Ejercicio de método de newton

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIGO MARIÑO”
EXTENSION-BARINAS
ÁREA DEL CONOCIMIENTO: INGENIERIA
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
MÉTODO DE
NEWTON
T.S.U. José Mendoza

2. MÉTODO DE NEWTON
Usando el método de Newton para hallar la solución de la
ecuación
F (x)= (𝑥) 𝟑
− 4 x +1 =𝟎,
En el intervalo 0,1
Con una precisión de cuatro cifras decimales.
Solución:
La función f es continua en 0,1 y derivable en < 0,1 >
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

3. MÉTODO DE NEWTON
i. f ( 0) = (𝟎) 𝟑 -- 4(0) + 1= 1 > 𝟎
f (1) = (𝟏) 𝟑 −4 (1) + 1 = -- 2 < 𝟎
con signos distintos
ii. F ( x ) = 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟒 = ( 𝟑 𝒙 -- 2 ) y f´´( x ) = 6 x

4. MÉTODO DE NEWTON
L𝐚𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 f´ y f´´ nunca a son cero en el intervalo <
0,1 > luego, por el teorema:
∃ ∁ ∈< 0,1 > f(∁) =0

5. MÉTODO DE NEWTON
Si, 𝑥 𝒏+𝟏 = 𝑥 𝒏 −
𝒇 𝒙𝒏
𝒇´(𝒙𝒏)
𝒙
𝒏+𝟏
=
𝒙𝒏 −𝒙 𝟑 𝒏−𝟒𝒙𝒏+𝟏
𝟑𝑥 𝟐 𝒏−𝟒
=
𝟐(𝒙𝒏) 𝟑−𝟏
𝟑(𝒙𝒏) 𝟐−𝟒
- = 𝟑 𝑥2 𝒏 − 𝟒
𝟑 𝑥2 𝒏 −4 (1)
Escogemos la estimación inicial 𝑥 𝟏=
𝒂𝒇 𝒃 −𝒃𝒇 (𝒂)
𝒇 𝒃 −𝒇(𝒂)
𝑥
𝟏=
𝟎 −𝟐 −𝟏 (𝟏)
−𝟐−𝟏 = 𝟏/𝟑
Con este valor la interacción (1) produce la siguiente ecuación:

6. MÉTODO DE NEWTON
Para n=1 𝑥 𝟐=
𝟐 (𝒙 𝟏) 𝟑 −− 1
𝟑 (𝒙 𝟏) 𝟐 − 4
=
𝟐 (𝟏/𝟑) 𝟑 − 1
𝟑 (𝟏/𝟑) 𝟐 − 4
=
25
𝟗𝟗
= 0,2525
Para n=2 𝟑=
𝟐 (𝒙 𝟐) 𝟑 − 1
𝟑 (𝒙 𝟐) 𝟐 − 4
=
2(0,2525) − 1
3(0,2525) − 4
= 0,2541
Para n=3 𝟑=
𝟐 (𝒙 𝟑) 𝟑 − 1
𝟑 (𝒙 𝟑) 𝟐 − 4
=
2(0,2541) − 1
3(0,2541) − 4
= 0,2541
Así de esta manera obtenemos la raíz con
exactitud de cuatro cifras decimales