El documento resume cuatro ejercicios matemáticos que involucran ecuaciones lineales y no lineales. El Ejercicio 28 involucra una ecuación no lineal que se resuelve usando logaritmos para obtener la solución irracional A. El Ejercicio 31 también es no lineal y usa logaritmos para derivar la solución irracional B. El Ejercicio 39 es cuadrático y usa la fórmula cuadrática para encontrar las raíces iguales. El Ejercicio 43 es no cuadrático pero se reduce a

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad de Ciencia de la Administración
INGENIERÍA
Grupo Z90COR2
Los ejercicios elegidos:
1. Para el ejercicio 28 A
2. Para el ejercicio 31 K
3. Para el ejercicio 39 F
4. Para el ejercicio 43 B
Ejercicio 28 A
Ejercicio seleccionado 2
10 3 0x−
− =
No es una ecuación lineal, la incógnita llamada X forma parte del exponente de la
potencia de base 10.
Se procede a resolver la ecuación
2
2
2
2
2
10 3 0
10 3 3 0 3
10 ( 3 3) (0 3)
10 0 3
10 3
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
− =
− + = +
− + = +
+ =
=
En el paso anterior sumamos un neutro conveniente para eliminar al -3 y luego
asociamos a conveniencia según necesitamos
Paso siguiente, como nos quedo expresado solo la potencia del lado izquierdo, para
bajar el exponente, aplicamos el concepto de potencia y de logaritmo.
2
10 3x−
= si solo si 2 log3x − =
log3 2x = +
Despejando X como única incógnita nos define una ecuación lineal, que da como
resultado un numero irracional, al que llamaremos A.
2,48A ≅
Verificamos.
Si x asume el valor log3 2+ , se obtiene
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NIVELACION DE MATEMATICAS – Actividad 8

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INGENIERÍA
Grupo Z90COR2
log3 2 2
log3
log3
log3
log3
10 3 0
10 3 0
10 ( 3 3) (0 3)
10 0 3
10 3
log3 log3
+ −
− =
− =
− + = +
+ =
=
=
Conclusión la ecuación 2
10 3 0x−
− = tiene por solución al número irracional log3 2+
Y por ultimo podemos agregar que en esta ecuación no hay restricción en cuanto que
valores puede asumir y cuales no, ya que el valor desconocido se encuentra como
exponente.
Ejercicio 31 K
Ejercicio seleccionado 1
2 3 12x x−
× =
Se trata de una ecuación No lineal.
En este caso tenemos el valor desconocido X en dos exponentes pero de base
distinta, por tanto no se puede aplicar de inmediato la definición de logaritmo, pero si
se puede aplicar a ambos miembros de la igualdad.
1
1
2 3 12
log(2 3 ) log 12
x x
x x
−
−
× =
× =
Luego se pueden aplicar propiedades de logaritmo para despejar X, como así también
pasos previos como la aplicación de propiedades de la potenciación para acomodar
los términos según nos convenga.
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3. Instituto Universitario Aeronáutico
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INGENIERÍA
Grupo Z90COR2
1
1
3
2
3
2
2 3 12
2 3
12
2
2
2 12
3
2 12
3 2
2 12
3 2
2 2 3
3 2
2
3
3
log 3
log 3
log
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
× =
×
=
 
= ÷
 
 
= ÷
 
 
= ÷
 
 
= ÷
 
 
= ÷
 
=
=
Obtuvimos como resultado un número irracional al cual llamaremos B
1,35B ≅
En cuanto a la restricción al tener X como exponente de una potencia de base No nula
no tiene restricciones, es decir que puede asumir cual quier valor real.
Por ultimo se verifica el valor de X que Obtuvimos reemplazándolo en la ecuación
inicial.
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Grupo Z90COR2
3 3
2 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
log 3 log 3
1
log log
log 3
log
log 3
log
log 3
log
log 3
log
log 3
log
3
3 2
2
2 3 12
3
2 12
2
3 12
2
2
3
3
2
log 3
log 3
log
−
 
 ÷
 
× =
 
 ÷
 ÷× =
 ÷
 ÷ ÷
 
 
 ÷
 ÷=
 ÷
 ÷ ÷
 
 
= ÷
 
=
Por lo que se verifica que es un valor correcto.
Ejercicio 39 F
Ejercicio seleccionado
2
1
0
3
x
 
+ = ÷
 
, tenemos una ecuación cuadrática.
Se trata del cuadrado de un binomio.
Lo que se hará primero es desarrollar el cuadrado del binomio, para luego llegar
posiblemente a la forma de la identidad
2 2
2 4 4
2 2
b b ac b b ac
ax bx c x x
a a
  − ± − − ± −
+ + = + + ÷ ÷
 ÷ ÷
  
2
2
2
2
1
0
3
1 1
2 0
3 3
2 1
0
3 9
x
x x
x x
 
+ = ÷
 
 
+ × × + = ÷
 
+ × + =
Una vez obtenida la última expresión se procede a aplicar la identidad anteriormente
mencionada.
Los coeficientes serian: a = 1 ; b = 2/3 ; c = 1/9
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Calculo auxiliar
2
2 2 1 2 4 44 1
3 3 9 3 9 9
2 1 2
22
0
33
22
1
1
3
 
− ± − × × − ± − ÷
 
=
×
 
−− ±  ÷
 =
 
 ÷
 
−
Observación, cuando el radicando de la identidad es nulo, se obtienen raíces iguales.
Por ultimo con el valor hallado verificamos si es correcto al reemplazarlo en la
ecuación original
2
2
2
1
0
3
1 1
0
3 3
0 0
0 0
x
 
+ = ÷
 
 
− + = ÷
 
=
=
Ejercicio 43 B
Ejercicio seleccionado 2 3U U+ = , se trata de una ecuación no cuadrática pero que
puede llevarse a una ecuación de segundo grado.
Lo primero que diremos es que cual sea el valor que hallemos para la letra U, éste
multiplicado por dos y sumado a 3 tiene que ser mayor a cero, para que tenga solución
dentro de los números reales que venimos estudiando hasta el momento.
La incógnita en este caso se encuentra en ambos miembros de la igualdad
Como prioridad tenemos que despejar la raíz, que por propiedad pasa al otro miembro
como potencia de 2.
2
2
1
2 3
2 3
2 3
U U
U U
U U
+ =
+ =
+ =
Obtuvimos una ecuación de segundo grado como habíamos adelantado.
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Grupo Z90COR2
Lo reescribimos de manera general
2
2 3 0U U− + + =
Paso siguiente, aplicamos la formula
2
4
2
b b ac
a
− ± −
( )
( )
22
1
2
2 2 4 1 34
2 2 1
2 4 12 2 16
2 2
2 4
2
1
3
b b ac
a
x
x
− ± − × − ×− ± −
=
× −
− ± + − ±
=
− −
− ±
=
−
= −
=
Reescribiendo la ecuación, quedaría factorizada de la siguiente manera
( ) ( )1 1 3x x− + × −
Por ultimo verificamos con los valores obtenidos a través de la aplicación de la
formula de identidad en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad.
Para el valor de 1 1x = − se cumple
( )
2 3
2 1 3 1
1 1
1 1
U U+ =
± × − + = −
± = −
− = −
Para el valor de 2 3x = se cumple
2 3
2 3 3 3
9 3
3 3
U U+ =
± × + =
± =
=
Concluimos que -1 y 3 son las soluciones matemáticas de la ecuación 2 3U U+ =
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Grupo Z90COR2
Lo reescribimos de manera general
2
2 3 0U U− + + =
Paso siguiente, aplicamos la formula
2
4
2
b b ac
a
− ± −
( )
( )
22
1
2
2 2 4 1 34
2 2 1
2 4 12 2 16
2 2
2 4
2
1
3
b b ac
a
x
x
− ± − × − ×− ± −
=
× −
− ± + − ±
=
− −
− ±
=
−
= −
=
Reescribiendo la ecuación, quedaría factorizada de la siguiente manera
( ) ( )1 1 3x x− + × −
Por ultimo verificamos con los valores obtenidos a través de la aplicación de la
formula de identidad en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad.
Para el valor de 1 1x = − se cumple
( )
2 3
2 1 3 1
1 1
1 1
U U+ =
± × − + = −
± = −
− = −
Para el valor de 2 3x = se cumple
2 3
2 3 3 3
9 3
3 3
U U+ =
± × + =
± =
=
Concluimos que -1 y 3 son las soluciones matemáticas de la ecuación 2 3U U+ =
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