laboratorio circuito RLC

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
INFORME FINAL
REGIMEN TRANSITORIO DE CIRCUITOS RLC
CURSO : LABORATORIO CIRCUITOS ELECTRÓNICOS I
PROFESOR : ING. JIMENEZ
Ing. BETETTA
ALUMNO : CHERO CUEVA CARLOS A.
041150A
2009

2. CUESTIONARIO
1.- Rp L Rl 3 4
Determine
2
(indicando
f(t)
C Rc
1 5
6
detalladamente los pasos) la ecuación diferencial del circuito 1.
De la figura:
i1 i2
Donde:
L = 2.5h C = 0.02 uf
 R1 = 42,2 kΩ
RL = resistencia interna de la bobina Rc = 
 R2 = 26,82 kΩ
Rp = resistencia del potenciómetro varia de 0 a 10k ohm
f(t) = onda cuadrada con f = 20 Hz
Para resolver teóricamente este circuito nos valemos de nuestros conocimientos de los
elementos almacenadores de energía (capacitador, inductor)
En la malla 12361, tenemos :
di1( t ) 1
C∫
f (t ) = RP i1( t ) + L + RLi1( t ) + (i1( t ) − i2 ( t ) )dt .........................(a)
dt
En la malla 63456 , tenemos : i1
1
C∫
(i2 ( t ) − i1(t ) ) dt + RC i2( t ) = 0
De esta ecuación despejamos el valor de i1 (t ) ; tendremos que :

3. di2 ( t )
i1(t ) = i2 ( t ) + CRC
dt
Luego derivamos:
di1( t ) di2 (t ) d 2i2( t )
= + CRC
dt dt dt 2
Reemplazando estas dos ultimas ecuaciones en la ecuación (a) obtenemos:
d 2i2 ( t ) di2 ( t )
f (t ) = LCRC 2
+ ( L + CRC RP ) + ( RP + RC )i2 (t )
dt dt
Dividimos esta última expresión entre (LCRc) de esta manera poder reconocer fácilmente las
constantes α y ω 0
Nota: Se sabe que en un circuito RLC, siempre se tendrá una ec. de la forma:
d 2Y(t ) dY( t )
2
+ 2α + ω 2 0Y(t ) = g (t )
dt dt
donde:
α = coeficiente de amortiguamiento
ω = frecuencia natural de resonancia del sistema
0
Tendremos la siguiente ecuación diferencial:
f (t ) d 2 i 2 (t ) ( L + CRC R P ) di 2 (t ) ( R P + RC )
∴ = + + i 2(t )
LCRC dt 2 LCRC dt LCR C
Esta la ecuación diferencial del circuito, de donde observamos:
CRC RP + L
α=
2 LCRC
RC + RP
ω0 =
LCRC
2.- Calcule analíticamente “ α ”, “T” y “ ω ”, compare estos valores con los hallados
0
experimentalmente, justificando las divergencias.
Determinando la ecuación diferencial del circuito:
1 dVC
VC =
C ∫ iC dt ⇒ iC = C dt
V
VC = RC i R ⇒ i R = C
RC

4. di
f ( t ) = ( RP + RL )i + L + VC
dt
dVC VC
i =C +
dt RC
d 2VC L dV R + RL
f (t ) = CL 2
+( + ( RP + RL )C ) C + ( P )VC
dt RC dt RC CL
L + ( RP + RL )CRC
α=
2 RC CL
RL + RP + RC
ω0 =
RC CL
*
Caso 1
R p L
8 .5 7 k 2 .5
V1 = 5 f ( t) C R c
P E R = 0 .0 5
0 .0 2 u 2 6 .8 3 k
0
 2.5 + 8.57k * 0.02u * 26.82k 
α = 
 2 * 26.82k * 0.02u * 2.5 
α = 2646.1402
8.57 k + 26.82k
ω0 =
26.82k * 0.02u * 2.5
ω0 = 3312.797
ω = ω0 2 −α 2
ω = 1985.63
2π
T = = 3.1643mseg
ω
T(teórico)=3,1643mseg T(experimental)= 3mseg
%error absoluto = 0.1643 %error relativo = 5,19%
Dl (teórico) = 0,3218 Dl(experimental) = 0,2
Caso2
R p L
8 .9 4 k 2 .5
V1 = 5 f ( t) C R c
P E R = 0 .0 5
0 .0 2 u 4 2 .2 k
0

5.  2.5 + 8.94k * 0.02u * 42.2k 
α = 
 2 * 42.2k * 0.02u * 2.5 
α = 2380.1417
8.94k + 42.2k
ω0 =
42.2k * 0.02u * 2.5
ω0 = 3088.867
ω = ω0 2 −α2
ω = 1968.43
2π
T = = 3.1919mseg
ω
T(teórico)=3.1919 mseg T(experimental)= 3mseg
%error absoluto = 0.1919 %error relativo = 6.1209
Dl (teórico) = 0.34485 Dl (experimental) = 0.4
3er. Caso
1 CN C
VC =
C ∫ idi Dc
=i
di
V1 = R1i + L + VC
di
DVC d 2 Vc
V1 = R1 C + LC + Vc
Di di 2
d 2Vc R 1 dVc Vc
0= + +
di 2 L di Lc
1
R Wº =
α = 1 LC
2L
1 428732
Wº = α= R1 ≅ 4287.32
2.5 ( 0.02u ) 2 (2.5)
D1 =1.5
Wº = 4472.135 α = 3978.28 T = 3.4986 seg
W = Wº 2 − x 2
W = 2042.86
T(teórico)= 3.07568 m/seg T(experimental)= 2.8mseg
%error absoluto = 0.2758 %error relativo = 8.967%
Dl (teórico) = 1.5 Dl(experimental) = 1.3524

6. 3.- ¿Qué consigue con el paso 4?
En el paso 4 se consigue variar la amplitud de la onda subamortiguada hasta tan pequeña
que es difícil visualizarla a simple vista. Esto se lleva a cabo cuando disminuimos el valor de
la resistencia del potenciómetro; además debemos tener presente que mientras hacemos
decrecer el valor del potenciómetro, existe una resistencia que permanece casi constante (es la
resistencia de los materiales o instrumentos que se están utilizando por ejemplo la resistencia
interna de la bobina era de 70,4Ohm, el condensador, los cables, entre otros).
Además debemos mencionar que mientras variamos el valor del potenciómetro, no solo las
amplitudes disminuye si no que también se ven afectados la frecuencia natural de resistencia (
ω ), así como el coeficiente de amortiguamiento y el periodo.
4.- ¿Qué función cumple “Rc”?
La función que cumple “Rc”, es de disminuir las amplitudes máximas de una onda
subamortiguada, que es análogo o parecido al de la resistencia el potenciómetro. Pero a
diferencia de los cambios que produce al cambiar Rc; este produce un cambio notorio ya sea
incrementando la amplitud (puede duplicarse) o disminuirla al punto de no visualizarla. En
otra palabras es el que hace variar el valor del decremento logarítmico por ejemplo en la
experiencia realizada cuando utilizamos un Rc = 26,82kOhm nos da un DL que es mayor
que el decremento logarítmico obtenido por
Rc = 42,2kOhm
5.-¿Qué diferencias observa en los pasos 3, 4 y 5 y a que se deben estas diferencias?
En cada paso obtenemos una onda amortiguada, la diferncia qu exiteen es debido a los
parámetros ω y α, por que si ω >α , es el caso de una onda sub-amortiguada ,esta clases de
amortiguamienmto se obtiene en el paso tres cuando variamos el valor del potenciómetro
hasta obtener dicho amortiugamiento. En el paso 4 variamos el valor del potenciómetro hasta
obtener una onda críticamnte amortiguada , esto se da cuando
ω = α . En el paso 5 cuando eliminamos Rc obtenemos una onda subamortiguada de menor
amplitudmáxima (crestas) en comparacion con la onda obtenida en el paso tres esto se debe a
la variacion de los parámetros ω y α debido a que están en función de R1, C, L y Rc.
6.- Si en el circuito experimental la incógnita fuera VL
Si en la pregunta 1 en vez de calcular la corriente, hubieramos hallado el voltaje en la bobina,
di
esto no cambiaría los valores de α y ω ; veamos tenemos que: VL = L 1( t ) + RLi1( t )
0
dt
Pero también sabemos:
d 2i1(t ) 2αdi1(t )
+ ω0 i1(t ) = h(t ) ............................................(1)
2
2
+
dt dt
h(t): en función de f(t) y los elementos del circuito como la ecuación es lineal, podemos hacer
lo siguiente:

7. di1( t )
V L =L +R L i1( t ) =V L1 + L 2
V
dt
di1( t )
V L1 = L ..............................................................................( 2)
dt
VL2 = R L i1( t ) ................................................................................(3)
Reemplazando en (1) las ecuaciones (2) y (3) respectivamente tenemos:
d 2VL1 dV
+ 2α L1 + ω0 VL1 = Lh'( t )
2
2
dt dt
2
d VL 2 dV
2
+ 2α L 2 + ω0VL 2 = Rh( t )
2
dt dt
Sumando estas ecuaciones y agrupando tenemos:
d 2 (VL1 + VL 2 ) d (VL1 + VL 2 )
2
+ 2α + ω 0 (VL1 + VL 2 ) = Lh(t ) + Rh(t )
dt dt
Con lo que queda demostrado que no importa que señal tomemos como salida, ya sea voltaje o
corriente de un mismo circuito, las constantes tienen que ser las mismas.
7.- A partir de la solución por ecuaciones diferenciales verifíque la fórmula del decremento
logarítmico.
La ecuación de la onda tiene la forma : Ce −αt , como el decremento logarítmico se calcula
así:
 C * e −α * τ  α * T
D l = Ln  −α *( t +T ) 
=
C * e  2
e  T 
⇒ D = λ = Ln  n  = α  
 en +1  2
8.- Solucione la red con la ayuda de las transformadas de Laplace.
Aplicando las leyes de Kirchoff obtenemos las siguientes ecuaciones:
1 1
F( S ) = ( RP + RL + LS + ) I1( S ) − I 2( S )
SC SC
1 1
0 = (− ) I1( S ) + ( + RC ) I 2 ( S )
SC SC
Resolviendo el sistema, tenemos:

8. F( s ) (CRC S + 1)
I1 =
LCRC S + ( RPCRC + L + CRL RP ) S + RP + RL + RC
2
F( S )
I2 =
LCRC S 2 + ( RPCRC + L + CRL RP ) S + RP + RL + RC
Como f(t) es periódica, le podemos dar forma de una sumatoria; de la siguiente manera:
1
f ( t ) = 5µ( t ) −10 µ T +10µ( t −T ) −10 µ 3T +10 µ( t −2T ) − .......; T = seg
(t − )
2
(t −
2
) 20
∞
⇒ f ( t ) = 5µ(t ) + ∑ (−1) n µ
10 nT
(t − )
n =1 2
Aplicando la transformada de Laplace a f(t), obtenemos F(s)
−nTS
∞
5 e 2
F( s ) = L{ f ( t ) } = + ∑10( −1) n
s n =1 S
Si reemplazamos este resultado en las ecuaciones de la corrientes tendremos y transformando
en forma inversa obtenemos:
∞ ∞
i1(t ) = L−1{I 1 ( s )} =[ m(t ) + 2 ∑(−1) n m nT ]CRc
n
+ P(t ) + 2n =1(−1) p (t −nT )
∑
n=1 (t − )
2 2
∞
i 2(t ) = L−1{I 2 ( s ) } = P(t ) + 2 ∑( −1) n p nT
n=1 (t − )
2
9.- Explique las variaciones sufridas al cambiar la resistencia Rc, y al retirarla del circuito.
Al cambiar Rc de un valor menor a otro de mayor valor , lo primero que se observa en la la
respuesta ( en el gráfico ) es una variación en las crestas (amplitudes máximas). En esta parte
las crestas que se observa son de menor tamaño en comparación con el tamaño de la primera
onda (la primera onda se obtiene con Rc de menor valor y la segunda onda se obtien con Rc
de mayor valor). Y al retirar del circuito a la resistencia Rc obtenemos una respuesta , onda
subamortiguada , que se diferencia de la primera onda por ser de menor tamaño sus crestas
( amplitudes máximas) esto es debido a los parámetros ω y α que afectan directameenteal
periodo del decremento logarítmico
a) Cuando variamos la resistencia Rc:
Para Rc = 26,8 kΩ  obtenemos un α1
Para Rc = 42,2 kΩ  obtenemos un α2
RcRcC + L
De la fórmula: α = y de los datos del laboratorio.
2 LCRc
• Obtenemos que α1 > α2 lo cual nos indica que para una resistencia Rc cada vez
menor la exponencial decae con mayor rapidez.
Para Rc = 26,8 kΩ obtenemos un W01
Para Rc = 42,2 kΩ obtenemos un W02

9. Rv + Rc
De la fórmula: W = y de los datos del laboratorio
LCRc
• Obtenemos que W01 ≈W02 lo cual nos indica que para una variación en la
resistencia Rc, la frecuencia natural de oscilación no cambia o sufre un cambio
despreciable por lo tanto el incremento o decremento de la frecuencia de oscilación
“W” dependerá del decremento o aumento de α.
Para Rc = 26,8 kΩ  se obtiene α1
Para Rc = 42,2 kΩ  se obtiene α2
Como α1 > α2 y W01 ≈ W02 y de la relación:
W = W02 − α deducimos que: W1 < W2
Lo cual nos indica que: T1 > T2 ∴ el periodo de oscilación disminuye con el
incremento de la resistencia “Rc”. Figura (a) y (b)
b) Si se retira “Rc” del circuito
R p L
8 .9 4 k 2 .5
V1 = 5 f ( t) C
P E R = 0 .0 5
0 .0 2 u
0
Se obtiene un circuito “RLC” en serie, donde Vo(t) será la tensión medida en el
capacitor y la ausencia de Rc significa en las ecuaciones obtenidas en (7) y (8), un
circuito abierto o es lo mismo afirmar que (Rc  ∞) por lo tanto se tiene:
Rv 1
α= , W02 =
2L LC
 α 
Y también: V0 (t ) = −Ve −αt  cos wt + senwt  + V
 w 
De lo deducido en (a):
Si Rc  ∞ el coeficiente de amortiguamiento “α” disminuye considerablemente y el
efecto que causa en Vo(t) es que la envolvente exponencial tiende a variar lentamente
de amplitud (decrecer) con el transcurso del tiempo.
Pero la frecuencia natural de oscilación Wo no sufre cambio brusco como “α” es mas
sufre un cambio despreciable, esto significa que el periodo “T” disminuye
considerablemente.

10. 10.-Explique y dibuje las demás variables del circuito, como por ejemplo la tensión V L y la
corriente del sistema
Sobreamortiguado:
Este gráfico solo tiene un único pico máximo y una frecuencia que luego la curva
tiende a cero. como el caso del voltaje para la inductancia L, entonces la grafica de
V L será:
5. 0V
0V
- 5. 0V
2 2 . 4 ms 2 4 . 0 ms 2 6 . 0 ms 2 8 . 0 ms 3 0 . 0 ms 3 2 . 0 ms 3 4 . 0 ms
V( Rp : 2 )
T i me
Críticamente amortiguado
En esta gráfica no tiene ningún pico, pero si un periodo infinito.ex:
3. 0V
2. 0V
1. 0V
2 4 . 5 5 ms 2 8 . 0 0 ms 3 2 . 0 0 ms 3 6 . 0 0 ms 4 0 . 0 0 ms 4 4 . 0 0 ms
V( L : 2 )
T i me
Sub amortiguado
Este gráfico tiene varios picos, con su respectivas frecuencias, se va haciendo pequeño dichas
ondas hasta que se haga cero.

11. 16. 3V
10. 0V
0V
2 4 . 9 6 ms 2 6 . 0 0 ms 2 8 . 0 0 ms 3 0 . 0 0 ms 3 2 . 0 0 ms 3 4 . 0 0 ms
V( L : 2 )
T i me
11.- Plantee la ecuación de cada una.
Determine al ecuación diferencial de:
V1 =R1 + Li 'Vc
1
2∫
Vc = icdt =Rc i R
i =i R +ic
Vc dvc
i= + c
Rc di
d 2Vc  L  dVc R 
V 1 = CL +  R1c +  +  1 +1Vc
R 
di 2  Rc  di  c 
 
solución homogénea:
d 2Vc  L + RC CR  dVc  R1 + RC 
0= 2
+
 R CL
 
 di +  R CL
Vc

di  C 1  C 
L + RC CR1 R1 + RC
α= ω0 =
2 RC CL RC CL

12. r1, 2 = −α + (α 2 −ω 0 )
2
( −α + (α 2 −ω
02
)
1 / 2)t
( )
− α + (α 2 −ω 0 2 )1 / 2 t
Vc = Ae + Be +c
dv c
ic =
di
1 / 2)t 1 / 2)t
( − α + (α 2 −ω ) ( − α + (α 2 −ω )
I c = A(−α + ( α 2 − ω 0 )1 / 2 )
2 02 02
e +e +c
Determinar la ecuación diferencial para i.
di
V 1 = R1i + L + Vc i = ic + i R
dl
1
c∫
Vc = icdt = Rc i R
1 / 2)t 1 / 2)t
( − α + (α 2 −ω ) ( − α + (α 2 −ω )
I c = A(−α + ( α 2 − ω 0 )1 / 2 )
2 02 02
e +e +c
12.- Enuncie algunas aplicaciones que se le da al control de diferentes amortiguamientos
como respuesta como respuesta a una excitación.
No vemos la importancia y necesidad de la existencia de la resistencia. En el experimento,
cuando retiramos a Rc, obtuvimos en el osciloscopio las mismas formas de onda, ya que
matemáticamente se demuestra que solamente cambian los parámetros α y ω0, mas la forma
de señal se mantiene.
Adicionalmente lo único que hace la resistencia R 0 es complicar el cálculo matemático para
hallar el voltaje ab, y los valores de R para los cuales α > ω0, α=ω0 y α<ω0.
Es obvio que al no existir R0 el circuito se transforma en un RLC en serie y los cálculos se
simplifican bastante.