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Francisco Sandoval
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2017
Análisis Estadístico y
Probabilístico
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Agenda
CAP. 2: TEORÍA DE PROBABILIDADES
• Espacio de Muestras
• Algebra de Eventos
• Medida de Probabilidades
• Sistema de Probabilidad
2
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Objetivos
• Introducir un modelo matemático que permita
estudiar de forma abstracta un fenómeno
físico al cual está asociada una incerteza.
– El modelo tiene como base la teoría de la
probabilidad y caracterizará una experiencia
asociada al fenómeno físico en análisis.
– El modelo se compone de tres elementos:
• Espacio de muestras
• Álgebra de eventos
• Medida de Probabilidad
3
ESPACIO DE MUESTRAS
4
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Espacio de Muestras
• Los elementos de Ω son denominados puntos de
muestra 𝜔 o resultados y son indescomponibles.
• Ω no es necesariamente único.
• Ω puede ser discreto (finito o infinito contable)
o continuo (infinito no contable)
Definición 1: Espacio de Muestra 𝜴
Es un conjunto que contiene todos los resultados posibles de un
experimento 𝜀.
5
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Espacio de Muestras
Fenómeno físico
Experiencia
𝜔
Ω
Experimento
Lanzamiento de un dado
Lanzar dado y observar el
número en la cara visible
(arriba)
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Ejemplo 1: Espacio de Muestras
• 𝜀1: Giro de una ruleta y
observación del número
obtenido.
Ω1 = 0, 1, 2, … , 36
– 𝐴 = {«obtener número impar»}
A = 1, 3, 5, … , 35
• 𝜀2: Giro de una ruleta y
observación del color.
Ω2 ={«rojo», «negro»}
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Ejemplo 1: Espacio de Muestras
• 𝜀3: Giro hasta obtener 0 y observar el número
de intentos
a • Ω3 = 1, 2, 3 … = ℝ+
b
• Ω3 = 1, 2, 3 … = ℕ+
c
• Ω3 = [0, ∞) = ℝ+
d
• Ω3 = {0,1,2,3, … } = ℕ+
e
• Ω3 = 1,2,3, … , 𝑛 = ℕ+
; 𝑛 = «𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠»
8
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Ejemplo 1: Espacio de Muestras
• 𝜀4: Giro y observación del tiempo que tarde
en parar.
a • Ω4 = 1, 2, 3 … = ℝ+
b • Ω4 = 1, 2, 3 … = ℕ+
c • Ω4 = [0, ∞) = ℝ+
d • Ω4 = {0,1,2,3, … } = ℕ+
e • Ω4 = 1,2,3, … , 𝑡 = ℝ+
; 𝑡 = «𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜»
9
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Ejemplo 2: Espacio de Muestras
CENTRAL A CENTRAL B
200
terminales
telefónicos
𝑛 circuitos
𝑛 = 20
Contar el número 𝑛 𝑝 de llamadas simultáneamente en progreso entre A y B
en un dado instante, definiendo como resultado de la experiencia el propio
valor de 𝑛 𝑝.
Ω = 0, 1, 2, … , 20
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Ejemplo 2: Espacio de Muestras
Si el resultado de la experiencia es la verificación
de la existencia o no de congestionamiento
entre las centrales A y B.
– La condición de congestionamiento corresponde a
observar 𝑛 𝑝 = 20 y puede ser identificado como
el punto de muestra 𝑤1.
– La condición de no-congestionamiento 𝑛 𝑝 < 20
correspondería al punto de muestra 𝑤2.
Ω = 𝑤1, 𝑤2
11
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Espacio de Muestras
Lo importante en la definición del resultado de
una experiencia es, a partir de los objetivos del
modelo matemático que está siendo
construido, llegar a un espacio de muestras que
no sea más detallado de lo que es necesario, ni
tan compacto al punto de omitir aspectos
importantes del fenómeno que está siendo
observado.
12
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Espacio de Muestras
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Tarea: Espacio de Muestras
Leer el Capítulo 3: Blaise Pascal
Descargar el libro: [link]
14
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Tarea: Espacio de Muestras
Luego de leer el texto, responder a las siguientes
preguntas:
1. ¿Qué es análisis combinatorio?
2. Defina permutación y combinación y de dos
ejemplos de cada uno.
3. Se extrae una carta aleatoria de una baraja de
52 cartas. Describir el espacio de muestras si
a) No se tiene en consideración el palo.
b) Si se tiene en cuenta el palo.
15
ALGEBRA DE EVENTOS
16
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Algebra de Eventos
• Ejemplo 2.1: Saber cuales son las posibilidades de que
el número de llamadas en progreso simultáneo sea
inferior a 10, o sea, cuál es la posibilidad de que el
resultado de la experiencia pertenezca al subconjunto
𝐴 del espacio de muestras definido por:
𝐴 = 0, 1, … , 9
Es común que solamente algunos subconjuntos de Ω sean de
interés y estos son los que se desea asociar a una probabilidad.
Sea 𝐴 esta colección.
17
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Eventos - Ejemplo
𝜔
Ω
Punto de Muestra
Espacio de Muestras
Evento
Obtener
número par en
lanzamiento de
dado
Evento
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Algebra de Eventos
• En el modelo matemático que sirve de base
para la teoría de probabilidad, la manipulación
de conjuntos de puntos de muestras, es de
extrema importancia.
• Las operaciones que envuelven subconjuntos
de Ω obedecen a las reglas y propiedades
usuales de las operaciones de conjuntos.
19
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 2: Igualdad
Dos conjuntos 𝐴, 𝐵 son iguales (𝑨 = 𝑩), si todo elemento (punto de muestra)
de 𝐴 es elemento de 𝐵 y todo elemento de 𝐵 es elemento de 𝐴.
Definición 3: Inclusión
Un conjunto 𝐴 está incluido o contenido en un conjunto B (𝑨 ⊂ 𝑩), si todo
elemento de 𝐴 es elemento de 𝐵. Equivalentemente, se dice que 𝐵 contiene a
𝐴 escribiendo (𝐁 ⊂ 𝑨).
A
B
Ω
𝐴 ⊂ 𝐵
20
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 4: Unión
El conjunto cuyos elementos son elementos de un conjunto 𝐴, de un conjunto
𝐵 o de ambos es denominado unión de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota:
𝐴 ∪ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 o 𝜔 ∈ 𝐵 o ambos
𝐴 ∪ 𝐵
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 5: Intersección
El conjunto cuyos elementos son simultáneamente elementos de un conjunto
𝐴 y de un conjunto 𝐵 es denominado intersección de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se
denota:
𝐴 ∩ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 y 𝜔 ∈ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 6: Complemento
El conjunto cuyos elementos son los elementos de Ω que no pertenecen a un
determinado conjunto 𝐴 es llamado complemento de 𝐴, y se representa por
ҧ𝐴, osea:
ҧ𝐴 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐵 𝑦 𝜔 ∉ 𝐴
A
Ω
ҧ𝐴
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 7: Diferencia
El conjunto cuyos elementos son los elementos de un conjunto 𝐵 que no
pertenecen a otro conjunto 𝐴 es llamado conjunto diferencia entre 𝐵 y 𝐴, y se
denota:
B – A ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∉ 𝐴
𝐵 − 𝐴
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Definición 8: Conjunto vacío
El conjunto que contiene elementos es denominado conjunto vacío, y se
representa por ∅.
Definición 9: Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 que no tienen elementos en común son llamados
disjuntos.
Definición 10: Clase
Clase es el nombre dado a una colección de conjuntos.
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Conjuntos, Reglas y Propiedades
Propiedad 1: Asociativa
Las operaciones de unión e intersección, definidas anteriormente, son
asociativas, o sea:
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
Propiedad 2: Distributiva:
La operación de intersección es distributivas en relación a la operación de
unión, o sea:
𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Más Información: En la Página de la Componente: Teoría de Conjuntos
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Álgebra
Propiedades:
i. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝓐
ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝓐
iii. ∅ ∈ 𝓐
iv. Ω ∈ 𝓐
v. 𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ ‫ڂ‬𝒊=𝟏
𝒏
𝐴𝒊 ∈ 𝓐
Definición 11: Álgebra
Una determinada clase o colección 𝓐 es dicha una álgebra cuando satisface
las siguientes condiciones:
i. 𝐴 ∈ 𝓐 ⇒ ҧ𝐴 ∈ 𝓐
ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝓐
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Álgebra
Definición 12: 𝝈-Álgebra
Cuando la propiedad v, continua siendo válida, hasta para un número infinito de
conjuntos, o sea:
𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ ራ
𝒊=𝟏
∞
𝐴𝒊 ∈ 𝓐
Definición 13: 𝝈-Álgebra generada por una Clase 𝓒
La menor 𝜎-álgebra que contiene todos los conjuntos de una clase 𝓒 es representada por
𝓐(𝓒) y es denominada 𝜎-álgebra generada por 𝓒.
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Ejemplo: Álgebra
Considere una experiencia que consiste en el
lanzamiento de un dado y cuyo resultado es el valor
de la cara que se observa. Si el punto de muestra
asociado a la observación de la cara 𝑖, (𝑖 =
1,2, … , 6) es representado por 𝑓𝑖, tiene el siguiente
espacio de muestras
Ω = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6
¿Cuál de las siguientes opciones constituye una
álgebra?
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Ejemplo: Álgebra
a
• 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5
b
• 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6
c
• 𝓒 = 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5
d
• 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1
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Ejemplo - Respuesta
• d no constituye una álgebra. Viola la definición. (La Unión)
𝑓1 ‫ڂ‬ 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6
No es miembro de 𝓒.
• Para que fuera álgebra, este subconjunto debería pertenecer a la
clase.
• De igual forma el complemento de 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 debería
pertenecer a la clase.
• Incluyendo también el complemento de 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , el álgebra
cerrada en relación al complemento y la unión será:
∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5
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Álgebra
Definición 14: Evento
Evento es cualquier subconjunto de Ω que pertenece a 𝜎-álgebra.
Definición 15: Eventos mutuamente exclusivos
Dos eventos son mutuamente exclusivos cuando ellos corresponden a dos
subconjuntos de Ω que son disjuntos.
Ω
A B
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Ejemplo 4: Álgebra
Una red de comunicaciones contiene 4 terminales
(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), cinco troncales (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5) y una
llave 𝑆 que puede asumir 3 posiciones (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼).
Cada troncal se puede encontrar en estado de
operación o fuera de operación.
Se define una experiencia que
consiste en observar la situación
de la red en un dado instante
verificando la posición de la llave
𝑆 y los estados de los troncos y
cuyo resultado es precisamente
la especificación de esta
situación.
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Ejemplo 4: Álgebra
a) Encuentre un método simple de representar los
puntos de muestra que constituyen el espacio
de muestra correspondiente a esta experiencia.
Determine el número de puntos de muestra.
b) Determine cuantos puntos de muestra
pertenecen a los siguientes eventos:
𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼
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Ejemplo 4: Álgebra (Sol)
a) Un punto genérico del espacio de muestras 𝜔𝑖 puede
representarse por:
𝜔𝑖 = 𝐶𝑠, 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4, 𝑇5
donde 𝐶𝑠 ∈ {𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼} y 𝑇𝑖 ∈ {0,1} para 𝑖 = 1, 5.
El valor de 𝐶𝑠 indicará la posición de la llave y el valor de 𝑇𝑖
indicará la posición de estado del tronco 𝑖. Convencionalmente
𝑇𝑖 = 0 si el estado del tronco 𝑖 está fuera de operación.
Se tiene 𝟑 × 𝟐 𝟓 = 𝟗𝟔 puntos de muestra.
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Ejemplo 4: Álgebra (Sol)
b) El evento 𝐴 puede ser expresado por la unión de tres subconjuntos:
𝐴1 = {𝐼, 1,×,×, 1,×}
× indica que el estado del tronco puede ser tanto «0» como «1». De forma no compacta,
𝐴1 = { 𝐼, 1,0,0,1,0 , 𝐼, 1,0,0,1,1 , 𝐼, 1,0,1,1,0 , 𝐼, 1,0,1,1,1 ,
𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,1,1,0 , (𝐼, 1,1,1,1,1)}
Análogamente
𝐴2 = {𝐼𝐼,×, 1,×,×,×}
y
𝐴3 = {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1}
Se tiene entonces
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3
El número de puntos en estos subconjuntos es respectivamente 8, 16 y 8.
Como estos subconjuntos son disjuntos, el total de puntos en 𝑨 es 32.
Para los otros eventos, de forma similar:
𝐵 = {×,×,×,×, 1,×}}
El número de puntos en 𝐵 será entonces 𝟑 × 𝟏𝟔 = 𝟒𝟖
Para el evento 𝐶,
𝐶 = {𝐼,×,×,×,×,×}
y por tanto el número de puntos en 𝐶 será 𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐.
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Ejemplo 3: Espacio de Muestras
1. Represente el espacio de muestras Ω de las
siguientes experiencias.
a. Experimento 1: Se Selecciona un balón de una urna
que contiene balones numerados entre 1 y 4.
Suponga que los balones 1 y 2 son negros y que los
balones 3 y 4 son blancos. Represente el número y
el color del balón seleccionado.
b. Experimento 2: Mida el tiempo de vida de un chip
de memoria de una computador dado en un
específico ambiente.
2. Escriba un evento 𝐴 𝑘 que corresponda con los
experimentos del ítem anterior.
37
MEDIDA DE PROBABILIDADES
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Medida de Probabilidad
• La motivación para utilizar un modelo
probabilístico fue caracterizar un cierto
«comportamiento medio» asociado al
fenómeno.
• Ω y 𝐴 no hacen mucho en este sentido.
• Para esto se introduce el tercer elemento:
medida de probabilidad 𝑃.
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Medida de Probabilidad
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Definición de Probabilidad
• Escuela clásica
• Escuela frecuencial
• Escuela axiomática
• Escuela subjetiva
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Escuela Clásica
• Ventaja:
– Definición a priori. No requiere experimentación.
• Inconvenientes:
– Requiere Ω finito.
– Exige sucesos elementales equiprobables, es decir, todos
los resultados son igualmente verosímiles.
• Ejemplo:
– 𝜀1: Lanzamiento de dos dados y observación de la suma.
𝑃 𝐴 = 1/12.
Definición 16: Probabilidad, Escuela Clásica
𝑃 𝐴 =
n° casos favorables a 𝐴
n° casos posibles
=
𝐴
Ω
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Escuela Frecuencial
• Ventaja:
– Conexión con la Ley de los Grandes Números.
• Inconvenientes:
– Poca utilidad. Requiere un n° elevado de experimentos.
– Dificultades matemáticas para el desarrollo de laTeoría de la Probabilidad.
• Probabilidad:
𝑃 𝐴 = lim
𝑁→∞
𝑛(𝐴)
𝑁
Definición 17: Frecuencia Relativa
Asuma que se ha observado un fenómeno 𝑁 veces, se anota el número de
veces que un dado evento 𝐴 ha ocurrido. Si representamos por 𝑛(𝐴) este
número, la razón:
𝑛(𝐴)
𝑁
Es denominada frecuencia relativa de ocurrencia de 𝐴 para las 𝑁
observaciones efectuadas.
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Ejemplo 5: Escuela Frecuencial
Lanzamiento de
una moneda
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Ejemplo 6: Escuela Frecuencial
Aguja de Buffon
Información detallada: http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html
𝑃(aguja cruce una de las lineas) =
2
𝜋
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Escuela Frecuencial
Propiedades de la Frecuencia Relativa:
1. 0 ≤
𝑛(𝐴)
𝑁
≤ 1
2. Considere el evento Ω, 𝑛 Ω = 𝑁. (En cualquiera de las 𝑁
repeticiones de la experiencia se observará la ocurrencia del evento 𝛺)
3. Considere dos eventos A y B, mutuamente exclusivos (𝐴⋂𝐵 = ∅),
y se examina el número de veces, 𝑛(𝐴‫,)𝐵ڂ‬ en que 𝐴‫𝐵ڂ‬ ocurre
en 𝑁 observaciones de la experiencia.
𝑛 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵)
Por tanto la frecuencia relativa de la unión de dos eventos
mutuamente exclusivos e igual a la suma de las frecuencias relativas
de cada evento.
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Escuela Axiomática
Axioma 1:
𝑃(𝐴) ≥ 0
Axioma 2:
𝑃 Ω = 1
Axioma 3:
a) Si 𝐴⋂𝐵 = ∅, entonces
𝑃 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
b) Si 𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … 𝑖 ≠ 𝑗 , entonces
𝑃 ራ
𝑖=1
∞
𝐴𝑖 = ෍
𝑖=1
∞
𝑃(𝐴𝑖)
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ConcepTest: Definición de Probabilidad
Experimento: Lanzamiento de una moneda. Cuál es la
probabilidad de obtener cara o sello?
Suponer que :
- Espacio de muestra: cara o sello. Probabilidad de caer de pie
despreciable
- Moneda honesta
Usando definición clásica de probabilidad: Un caso favorable
y dos casos posibles.
𝑃 = 0.5
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ConcepTest: Definición de Probabilidad
Si la moneda se encuentra trucada. (La probabilidad de salir cara
es diferente de P=0.5)
Utilizando def. Frecuencialista:
Lanzar la moneda un número grande de veces, y hace el
cociente entre número de casos favorables sobre número de
experimentos ciertos.
En este caso la def. axiomática no sirve mucho.
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ConcepTest: Definición de Probabilidad
Se lanza la moneda y se tapa el resultado. Cuál es la probabilidad
de obtener cara o sello?
𝑃 = 0.5
Otro experimento: Dos personas, se lanza la moneda uno tiene
acceso a ver que como cayo la moneda y la otra persona no. Cuál
es la probabilidad de salir cara?
Para la persona que tiene acceso a la información:
• O es 0 o es 1. O salió cara o no salió.
Para la persona que no tiene acceso a al información:
• 𝑃 = 0.5
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ConcepTest: Definición de Probabilidad
Experimento, lanzar una moneda. Se pregunta a una persona cuál es la
probabilidad de haber salido cara?
- La persona responde: «Yo creo que la probabilidad de haber salido
cara es de 70%»
- Se espera probabilidad del 50%
- La persona manifiesta que tiene poderes paranormales y que cree
que salió cara, por eso da mayor probabilidad a ese resultado.
Se cree en esa persona?
La persona trae un certificado de una entidad de investigación que
certifica que la persona tiene capacidades especiales, y en el 70% de las
situaciones tiene la razón.
Se cree en esa persona?
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ConcepTest: Definición de Probabilidad
Conclusión:
Probabilidad es una medida de la
información o creencia sobre la
ocurrencia de un evento.
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Medida de Probabilidad
Propiedades:
i. Aditiva
Para una colección de 𝑛 eventos disjuntos 𝐴𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , esto es, satisfaciendo
𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 ≠ 𝑗
resulta que
𝑃 ‫ڂ‬𝑖=1
𝑛
𝐴𝑖 = σ𝑖=1
𝑛
𝑃(𝐴𝑖)
ii. Propiedad del Complemento
𝑃 ҧ𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴)
iii. Propiedad del Evento Vacío
𝑃 ∅ = 0
iv. Limitante Superior para P(A)
𝑃(𝐴) ≤ 1
v. Probabilidad de la Unión
𝑃 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴⋂𝐵)
Demostrar
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Probabilidad condicional
Se lanza un dado. Felipe alcanza a ver que salió un
número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 2?
a •1/6
b •1/2
c •1/3
d •1/4
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Probabilidad condicional
𝐴 = salió un número par
𝐵 = salió el 2
La probabilidad de que salga el número 2,
condicionada a que haya sucedido el evento A, es
decir salió un par, es:
𝑃 𝐵|𝐴 =
1
6
1
2
=
1
3
El concepto y la expresión exacta para la probabilidad
condicional se analiza a continuación.
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Probabilidad Condicional
Definición 18: Probabilidad Condicional
Dado dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, se llama probabilidad condicional de B
dado A y se escribe 𝑃(𝐵|𝐴) a la expresión
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
Propiedades:
i. Si dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, son
mutuamente exclusivos, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ y por
tanto 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 0. Resulta
inmediatamente que
𝑃 𝐵 𝐴 = 0
57
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Probabilidad Condicional
iii. Si 𝐴 ⊃ 𝐵 se tiene que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, por
tanto, para 𝑃 𝐴 > 0 y es posible
escribir
𝑃 𝐵 𝐴 =
𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴)
≥ 𝑃(𝐵)
ii. Si para dos eventos A y B se tiene
𝐴 ⊂ 𝐵 deriva que 𝐴⋂𝐵 = 𝐴,
resultando entonces que
𝑃 𝐵 𝐴 = 1
58
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Ejemplo 7: Probabilidad Condicional
En la red de comunicaciones presentada, cualquier
configuración que la red pueda asumir es equiprobable. Esto
es, se adopta una medida de probabilidad que atribuye
probabilidades iguales a todos los puntos de muestra del
espacio de muestras. Calcule las siguientes probabilidades.
𝑃(A), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴|𝐵), 𝑃(𝐶|𝐷), donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son eventos
definidos como:
𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼
𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵
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Ejemplo 7: Probabilidad Condicional
Se tiene 96 puntos de muestras en el espacio de muestras. La probabilidad de un punto
de muestra 𝜔𝑖 es
𝑃 𝜔𝑖 = 𝑝
constante para cualquier 𝑖. Resulta entonces del Axioma 2 y la Probabilidad Aditiva que
𝑃 Ω = ෍
𝑖=1
96
𝑃 𝜔𝑖 = 96 𝑝 = 1
o sea
𝑝 =
1
96
Los eventos 𝐴 y 𝐵 están constituidos por 32 y 48 puntos de muestra,
respectivamente. Por tanto,
𝑃 𝐴 = 32𝑝 =
32
96
=
1
3
𝑃 𝐵 = 48 𝑝 =
48
96
=
1
2
60
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Ejemplo 7: Probabilidad Condicional
Para determinar 𝑃(𝐴|𝐵) es preciso caracterizar inicialmente el evento (𝐴 ∩ 𝐵).
Según la notación introducida,
𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3
𝐴 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×,×,× ∪ {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1}
y
𝐵 = {×,×,×,×, 1,×}
Por la propiedad de distributiva de la intersección con relación a la unión se tiene
𝐴 ∩ 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴3 ∩ 𝐵
o
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×, 1,× ∪ {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1, 1, 1}
Como los eventos en el segundo miembro de esta igualdad son disjuntos y
contienen respectivamente 8, 8 y 4 puntos de muestra, resulta que 𝐴 ∩ 𝐵
contiene 20 puntos. Por tanto
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 20𝑝 =
20
96
=
5
24
61
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Ejemplo 7: Probabilidad Condicional
Se tiene entonces
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
=
5
24
1
2
=
5
12
Para obtener 𝑃 𝐶 𝐷 , verifique primero que
𝐶 ∩ 𝐷 = 𝐶 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝐼, 1,×,×, 1,×}
De esto resulta fácilmente
𝑃 𝐶 𝐷 =
2
5
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Teorema de probabilidad total
En una bolsa existen papeles de tres colores, con la siguiente probabilidad de ser
elegidos: amarillo (prob. 50%), azul (prob. 30%) y rojo (prob. 20%).
Según el color de papel elegido, podrá participar en diferentes sorteos con la
siguiente probabilidad de ganar: amarillo (prob. de ganar del 40%), azul (prob. de
ganar del 60%), rojo (prob. de ganar del 80%).
¿Qué probabilidad tiene de ganar el sorteo en el que participe?
a • 40%, se considera la menor prob.
b • 45%, realizando operaciones.
c • 54%, realizando operaciones.
d • 80%, se considera la mayor prob.
𝑃 = 0,5 ∗ 0,4 + 0,3 ∗ 0,6 + 0,2 ∗ 0,8 = 0,54
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Teorema de Probabilidad Total
Definición 19: Participación del Espacio de Muestras
Un conjunto de eventos 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 constituye una partición del espacio
de muestras Ω cuando
𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, ∀ 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑚 (𝑖 ≠ 𝑗)
ሪ𝑖=1
𝑚
𝐵𝑖 = Ω
Propiedad: Teorema de Probabilidad Total
Considere un evento A y una partición del espacio de muestras
𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚
Para esta partición y este evento, se tiene que
𝑃 𝐴 = ෍
𝑗=1
𝑚
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑗)
y aún
𝑃 𝐴 = ෍
𝑗=1
𝑚
𝑃 𝐴 𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗)
67
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Teorema de Probabilidad Total
68
A
𝑃 𝐴 = ෍
𝑗=1
𝑚
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑗)
𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚
. . .
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𝑃(𝐵𝑗|𝐴) =
𝑃 𝐵 𝑗 𝑃(𝐴|𝐵 𝑗)
σ 𝑘=1
𝑚
𝑃 𝐵 𝑘 𝑃(𝐴|𝐵 𝑘)
Regla de Bayes
Regla de Bayes
• Considere una partición de 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚 del espacio de
muestras con 𝑃(𝐵𝑗) > 0 para todo 𝑗. Sea aún 𝐴, un evento
con 𝑃 𝐴 > 0.
𝑃 𝐵𝑗 𝐴 =
𝑃(𝐵𝑗 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴|𝐵𝑗) =
𝑃(𝐵 𝑗∩𝐴)
𝑃(𝐵 𝑗)
𝑃(𝐵𝑗|𝐴) =
𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗)
𝑃(𝐴)
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Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total
Considere cuatro cajas que contienen elementos electrónicos.
Las cajas contienen 2000, 500, 1000 y 1000 componentes. Se
sabe que, respectivamente el 5%, 40%, 10% y 10% de los
componentes de cada caja son defectuosos. Se escoge una de las
cajas al azar y se retira de ella un componente. Determine la
probabilidad de que el componente sea defectuoso.
1
1
2 3 4
= 2000 = 500 = 1000 = 1000
70
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Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total
Se admite que los componentes están numerados de 1 a 4500. Se define
entonces como resultado de la experiencia el orden del componente
retirado. El espacio de muestras asociado a la experiencia contiene por
tanto 4500 puntos de muestra.
Caja Componentes buenos Componentes defectuosos
1 1900 100
2 300 200
3 900 100
4 900 100
Se define ahora 5 eventos
𝐵𝑖 = 𝜔: 𝜔 componente perteneciente a la caja 𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4)
y
𝐷 = {𝜔: 𝜔 es componente defectuoso}
71
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Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total
Se desea encontrar 𝑃(𝐷). Además,
𝑃 𝐵𝑖 =
1
4
(𝑖 = 1,2,3,4)
Una vez escogida una caja, la probabilidad de ser retirado un elemento particular es igual para
todos los elementos. Por esta razón la probabilidad del evento 𝐷 condicionada a cada uno de los
𝐵𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) es igual al producto del número de elementos defectuosos en la caja por la
probabilidad de cada uno de estos elementos sean retirados, o sea
𝑃 𝐷 𝐵1 = 100
1
2000
= 0,05
𝑃 𝐷 𝐵2 = 200
1
500
= 0,4
𝑃 𝐷 𝐵3 = 𝑃(𝐷|𝐵4) = 100
1
1000
= 0,1
Por el teorema de probabilidad total,
𝑃 𝐷
= 𝑃 𝐷 𝐵1 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐷 𝐵3 𝑃 𝐵3 + 𝑃 𝐷 𝐵4 𝑃(𝐵4)
Por tanto,
𝑃 𝐷 =
1
4
0,05 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,1625
72
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Ejemplo 9: Regla de Bayes
Asuma que en el ejemplo anterior, el componente
retirado de una de las cajas ha sido examinado, y
fue constatado que era defectuoso. Determine
entonces, la probabilidad de haya sido retirado de
la caja número 2.
2
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Ejemplo 9: Regla de Bayes (Sol)
Se desea calcular la probabilidad 𝑃(𝐵2|𝐷) de el elemento haber sido retirado de la caja
2 dado que era defectuoso. Se tiene
𝑃 𝐷 = 0,1625
𝑃 𝐷 𝐵2 = 0,4
𝑃 𝐵2 = 0,25
𝑃 𝐵2 𝐷 =
𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2
𝑃 𝐷
= 0,615
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Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes
0,9
0,8
0,2
0,1
𝑥 = 0
𝑥 = 1
𝑦 = 0
𝑦 = 1
Sistema de Comunicaciones Binario
𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9
𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2
𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1
𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8
• Probabilidades a priori: 𝑃 𝑥 = 0 = 𝑃 𝑥 = 1 = 0,5
• Ω = 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1 .
• 𝑥 = 0 = 0, 0 , 0, 1 ; { 𝑥 = 0 , {𝑥 = 1}} es partición.
• Probabilidad Total:
𝑃 𝑦 = 0 = 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 0,55
𝑃 𝑦 = 1 = … = 1 − 𝑃 𝑦 = 0 = 0,45
75
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Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes
0,9
0,8
0,2
0,1
𝑥 = 0
𝑥 = 1
𝑦 = 0
𝑦 = 1
Sistema de Comunicaciones Binario
𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9
𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2
𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1
𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8
• Bayes (vemos 𝑦 y queremos conocer 𝑥):
𝑃 𝑥 = 0 𝑦 = 0 =
𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0
𝑃 𝑦 = 0
= 𝟎, 𝟖𝟐
𝑃 𝑥 = 1 𝑦 = 1 =
𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1
𝑃 𝑦 = 1
= 𝟎, 𝟖𝟗
𝑃 error = 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 ∪ {𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0})
= 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 + {𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0}) … … … … … … … … …
= 𝑃 𝑦 = 1|𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 𝟎, 𝟏𝟓
76
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Ejemplo 11: Teorema de Bayes
Preguntas:
1. Cuál es la probabilidad de la CPU procesar un programa
grande?
2. Si se sabe que el programa procesado por la CPU es
grande, cuál es la probabilidad de que el haya venido de la
fila 2?
• programas: grandes y pequeños.
• 50%, 30% y 20% de los
programas de las filas 1, 2 y 3
son grandes.
• El Scheduler selecciona
aleatoriamente programas de las
filas 1, 2 y 3.
77
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Ejemplo 11: Teorema de Bayes
A = el programa procesado por la CPU es grande.
𝐵𝑛 = el programa proviene de la fila 𝑛 𝑛 = 1,2,3
Se sabe:
a) 𝑃 𝐵1 = 𝑃 𝐵2 = 𝑃 𝐵3 = 1/3
b) 𝑃 𝐴 𝐵1 = 1/2 (50%)
c) 𝑃 𝐴 𝐵2 = 3/10 (30%)
d) 𝑃 𝐴 𝐵3 = 1/5 (20%)
Pregunta 1: 𝑃 𝐴
Pregunta 2: 𝑃(𝐵2|𝐴)
78
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Ejemplo 11: Teorema de Bayes [Rta]
𝑃 𝐴 =
1
3
∙
5
10
+
1
3
∙
3
10
+
1
3
∙
2
10
=
1
3
𝑃 𝐵2 𝐴 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵2)
𝑃(𝐴)
=
𝑃(𝐵2) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵2)
𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵2 𝐴 =
1
3
∙
3
10
1
3
=
3
10
79
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Independencia Estadística entre Eventos
• Cuando 𝑃 𝐴 > 0 y 𝑃 𝐵 > 0, entonces de la definición de
probabilidad condicional resulta que:
𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)
• Si 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐵) son estrictamente positivos e 𝐴 y 𝐵 son
mutuamente exclusivos, entonces los eventos 𝐴 y 𝐵 no son
estadísticamente independientes. Siendo 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ se
tiene que 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 y por tanto
𝑃 𝐵 𝐴 = 0 ≠ 𝑃(𝐵)
Definición 20: Independencia Estadística entre dos eventos
Dos eventos A y B son estadísticamente independientes cuando
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)
80
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Independencia Estadística entre Eventos
• Si los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes y
mutuamente exclusivos, entonces por lo menos
uno de los eventos tienen probabilidad nula.
Ejemplo:
Considere el lanzamiento de un dado y el espacio de muestras asociado Ω =
1, 2, 3, 4, 5, 6 ; sean los eventos 𝐴 = 1, 2 y 𝐵 = 2, 4, 6 . Asumiendo que las 6
caras del dado son equiprobables, se tiene:
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
1/6
1/2
=
1
3
𝑃 𝐴 =
1
3
Resultando que 𝐴 y 𝐵 son estadísticamente independientes. Entretanto , ya que 𝐴 ∩
𝐵 = 2 , 𝐴 y 𝐵 no son eventos disjuntos.
81
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Independencia Estadística entre Eventos
Definición 21: Independencia Estadística entre Eventos
Los eventos 𝐴 𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑛 son estadísticamente independientes cuando
para cualquier conjunto de índices distintos
𝑘𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑗
con
𝑘𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝑗
y
∀𝑗 ∈ 2 … , 𝑛
se tiene
𝑃 ሩ
𝑖=1
𝑗
𝐴 𝑘 𝑖
= ෑ
𝑖=1
𝑗
𝑃 𝐴 𝑘 𝑖
82
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Independencia Estadística entre Eventos
• En particular para tres eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 esta condición se
desdoblaría en
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴3
𝑃 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3
De acuerdo con la Definición 17 𝑛 eventos son
estadísticamente independientes cuando la probabilidad de
intersección de 𝑘, (2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), de estos eventos es igual al
producto de las probabilidades de los 𝑘 eventos.
83
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ConcepTest
• Sean tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 que satisfacen
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃(𝐶)
𝑃 𝐴 =
1
3
𝑃 𝐵 =
1
3
𝑃 𝐶 =
1
3
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 =
1
27
84
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Ejemplo 1: Espacio de Muestras
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a
• Los eventos son estadísticamente independientes dos a dos.
b
• El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵, pero si e.i. del
evento 𝐶
c
• El evento 𝐴 es estadísticamente independiente del evento 𝐵
d
• El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵
e
• Los eventos A, B, C son e.i.
85
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ConcepTest - Respuesta
• Aunque se satisface una de las condiciones
[𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ], dos eventos cualquier no son
independientes. Así por ejemplo para los eventos
𝐴 y 𝐵 se tiene
𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 =
1
9
𝑃 𝐴⋂𝐵 =
1
27
Lo que muestra que 𝐴 y 𝐵 no son estadísticamente
independientes.
86
SISTEMA DE PROBABILIDAD
87
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Sistema de Probabilidad
Espacio de
Muestras
𝜎-álgebra
sobre Ω
medida de
probabilidad 𝐴.
𝒮 = Ω, 𝒜, 𝑃
Definición 22: Independencia entre dos sistemas de probabilidad
Dos sistemas de probabilidad 𝒮1 = Ω1, 𝒜1, 𝑃1 y 𝒮2 = Ω2, 𝒜2, 𝑃2 son
estadísticamente independientes cuando para todo 𝐴1 ∈ 𝒜1 y todo 𝐴2 ∈ 𝒜2
se tiene
𝑃 𝐴1 × 𝐴2 = 𝑃1 𝐴1 𝑃2 𝐴2
donde P es la medida de probabilidad de la experiencia combinada.
88
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Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad
Considere la experiencia correspondiente al
lanzamiento de un dado y de una moneda, cuyo
resultado es la especificación del valor del dado y
del resultado de la moneda.
Se desea calcular la probabilidad asociada al
evento «valor 1 y cara».
89
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Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad (Sol)
Se considera una única experiencia con espacio de muestras constituido por 12 puntos
de muestra de forma:
𝜔 = 𝑓𝑖, 𝑘𝑗 , 𝑖 = 1, … , 6 ; 𝑗 = 1, 2
donde 𝑓𝑖 y 𝑘𝑗 representan las caras del dado y de la moneda, respectivamente. Además,
que 𝑘1 corresponde a cara. Considere ahora los eventos
𝐴𝑖 = 𝑓𝑖, 𝑘1 , 𝑓𝑖, 𝑘2 ; 𝑖 = 1, … , 6
y
𝐵𝑗 = 𝑓1, 𝑘𝑗 , 𝑓2, 𝑘𝑗 , 𝑓3, 𝑘𝑗 , 𝑓4, 𝑘𝑗 , 𝑓5, 𝑘𝑗 , 𝑓6, 𝑘𝑗 ; 𝑗 = 1,2.
Se tiene entonces
𝜔: 1 es cara = 𝐴1 ∩ 𝐵1 = {(𝑓1, 𝑘1)}.
Se admite una distribución de probabilidad tal que
𝑃 𝐴𝑖 =
1
6
; 𝑖 = 1, … , 6
y 𝑃 𝐵𝑗 = 𝑞 𝑗 ; 𝑗 = 1,2
y considerando también que cada 𝐴𝑖 es independiente de cada 𝐵𝑗 se tiene
en particular
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵1 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵1 =
1
6
𝑞1.
90
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Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad (Sol)
Considere ahora que la experiencia examinada es una combinación de dos experiencias
elementales: «lanzamiento del dado teniendo como resultado la especificación de la
cara del dado» y «lanzamiento de la moneda teniendo como resultado la especificación
de la cara de la moneda». A la primera experiencia está asociado el sistema de
probabilidad con espacios de muestra,
Ω1 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6
y con medida de probabilidad que puede ser definida por
𝑃1 𝑓𝑖 =
1
6
; 𝑖 = 1, … , 6.
De la misma manera para la segunda experiencia se tiene,
Ω2 = 𝑘1, 𝑘2
y
𝑃2 𝑘𝑗 = 𝑞 𝑗 ; 𝑗 = 1,2.
Al admitir que las dos experiencias están asociadas como sistemas de
probabilidad independientes se tiene inmediatamente la Definición 22,
𝑃 𝑓1, 𝑘1 =
1
6
𝑞1
91
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Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad
Una caja contiene 10 bolas blancas y 5 rojas.
Una segunda caja contiene 20 bolas blancas y 20
rojas. Se retira una bola de cada caja.
Determine las probabilidades asociadas a los
siguientes eventos:
a) retirar una bola blanca de la primera caja y
una bola roja de la segunda caja.
b) retirar una bola blanca y una bola roja.
92
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Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad (Sol)
Considere la experiencia combinada, constituida de dos experiencias independientes.
La primera está asociada a un espacio de muestras Ω1 constituido de 15 puntos de
muestra. En conexión con esta experiencia se define los eventos,
𝐵1 = {𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es blanca}
y 𝑉1 = 𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es roja
por tanto,
𝑃1 𝐵1 = 10
1
15
=
2
3
𝑃1 𝑉1 = 5
1
15
=
1
3
Análogamente el espacio de muestras Ω2 asociado a la segunda experiencia
contiene 40 puntos de muestra y
𝑃2 𝑉2 = 20
1
40
=
1
2
𝑃2 𝐵2 = 20
1
40
=
1
2
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Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad (Sol)
donde
𝑉2 = {𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es roja}
y
𝐵2 = {𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es blanca}
Las probabilidades procuradas son
𝑃 𝐵1 × 𝑉2 = 𝑃1 𝐵1 𝑃2 𝑉2 =
1
3
y
𝑃 𝐵1 × 𝑉2 ∪ 𝑉1 × 𝐵2 = 𝑃 𝐵1 × 𝑉2 + 𝑃 𝑉1 × 𝐵2
= 𝑃1 𝐵1 ∙ 𝑃2 𝑉2 + 𝑃1 𝑉1 ∙ 𝑃2 𝐵2
=
1
3
+
1
6
=
1
2
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Sistema de Probabilidad
Definición 23: Sistemas de Probabilidad Independientes
Considere 𝑛 sistemas de probabilidades 𝒮 𝑘 = Ω 𝑘, 𝒜 𝑘, 𝑃𝑘 ; 𝑘 = 1, … , 𝑛
asociados a 𝑛 experiencias. Considere aún una colección de 𝑛 eventos, tal que
𝐴𝑖 𝑘
∈ 𝒜 𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑛
Los sistemas de probabilidades 𝒮 𝑘(𝑘 = 1, … , 𝑛) son independientes cuando la
medida de probabilidad P asociada a la experiencia combinada es tal que
𝑃 𝐴𝑖1
× 𝐴𝑖2
× ⋯ × 𝐴𝑖 𝑛
= 𝑃1 𝐴𝑖1
𝑃2 𝐴𝑖2
… 𝑃𝑛(𝐴𝑖 𝑛
)
para toda colección 𝐴𝑖 𝑘
95
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Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad
En la red de comunicaciones presentada, las tres posiciones
de la llave son equiprobables y la probabilidad de un ramal
cualquier se encuentra fuera de operación es 𝑝. Considere
aún que la posición de la llave y la situación de los troncos son
independientes. Como anteriormente, calcule las
probabilidades 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐴 𝐵 y 𝑃(𝐶|𝐷) siendo
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 los eventos definidos:
𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse
𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼
𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵
96
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Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad
• El espacio de muestras correspondiente a la posición de la llave es
Ω 𝑐 = (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼)
• Y el espacio de muestras correspondiente al tronco 𝑖 (𝑖 =
1, 2, 3, 4, 5) es
Ω𝑖 = (0, 1)
• El evento 𝐴 puede ser expresado como la unión de 3 eventos
distintos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3.
– Cada uno de estos eventos es el producto cartesiano de 6 eventos, así:
𝐴1 = 𝐼 × 1 × Ω2 × Ω3 × 1 × Ω5
𝐴2 = 𝐼𝐼 × Ω1 × {1} × Ω3 × Ω4 × Ω5
𝐴3 = 𝐼𝐼𝐼 × Ω1 × Ω2 × 1 × Ω4 × {1}
El problema se resuelve considerando la posición de la llave y la situación de cada uno
de los cinco troncos como seis experiencias independientes las cuales están asociadas a
sistemas de probabilidad independientes.
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Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad
Como, por hipótesis, los sistemas de probabilidad son independientes,
𝑃 𝐴1 = 𝑃𝑐 𝐼 𝑃1 1 𝑃2 Ω2 𝑃3 Ω3 𝑃4 1 𝑃5 Ω5
o sea
𝑃 𝐴1 =
1
3
1 − 𝑝 1 1 1 − 𝑝 1 =
1 − 𝑝 2
3
.
Resulta análogamente
𝑃 𝐴2 =
1 − 𝑝
3
y
𝑃 𝐴3 =
1 − 𝑝 2
3
así,
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 =
1 − 𝑝 3 − 2𝑝
3
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Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad
finalizar en casa…
99
PROBLEMAS
100
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ClickProblem 1
• Un transmisor de un sistema de comunicaciones envía tres
símbolos (+1, 0, -1) a un receptor lejano de un canal
determinado. Dicho canal puede introducir errores en la
transmisión ocasionando, por ejemplo, que un «+1» enviado
aparezca como un «-1» o un «0» en el receptor. Considere
los sucesos 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 definidos de la siguiente manera: 𝐴𝑖 =
"el símbolo enviado es i" , 𝐵𝑖 =
"el símbolo recibido es i" . Suponiendo que 𝑃 𝐴1 = 0.5,
𝑃 𝐴2 = 0.3, 𝑃 𝐴3 = 0.1, y que 𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 = 0.1 si 𝑖 ≠ 𝑗, y
𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 = 0.8 si 𝑖 = 𝑗; calcule:
a) las probabilidades del suceso 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1,2,3
b) las probabilidades a posteriori 𝑃(𝐴𝑖|𝐵𝑗)
c) la probabilidad de cometer un error en la transmisión.
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ClickProblem 2
Lanzamiento consecutivo de 4 monedas. Obtener la
Probabilidad de:
1. Salir un número par de caras.
2. Salir exactamente 3 caras.
3. Salir exactamente 3 caras o obtener un número par
de caras.
4. Salir exactamente 3 caras y a la vez que dos caras
sean consecutivas.
5. Salir por lo menos dos caras consecutivas.
6. No ocurrir el evento el evento número par de caras y
por lo menos dos caras consecutivas.
102
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ClickProblem 3
Paradoja de Bertrand:
Considere una circunferencia de radio 1. Determinar la probabilidad
de que una cuerda de esta circunferencia, elegida «al azar», sea mayor
que el lado del triángulo equilátero inscrito en los siguientes casos:
a) Fijar un punto I en la circunferencia y elgir, con distribución
uniforme, un punto M del único diámetro que pasa el punto I. Este
punto M determina de forma única una cuerda perpendicular en
M al diámetro.
b) Fijar un extremo de la cuerda en la circunferencia y elegir el otro
extremo con distribución uniforme en la circunferencia.
c) Elegir un punto cualquiera M dentro del círculo, y considerar la
cuerda perpendicular en M al único radio que pasa por M.
103
REFERENCIAS
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Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
105
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  • 2. fasandoval@utpl.edu.ec Agenda CAP. 2: TEORÍA DE PROBABILIDADES • Espacio de Muestras • Algebra de Eventos • Medida de Probabilidades • Sistema de Probabilidad 2
  • 3. fasandoval@utpl.edu.ec Objetivos • Introducir un modelo matemático que permita estudiar de forma abstracta un fenómeno físico al cual está asociada una incerteza. – El modelo tiene como base la teoría de la probabilidad y caracterizará una experiencia asociada al fenómeno físico en análisis. – El modelo se compone de tres elementos: • Espacio de muestras • Álgebra de eventos • Medida de Probabilidad 3
  • 5. fasandoval@utpl.edu.ec Espacio de Muestras • Los elementos de Ω son denominados puntos de muestra 𝜔 o resultados y son indescomponibles. • Ω no es necesariamente único. • Ω puede ser discreto (finito o infinito contable) o continuo (infinito no contable) Definición 1: Espacio de Muestra 𝜴 Es un conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento 𝜀. 5
  • 6. fasandoval@utpl.edu.ec Espacio de Muestras Fenómeno físico Experiencia 𝜔 Ω Experimento Lanzamiento de un dado Lanzar dado y observar el número en la cara visible (arriba) 6
  • 7. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1: Espacio de Muestras • 𝜀1: Giro de una ruleta y observación del número obtenido. Ω1 = 0, 1, 2, … , 36 – 𝐴 = {«obtener número impar»} A = 1, 3, 5, … , 35 • 𝜀2: Giro de una ruleta y observación del color. Ω2 ={«rojo», «negro»} 7
  • 8. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1: Espacio de Muestras • 𝜀3: Giro hasta obtener 0 y observar el número de intentos a • Ω3 = 1, 2, 3 … = ℝ+ b • Ω3 = 1, 2, 3 … = ℕ+ c • Ω3 = [0, ∞) = ℝ+ d • Ω3 = {0,1,2,3, … } = ℕ+ e • Ω3 = 1,2,3, … , 𝑛 = ℕ+ ; 𝑛 = «𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠» 8
  • 9. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1: Espacio de Muestras • 𝜀4: Giro y observación del tiempo que tarde en parar. a • Ω4 = 1, 2, 3 … = ℝ+ b • Ω4 = 1, 2, 3 … = ℕ+ c • Ω4 = [0, ∞) = ℝ+ d • Ω4 = {0,1,2,3, … } = ℕ+ e • Ω4 = 1,2,3, … , 𝑡 = ℝ+ ; 𝑡 = «𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜» 9
  • 10. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 2: Espacio de Muestras CENTRAL A CENTRAL B 200 terminales telefónicos 𝑛 circuitos 𝑛 = 20 Contar el número 𝑛 𝑝 de llamadas simultáneamente en progreso entre A y B en un dado instante, definiendo como resultado de la experiencia el propio valor de 𝑛 𝑝. Ω = 0, 1, 2, … , 20 10
  • 11. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 2: Espacio de Muestras Si el resultado de la experiencia es la verificación de la existencia o no de congestionamiento entre las centrales A y B. – La condición de congestionamiento corresponde a observar 𝑛 𝑝 = 20 y puede ser identificado como el punto de muestra 𝑤1. – La condición de no-congestionamiento 𝑛 𝑝 < 20 correspondería al punto de muestra 𝑤2. Ω = 𝑤1, 𝑤2 11
  • 12. fasandoval@utpl.edu.ec Espacio de Muestras Lo importante en la definición del resultado de una experiencia es, a partir de los objetivos del modelo matemático que está siendo construido, llegar a un espacio de muestras que no sea más detallado de lo que es necesario, ni tan compacto al punto de omitir aspectos importantes del fenómeno que está siendo observado. 12
  • 14. fasandoval@utpl.edu.ec Tarea: Espacio de Muestras Leer el Capítulo 3: Blaise Pascal Descargar el libro: [link] 14
  • 15. fasandoval@utpl.edu.ec Tarea: Espacio de Muestras Luego de leer el texto, responder a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es análisis combinatorio? 2. Defina permutación y combinación y de dos ejemplos de cada uno. 3. Se extrae una carta aleatoria de una baraja de 52 cartas. Describir el espacio de muestras si a) No se tiene en consideración el palo. b) Si se tiene en cuenta el palo. 15
  • 17. fasandoval@utpl.edu.ec Algebra de Eventos • Ejemplo 2.1: Saber cuales son las posibilidades de que el número de llamadas en progreso simultáneo sea inferior a 10, o sea, cuál es la posibilidad de que el resultado de la experiencia pertenezca al subconjunto 𝐴 del espacio de muestras definido por: 𝐴 = 0, 1, … , 9 Es común que solamente algunos subconjuntos de Ω sean de interés y estos son los que se desea asociar a una probabilidad. Sea 𝐴 esta colección. 17
  • 18. fasandoval@utpl.edu.ec Eventos - Ejemplo 𝜔 Ω Punto de Muestra Espacio de Muestras Evento Obtener número par en lanzamiento de dado Evento 18
  • 19. fasandoval@utpl.edu.ec Algebra de Eventos • En el modelo matemático que sirve de base para la teoría de probabilidad, la manipulación de conjuntos de puntos de muestras, es de extrema importancia. • Las operaciones que envuelven subconjuntos de Ω obedecen a las reglas y propiedades usuales de las operaciones de conjuntos. 19
  • 20. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 2: Igualdad Dos conjuntos 𝐴, 𝐵 son iguales (𝑨 = 𝑩), si todo elemento (punto de muestra) de 𝐴 es elemento de 𝐵 y todo elemento de 𝐵 es elemento de 𝐴. Definición 3: Inclusión Un conjunto 𝐴 está incluido o contenido en un conjunto B (𝑨 ⊂ 𝑩), si todo elemento de 𝐴 es elemento de 𝐵. Equivalentemente, se dice que 𝐵 contiene a 𝐴 escribiendo (𝐁 ⊂ 𝑨). A B Ω 𝐴 ⊂ 𝐵 20
  • 21. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 4: Unión El conjunto cuyos elementos son elementos de un conjunto 𝐴, de un conjunto 𝐵 o de ambos es denominado unión de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota: 𝐴 ∪ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 o 𝜔 ∈ 𝐵 o ambos 𝐴 ∪ 𝐵 21
  • 22. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 5: Intersección El conjunto cuyos elementos son simultáneamente elementos de un conjunto 𝐴 y de un conjunto 𝐵 es denominado intersección de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota: 𝐴 ∩ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 y 𝜔 ∈ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 22
  • 23. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 6: Complemento El conjunto cuyos elementos son los elementos de Ω que no pertenecen a un determinado conjunto 𝐴 es llamado complemento de 𝐴, y se representa por ҧ𝐴, osea: ҧ𝐴 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐵 𝑦 𝜔 ∉ 𝐴 A Ω ҧ𝐴 23
  • 24. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 7: Diferencia El conjunto cuyos elementos son los elementos de un conjunto 𝐵 que no pertenecen a otro conjunto 𝐴 es llamado conjunto diferencia entre 𝐵 y 𝐴, y se denota: B – A ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∉ 𝐴 𝐵 − 𝐴 24
  • 25. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Definición 8: Conjunto vacío El conjunto que contiene elementos es denominado conjunto vacío, y se representa por ∅. Definición 9: Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 que no tienen elementos en común son llamados disjuntos. Definición 10: Clase Clase es el nombre dado a una colección de conjuntos. 25
  • 26. fasandoval@utpl.edu.ec Conjuntos, Reglas y Propiedades Propiedad 1: Asociativa Las operaciones de unión e intersección, definidas anteriormente, son asociativas, o sea: 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 Propiedad 2: Distributiva: La operación de intersección es distributivas en relación a la operación de unión, o sea: 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) Más Información: En la Página de la Componente: Teoría de Conjuntos 26
  • 27. fasandoval@utpl.edu.ec Álgebra Propiedades: i. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝓐 ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝓐 iii. ∅ ∈ 𝓐 iv. Ω ∈ 𝓐 v. 𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ ‫ڂ‬𝒊=𝟏 𝒏 𝐴𝒊 ∈ 𝓐 Definición 11: Álgebra Una determinada clase o colección 𝓐 es dicha una álgebra cuando satisface las siguientes condiciones: i. 𝐴 ∈ 𝓐 ⇒ ҧ𝐴 ∈ 𝓐 ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝓐 27
  • 28. fasandoval@utpl.edu.ec Álgebra Definición 12: 𝝈-Álgebra Cuando la propiedad v, continua siendo válida, hasta para un número infinito de conjuntos, o sea: 𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ ራ 𝒊=𝟏 ∞ 𝐴𝒊 ∈ 𝓐 Definición 13: 𝝈-Álgebra generada por una Clase 𝓒 La menor 𝜎-álgebra que contiene todos los conjuntos de una clase 𝓒 es representada por 𝓐(𝓒) y es denominada 𝜎-álgebra generada por 𝓒. 28
  • 29. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Álgebra Considere una experiencia que consiste en el lanzamiento de un dado y cuyo resultado es el valor de la cara que se observa. Si el punto de muestra asociado a la observación de la cara 𝑖, (𝑖 = 1,2, … , 6) es representado por 𝑓𝑖, tiene el siguiente espacio de muestras Ω = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 ¿Cuál de las siguientes opciones constituye una álgebra? 29
  • 30. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo: Álgebra a • 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5 b • 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 c • 𝓒 = 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5 d • 𝓒 = ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 30
  • 31. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo - Respuesta • d no constituye una álgebra. Viola la definición. (La Unión) 𝑓1 ‫ڂ‬ 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 No es miembro de 𝓒. • Para que fuera álgebra, este subconjunto debería pertenecer a la clase. • De igual forma el complemento de 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 debería pertenecer a la clase. • Incluyendo también el complemento de 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , el álgebra cerrada en relación al complemento y la unión será: ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5 31
  • 32. fasandoval@utpl.edu.ec Álgebra Definición 14: Evento Evento es cualquier subconjunto de Ω que pertenece a 𝜎-álgebra. Definición 15: Eventos mutuamente exclusivos Dos eventos son mutuamente exclusivos cuando ellos corresponden a dos subconjuntos de Ω que son disjuntos. Ω A B 32
  • 33. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 4: Álgebra Una red de comunicaciones contiene 4 terminales (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), cinco troncales (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5) y una llave 𝑆 que puede asumir 3 posiciones (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼). Cada troncal se puede encontrar en estado de operación o fuera de operación. Se define una experiencia que consiste en observar la situación de la red en un dado instante verificando la posición de la llave 𝑆 y los estados de los troncos y cuyo resultado es precisamente la especificación de esta situación. 33
  • 34. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 4: Álgebra a) Encuentre un método simple de representar los puntos de muestra que constituyen el espacio de muestra correspondiente a esta experiencia. Determine el número de puntos de muestra. b) Determine cuantos puntos de muestra pertenecen a los siguientes eventos: 𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼 34
  • 35. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 4: Álgebra (Sol) a) Un punto genérico del espacio de muestras 𝜔𝑖 puede representarse por: 𝜔𝑖 = 𝐶𝑠, 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4, 𝑇5 donde 𝐶𝑠 ∈ {𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼} y 𝑇𝑖 ∈ {0,1} para 𝑖 = 1, 5. El valor de 𝐶𝑠 indicará la posición de la llave y el valor de 𝑇𝑖 indicará la posición de estado del tronco 𝑖. Convencionalmente 𝑇𝑖 = 0 si el estado del tronco 𝑖 está fuera de operación. Se tiene 𝟑 × 𝟐 𝟓 = 𝟗𝟔 puntos de muestra. 35
  • 36. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 4: Álgebra (Sol) b) El evento 𝐴 puede ser expresado por la unión de tres subconjuntos: 𝐴1 = {𝐼, 1,×,×, 1,×} × indica que el estado del tronco puede ser tanto «0» como «1». De forma no compacta, 𝐴1 = { 𝐼, 1,0,0,1,0 , 𝐼, 1,0,0,1,1 , 𝐼, 1,0,1,1,0 , 𝐼, 1,0,1,1,1 , 𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,1,1,0 , (𝐼, 1,1,1,1,1)} Análogamente 𝐴2 = {𝐼𝐼,×, 1,×,×,×} y 𝐴3 = {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1} Se tiene entonces 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 El número de puntos en estos subconjuntos es respectivamente 8, 16 y 8. Como estos subconjuntos son disjuntos, el total de puntos en 𝑨 es 32. Para los otros eventos, de forma similar: 𝐵 = {×,×,×,×, 1,×}} El número de puntos en 𝐵 será entonces 𝟑 × 𝟏𝟔 = 𝟒𝟖 Para el evento 𝐶, 𝐶 = {𝐼,×,×,×,×,×} y por tanto el número de puntos en 𝐶 será 𝟐 𝟓 = 𝟑𝟐. 36
  • 37. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 3: Espacio de Muestras 1. Represente el espacio de muestras Ω de las siguientes experiencias. a. Experimento 1: Se Selecciona un balón de una urna que contiene balones numerados entre 1 y 4. Suponga que los balones 1 y 2 son negros y que los balones 3 y 4 son blancos. Represente el número y el color del balón seleccionado. b. Experimento 2: Mida el tiempo de vida de un chip de memoria de una computador dado en un específico ambiente. 2. Escriba un evento 𝐴 𝑘 que corresponda con los experimentos del ítem anterior. 37
  • 39. fasandoval@utpl.edu.ec Medida de Probabilidad • La motivación para utilizar un modelo probabilístico fue caracterizar un cierto «comportamiento medio» asociado al fenómeno. • Ω y 𝐴 no hacen mucho en este sentido. • Para esto se introduce el tercer elemento: medida de probabilidad 𝑃. 40
  • 41. fasandoval@utpl.edu.ec Definición de Probabilidad • Escuela clásica • Escuela frecuencial • Escuela axiomática • Escuela subjetiva 42
  • 42. fasandoval@utpl.edu.ec Escuela Clásica • Ventaja: – Definición a priori. No requiere experimentación. • Inconvenientes: – Requiere Ω finito. – Exige sucesos elementales equiprobables, es decir, todos los resultados son igualmente verosímiles. • Ejemplo: – 𝜀1: Lanzamiento de dos dados y observación de la suma. 𝑃 𝐴 = 1/12. Definición 16: Probabilidad, Escuela Clásica 𝑃 𝐴 = n° casos favorables a 𝐴 n° casos posibles = 𝐴 Ω 43
  • 43. fasandoval@utpl.edu.ec Escuela Frecuencial • Ventaja: – Conexión con la Ley de los Grandes Números. • Inconvenientes: – Poca utilidad. Requiere un n° elevado de experimentos. – Dificultades matemáticas para el desarrollo de laTeoría de la Probabilidad. • Probabilidad: 𝑃 𝐴 = lim 𝑁→∞ 𝑛(𝐴) 𝑁 Definición 17: Frecuencia Relativa Asuma que se ha observado un fenómeno 𝑁 veces, se anota el número de veces que un dado evento 𝐴 ha ocurrido. Si representamos por 𝑛(𝐴) este número, la razón: 𝑛(𝐴) 𝑁 Es denominada frecuencia relativa de ocurrencia de 𝐴 para las 𝑁 observaciones efectuadas. 44
  • 44. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 5: Escuela Frecuencial Lanzamiento de una moneda 45
  • 45. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 6: Escuela Frecuencial Aguja de Buffon Información detallada: http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html 𝑃(aguja cruce una de las lineas) = 2 𝜋 46
  • 46. fasandoval@utpl.edu.ec Escuela Frecuencial Propiedades de la Frecuencia Relativa: 1. 0 ≤ 𝑛(𝐴) 𝑁 ≤ 1 2. Considere el evento Ω, 𝑛 Ω = 𝑁. (En cualquiera de las 𝑁 repeticiones de la experiencia se observará la ocurrencia del evento 𝛺) 3. Considere dos eventos A y B, mutuamente exclusivos (𝐴⋂𝐵 = ∅), y se examina el número de veces, 𝑛(𝐴‫,)𝐵ڂ‬ en que 𝐴‫𝐵ڂ‬ ocurre en 𝑁 observaciones de la experiencia. 𝑛 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵) Por tanto la frecuencia relativa de la unión de dos eventos mutuamente exclusivos e igual a la suma de las frecuencias relativas de cada evento. 47
  • 47. fasandoval@utpl.edu.ec Escuela Axiomática Axioma 1: 𝑃(𝐴) ≥ 0 Axioma 2: 𝑃 Ω = 1 Axioma 3: a) Si 𝐴⋂𝐵 = ∅, entonces 𝑃 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 b) Si 𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … 𝑖 ≠ 𝑗 , entonces 𝑃 ራ 𝑖=1 ∞ 𝐴𝑖 = ෍ 𝑖=1 ∞ 𝑃(𝐴𝑖) 48
  • 48. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest: Definición de Probabilidad Experimento: Lanzamiento de una moneda. Cuál es la probabilidad de obtener cara o sello? Suponer que : - Espacio de muestra: cara o sello. Probabilidad de caer de pie despreciable - Moneda honesta Usando definición clásica de probabilidad: Un caso favorable y dos casos posibles. 𝑃 = 0.5 49
  • 49. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest: Definición de Probabilidad Si la moneda se encuentra trucada. (La probabilidad de salir cara es diferente de P=0.5) Utilizando def. Frecuencialista: Lanzar la moneda un número grande de veces, y hace el cociente entre número de casos favorables sobre número de experimentos ciertos. En este caso la def. axiomática no sirve mucho. 50
  • 50. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest: Definición de Probabilidad Se lanza la moneda y se tapa el resultado. Cuál es la probabilidad de obtener cara o sello? 𝑃 = 0.5 Otro experimento: Dos personas, se lanza la moneda uno tiene acceso a ver que como cayo la moneda y la otra persona no. Cuál es la probabilidad de salir cara? Para la persona que tiene acceso a la información: • O es 0 o es 1. O salió cara o no salió. Para la persona que no tiene acceso a al información: • 𝑃 = 0.5 51
  • 51. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest: Definición de Probabilidad Experimento, lanzar una moneda. Se pregunta a una persona cuál es la probabilidad de haber salido cara? - La persona responde: «Yo creo que la probabilidad de haber salido cara es de 70%» - Se espera probabilidad del 50% - La persona manifiesta que tiene poderes paranormales y que cree que salió cara, por eso da mayor probabilidad a ese resultado. Se cree en esa persona? La persona trae un certificado de una entidad de investigación que certifica que la persona tiene capacidades especiales, y en el 70% de las situaciones tiene la razón. Se cree en esa persona? 52
  • 52. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest: Definición de Probabilidad Conclusión: Probabilidad es una medida de la información o creencia sobre la ocurrencia de un evento. 53
  • 53. fasandoval@utpl.edu.ec Medida de Probabilidad Propiedades: i. Aditiva Para una colección de 𝑛 eventos disjuntos 𝐴𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , esto es, satisfaciendo 𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 resulta que 𝑃 ‫ڂ‬𝑖=1 𝑛 𝐴𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝑃(𝐴𝑖) ii. Propiedad del Complemento 𝑃 ҧ𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴) iii. Propiedad del Evento Vacío 𝑃 ∅ = 0 iv. Limitante Superior para P(A) 𝑃(𝐴) ≤ 1 v. Probabilidad de la Unión 𝑃 𝐴‫𝐵ڂ‬ = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴⋂𝐵) Demostrar 54
  • 54. fasandoval@utpl.edu.ec Probabilidad condicional Se lanza un dado. Felipe alcanza a ver que salió un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 2? a •1/6 b •1/2 c •1/3 d •1/4 55
  • 55. fasandoval@utpl.edu.ec Probabilidad condicional 𝐴 = salió un número par 𝐵 = salió el 2 La probabilidad de que salga el número 2, condicionada a que haya sucedido el evento A, es decir salió un par, es: 𝑃 𝐵|𝐴 = 1 6 1 2 = 1 3 El concepto y la expresión exacta para la probabilidad condicional se analiza a continuación. 56
  • 56. fasandoval@utpl.edu.ec Probabilidad Condicional Definición 18: Probabilidad Condicional Dado dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, se llama probabilidad condicional de B dado A y se escribe 𝑃(𝐵|𝐴) a la expresión 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) Propiedades: i. Si dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, son mutuamente exclusivos, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ y por tanto 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 0. Resulta inmediatamente que 𝑃 𝐵 𝐴 = 0 57
  • 57. fasandoval@utpl.edu.ec Probabilidad Condicional iii. Si 𝐴 ⊃ 𝐵 se tiene que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, por tanto, para 𝑃 𝐴 > 0 y es posible escribir 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) ≥ 𝑃(𝐵) ii. Si para dos eventos A y B se tiene 𝐴 ⊂ 𝐵 deriva que 𝐴⋂𝐵 = 𝐴, resultando entonces que 𝑃 𝐵 𝐴 = 1 58
  • 58. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 7: Probabilidad Condicional En la red de comunicaciones presentada, cualquier configuración que la red pueda asumir es equiprobable. Esto es, se adopta una medida de probabilidad que atribuye probabilidades iguales a todos los puntos de muestra del espacio de muestras. Calcule las siguientes probabilidades. 𝑃(A), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴|𝐵), 𝑃(𝐶|𝐷), donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son eventos definidos como: 𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵 59
  • 59. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 7: Probabilidad Condicional Se tiene 96 puntos de muestras en el espacio de muestras. La probabilidad de un punto de muestra 𝜔𝑖 es 𝑃 𝜔𝑖 = 𝑝 constante para cualquier 𝑖. Resulta entonces del Axioma 2 y la Probabilidad Aditiva que 𝑃 Ω = ෍ 𝑖=1 96 𝑃 𝜔𝑖 = 96 𝑝 = 1 o sea 𝑝 = 1 96 Los eventos 𝐴 y 𝐵 están constituidos por 32 y 48 puntos de muestra, respectivamente. Por tanto, 𝑃 𝐴 = 32𝑝 = 32 96 = 1 3 𝑃 𝐵 = 48 𝑝 = 48 96 = 1 2 60
  • 60. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 7: Probabilidad Condicional Para determinar 𝑃(𝐴|𝐵) es preciso caracterizar inicialmente el evento (𝐴 ∩ 𝐵). Según la notación introducida, 𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 𝐴 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×,×,× ∪ {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1} y 𝐵 = {×,×,×,×, 1,×} Por la propiedad de distributiva de la intersección con relación a la unión se tiene 𝐴 ∩ 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴3 ∩ 𝐵 o 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×, 1,× ∪ {𝐼𝐼𝐼,×,×, 1, 1, 1} Como los eventos en el segundo miembro de esta igualdad son disjuntos y contienen respectivamente 8, 8 y 4 puntos de muestra, resulta que 𝐴 ∩ 𝐵 contiene 20 puntos. Por tanto 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 20𝑝 = 20 96 = 5 24 61
  • 61. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 7: Probabilidad Condicional Se tiene entonces 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝑃 𝐵 = 5 24 1 2 = 5 12 Para obtener 𝑃 𝐶 𝐷 , verifique primero que 𝐶 ∩ 𝐷 = 𝐶 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝐼, 1,×,×, 1,×} De esto resulta fácilmente 𝑃 𝐶 𝐷 = 2 5 62
  • 62. fasandoval@utpl.edu.ec Teorema de probabilidad total En una bolsa existen papeles de tres colores, con la siguiente probabilidad de ser elegidos: amarillo (prob. 50%), azul (prob. 30%) y rojo (prob. 20%). Según el color de papel elegido, podrá participar en diferentes sorteos con la siguiente probabilidad de ganar: amarillo (prob. de ganar del 40%), azul (prob. de ganar del 60%), rojo (prob. de ganar del 80%). ¿Qué probabilidad tiene de ganar el sorteo en el que participe? a • 40%, se considera la menor prob. b • 45%, realizando operaciones. c • 54%, realizando operaciones. d • 80%, se considera la mayor prob. 𝑃 = 0,5 ∗ 0,4 + 0,3 ∗ 0,6 + 0,2 ∗ 0,8 = 0,54 66
  • 63. fasandoval@utpl.edu.ec Teorema de Probabilidad Total Definición 19: Participación del Espacio de Muestras Un conjunto de eventos 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚 constituye una partición del espacio de muestras Ω cuando 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, ∀ 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑚 (𝑖 ≠ 𝑗) ሪ𝑖=1 𝑚 𝐵𝑖 = Ω Propiedad: Teorema de Probabilidad Total Considere un evento A y una partición del espacio de muestras 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚 Para esta partición y este evento, se tiene que 𝑃 𝐴 = ෍ 𝑗=1 𝑚 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑗) y aún 𝑃 𝐴 = ෍ 𝑗=1 𝑚 𝑃 𝐴 𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗) 67
  • 64. fasandoval@utpl.edu.ec Teorema de Probabilidad Total 68 A 𝑃 𝐴 = ෍ 𝑗=1 𝑚 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑗) 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚 . . .
  • 65. fasandoval@utpl.edu.ec 𝑃(𝐵𝑗|𝐴) = 𝑃 𝐵 𝑗 𝑃(𝐴|𝐵 𝑗) σ 𝑘=1 𝑚 𝑃 𝐵 𝑘 𝑃(𝐴|𝐵 𝑘) Regla de Bayes Regla de Bayes • Considere una partición de 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑚 del espacio de muestras con 𝑃(𝐵𝑗) > 0 para todo 𝑗. Sea aún 𝐴, un evento con 𝑃 𝐴 > 0. 𝑃 𝐵𝑗 𝐴 = 𝑃(𝐵𝑗 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴|𝐵𝑗) = 𝑃(𝐵 𝑗∩𝐴) 𝑃(𝐵 𝑗) 𝑃(𝐵𝑗|𝐴) = 𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗) 𝑃(𝐴) 69
  • 66. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total Considere cuatro cajas que contienen elementos electrónicos. Las cajas contienen 2000, 500, 1000 y 1000 componentes. Se sabe que, respectivamente el 5%, 40%, 10% y 10% de los componentes de cada caja son defectuosos. Se escoge una de las cajas al azar y se retira de ella un componente. Determine la probabilidad de que el componente sea defectuoso. 1 1 2 3 4 = 2000 = 500 = 1000 = 1000 70
  • 67. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total Se admite que los componentes están numerados de 1 a 4500. Se define entonces como resultado de la experiencia el orden del componente retirado. El espacio de muestras asociado a la experiencia contiene por tanto 4500 puntos de muestra. Caja Componentes buenos Componentes defectuosos 1 1900 100 2 300 200 3 900 100 4 900 100 Se define ahora 5 eventos 𝐵𝑖 = 𝜔: 𝜔 componente perteneciente a la caja 𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) y 𝐷 = {𝜔: 𝜔 es componente defectuoso} 71
  • 68. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total Se desea encontrar 𝑃(𝐷). Además, 𝑃 𝐵𝑖 = 1 4 (𝑖 = 1,2,3,4) Una vez escogida una caja, la probabilidad de ser retirado un elemento particular es igual para todos los elementos. Por esta razón la probabilidad del evento 𝐷 condicionada a cada uno de los 𝐵𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) es igual al producto del número de elementos defectuosos en la caja por la probabilidad de cada uno de estos elementos sean retirados, o sea 𝑃 𝐷 𝐵1 = 100 1 2000 = 0,05 𝑃 𝐷 𝐵2 = 200 1 500 = 0,4 𝑃 𝐷 𝐵3 = 𝑃(𝐷|𝐵4) = 100 1 1000 = 0,1 Por el teorema de probabilidad total, 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐵1 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐷 𝐵3 𝑃 𝐵3 + 𝑃 𝐷 𝐵4 𝑃(𝐵4) Por tanto, 𝑃 𝐷 = 1 4 0,05 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,1625 72
  • 69. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 9: Regla de Bayes Asuma que en el ejemplo anterior, el componente retirado de una de las cajas ha sido examinado, y fue constatado que era defectuoso. Determine entonces, la probabilidad de haya sido retirado de la caja número 2. 2 73
  • 70. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 9: Regla de Bayes (Sol) Se desea calcular la probabilidad 𝑃(𝐵2|𝐷) de el elemento haber sido retirado de la caja 2 dado que era defectuoso. Se tiene 𝑃 𝐷 = 0,1625 𝑃 𝐷 𝐵2 = 0,4 𝑃 𝐵2 = 0,25 𝑃 𝐵2 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐷 = 0,615 74
  • 71. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes 0,9 0,8 0,2 0,1 𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑦 = 0 𝑦 = 1 Sistema de Comunicaciones Binario 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8 • Probabilidades a priori: 𝑃 𝑥 = 0 = 𝑃 𝑥 = 1 = 0,5 • Ω = 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1 . • 𝑥 = 0 = 0, 0 , 0, 1 ; { 𝑥 = 0 , {𝑥 = 1}} es partición. • Probabilidad Total: 𝑃 𝑦 = 0 = 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 0,55 𝑃 𝑦 = 1 = … = 1 − 𝑃 𝑦 = 0 = 0,45 75
  • 72. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes 0,9 0,8 0,2 0,1 𝑥 = 0 𝑥 = 1 𝑦 = 0 𝑦 = 1 Sistema de Comunicaciones Binario 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8 • Bayes (vemos 𝑦 y queremos conocer 𝑥): 𝑃 𝑥 = 0 𝑦 = 0 = 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 𝑃 𝑦 = 0 = 𝟎, 𝟖𝟐 𝑃 𝑥 = 1 𝑦 = 1 = 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 𝑃 𝑦 = 1 = 𝟎, 𝟖𝟗 𝑃 error = 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 ∪ {𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0}) = 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 + {𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0}) … … … … … … … … … = 𝑃 𝑦 = 1|𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 𝟎, 𝟏𝟓 76
  • 73. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 11: Teorema de Bayes Preguntas: 1. Cuál es la probabilidad de la CPU procesar un programa grande? 2. Si se sabe que el programa procesado por la CPU es grande, cuál es la probabilidad de que el haya venido de la fila 2? • programas: grandes y pequeños. • 50%, 30% y 20% de los programas de las filas 1, 2 y 3 son grandes. • El Scheduler selecciona aleatoriamente programas de las filas 1, 2 y 3. 77
  • 74. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 11: Teorema de Bayes A = el programa procesado por la CPU es grande. 𝐵𝑛 = el programa proviene de la fila 𝑛 𝑛 = 1,2,3 Se sabe: a) 𝑃 𝐵1 = 𝑃 𝐵2 = 𝑃 𝐵3 = 1/3 b) 𝑃 𝐴 𝐵1 = 1/2 (50%) c) 𝑃 𝐴 𝐵2 = 3/10 (30%) d) 𝑃 𝐴 𝐵3 = 1/5 (20%) Pregunta 1: 𝑃 𝐴 Pregunta 2: 𝑃(𝐵2|𝐴) 78
  • 75. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 11: Teorema de Bayes [Rta] 𝑃 𝐴 = 1 3 ∙ 5 10 + 1 3 ∙ 3 10 + 1 3 ∙ 2 10 = 1 3 𝑃 𝐵2 𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵2) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵2) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵2) 𝑃(𝐴) 𝑃 𝐵2 𝐴 = 1 3 ∙ 3 10 1 3 = 3 10 79
  • 76. fasandoval@utpl.edu.ec Independencia Estadística entre Eventos • Cuando 𝑃 𝐴 > 0 y 𝑃 𝐵 > 0, entonces de la definición de probabilidad condicional resulta que: 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴) • Si 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐵) son estrictamente positivos e 𝐴 y 𝐵 son mutuamente exclusivos, entonces los eventos 𝐴 y 𝐵 no son estadísticamente independientes. Siendo 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ se tiene que 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 y por tanto 𝑃 𝐵 𝐴 = 0 ≠ 𝑃(𝐵) Definición 20: Independencia Estadística entre dos eventos Dos eventos A y B son estadísticamente independientes cuando 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵) 80
  • 77. fasandoval@utpl.edu.ec Independencia Estadística entre Eventos • Si los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes y mutuamente exclusivos, entonces por lo menos uno de los eventos tienen probabilidad nula. Ejemplo: Considere el lanzamiento de un dado y el espacio de muestras asociado Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; sean los eventos 𝐴 = 1, 2 y 𝐵 = 2, 4, 6 . Asumiendo que las 6 caras del dado son equiprobables, se tiene: 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) = 1/6 1/2 = 1 3 𝑃 𝐴 = 1 3 Resultando que 𝐴 y 𝐵 son estadísticamente independientes. Entretanto , ya que 𝐴 ∩ 𝐵 = 2 , 𝐴 y 𝐵 no son eventos disjuntos. 81
  • 78. fasandoval@utpl.edu.ec Independencia Estadística entre Eventos Definición 21: Independencia Estadística entre Eventos Los eventos 𝐴 𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑛 son estadísticamente independientes cuando para cualquier conjunto de índices distintos 𝑘𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑗 con 𝑘𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝑗 y ∀𝑗 ∈ 2 … , 𝑛 se tiene 𝑃 ሩ 𝑖=1 𝑗 𝐴 𝑘 𝑖 = ෑ 𝑖=1 𝑗 𝑃 𝐴 𝑘 𝑖 82
  • 79. fasandoval@utpl.edu.ec Independencia Estadística entre Eventos • En particular para tres eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 esta condición se desdoblaría en 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3 De acuerdo con la Definición 17 𝑛 eventos son estadísticamente independientes cuando la probabilidad de intersección de 𝑘, (2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), de estos eventos es igual al producto de las probabilidades de los 𝑘 eventos. 83
  • 80. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest • Sean tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 que satisfacen 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃(𝐶) 𝑃 𝐴 = 1 3 𝑃 𝐵 = 1 3 𝑃 𝐶 = 1 3 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 1 27 84
  • 81. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 1: Espacio de Muestras ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a • Los eventos son estadísticamente independientes dos a dos. b • El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵, pero si e.i. del evento 𝐶 c • El evento 𝐴 es estadísticamente independiente del evento 𝐵 d • El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵 e • Los eventos A, B, C son e.i. 85
  • 82. fasandoval@utpl.edu.ec ConcepTest - Respuesta • Aunque se satisface una de las condiciones [𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ], dos eventos cualquier no son independientes. Así por ejemplo para los eventos 𝐴 y 𝐵 se tiene 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 = 1 9 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 1 27 Lo que muestra que 𝐴 y 𝐵 no son estadísticamente independientes. 86
  • 84. fasandoval@utpl.edu.ec Sistema de Probabilidad Espacio de Muestras 𝜎-álgebra sobre Ω medida de probabilidad 𝐴. 𝒮 = Ω, 𝒜, 𝑃 Definición 22: Independencia entre dos sistemas de probabilidad Dos sistemas de probabilidad 𝒮1 = Ω1, 𝒜1, 𝑃1 y 𝒮2 = Ω2, 𝒜2, 𝑃2 son estadísticamente independientes cuando para todo 𝐴1 ∈ 𝒜1 y todo 𝐴2 ∈ 𝒜2 se tiene 𝑃 𝐴1 × 𝐴2 = 𝑃1 𝐴1 𝑃2 𝐴2 donde P es la medida de probabilidad de la experiencia combinada. 88
  • 85. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad Considere la experiencia correspondiente al lanzamiento de un dado y de una moneda, cuyo resultado es la especificación del valor del dado y del resultado de la moneda. Se desea calcular la probabilidad asociada al evento «valor 1 y cara». 89
  • 86. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad (Sol) Se considera una única experiencia con espacio de muestras constituido por 12 puntos de muestra de forma: 𝜔 = 𝑓𝑖, 𝑘𝑗 , 𝑖 = 1, … , 6 ; 𝑗 = 1, 2 donde 𝑓𝑖 y 𝑘𝑗 representan las caras del dado y de la moneda, respectivamente. Además, que 𝑘1 corresponde a cara. Considere ahora los eventos 𝐴𝑖 = 𝑓𝑖, 𝑘1 , 𝑓𝑖, 𝑘2 ; 𝑖 = 1, … , 6 y 𝐵𝑗 = 𝑓1, 𝑘𝑗 , 𝑓2, 𝑘𝑗 , 𝑓3, 𝑘𝑗 , 𝑓4, 𝑘𝑗 , 𝑓5, 𝑘𝑗 , 𝑓6, 𝑘𝑗 ; 𝑗 = 1,2. Se tiene entonces 𝜔: 1 es cara = 𝐴1 ∩ 𝐵1 = {(𝑓1, 𝑘1)}. Se admite una distribución de probabilidad tal que 𝑃 𝐴𝑖 = 1 6 ; 𝑖 = 1, … , 6 y 𝑃 𝐵𝑗 = 𝑞 𝑗 ; 𝑗 = 1,2 y considerando también que cada 𝐴𝑖 es independiente de cada 𝐵𝑗 se tiene en particular 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵1 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵1 = 1 6 𝑞1. 90
  • 87. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad (Sol) Considere ahora que la experiencia examinada es una combinación de dos experiencias elementales: «lanzamiento del dado teniendo como resultado la especificación de la cara del dado» y «lanzamiento de la moneda teniendo como resultado la especificación de la cara de la moneda». A la primera experiencia está asociado el sistema de probabilidad con espacios de muestra, Ω1 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 y con medida de probabilidad que puede ser definida por 𝑃1 𝑓𝑖 = 1 6 ; 𝑖 = 1, … , 6. De la misma manera para la segunda experiencia se tiene, Ω2 = 𝑘1, 𝑘2 y 𝑃2 𝑘𝑗 = 𝑞 𝑗 ; 𝑗 = 1,2. Al admitir que las dos experiencias están asociadas como sistemas de probabilidad independientes se tiene inmediatamente la Definición 22, 𝑃 𝑓1, 𝑘1 = 1 6 𝑞1 91
  • 88. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad Una caja contiene 10 bolas blancas y 5 rojas. Una segunda caja contiene 20 bolas blancas y 20 rojas. Se retira una bola de cada caja. Determine las probabilidades asociadas a los siguientes eventos: a) retirar una bola blanca de la primera caja y una bola roja de la segunda caja. b) retirar una bola blanca y una bola roja. 92
  • 89. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad (Sol) Considere la experiencia combinada, constituida de dos experiencias independientes. La primera está asociada a un espacio de muestras Ω1 constituido de 15 puntos de muestra. En conexión con esta experiencia se define los eventos, 𝐵1 = {𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es blanca} y 𝑉1 = 𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es roja por tanto, 𝑃1 𝐵1 = 10 1 15 = 2 3 𝑃1 𝑉1 = 5 1 15 = 1 3 Análogamente el espacio de muestras Ω2 asociado a la segunda experiencia contiene 40 puntos de muestra y 𝑃2 𝑉2 = 20 1 40 = 1 2 𝑃2 𝐵2 = 20 1 40 = 1 2 93
  • 90. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 13: Sistema de Probabilidad (Sol) donde 𝑉2 = {𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es roja} y 𝐵2 = {𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es blanca} Las probabilidades procuradas son 𝑃 𝐵1 × 𝑉2 = 𝑃1 𝐵1 𝑃2 𝑉2 = 1 3 y 𝑃 𝐵1 × 𝑉2 ∪ 𝑉1 × 𝐵2 = 𝑃 𝐵1 × 𝑉2 + 𝑃 𝑉1 × 𝐵2 = 𝑃1 𝐵1 ∙ 𝑃2 𝑉2 + 𝑃1 𝑉1 ∙ 𝑃2 𝐵2 = 1 3 + 1 6 = 1 2 94
  • 91. fasandoval@utpl.edu.ec Sistema de Probabilidad Definición 23: Sistemas de Probabilidad Independientes Considere 𝑛 sistemas de probabilidades 𝒮 𝑘 = Ω 𝑘, 𝒜 𝑘, 𝑃𝑘 ; 𝑘 = 1, … , 𝑛 asociados a 𝑛 experiencias. Considere aún una colección de 𝑛 eventos, tal que 𝐴𝑖 𝑘 ∈ 𝒜 𝑘 , 𝑘 = 1, … , 𝑛 Los sistemas de probabilidades 𝒮 𝑘(𝑘 = 1, … , 𝑛) son independientes cuando la medida de probabilidad P asociada a la experiencia combinada es tal que 𝑃 𝐴𝑖1 × 𝐴𝑖2 × ⋯ × 𝐴𝑖 𝑛 = 𝑃1 𝐴𝑖1 𝑃2 𝐴𝑖2 … 𝑃𝑛(𝐴𝑖 𝑛 ) para toda colección 𝐴𝑖 𝑘 95
  • 92. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad En la red de comunicaciones presentada, las tres posiciones de la llave son equiprobables y la probabilidad de un ramal cualquier se encuentra fuera de operación es 𝑝. Considere aún que la posición de la llave y la situación de los troncos son independientes. Como anteriormente, calcule las probabilidades 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐴 𝐵 y 𝑃(𝐶|𝐷) siendo 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 los eventos definidos: 𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵 96
  • 93. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad • El espacio de muestras correspondiente a la posición de la llave es Ω 𝑐 = (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼) • Y el espacio de muestras correspondiente al tronco 𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5) es Ω𝑖 = (0, 1) • El evento 𝐴 puede ser expresado como la unión de 3 eventos distintos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3. – Cada uno de estos eventos es el producto cartesiano de 6 eventos, así: 𝐴1 = 𝐼 × 1 × Ω2 × Ω3 × 1 × Ω5 𝐴2 = 𝐼𝐼 × Ω1 × {1} × Ω3 × Ω4 × Ω5 𝐴3 = 𝐼𝐼𝐼 × Ω1 × Ω2 × 1 × Ω4 × {1} El problema se resuelve considerando la posición de la llave y la situación de cada uno de los cinco troncos como seis experiencias independientes las cuales están asociadas a sistemas de probabilidad independientes. 97
  • 94. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad Como, por hipótesis, los sistemas de probabilidad son independientes, 𝑃 𝐴1 = 𝑃𝑐 𝐼 𝑃1 1 𝑃2 Ω2 𝑃3 Ω3 𝑃4 1 𝑃5 Ω5 o sea 𝑃 𝐴1 = 1 3 1 − 𝑝 1 1 1 − 𝑝 1 = 1 − 𝑝 2 3 . Resulta análogamente 𝑃 𝐴2 = 1 − 𝑝 3 y 𝑃 𝐴3 = 1 − 𝑝 2 3 así, 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 = 1 − 𝑝 3 − 2𝑝 3 98
  • 95. fasandoval@utpl.edu.ec Ejemplo 14: Sistema de Probabilidad finalizar en casa… 99
  • 97. fasandoval@utpl.edu.ec ClickProblem 1 • Un transmisor de un sistema de comunicaciones envía tres símbolos (+1, 0, -1) a un receptor lejano de un canal determinado. Dicho canal puede introducir errores en la transmisión ocasionando, por ejemplo, que un «+1» enviado aparezca como un «-1» o un «0» en el receptor. Considere los sucesos 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 definidos de la siguiente manera: 𝐴𝑖 = "el símbolo enviado es i" , 𝐵𝑖 = "el símbolo recibido es i" . Suponiendo que 𝑃 𝐴1 = 0.5, 𝑃 𝐴2 = 0.3, 𝑃 𝐴3 = 0.1, y que 𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 = 0.1 si 𝑖 ≠ 𝑗, y 𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 = 0.8 si 𝑖 = 𝑗; calcule: a) las probabilidades del suceso 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1,2,3 b) las probabilidades a posteriori 𝑃(𝐴𝑖|𝐵𝑗) c) la probabilidad de cometer un error en la transmisión. 101
  • 98. fasandoval@utpl.edu.ec ClickProblem 2 Lanzamiento consecutivo de 4 monedas. Obtener la Probabilidad de: 1. Salir un número par de caras. 2. Salir exactamente 3 caras. 3. Salir exactamente 3 caras o obtener un número par de caras. 4. Salir exactamente 3 caras y a la vez que dos caras sean consecutivas. 5. Salir por lo menos dos caras consecutivas. 6. No ocurrir el evento el evento número par de caras y por lo menos dos caras consecutivas. 102
  • 99. fasandoval@utpl.edu.ec ClickProblem 3 Paradoja de Bertrand: Considere una circunferencia de radio 1. Determinar la probabilidad de que una cuerda de esta circunferencia, elegida «al azar», sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en los siguientes casos: a) Fijar un punto I en la circunferencia y elgir, con distribución uniforme, un punto M del único diámetro que pasa el punto I. Este punto M determina de forma única una cuerda perpendicular en M al diámetro. b) Fijar un extremo de la cuerda en la circunferencia y elegir el otro extremo con distribución uniforme en la circunferencia. c) Elegir un punto cualquiera M dentro del círculo, y considerar la cuerda perpendicular en M al único radio que pasa por M. 103
  • 101. fasandoval@utpl.edu.ec Referencias • ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A. (1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica; Rio de Janeiro: Publicação CETUC. • Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide] • Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide] 105
  • 102. Esta obra esta bajo licencia Creative Commons de Reconocimiento, No Comercial y Sin Obras Derivadas, Ecuador 3.0 www.creativecommons.org fasandoval@utpl.edu.ec 106