Este documento presenta 3 problemas matemáticos relacionados con cálculos de circulación de campos de vectores sobre diferentes regiones y superficies. El primer problema pide calcular la circulación de un campo de vectores sobre una región limitada por ejes y una curva en el primer cuadrante. El segundo problema usa el teorema de la divergencia para calcular el flujo de un campo a través de un paraboloide. El tercer problema calcula la circulación de otro campo a lo largo de una línea obtenida de la intersección de un cono y planos.

1. Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica
Preinforme N◦
1
Mat−024
Entrega: Semana del Lunes 23 al Viernes 27 de Mayo de 2011
Digamos que, α = su bloque horario ( α = 1 si el bloque es 1-2, α = 2 si el bloque es 3-4 ,
etc..) y β el d´ıa de la semana, lunes = 1, martes = 2 . . . etc, correspondiente al horario de su
laboratorio para la ense˜nanza de la matem´atica,y γ es el n´umero de su computador.
Problema 1: Sea Ω la regi´on en el primer cuadrante limitada por los ejes de coordenadas y la curva
x
α
+
y
β
4
=
x2
β2
+
y2
α2
Calcular la circulaci´on del campo de vectores F : R2
− α2
4β , β2
4α → R2
definido por
F(x, y) =


−
y − β2
4α
x − α2
4β
2
+ y − β2
4α
2 − yβ,
x − α2
4β
x − α2
4β
2
+ y − β2
4α
2 + xα



a lo largo de la frontera de Ω orientada en sentido antihorario.
Problema 2: Use apropiadamente el teorema de la divergencia para calcular el flujo del campo de vectores
F(x, y, z) =
x2
y
y2 + β2
+ 6yz2
γ, 2x tan−1 y
β
+ 6xz2
γ, −
2xz(y + β) + y2
+ β2
y2 + β2
a trav´es de la superficie del paraboloide z = 1 − x2
α2 − y2
β2 que se encuentra sobre el plano
xy, en direcci´on del vector normal unitario ˆn, tal que en el punto (0, 0, 1) es igual a ˆk.
Problema 3: Calcular la circulaci´on del campo de vectores
F(x, y, z) = (yβexy
+ x, xβexy
+ x, zγ − y)
a lo largo de la l´ınea C que se obtiene de la intersecci´on del cono x2
+ y2
= (z − 1)2
con los planos de coordenadas en el primer octante, que mirada desde el origen tiene una
orientaci´on antihoraria.
Instrucciones:
La soluci´on a los problemas deben ser resueltos a mano, en hojas tama˜no oficio (cuadernillo)
y se deben entregar al inicio de la sesi´on al ayudante correspondiente, no podr´a ingresar a la
sala si no entrega el preinforme. Se˜nale claramente su nombre, rol y bloque en la respectiva
portada.doc, que aparece en la secci´on Archivos de la web http://lab.mat.utfsm.cl
En el desarrollo del Preinforme tenga presente:
a) El planteo.
b) Desarrollos principales.
c) Resultados.
d) El orden y la presentaci´on del preinforme.
RV/SV