Tres ejercicios resueltos, tomados del libro "Ecuaciones Diferenciales", del autor Dennis Zill.

1. Aplicaciones de la transformada de Laplace.
Circuitos en serie
En un circuito simple (de un “lazo”) o en serie, la segunda ley de
Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje a través de un inductor, un
resistor y un capacitor es igual al voltaje aplicado E(t). Se sabe que las caídas de
voltaje a través de cada elemento son, respectivamente,
0
1
, ( ) ( )
tdi
L Ri t y i d
dt C
  ,
donde i(t) es la corriente y L, R y C son constantes. La corriente en un circuito
como el de la figura mostrada está definida por la ecuación integro dife rencial
Al utilizar esta ecuación para resolver circuitos debemos recordar lo siguiente:
L  0
( )
( ) ( )
t I s
i d donde I s
s
    L i(t)
LU (t-1)= e-s
/s
L ( ) (0)
di
sI s i
dt
 
  

Si F(s) = L{f(t)} y a es cualquier número real
Primer teorema de traslación:
L{eat
f(t)} = F(s-a) el cual, escrito en forma inversa es :

2. L-1
{F(s-a)} = eat
f(t)
Segundo teorema de traslación:
L{f(t-a)U(t-a)}= e-as
F(s) , el cual escrito en forma inversa es :
L-1
{e-as
F(s)} = f(t-a)U(t-a)
Ejercicios tomados del texto “Ecuaciones diferenciales” Dennis Zill. 6ta ed.
RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS.
39)Se sustituyen los valores dados por el enunciado del problema en la ecuación
0
1
( ) ( )
tdi
L Ri i d E t
dt C
   
 0
1
0,005 ( ) 100 1 ( 1)
0,02
tdi
i i d U t
dt
      se divide todo entre 0,005
0
200 10000 ( ) 20000 20000 ( 1)
tdi
i i d U t
dt
     
Se toma transformada de Laplace de cada miembro de la ecuación y queda:
 
  20000 20000
(0) 200 ( ) 10000
I s ssI s i I s e
s s s
    
Se agrupan los términos que tienen I(s)

3.  10000 20000
( ) 200 1 sI s s e
s s
      
 
Se resuelve lo que está dentro del paréntesis:
 
2
200 10000 20000
( ) 1
s s sI s e
s s
     
 
El numerador de la fracción de la izquierda se
puede escribir como (s + 100)2
. Se despeja I(s); se simplifica y reescribe el
resultado para aplicar transformada inversa
 
     
2 2 2
20000 1
( ) 1 20000
100 100 100
ss esI s e
s s s s
 
     
    
Aplicando transformada inversa se obtiene i(t)
i(t) = 20000te-100t
– (t -1)e-100(t-1)
U(t -1)
40) Primero se sustituyen los datos en la ecuación diferencial y
se siguen los mismos pasos del ejercicio anterior, cambiando sólo
la parte derecha de la ecuación
 0
1
0,005 ( ) 100 1 ( 1)
0,02
tdi
i i d t t U t
dt
         se divide entre 0,005
 0
200 10000 ( ) 20000 1 ( 1)
tdi
i i d t t U t
dt
        
se toma transformada
 
 
2 2
1
(0) 200 ( ) 10000 20000
s
I s e
sI s i I s
s s s

 
     
 
Se agrupan los términos que tienen I(s)
 2
10000 20000
( ) 200 1 sI s s e
s s
      
 
Se resuelve lo que está dentro del paréntesis:

4.  
2
2
200 10000 20000
( ) 1
s s sI s e
s s
     
 
El numerador de la fracción de la izquierda se puede escribir como (s + 100)2
. Se
despeja I(s); se simplifica y reescribe el resultado para aplicar transformada inversa
 
   
 2 22
20000 20000
( ) 1 1
100 100
s s sI s e e
s s s s
    
 
Se usan fracciones parciales para poder escribir la parte derecha de la ecuación
como una suma de varias fracciones más simples:
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
20000
( 100) ( 100) ( 100)
20000 ( 100) ( 100)
( 100) ( 100)
20000 ( 200 10000) 100
20000 200 10000 100
20000 ( ) (200 100 ) 10000
20000
10000
A B C
s s s s s
A s Bs Cs s
s s s s
A s s Bs Cs Cs
As As A Bs Cs Cs
s A C s A B C A
A
  
  
   

 
     
     
     
  2 0 2
200 100 0 200(2) 100( 2) 200
A C C A C
A B C B
       
         
Por lo tanto A = 2 , B = -200 , C = -2, reescribimos la expresión para I(s)
 
 
2
2 200 2
( ) 1
( 100)100
s
I s e
s ss

 
    
  
   
2 2
2 200 2 2 200 2
( )
( 100) ( 100)100 100
s s s
e e e
I s
s s s ss s
  
     
  
Ahora si se puede tomar transformada inversa a cada término de la ecuación, y se
obtiene:
i(t)= 2-200te-100t
– 2e-100t
– 2U(t-1) +200(t-1)e-100(t-1)
U(t-1) + 2 e-100(t-1)
U(t-1)

5. La ecuación diferencial que describe el proceso es: ''mx kx x  
Se deben calcular la masa y la constante del resorte.
4 1
32 8
4 2 2 /
W
m slug
g
k k lb pie
  
  
Sustituyendo en la ecuación queda:
1 7
'' 2 '
8 8
x x x   se multiplica por 8 y se reordena
'' 7 ' 16 0x x x   Se aplica transformada de Laplace, tomando en cuenta que las condiciones iniciales
dadas son: (0) 3/ 2 '(0) 0x x  
L x’’ +7Lx’ +16Lx =0
       2
'' (0) '(0) ' (0)L x s L x sx x L x sL x x    
     2 3 21
7 16 0
2 2
s L x s sL x L x     Se agrupan los términos con  L x
  2 3 21
( 7 16)
2 2
L x s s s     Se despeja  L x
 
 
22 2
3 21 3 21
2 2 2 2
( 7 16) 7 / 2 ( 15 / 2)
s s
L x
s s s
   
 
   
( En el denominador se usa completación de
cuadrados)
 
   
2 22 2
3 ( 7 / 2) 7 15 15 / 2
2 107 / 2 ( 15 / 2) 7 / 2 ( 15 / 2)
s
L x
s s

  
   
Se aplica transformada inversa
para hallar la solución:
3 15 7 15 157 / 2 7 / 2( )
2 2 10 2
t tx t e Cos t e Sen t   