Analisis circuitos eléctricos primer y segundo orden

CIRCUITOS I
ANÁLISIS TRANSITORIO DE CIRCUITOS DE
PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

- En este tema se consideran circuitos que contienen diversas
combinaciones de dos o tres elementos pasivos (R, L, C).
- El circuito simple se examina de la siguiente manera:
1) el circuito con una resistencia y un condensador (circuito RC)
2) el circuito con una resistencia y una bobina (circuito RL)
- Los circuitos RC y RL se analizarán aplicando las leyes de Kirchhoff.
- El análisis de circuitos resistivos da como resultado ecuaciones
algebraicas. Sin embargo, los circuitos RC y RL producen ecuaciones
diferenciales.
- Las ecuaciones diferenciales resultantes del análisis de circuitos RC y
RL son de primer orden. Por ello, se les denomina Circuitos de Primer
Orden.
1. Introducción

- Se estudia circuitos con fuentes independientes.
- Cuando no hay fuentes independientes, las tensiones y corrientes en
el circuito se deben a las condiciones iniciales en el condensador o
en la bobina (a la energía inicialmente almacenada en ellos).
- En la segunda parte se estudiarán circuitos que tienen dos elementos
de almacenamiento (L y C) conjuntamente con una R. A estos circuitos
se les conoce como Circuitos de Segundo Orden porque se describen
mediante ecuaciones diferenciales que contienen derivadas segundas.
- En concreto, se estudia la respuesta de circuitos RLC, con fuente
independiente.
1. Introducción

• La respuesta sin fuente podría llamarse respuesta natural, respuesta
transitoria, respuesta libre o función complementaria, pero debido a su
naturaleza más descriptiva a menudo se denomina respuesta natural.
• Cuando se analizan fuentes independientes que actúan sobre un circuito,
parte de la respuesta recordará la naturaleza de la fuente particular que
se utiliza; dicha parte, se denomina solución particular, respuesta de
estado permanente o respuesta forzada.
• La respuesta consiste en la suma de la respuesta natural y la respuesta
forzada.
2. El circuito RL sin fuente

• El estudio comienza con el análisis transitorio considerando el simple
circuito RL en serie que se presenta en la figura.
• Se designa a la corriente variable en el tiempo como i (t); se representará
el valor de i(t) en t=0 como I0.
• Solución método alterno
Ri + vL = Ri + L di/dt = 0
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑅
𝐿
𝑖 = 0
𝑑𝑖
𝑖
= −
𝑅
𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖′
𝑖′
𝑖(𝑡)
𝐼0
= −
𝑅
𝐿
𝑑𝑡′
𝑡
0
ln 𝑖′
− ln 𝐼0 = −
𝑅
𝐿
(𝑡 − 0)
𝑖 𝑡 = 𝐼0 𝑒−(
𝑅
𝐿
)𝑡
= 𝐼0 𝑒− 𝜏 𝑡
⋮ (𝜏 =
𝑅
)

• Solución método general
• Se supone la solución de la ecuación en forma exponencial
• 𝑖 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑠1 𝑡
Ri + vL = Ri + L di/dt = 0
𝐴 𝑠1 𝑒 𝑠1 𝑡
+ 𝐴
𝑅
𝐿
𝑒 𝑠1 𝑡
= 0
𝐴𝑒 𝑠1 𝑡
𝑠1 +
𝑅
𝐿
= 0
La solución A = 0 o s1 = - ∞ no se considera.
Se elige:
𝑠1 = −
𝑅
𝐿
𝑖 𝑡 = 𝐴𝑒−(
𝑅
𝐿)𝑡
La constante A se obtiene aplicando i(0)=I0
𝑖 𝑡 = 𝐼0 𝑒−(
𝑅
𝐿)𝑡
= 𝐼0 𝑒− 𝜏 𝑡

• Ejemplo: En t = 0 se abre el interruptor, calcular iL, y v
Con referencia a la Fig. c
-v+10 iL+5 diL/dt = 0
𝑖 𝐿 = −
𝑣
40
5
40
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
10
40
+ 1 𝑣 = 0
5
40
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
50
40
𝑣 = 0
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 10 𝑣 = 0  s + 10 = 0
En la Fig. b  iL = 24/10 = 2,4 A
iL(0) = 2,4 A
Por tanto en la Fig. c  v(0) = 40 (-2,4) = - 96 V
De la ecuación característica se obtiene s = - 10
𝑣 𝑡 = 𝐴𝑒−10𝑡
𝑉

• Ejemplo
−10𝐴𝑒−10𝑡
+ 10𝐴𝑒−10𝑡
= 0
Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0
y aplicando v(0) = - 96 V
𝑣 𝑡 = −96 𝑒−10𝑡
Aplicando la ley de Ohm
𝑖 𝐿 = −
𝑣(𝑡)
40
𝑖 𝐿 𝑡 = 2,4 𝑒−10𝑡
A, (t>0)

• Ejemplo
En t=0, la corriente tiene un valor I0, pero cuando el
tiempo aumenta, la corriente disminuye y se
aproxima a cero. La forma de este decaimiento
exponencial se observa en la figura de i(t)/I0 como
función de t.
Puesto que la función que se grafica es 𝑒−(
𝑅
𝐿
)𝑡
=
𝑒−𝜏 𝑡, la curva no cambiará si 𝜏 = R/L se mantiene
constante.

• Ejemplo
1
0
Para τ = 1 (constante de tiempo) la respuesta
disminuye hasta 36,8% de su valor inicial. Resulta
conveniente medir el decaimiento de la corriente en
intervalos de una constante de tiempo; además, se
puede calcular que i(t)/I0 es 0,1353 en t = 2τ;
0,04979 en t = 3τ; 0,01832 en t = 4τ y 0,006738 en t
= 5 τ.

• Este tipo de circuitos resistencia-capacitor son más comunes que sus
análogos resistencia-inductor.
• Tienen menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor
costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor
con el comportamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso
menores.
3. El circuito RC sin fuente
𝑣 0 = 𝑉0
La corriente que sale del nodo en la parte superior
debe ser 0
𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅
= 0
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅𝐶
= 0
𝑑𝑣′
𝑣′
𝑣(𝑡)
𝑉0
= −
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡′
𝑡
0

• Este tipo de circuitos resistencia-capacitor son más comunes que sus
análogos resistencia-inductor.
• Tienen menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor
costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor
con el comportamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso
menores.
ln 𝑣′
− ln 𝑉0 = −
1
𝑅𝐶
(𝑡 − 0)
𝑣 𝑡 = 𝑉0 𝑒−(
1
𝑅𝐶
)𝑡
= 𝑉0 𝑒− 𝑡/𝜏 ⋮ (𝜏 = 𝑅𝐶)

• En t = 0 se obtiene la condición inicial correcta, a medida que t se hace infinita, la
tensión tiende a cero.
• Este resultado concuerda con la idea de que si cualquier tensión se conserva en el
capacitor, la energía continuaría fluyendo hacia la resistencia y se disiparía en
calor.
• La constante de tiempo del circuito 𝜏 = 𝑅𝐶 se determinaría mediante las
relaciones de dualidad con respecto a la expresión de la constante de tiempo del
circuito RL o solo por observar el tiempo en el que la respuesta disminuyó hasta el
36,8% de su valor inicial.
1
3

• Ejemplo 1: El único propósito de analizar el circuito de la figura b es
obtener una tensión inicial del capacitor; se supone que cualquier
transitorio en ese circuito desapareció hace mucho tiempo y quedó un
circuito de CC puro. Si no existe ninguna corriente que circule a través del
capacitor o la resistencia de 4 Ω, entonces: v(0) = 9 V

• Solución:
𝜏 = 𝑅𝐶 = 2 + 4 10𝑥10−6 = 60𝑥10−6 𝑠
𝑣 𝑡 = 𝑣 0 𝑒
−
1
𝜏 𝑡
𝑣 0 𝑒
−
1
𝑅𝐶 𝑡
= 𝑣(0)𝑒
−
1
60𝑥10−6 𝑡
La tensión en el capacitor debe ser igual en
ambos circuitos en t = 0; en ninguna otra tensión
o corriente se pone dicha restricción.
𝑣 𝑡 = 9 𝑒
−
1
60𝑥10−6 𝑡
63,2%
Cuanto más pequeño es 𝜏 más rápida es la descarga

• Ejemplo 2: Sabiendo que Vc(0) = 15 V, calcular vc, vx e ix

Solución:
La forma más directa de encontrar la solución es
reducir el circuito problema a un circuito RC
simple como el de la figura, ya que la solución
de este circuito es conocida:
𝑣 𝐶 = 𝑉0 𝑒
−(
1
𝑅 𝑒𝑞 𝐶
)𝑡
= 𝑉0 𝑒
−
1
𝜏
𝑡
con τ  RC
Entonces, el problema se reduce a calcular Req,
que es la resistencia equivalente vista desde los
terminales del condensador, esto es:
𝑅 𝑒𝑞 =
12+8 𝑥5
12+8 +5
= 4 
Por tanto 𝜏 = 𝑅 𝑒𝑞 𝐶 = 4 𝑥 0,1 = 0,4 𝑠
𝑣 𝐶 𝑡 = 15 𝑒−2,5𝑡
CReq

vC(t)
• Ejemplo 2: Sabiendo que Vc(0) = 15 V, calcular Vc, Vx e Ix

−Una vez obtenido vC
, la tensión vX
se calcula mediante un divisor de
tensión:
𝑣 𝑋 =
12
12 + 8
𝑣 𝐶 =
3
5
15 𝑒−2,5𝑡 = 9𝑒−2,5𝑡
−La corriente iX mediante la ley de Ohm:
𝑖 𝑋 =
𝑣 𝑋
12
= 0,75 𝑒−2,5𝑡

• El circuito está compuesto por una batería cuya tensión es V0 en serie con
un interruptor, una resistencia R, y un inductor L.
• El interruptor se cierra en t = 0, como se indica en la figura.
• La corriente i(t) es nula antes de t = 0, en consecuencia, se puede sustituir
la batería y el interruptor por una función forzada de escalón de tensión
V0u(t), que no produce tampoco respuesta antes de t = 0.
• 𝑢 𝑡 − 𝑡0 =
0 𝑡 < 𝑡0
𝑉0 𝑡0
< 𝑡 < 𝑡1
0 𝑡 > 𝑡1
4. El circuito RL con fuente

𝑅 𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑉0 𝑢(𝑡)
𝑖 𝑡 = 0 𝑡 < 0
Para el tiempo positivo t > 0 se debe resolver la ecuación
𝑅 𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑉0 𝑡 > 0
𝐿 𝑑𝑖
𝑉0 − 𝑅 𝑖
= 𝑑𝑡

Integrando en forma directa
−
𝐿
𝑅
ln 𝑉0 − 𝑅 𝑖 = 𝑡 + 𝑘
Para evaluar k, debe referirse a una condición inicial. Antes de t = 0, i (t) es
cero, y por ello i (0−) = 0. Puesto que no se puede cambiar la corriente en un
inductor por una cantidad finita en el tiempo cero sin que se asocie con una
tensión infinita, se debe tener i (0+) = 0. Dejando i = 0 en t = 0, se obtiene
−
𝐿
𝑅
ln 𝑉0 = 𝑘

Por tanto
−
𝐿
𝑅
ln 𝑉0 − 𝑅 𝑖 − ln 𝑉0 = 𝑡
𝑉0 − 𝑅 𝑖
𝑉0
= 𝑒−(
𝑅
𝐿)𝑡
𝑖 =
𝑉0
𝑅
−
𝑉0
𝑅
𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
𝑡 > 0
𝑖 𝑡 =
𝑉0
𝑅
−
𝑉0
𝑅
𝑒
−
𝑅
𝐿
𝑡
𝑢(𝑡)

Se expresa esta corriente como la suma de la corriente natural (in) y de la
corriente forzada (if), esto es:
𝑖 = 𝑖 𝑓 + 𝑖 𝑛
𝑖 =
𝑉0
𝑅
−
𝑉0
𝑅
𝑒
−
𝑅
𝐿 𝑡

• Figura que indica la corriente que fluye por el inductor.
• Extendiendo la línea tangente al origen de los ejes se alcanza la respuesta
• forzada en t = 𝜏
Se observa cómo se forma la corriente a partir de
su valor inicial de 0, hasta su valor final de V0/R. La
transición efectivamente se produce en un tiempo
3𝜏 . Si la bobina fuese el campo de un gran motor
de CC, resultaría factible tener L = 10 H, R = 20 Ω,
resultando 𝜏 = 0,5 s. De esta manera, la corriente
de campo se establece cerca de 1,5 s (3𝜏).

Ejemplo:
Determinar i(t) para todos los valores de tiempo en el circuito de la figura.
Solución:
• 𝜏 =
𝐿
𝑅 𝑒𝑞
=
3
1,5
= 2 𝑠
• 𝑖 = 𝑖 𝑓 + 𝑖 𝑛
• 𝑖 𝑛 = 𝐾 𝑒−𝑡/2 t > 0
El inductor actúa como un cortocircuito en la CC, de modo que
• 𝑖 𝑓 =
100
2
= 50 𝐴
• 𝑖 = 50 + 𝐾 𝑒−0,5𝑡
t > 0

Para evaluar K, se debe establecer el valor inicial de la corriente del
inductor. Antes de t = 0, la corriente es igual a 25 A (50 V / 2 Ω) y no puede
cambiar en forma instantánea; en consecuencia,
• 25 = 50 + 𝐾
• K= −25
• 𝑖 = 50 − 25 𝑒−0,5𝑡 𝑡 > 0
Se completa la solución al establecer
• 𝑖 = 50 − 25 𝑒−0,5∗0
• 𝑖 = 25 A t < 0
• 𝑖 = 25 + 25 1 − 𝑒−0,5𝑡 𝑢(𝑡)

La respuesta i(t) del circuito que se muestra en la figura 8.37 se dibuja para
valores de tiempo menores y mayores que cero.

Ejemplo:
Determinar la tensión en el capacitor vC
(t) y la corriente i(t) en la resistencia
de 200 Ω de la figura para cualquier tiempo.
Solución:
Considerando el estado del circuito en t < 0, correspondiente al interruptor
en la posición como en la figura b. Se supone que no hay transitorios
presentes, por lo que sólo es relevante para encontrar vC
(0−) una respuesta
forzada debido a la fuente de 120 V. En consecuencia, la simple división de
tensión produce la siguiente tensión inicial
5. El circuito RC con fuente

𝑣 𝐶 0 =
50
50 + 10
120 = 100 𝑉
Puesto que la tensión del capacitor no puede cambiar en forma instantánea,
esta tensión también es válida en t = 0− y t = 0+. El interruptor se mueve
ahora hacia b, de modo que la respuesta completa es
𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐶𝑓+𝑣 𝐶𝑛

Se considera la figura c. La forma de la respuesta natural se obtiene
mediante la sustitución de la fuente de 50 V por un cortocircuito luego de
evaluar la resistencia equivalente para encontrar la constante de tiempo (se
trata de determinar la resistencia equivalente de Thévenin “vista” desde las
terminales del capacitor):
𝑅 𝑒𝑞 =
1
1
50
+
1
200
+
1
60
= 24 Ω
𝑣 𝐶𝑛 = 𝐴𝑒−𝑡/𝑅 𝑒𝑞 𝐶

Para evaluar la respuesta forzada con el interruptor en b, se espera hasta
que todas las tensiones y corrientes hayan dejado de cambiar; por lo tanto,
se considera al capacitor como un circuito abierto y se aplica una vez más la
división de tensión:
𝑣 𝐶𝑓 = 50
200║50
60 + 200║50
𝑣 𝐶𝑓 = 50
(200)(50)/(250)
60 + (200)(50)/(250)
= 20 𝑉
𝑣 𝐶 = 20 + 𝐴𝑒−𝑡/1,2

De la condición inicial
100 = 20 + 𝐴
𝐴 = 80
𝑣 𝐶 = 20 + 80𝑒−𝑡/1,2 𝑡 ≥ 0
𝑣 𝐶 = 100 𝑉 𝑡 < 0
𝑖 𝑡 = 𝑖 𝑓 + 𝑖 𝑛

La respuesta se grafica en la figura a; también en este caso se ve que la
respuesta natural forma una transición desde la respuesta inicial hasta la
final.
A continuación se aborda i(t). La respuesta no necesita permanecer
constante durante el periodo de conmutación. Con el contacto en a, resulta
evidente que i = 50/260 = 192,3 mA. Cuando el interruptor se mueve de la
posición “a“ la “b“, la respuesta forzada para esta corriente se convierte en
𝑖 𝑓 =
50
60 + (50)(200)/(50 + 200)
50
50 + 200
= 0,1 𝐴
𝑖 = 0,1 + 𝐴𝑒−𝑡/1,2

Para evaluar A, se necesita conocer i(0+), la cual se calcula en base al
elemento de almacenamiento de energía (el capacitor). El hecho de que vC
deba permanecer en 100 V durante el intervalo de conmutación es la
condición directriz gobernante que establece las demás corrientes y
tensiones en t = 0+. Puesto que vC
(0+) = 100 V, y como el capacitor está en
paralelo con la resistencia de 200 Ω, se encuentra que i(0+) = 0,5 A, A = 0,4
A, por lo cual
𝑖 𝑡 = 0,1923 𝐴 𝑡 < 0
𝑖 𝑡 = 0,1 + 0,4 𝑒−𝑡/1,2 𝑡 > 0
𝑖 𝑡 = 0,1923 + −0,0923 + 0,4 𝑒−𝑡/1,2 𝑢 𝑡 0 > 𝑡 ≥ 0

36
• Primeramente se analiza el circuito sin fuente. Luego se podrían incluir fuentes
de CC, interruptores o fuentes de escalón en el circuito que de nuevo
representen la respuesta total como la suma de la respuesta natural y la
respuesta forzada.
• Se comenzará con el cálculo de la respuesta natural de un circuito simple que se
forma al conectar R, L y C en paralelo.
• En base al circuito se puede escribir la expresión simple:
•
𝑣
𝑅
+
1
𝐿
𝑣𝑑𝑡 − 𝑖 𝑡0 + 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0
𝑡
𝑡0
• El signo (-) es consecuencia de la dirección supuesta de i
6. Circuito RLC en paralelo sin fuente

37
• Se debe resolver esta ecuación sujeta a las siguientes condiciones iniciales:
• 𝑖 0+
= 𝐼0
• 𝑣 0+ = 𝑉0
• Diferenciando una vez con respecto al tiempo, el resultado es una ecuación
diferencial lineal homogénea de segundo orden:
• 𝐶
𝑑2 𝑣
𝑑𝑡2 +
1
𝑅
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑣 = 0
• Hay varias formas de resolver esta ecuación, se plantea la siguiente:
• 𝐶𝑠2
+
1
𝑅
𝑠 +
1
𝐿
= 0
• Las soluciones son las siguientes:
• 𝑠1 = −
1
2𝑅𝐶
+
1
2𝑅𝐶
2
−
1
𝐿𝐶
• 𝑠2 = −
1
2𝑅𝐶
−
1
2𝑅𝐶
2
−
1
𝐿𝐶

38
• Sustituyendo s1 y s2 en la posible solución:
• 𝑣1 = 𝐴1 𝑒 𝑠1 𝑡
• 𝑣2 = 𝐴2 𝑒 𝑠2 𝑡
• La primera satisface la ecuación diferencial
• 𝐶
𝑑2 𝑣1
𝑑𝑡2 +
1
𝑅
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑣1 = 0
• Y la segunda satisface
• 𝐶
𝑑2 𝑣2
𝑑𝑡2 +
1
𝑅
𝑑𝑣2
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑣2 = 0
• Sumando estas dos ecuaciones diferenciales y se combina términos semejantes
• 𝐶
𝑑2(𝑣1+𝑣2)
𝑑𝑡2 +
1
𝑅
𝑑(𝑣1+𝑣2)
𝑑𝑡
+
1
𝐿
(𝑣1+𝑣2) = 0

39
• Prevalece la linealidad y se observa que la suma de ambas soluciones también
es una solución.
• 𝑣(𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑠1 𝑡
+ 𝐴2 𝑒 𝑠2 𝑡
• A1 y A2 son constantes arbitrarias que se deben seleccionar para satisfacer las
dos condiciones iniciales.
• Se define un nuevo término ω0 y se reserva par éste el término frecuencia
resonante.
• 𝜔0 =
1
𝐿𝐶
• Por otro lado se denomina a (1/2RC) a la frecuencia de Neper o el coeficiente de
amortiguamiento exponencial de la siguiente manera:
• 𝛼 =
1
2𝑅𝐶

40
• En forma conjunta estos resultados.
• 𝑣(𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑠1 𝑡 + 𝐴2 𝑒 𝑠2 𝑡
• 𝑠1 = −𝛼 + 𝛼 2 − 𝜔0
2
• 𝑠2 = −𝛼 − 𝛼 2 − 𝜔0
2
• 𝜔0 =
1
𝐿𝐶
• 𝛼 =
1
2𝑅𝐶
• Si 𝛼 > 𝜔0 (números reales) respuesta sobreamortiguada
• Si 𝛼 = 𝜔0 respuesta críticamente amortiguada
• Si 𝛼 < 𝜔0 (números imaginarios) respuesta subamortiguada

41
Cálculo de los valores A1 y A2
• Considerando la siguiente expresión:
𝑣(𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑠1 𝑡
+ 𝐴2 𝑒 𝑠2 𝑡
• Si se conociera v(t) en dos valores diferentes del tiempo, podrían sustituirse en la
ecuación y obtener A1 y A2. Sin embargo, es común conocer un solo valor de v(t):
• 𝑣 0 = 0
• 0=A1 + A2
• Por ejemplo al tener un circuito paralelo con R = 6 Ω, L = 7 H y C= 1/42 F, con
una tensión inicial v(0) = 0 y una corriente en el inductor i(0) = 10 A.
• α = 3,5
• 𝜔0 = 6
• s1 = -1 y s2 = -6
• 𝑣(𝑡) = 𝐴1 𝑒−𝑡
+ 𝐴2 𝑒−𝑡

42
• Derivando la expresión anterior en ambos lados:
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝐴1 𝑒−𝑡
− 6𝐴2 𝑒−6𝑡
• Al evaluar la derivada en t = 0 se obtiene una segunda ecuación que aún no es
útil por no conocer el valor numérico del valor inicial de la derivada:
•
𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑡=0
= −𝐴1 − 6𝐴2 esto sugiere 𝑖 𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
→
𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑡=0
=
𝑖 𝐶(0)
𝐶
• Aplicando la primera ley de Kirchhoff
• −𝑖 𝐶 0 + 𝑖 0 + 𝑖 𝑅 0 = 0
•
𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑡=0
=
𝑖 𝐶(0)
𝐶
=
𝑖 0 +𝑖 𝑅 0
𝐶
=
𝑖 0
𝐶
= 420 𝑉/𝑠 puesto que iR(0) = 0

43
• En consecuencia en t = 0, se tiene la segunda ecuación:
𝑑𝑣
𝑑𝑡 𝑡=0
= 420 = −𝐴1 − 6𝐴2
• La solución simultánea:
• 420 = −𝐴1 − 6𝐴2
• 0 = 𝐴1 + 𝐴2
• Obteniendo A1 = 84 y A2 = -84
• Por tanto, la solución final de la respuesta natural es:
• 𝒗(𝒕) = 𝟖𝟒(𝒆−𝒕
− 𝒆−𝟔𝒕
)

44

45
Ejemplo:
• Considerar un circuito RLC en paralelo que tiene una inductancia de 10 mH y
una capacitancia de 100 µF. Determinar los valores de resistencia que llevarían a
que el circuito tuviera una respuesta sobreamortiguada y subamortiguada.
Solución:
• La frecuencia de resonancia del circuito:
• 𝜔0 =
1
𝐿𝐶
=
1
10 𝑥 10−3 𝑥 100 𝑥10−6
= 103
𝑟𝑎𝑑/𝑠
• Se tendrá una respuesta sobreamortiguada si 𝛼 > 𝜔0 y una subamortiguada si
𝛼 < 𝜔0 .
10 mH 100 µF

46
• Por tanto será sobreamortiguada, si
•
1
2𝑅𝐶
> 103
•
1
2𝑥103 𝑥100𝑥10−6 > 𝑅
• 𝑅 < 5 𝑜ℎ𝑚
• Será subamortiguada cuando 𝑅 > 5 𝑜ℎ𝑚
• 𝜔0 =
1
𝐿𝐶
=
1
10𝑥10−3 𝑥100𝑥10−6
= 1.000 rad/s
• Para R=5 Ω
• 𝛼 =
1
2𝑅𝐶
=
1
2𝑥5𝑥10010−6=1.000

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