividad de la función derivada, es decir, que el valor obtenido es igual y no estrictamente menor a uno: = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 10)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 1000 00 ≮ 1 =⇒ (no cumple la condición de existencia y unicidad necesaria) 0 = 10 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 10)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0319 775 791 1 =⇒ 1 = 0319 775 791 1 2 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0319 775 791 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0239 914 432 8 =⇒ =⇒ 2 = 0239 914 432 8 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0239 914 432 8)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0210 661 458 8 =⇒ 27 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 28. =⇒ 3 = 0210 661 458 8 4 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0210 661 458 8)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0196 826 032 5 =⇒ 4 = 0196 826 032 5 5 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0196 826 032 5)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0189 553 143 4 =⇒ =⇒ 5 = 0189 553 143 4 6 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0189 553 143 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0185 523 220 3 =⇒ . . . =⇒ −1 = 01800 01 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 01800 01)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 018 y también convergería, esta vez por arriba. Y aclaramos a continuación el concepto de contractividad y condición necesaria pero no suficiente. Despejaremos las dudas sobre el uso del terorema del punto fijo donde hemos demostrado varias soluciones tras varias iteraciones con valores iniciales. La función es contractiva para toda clase de valores iniciales pues el cumplimiento de la contractividad es condición necesaria para valores que estén en el dominio de definición de la función, que son todos en los que la función es continua (con más exactitud, uniformemente continua), PERO CON LA CONDICIÓN ÚNICAMENTE NECESARIA Y NO SUFICIENTE pues tener las dos implicaría ser bicondicional, pero en las tesis del teorema no existe tal bicondicionalidad. Veamos qué ocurre con otro valor inicial. Tomemos ahora 0 = −002 que está fuera del intervalo definido anteriormente para valores permitidos en el problema (no es factible tasas de interés negativas), pero no para tomar valores iniciales (obsérvese la diferencia de este concepto). Sin embargo, a efectos matemáticos no supone ninguna irregularidad tomar ese valor, pues además, dicho valor cumple la condición de la hipótesis del teorema: 28 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 29. = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 − 002)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0804 936 090 1 =⇒ (cumple la condición de existencia y unicidad necesaria) 0 = −002 1 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 − 002)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 3398 969 699 × 10−2 1 = 3398 969 696 × 10−2 =⇒ 2 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 3398 969 696 × 10−2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 4921 551 408 × 10−2 2 = 4921 551 408 × 10−2 3 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 4921 551 408 × 10−2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 6828 543 732 × 10−2 =⇒ 3 = 6828 543 732 × 10−2 4 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 6828 543 732 × 10−2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 8994 511 976 × 10−2 =⇒ 4 = 8994 511 976 × 10−2 5 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 8994 511 976 × 10−2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0111 891 834 2 =⇒ =⇒ 5 = 0111 891 834 2 6 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0111 891 834 2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0131 614 193 4 =⇒ =⇒ 6 = 0131 614 193 4 7 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0131 614 193 4)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0147 449 577 9 =⇒ =⇒ 7 = 0147 449 577 9 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0147 449 577 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0159 016 951 8 =⇒ =⇒ 8 = 0159 016 951 8 9 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0159 016 951 8)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0166 880 644 8 =⇒ =⇒ 9 = 0166 880 644 8 10 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0166 880 644 8)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0171 963 597 0 =⇒ =⇒ 10 = 0171 963 597 0 29 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 30. 11 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0171 963 597 0)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0175 141 355 1 =⇒ =⇒ 11 = 0175 141 355 1 12 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0175 141 355 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0177 086 399 9 =⇒ =⇒ 12 = 0177 086 399 9 13 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0177 086 399 9)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0178 261 442 8 =⇒ =⇒ 13 = 0178 261 442 8 14 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0178 261 442 8)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0178 965 685 6 =⇒ =⇒ 14 = 0178 965 685 6 15 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0178 965 685 6)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 385 746 6 =⇒ =⇒ 15 = 0179 385 746 6 16 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 385 746 6)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 635 585 2 =⇒ =⇒ 16 = 0179 635 585 2 17 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 635 585 2)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 783 928 =⇒ =⇒ 17 = 0179 783 928 18 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 783 928)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 871 918 1 =⇒ =⇒ 18 = 0179 871 918 1 19 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 0179 871 918 1)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 0179 924 078 4 =⇒ =⇒ 19 = 0179 924 078 4 . . . =⇒ −1 = 01799 999 = ¯ ¯ ¯ ¯ 95933333 3000000 µ 1 − 1 (1 + 01799 999)5 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 018 y observamos como cuando se repite la iteración veces los suficientemente grande llegamos a la solución. Una conclusión importante que obtenemos es la siguiente; reiteramos que da igual el valor inicial tomado simpre y cuando cumpla que está dentro del dominio 30 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 31. de definición de la función y su derivada. Por tanto, cualquier valor tomado inicialmente es válido para la convergencia, pues el único valor que hace que no exista continuidad en R que es −1, no puede tomarse. El teorema del punto fijo da condiciones necesarias pero no suficientes de existencia y unicidad, por lo que habrá situaciones en las que como antes: = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯1 − 95933333 3000000 µ 5 (1 + 10)6 ¶¯ ¯ ¯ ¯ = 1000 00 ≮ 1 sin cumplirse que ciertos valores que no estén acotados en el teorema del punto fijo según 0 = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ ≤ 1, puedan dar convergencia hacia un punto fijo. La condición del teorema es necesaria (=⇒) pero no suficiente (⇐=) y no existe bicondi- cionalidad en el teorema (⇐⇒). Es decir, según la lógica proposicional: si → ; ˜ → ˜ que quiere decir que si implica (condición únicamente necesaria) no quiere decir que no implique no En el caso concreto: si = ¯ ¯ 0 2() ¯ ¯ º 1 ; no existe convergencia hacia un punto fijo (que se cumpliría si el teorema fuera bicondicional con la condición suficiente). El no cumplimiento de las condiciones de existencia y unicidad del teorema del punto fijo no quiere decir que no existan puntos fijos y que sea único y se asegure la convergencia al mismo. Lo hemos demostrado con 0 = 10 En definitiva, hemos ratificado que para la resolución de este problema concreto es posible hacerlo con los dos métodos, resultando que el método de Newton de las tangentes emplea menos iteraciones para llegar a la solución, por lo que es más rápida su convergencia. Sin embargo, a efectos prácticos, cualquiera de los dos es válido y puede calcularse fácilmente tomando composiciones de funciones con algún algoritmo de programación informática. Finalmente, teniendo en cuenta la ecuación (3) = (1 + ) 1 − 1 31 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 32. y sabiendo que = 018 = 1 tenemos: 018 = (1 + )1 − 1 =⇒ = 018 y es el tanto efectivo anual igual al tanto efectivo equivalente a la periodicidad pues esto se verifica siempre que = 1 (periodicidad anual) teniendo 1 = Obsérvese que el resultado es coherente con los datos y que ¡¡¡menos mal que los tipos de interés están más bajos en la actualidad!!! y no como en tiempos de los gobiernos anteriores de los años ’80 donde la política monetaria inflacionista del ministro Boyer o del director del Banco de España (órganos independientes) no condujeron a una recuperación económica y desajustó globalmente las variables económicas durante el período de esplendor de los años 83 - 87 en EEUU. Los créditos hipotecarios en España estaban en torno al 18% a principios de los ’80 y favoreció la desinversión industrial, el desempleo, la precariedad y el escaso crecimiento comparativo al resto de naciones en el mismo período. Sin embargo en el período 79 - 82, se usó una política monetaria en EEUU para evitar la estanflación (inflación y recesión con profundo malestar). Para ello primero se desincentivaron los créditos a los bancos favoreciendo la inversión en EEUU al ser altos los tipos incrementándose las importaciones. Esto favoreció que en el período de la Administración Reagan (1981 - 1989) se estimulara nuevamente la economía con una pequeña recesión en 1.982, pero que ya en 1.984 se observaban síntomas claros de crecimiento cuando se logró vencer la inflación y reducirla de los dos dígitos al entorno del 3%. En dicho período el capitalismo volvió a embatir con fuerza pese al ataque sistemático del socialismo-comunismo a nivel mundial con las tesis internacionalistas-izquierdistas que pregonaban tanto los países de la extinta URSS como varios países de Latinoamérica, Asia y África. Por otra parte, desde 2001 se fijaron tipos ultrabajos desde la FED (Reserva Federal Estadounidense, banco central de EEUU), lo que originó que directivos a nivel intermedio de Wall St. comenzaran a desarrollar prácticas financieras fuera de la ética que propiciaron la burbuja inmobiliaria - crediticia. Los grandes propietarios bancarios no fueron los respon- sables de esta hecatombre financiera sino que fueron esos directivos de rango intermedio los que, por su codicia, intentaron ganar más dinero en base a arriesgar más no siguiendo las pautas marcadas de los ratios de seguridad en la concesión de créditos, lo cual implicó un riesgo extremo debido a la codicia de esos directivos a nivel intermedio. Mardoff fue la excepción que cumple la regla. Eso propició el desbarajuste macroeconómico y la crisis financiera mundial. Tras esta crisis hemos aprendido una lección y es que la Reserva Federal 32 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 33. Americana y por extensión todos los bancos centrales deberían tasar su tipo de interés de alguna forma obteniendo datos macroeconómicos entre los préstamos al Estado y todas las partidas entre los demás bancos para obtener una fórmula que permitiera un seguimiento, para su análisis a tiempo real y a corto plazo y así no desacompasar el precio del dinero a la realidad del mercado. En caso contrario, una de las funciones principales de un BC como es el equilibrio inflacionario se perturba debido a que la inyección masiva de masa monetaria si es más rápida que la velocidad de circulación del dinero, puede provocar un mayor nivel de precios y generar inflación, manteniendo constante la producción de bienes y servicios según la ecuación de Irving Fisher, para la política monetaria: · = · donde: : Masa monetaria : Velocidad de circulación del dinero : Nivel de precios : Producción de bienes y servicios Esta ecuación se considera válida siempre y cuando sea el caso que la velocidad de circu- lación del dinero ( ) sea constante. Tasar el tipo de interés de forma regular y registrarlo estadísticamente al igual que se hace con la Bolsa de Valores permitiría que la Autoridad del Banco Central tuviese una herramienta de ajuste y decisión para no errar en la asignación del precio del dinero de dicho BC, pues se entiende que la forma de regular los tipos cada cierto tiempo en base a voluntad de la Autoridad del BC debe basarse en el conocimiento del propio mercado entre el Banco de Bancos, el Estado y los demás bancos. Este problema surgió ante la posibilidad de realizar un programa bajo macro en Lotus 1,2,3 que calculase préstamos. Era insalvable obtener los tipos de interés, y no conocía los métodos, pero intuitivamente debido a funciones bajo macro de estos programas se pueden realizar cálculos, salvo que solo para la amortización como variable, y no para los tipos de interés. Únicamente había que construir ecuaciones que fueran a converger; se hizo en un principio de forma intuitiva, y llegué a conclusiones como que para el capital 5.000.000 de ptas. (no 3.000.000) no existía convergencia y pensé ¿POR QUÉ? Imaginémonos que soy un informático de programas comerciales de cierto valor y que pruebo varios valores y digo ¡perfecto, está bien!. La verdad, la macro funciona con una de las ecuaciones descritas anteriormente, pero una vez conocí los métodos y los teoremas pertinentes intenté realizar ensayos con funciones tipo seno-cosenoidales pues están acotadas en 1 realizando cambios de 33 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 34. variable en las funciones originales para transformar las derivadas y permitir la contractividad; estos desarrollos están engranados en los macros y de hecho, el cálculo de iteración mejorada sigue esa forma, pero ahora mismo no me acuerdo exactamente cómo estaban articulados. La moraleja de todo esto es bien sencilla: un buen uso de las matemáticas nos conduce a resultados no arbitrarios y un desconocimiento de ciertas hipótesis de trabajo al aplicar fórmulas o teoremas nos lleva a producir errores intermitentes. ¿Comprenden Uds, ahora porqué sistemas operativos se cuelgan, tienen fallos? Ahora ya sé porque los presuntos fallos de la aplicación para determinados capitales: era debido a que la construcción de la fórmula para iteración debía buscarse de acuerdo a su menor posiblidad de fallos respecto a todo el rango de variables del problema, pero no podía dedicarme a probar todos los valores, sino estudiar el problema de forma matemática, con rigor. Los economistas que saben de préstamos no tienen una fórmula despejada para el tanto de interés de una amortización, pues como hemos visto no existe y los informáticos quizás estudiaron matemáticas y no prestaron excesivo rigor a este asunto o no venía en el programa de estudios. Motivado por el interés de este asunto y conociendo que no existe en los bancos programas informáticos que lo determinen mediante cálculo directo pues trabajan mediante tablas y lo sé pues solicité un préstamo hace tiempo, llegué a la conclusión de que era posible hacerlo... éste es el resultado de mi trabajo. Esto no existe en los programas informáticos porque la primera variable que se busca es la amortización, pero yo quise averiguar el tipo de interés directamente y ¡¡¡existe la manera!!!. Recuerdo que cuando estudié Contabilidad me dijo el profesor que se hacía mediante Lotus, pero claro, no mediante una función macro directa, pues posteriormente averigüé que no existía y hay que saber programar la iteración, y creo nadie lo ha hecho... Puede ser también porque los programadores no operan con el suficiente rigor... y todo el rigor a veces es un conocimiento exhaustivo de las herramientas de trabajo, las matemáticas, en este caso. He dejado la versión antigua de la macro para que se observe qué ocurre para ciertos datos cambiados y qué ocurriría en un programa comercial. Animo a los econometristas a que busquen fórmulas para poder tasar el tipo de interés en los Bancos Centrales pues considero que si existiera un seguimiento estadístico de es- ta variable, la Autoridad de la Política Monetaria dispondría de la herramienta adecuada para tomar la decisión acertada, no en oráculos ni en cambios sin tino, sino en base a la evolución de las operaciones de intercambio. Y ello sería una herramienta para que futuras crisis financieras no se desataran con un acertado y correcto ajuste del precio del dinero con- struyendo coyunturas económicas de crecimiento sostenido para evitar situaciones recesivas por espansión-detracción del crédito debidas a un mal ajuste del tipo de interés a través de la política monetaria del BC. 34 I N G E M E K - I N G E N I E R O S
- 35. José Manuel Gómez Vega tiene un premio de investigación basado en un programa de cálculo de cargas térmicas para calefacción (Termical) que supuso una innovación cuando se sustituyó la vieja normativa NBE-CT 79 por el Código Técnico de la Edificación. Aparte de ingeniero, sigue investigando en áreas de ingeniería aplicada a las empresas para reducir costes siempre con modelos físico-matemáticos avanzados. El rigor de IngeMek-Ingenieros lo hace líder en el sector cuando una empresa demande personal competente y eficiente a la hora de elaborarle un presupuesto u oferta pues el rigor, la ética y la meticulosidad priman frente a la avaricia de comerciales que, a veces, vienen a su empresa a intentar convencerles de proyectos o presupuestos que, sin ser estudiados con detenimeiento, pueden suponerle un alto coste, bien por tergiversar la realidad o por actuar sin ningún escrúpulo sobre su dinero. Confíe en profesionales, confíe en IngeMek-Ingenieros. 35 I N G E M E K - I N G E N I E R O S