Tecnología Matemática Colombia

Pensamiento Geométrico y
Tecnologías Computacionales

Pensamiento Geométrico y
Tecnologías Computacionales

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y
Media de Colombia

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Básica Secundaria
y Media de Colombia

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA LUIS MORENO ARMELLA
Coordinadora General del Proyecto Asesor Internacional
Ministerio de Educación Nacional CINVESTAV – IPN, México

EDITOR

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.
Ministerio de Educación Nacional.
HENRY URQUINA LLANOS.
Ministerio de Educación Nacional.
LEONOR CAMARGO URIBE.
Profesora Universidad Pedagógica Nacional.
MARTIN E. ACOSTA GEMPELER.
Universidad Joseph Fourier. Grenoble. Francia.

Con la colaboración de:

FABIOLA RODRÍGUEZ GARCÍA.
Instituto Pedagógico Nacional.

Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:
ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edición: 1.500 ejemplares

ISBN: 958 - 97413 - 4 - 7

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional - MEN
Derechos reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., Colombia
Abril 2004

INSTITUCIONES PARTICIPANTES

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción
del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones
educativas y docentes que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de Antioquia
Facultad de Educación.
Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del Norte
Departamento de Matemáticas.
Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”
Facultad de Ciencias y Educación.
Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.
Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica Nacional
Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.
Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias.
José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la Amazonía
Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.
Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

Universidad Popular del Cesar
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de Caldas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

XI

Universidad del Cauca
Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.
Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la Guajira
Facultad de Ciencias Básicas.
Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los Llanos
Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del Magdalena
Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena.
Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de Nariño
Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.
Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander”
Facultad de Ciencias Básicas.
Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.
Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del Quindío
Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.
Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

Universidad Tecnológica de Pereira
Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de Sucre
Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.
Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de Santander
Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas.
Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

XII

Universidad Surcolombiana.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila.
Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del Tolima
Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.
Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del Valle
Instituto De Educación y Pedagogía.
Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.
Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Matemáticas y Estadística.
Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de Córdoba
Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
Dirección de Ciencias Básicas.
Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN

Secretaría de Educación Departamento del Atlántico
Yolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del Putumayo
Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del Huila
Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA

Departamento de Antioquia
Colegio Santa Teresa. Medellín.
Normal Superior. Envigado.
Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas.
Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.

XIII

Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.
Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.
Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

Departamento del Atlántico
Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.
Instituto Pestalozzi. Barranquilla.
Normal Superior Santa Ana. Baranoa.
Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.
Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.
Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.
Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de Amazonas
Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.
INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

Bogotá D.C
Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).
Colegio Distrital Heladia Mejía.
Instituto Pedagógico Nacional.
Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.
Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).
Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).
Colegio República de Costa Rica.

Departamento de Boyacá
Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.
Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.
Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.
Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.
Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.
Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento de Caldas
Normal Superior de Caldas. Manizales.
Colegio la Asunción. Manizales.
Normal Superior María Escolástica. Salamina.
Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento del Cesar
Normal Superior María Inmaculada. Manaure.
Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.
Colegio Nacional Loperena. Valledupar.
Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar
Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar.

XIV

Departamento del Caquetá
Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia.
Colegio Nacional La Salle. Florencia.
Escuela Normal Superior. Florencia.
Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del Cauca
Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.
Instituto Técnico Industrial. Popayán.
INEM Francisco José de Caldas. Popayán.
Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

Departamento de Córdoba
Normal Superior. Montería.
Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.
Colegio Marceliano Polo. Cereté.

Departamento de Cundinamarca
Instituto Técnico Industrial. Tocancipá.
Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.
Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.
Colegio Departamental San Juan de Rioseco.
Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

Departamento de la Guajira
Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.
Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.
Colegio La Divina Pastora Riohacha.
Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao.
Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento del Huila
INEM Julián Motta Salas. Neiva.
Liceo Santa Librada. Neiva.
Normal Superior. Neiva.
Normal Superior. Gigante.

Departamento del Meta
Normal Superior María Auxiliadora. Granada.
Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.
INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.
Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del Magdalena
Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.
Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.
Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.
Normal de Señoritas. Santa Marta.

XV

Departamento de Nariño
INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.
Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.
Liceo Central Femenino. Pasto.
Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.
Colegio Nacional Sucre. Ipiales.
Normal Superior. Pasto.
Colegio María Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de Santander
Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.
Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.
Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

Departamento del Putumayo
Colegio Alvernia. Puerto Asís.
Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.
Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.
Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

Departamento del Quindío
Instituto Técnico Industrial. Armenia.
Normal Superior. Armenia.
Colegio los Fundadores. Montenegro.
Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.
Instituto Tebaida. La Tebaida.
Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de Risaralda
Instituto Técnico Superior. Pereira.
Normal Superior de Risaralda. Pereira.
Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.
Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de Sucre
Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.
Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.
Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de Santander
INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.
Centro educativo Las Américas. Bucaramanga.
Escuela Normal Superior. Bucaramanga.
Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.
Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.
Colegio Nacional Universitario. Socorro.

XVI

Departamento del Tolima
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.
Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.
Colegio Nacional San Simón. Ibagué.
Normal Superior. Ibagué.
INEM Manuel Murillo. Ibagué.
Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.
Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

Departamento del Valle
Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.
Normal Superior de Señoritas. Cali.
Colegio Manuel María Mallarino. Cali.
Colegio Mayor. Yumbo.
Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.
Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

XVII

AGRADECIMIENTOS

La Dirección de Calidad de la Educación Prees- procesos de desarrollo, innovación e investi-
colar, Básica y Media del Ministerio de Educa- gación en el uso de nuevas tecnologías en la
ción Nacional agradece de manera especial: Educación Matemática.

A los niños y niñas colombianos de las A las Secretarías de Educación Departa-
diversas regiones que, con su inteligencia, mentales, Distritales y Municipales que
talento y capacidad creativa, vienen apro- han asumido el liderazgo y gestión de los
vechando las posibilidades que brindan las procesos de incorporación de nuevas tecno-
nuevas tecnologías para aprender mate- logías informáticas en sus territorios.
máticas con sentido para sus vidas y que
nos han permitido construir e implementar A los consejos directivos y rectores de las
situaciones y propuestas para el estudio de instituciones educativas de básica y media
la geometría, con mediación de tecnologías que han hecho posible la generación de
computacionales. condiciones para la implementación y soste-
nibilidad del proyecto en sus instituciones.
A los coordinadores del proyecto que han
dinamizado el trabajo a nivel regional permi- A los padres de familia que consientes de la
tiendo la construcción de situaciones para el necesidad de aproximar a las nuevas gene-
trabajo de aula en geometría, con mediación raciones en conocimientos y experiencias en
de tecnologías computacionales. punta, han apoyado y contribuido a la incor-
poración de nuevas tecnologías en la educa-
A los maestros y maestras del país que han ción matemática.
asumido el compromiso de avanzar en el
diseño, implementación y evaluación de las A los investigadores e innovadores que
situaciones de aula. vienen aportando en la generación de cono-
cimiento y experiencias significativas sobre
A las Universidades que han asumido el lide- el uso de nuevas tecnologías en la educación
razgo regional y el acompañamiento a los matemática.

XIX

CONTENIDO

INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XI
AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX
CONTENIDO. .............................................................................................................................. XXI
PRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIII
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ XXV

CAPÍTULO 1
LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR GEOMETRIA. ......................................................................................1

CAPÍTULO 2
EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRIA. ........................................................................................................5

CAPÍTULO 3
EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA..................................................................................................9
3.1. Procesos de visualización. .........................................................................................10
3.1.1 Nivel global de percepción visual. ..............................................................10
3.1.2. Nivel de percepción de elementos constitutivos...........................................10
3.1.3. Nivel operativo de percepción visual. .........................................................13
3.2. Procesos de argumentación. .......................................................................................14
3.3. La construcción geométrica como encadenamiento “natural” de los procesos de
visualización y los procesos de argumentación.................................................................16

CAPÍTULO 4
POTENCIAL DIDÁCTICO DE LA GEOMETRÍA DINÁMICA EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA. ........19
4.1 ¿Qué es un software de geometría dinámica?. ............................................................19
4.2 Características fundamentales de software de geometría dinámica. ...........................19
4.3 Principios fundamentales para trabajar con geometría dinámica. ...............................23
4.4 Aspectos específicos del potencial de la geometría dinámica para el desarrollo
del pensamiento geométrico . ............................................................................................24
4.4.1 Articulación entre procesos de visualización y procesos de argumentación.25
4.4.2 Diferenciación entre dibujo y objeto geométrico. .........................................27
4.4.3 La problematización de las construcciones geométricas. ..............................29
4.4.4 Dinámica entre la exploración y la sistematización. .....................................34
4.4.5 Lugares Geométricos y curvas notables de la Geometría..............................38
4.4.6 Uso de entornos de geometría dinámica en la validación. ............................40

XXI

PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

4.4.7 Conexión con otros campos de la matemática: La modelización
y la simulación. .......................................................................................................47

CAPÍTULO 5
ALGUNAS EXPERIENCIAS DE AULA CON TECNOLOGÍA DE DOCENTES DEL PROYECTO. ......................51
5.1 La construcción de las funciones trigonométricas. .....................................................52
5.2 Generalización del teorema de Pitágoras. ...................................................................57
5.3 Bisectrices e incentro. .................................................................................................59
5.4 Construcción de paralelogramos. ................................................................................61
5.5 Construcción del Símbolo ying-Yang. ........................................................................64
5.6 Construcción del rectángulo. .......................................................................................66
5.7 Construcción de un Triángulo equilátero . ..................................................................73
5.8 Construcción de triángulos isósceles...........................................................................77
5.8 Argumentación en torno a una figura. .........................................................................81

A MANERA DE CONCLUSIÓN. .........................................................................................................89
BIBLIOGRAFÍA. ...............................................................................................................................91

XXII

PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, compro- en el país una verdadera revolución educativa,
metido con el mejoramiento de la calidad de la una oportunidad para acceder a la información
educación y respondiendo de manera efectiva a y al conocimiento universal y la transformación
las necesidades, tendencias y retos actuales de la de las escuelas desde las particularidades de las
educación matemática, viene adelantando, desde diferentes regiones que integran el país.
el año 2000, la implementación del proyecto
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí- Hoy tenemos maestros más creativos y compro-
culo de Matemáticas de la Educación básica metidos con su ejercicio profesional, estudiantes
secundaria y media de Colombia, con el cual se activos e interactivos haciendo matemática y
viene instaurando una nueva cultura informática colocando en juego todo su talento en horarios
en el país aprovechando el potencial formativo de clase y extra clase, comunidades educativas
que brindan las tecnologías computacionales, que en ejercicio de su autonomía se han cohe-
específicamente los sistemas computacionales sionado en torno a la incorporación de tecno-
gráficos y algebraicos. logías, una adecuada articulación entre los
niveles educativos básico, medio y superior, en
La columna vertebral del proyecto ha sido la síntesis, una gama de opciones alternativas que
formación permanente de los docentes, centrada nos permite creer firmemente que la educación
en la reflexión sobre su propia práctica en el salón matemática será cada día de mejor calidad.
de clase y en las posibilidades pedagógicas y
didácticas del recurso tecnológico. La dinámica El documento que entregamos a la comunidad
lograda viene impulsando la conformación de es el resultado de un proceso de construcción
grupos de estudio regionales con profesores y reflexión sobre el pensamiento geométrico
de matemáticas de la educación secundaria y y los aportes de las tecnologías computacio-
media, de las universidades y con profesionales nales para potenciar su desarrollo, que se ha
de las Secretarías de Educación, de manera venido adelantando sustentado en el recono-
que se ha enriquecido la reflexión teórica y la cimiento sistemático del trabajo de aula con
experiencia práctica y se han creado condiciones tecnología. Constituye una contribución al
de sostenibilidad a largo plazo. desarrollo de innovaciones relacionadas con
la enseñanza y aprendizaje de la geometría,
Las posibilidades que brindan las tecnologías un área fundamental para la formación del
computacionales (computadores y calculadoras ser humano, que en algunos casos no recibe
gráficas y algebraicas), como instrumentos el énfasis y el tratamiento pedagógico que
mediadores en el aprendizaje de los alumnos, amerita en el currículo.
en la construcción de conocimientos y en la
comprensión de lo que hacen, viene impulsando Los autores

XXIII

INTRODUCCIÓN

Con el auge de las tecnologías de la información natural esperar que los estudiantes que trabajen
han surgido nuevas herramientas para el trabajo con un programa de geometría dinámica puedan
tanto en geometría como en su enseñanza que avanzar en su comprensión y conocimiento de
es importante conocer y utilizar para poner a la geometría de una manera distinta a la que
tono nuestros métodos pedagógicos con las seguirían si utilizan medios tradicionales.
nuevas posibilidades de aproximación cogni-
tiva que la sociedad nos brinda. En particular, La diferencia sustancial con ambientes de apren-
los programas de geometría dinámica han revo- dizaje tradicionales estriba en la posibilidad de
lucionado la manera de hacer matemáticas y la modificar la construcción realizada originaria-
forma de enseñarlas, proporcionando contextos mente por medio de dos funciones específicas:
de aprendizaje con nuevas y potentes posibili- “arrastre” y “desplazamiento” de las figuras,
dades de representación. realizadas por medio de una “mano” que atrapa
los puntos libres. Así, cada figura construida
Estos programas tienen como principio base se convierte en realidad en una colección de
el estudio de los componentes fundamentales figuras que comparten las propiedades inva-
de las figuras geométricas, las relaciones entre riantes que las caracterizan. Por ejemplo, si se
éstos y las propiedades que presentan. A partir dibuja una circunferencia con uno de sus radios
de la construcción de figuras geométricas se y una recta perpendicular a éste (y por lo tanto
permite a los alumnos la exploración y mani- tangente a la circunferencia) y luego se cambia
pulación directa y dinámica que conduce a la el tamaño de la circunferencia, la relación de
elaboración de conjeturas. Esta experiencia les tangencia se mantendrá. En realidad no se han
sirve para desarrollar las habilidades mentales construido una circunferencia, un radio y una
que les posibilitarán acceder posteriormente al recta tangente a ella, sino una familia de circun-
estudio formal de la geometría. ferencias, radios y tangentes que mantienen
constante la relación establecida.
Con el acceso a la manipulación directa, la
enseñanza de la geometría ofrece un interesante Ha de diferenciarse entonces entre una figura
desarrollo hacia una nueva conceptualización de geométrica y su dibujo. En un dibujo no están
ésta, como el estudio de las propiedades inva- implícitamente presentes las relaciones de
riantes de las figuras geométricas. Al permitir la dependencia entre los elementos de la figura
posibilidad de experimentar con una especie de que la caracterizan, a pesar de que perceptual-
“materialización” de los objetos matemáticos, mente parezcan estar. Si no se ha tenido la
de sus representaciones y de sus relaciones, los precaución de hacer la construcción atendiendo
estudiantes pueden vivir un tipo de experimenta- a estas relaciones, al utilizar las funciones de
ción matemática que otros ambientes de apren- “arrastre” y “desplazamiento” de los puntos
dizaje no proporcionan. Por consiguiente, es libres, la figura se deformará. Se puede definir

XXV


una figura geométrico como un conjunto finito En el capítulo 2 se presenta una breve síntesis de
de objetos elementales y de relaciones entre esos la evolución de la geometría para mostrar como
objetos. En general, los objetos elementales de ella se encuentra en permanente crecimiento y
la geometría euclidiana plana son: el punto, la abarca un panorama extenso de desarrollos y
recta, la semirrecta, el segmento, la circunfe- posibilidades ligadas a la interacción entre lo
rencia y el arco de circunferencia. Si se miran visual y lo discursivo.
los objetos básicos de un programa de geome-
tría dinámica, se encuentran todos los objetos El capítulo 3 se centra en los procesos de apren-
precedentes. Las relaciones entre objetos son dizaje de la geometría, sus obstáculos y difi-
relaciones de pertenencia, de intersección, de cultades.
paralelismo o de perpendicularidad que figuran
todas en el programa. En el capítulo 4 se desarrollan algunas ideas
respecto a los ambientes, contextos, situaciones
En este contexto, el propósito de este documento y actividades apropiados para la enseñanza y
es crear conciencia de las grandes posibilidades el aprendizaje de la geometría, con particular
que brindan estos programas para el aprendizaje énfasis en el apoyo de sofware de geometría
y dar orientaciones a los maestros sobre cómo dinámica.
diseñar situaciones problema aprovechando
las potencialidades didácticas del software de En el capítulo 5 se recogen las primeras expe-
geometría dinámica. riencias en el aula de algunos docentes que parti-
cipan en el proyecto “Incorporación de Nuevas
En el capítulo 1 se hace una reflexión sobre la Tecnologías al Currículo de Matemáticas de
importancia del conocimiento geométrico en los la Educación básica secundaria y media de
currículos escolares por su aporte a la formación Colombia”
del individuo.

XXVI

1 LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR GEOMETRIA

El conocimiento geométrico es un componente - Una vía para desarrollar pensamiento y
matemático que ocupa un lugar privilegiado comprensión, y, en un nivel avanzado, como
en los currículos escolares por su aporte a la una teoría formal.
formación del individuo. No sólo se considera
como una herramienta necesaria para describir - Un ejemplo paradigmático para enseñar
el espacio circundante, comprenderlo e interac- razonamiento deductivo.
tuar en él, sino que, como disciplina científica,
descansa sobre importantes procesos de forma- - Una herramienta en diversos campos de
lización que son ejemplo de rigor, abstracción aplicación, tanto en forma tradicional, como
y generalidad. Mammana y Villani (1998)1 han de manera innovativa mediante el uso de
identificado las siguientes dimensiones, que en recursos computacionales.
estrecha vinculación unas con otras y vinculadas
también con los demás campos de las matemá- La toma de conciencia de esta miltidimensio-
ticas, las ciencias y la vida cotidiana, aportan nalidad, en la última década, es debida proba-
elementos para el logro de dicha formación. La blemente al cambio en el punto de vista de la
geometría puede verse como: matemática en si misma, (que ha comenzado
a verse más como una actividad humana que
- Una ciencia del espacio y la forma. Desde como una teoría formal) y de la enseñanza y
sus raíces como herramienta para describir el aprendizaje de la matemática a nivel escolar
y medir figuras, se han ido constituyendo (Neubrand, 1998). Hoy en día se reconoce la
teorías, ideas y métodos mediante los cuales necesidad de fomentar el aprendizaje activo,
podemos construir y estudiar modelos idea- disminuir las separaciones tradicionales entre
lizados del mundo físico o de fenómenos que las diversas asignaturas del currículo y esta-
acontecen el el mundo real. blecer conexiones de la matemática con los
contextos de las ciencias naturales y sociales.
- Un método para representar visualmente
conceptos y procesos de otras áreas de las La geometría tiene una larga historia siempre
matemáticas como la aritmética, el álgebra o el ligada a las actividades humanas, sociales
cálculo, o de otras ciencias naturales y sociales. culturales, científicas y tecnológicas. Ya sea
vista como una ciencia que modela nuestra
- Un punto de encuentro entre la matemática realidad espacial, como un excelente ejemplo
vista como una teoría abstracta y la matemá- de sistema formal o como un conjunto de teorías
tica vista como un recurso de modelación. estrechamente conectadas, cambia y evoluciona

1
Recogiendo las ideas del Documento de Discusión del estudio del ICMI, Perspectivas de la enseñanza de la Geometría para el
siglo XXI. Mammana y Villani, p. 338.

1


permanentemente y no se puede identificar minación, descripción, clasificación y repre-
únicamente con las proposiciones formales sentación de objetos concretos del plano y del
referidas a definiciones, conceptos, o teoremas. espacio y explorar movimientos en el plano para
Ella es el resultado de una combinación entre acceder a nociones básicas acerca de las trasfor-
diversos procesos cognitivos asociados a la maciones, la identificación de trayectorias y la
actividad geométrica y la comunicación de los ubicación espacial; es decir, enfatizar en una
resultados de dicha actividad. En ese sentido, dimensión empírica de la geometría, que tiene
el conocimiento geométrico no existe única- que ver con la representación del espacio vital.
mente en los enunciados formales ni puede Sin embargo, para evitar que los alumnos tengan
considerarse como algo absoluto e impersonal. una idea limitada de la geometría, conviene ir
Por el contrario, se convierte en algo relativo dando puntadas hacia la comprensión de las
a las experiencias individuales y grupales que, demás dimensiones, mediante actividades que
mediadas por diversas herramientas materiales muestren, por ejemplo, de qué manera algunas
o simbólicas producen diversos niveles de sofis- de las propiedades esenciales del espacio físico
ticación del conocimiento, útiles para resolver pueden deducirse de una exploración de regu-
problemas, interpretar hechos o dar explica- laridades o “probarse” mediante algún razona-
ciones, entre otras cosas. miento, o de qué manera la geometría se convierte
en una excelente herramienta para comprender
Difícilmente otro campo de las matemáticas reglas y operaciones aritméticas. Además los
abarca un espectro tan amplio de dimensiones. alumnos deben poder observar cómo la visión
Por ello la enseñanza de la geometría debe humana está gobernada por reglas que nos
reflejar una preocupación por desarrollar acti- permiten reconocer la estrecha relación entre un
vidades en las distintas dimensiones buscando objeto y su imagen obtenida por semejanza, por
lograr en los alumnos una amplia experiencia y su representación bidimensional, o en perspec-
una perspectiva multifacética de lo que signi- tiva. La comprensión de las relaciones entre los
fica, elementos claves para ganar en cono- objetos tridimensionales y sus representaciones
cimiento geométrico útil. Probablemente bidimensionales es de gran importancia como
cualquier situación geométrica, por elemental fundamento de la comprensión acerca del cono-
que sea, permite una amplia gama de posibili- cimiento geométrico trabajado posteriormente.
dades de exploración, formulación de conjeturas
y experimentación de situaciones con la idea de En los niveles superiores de la educación básica
explicar, probar o demostrar hechos. También y en la educación media, se recomienda en
ofrece amplias oportunidades de usar modelos cambio, afianzar conocimientos más amplios
matemáticos para comprender la actividad y profundos, de tal forma que los estudiantes
humana y social, dadas sus estrechas relaciones puedan experimentar con gran cantidad de
con la cultura, la historia, el arte, la filosofía y ejemplos y situaciones, en una gran variedad de
la ciencia. Adicionalmente, no hay mejor lugar contextos geométricos, ampliando el espectro
que la geometría para dilucidar el papel de la de dimensiones a trabajar. A través de activi-
prueba y la demostración en matemáticas. dades como la construcción de definiciones
de conceptos, la investigación de propiedades
Por supuesto, según el nivel escolar se privile- geométricas, la búsqueda de mecanismos para
giará una u otra dimensión de la geometría. Niss probar enunciados y la resolución de problemas
(1998) sugiere enfatizar en los primeros niveles de aplicación, se profundiza en sus experien-
educativos en actividades de exploración, deno- cias y conocimientos geométricos y es posible

2

LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR GEOMETRÍA

comenzar a experimentar con diferentes teorías y ejercitación de procedimientos. A su vez,
geométricas y sus interrelaciones, además de las estos procesos están estrechamente ligados a
formas para validar los resultados en cada una de las dimensiones de la geometría reconocidas
ellas. Especial importancia cobran las experien- por Mammana y Villani. Por ejemplo, la reso-
cias en diferentes ámbios tales como la construc- lución de problemas conjuga ambos procesos
ción de modelos geométricos físicos y su relación y está vinculada a la dimensión empírica de la
con la percepción visual, la representación de geometría, por su papel en la indagación de las
objetos en dos y tres dimensiones, la exploración propiedades de los objetos naturales o creados
acerca de propiedades geométricas o la construc- por el hombre, a través de la modelación. La
ción de la geometría euclidiana deductiva y su comunicación tiene que ver con el potencial de
relación con la geometría analítica o vectorial, o la geometría para comunicar información visual
la geometría de las transformaciones. de hechos no necesariamente geométricos.
La representación se encuentra en estrecha
Las diversas dimensiones del panorama geomé- conexión con el potencial humano de visualizar
trico se apoyan en los procesos cognitivos de y la búsqueda de mecanismos de argumentación
visualización (asociados al pensamiento espa- para lograr justificar afirmaciones se encuentra
cial) y procesos de razonamiento discursivo en asociado al razonamiento discursivo.
el lenguaje natural tipo verbal (asociados con el
pensamiento deductivo). Por tal razón, en los Para poder diseñar ambientes de aprendi-
Lineamientos Curriculares del área de matemá- zaje ricos en actividades geométricas en las
ticas elaborados por el Ministerio de Educación distintas dimensiones, los maestros de mate-
máticas debemos experimentar con diversas
Nacional (MEN, 1998) se enfatiza, por un lado,
facetas del panorama geométrico. Entre más
en la necesidad de encaminar la enseñanza de la
dimensiones y conexiones de la geometría
geometría hacia el desarrollo de la percepción
conozcamos, podremos guiar con mayor éxito a
espacial, las representaciones bi y tri dimensio-
nuestros alumnos en la experiencia de aprender
nales de las figuras y el estudio de los invariantes
a aprender geometría y les ayudaremos a sentar
de las figuras, sus relaciones y sus propiedades bases sólidas para ampliar el panorama en los
bajo el efecto que producen las diferentes siguientes años escolares y en la vida.
transformaciones sobre ellas. Por otro lado, se
propone un estudio sistemático de patrones de Actualmente, los programas de geometría
regularidad que conducen al establecimiento dinámica han revolucionado la manera de
de conjeturas y generalizaciones, a partir de las hacer matemáticas y la forma de enseñarlas,
cuales surgen diversas formas argumentativas proporcionando contextos de aprendizaje con
que poco a poco van alcanzando mejores niveles nuevas y potentes posibilidades de representa-
de sofisticación hasta llegar a la producción de ción. Usando software de geometría dinámica
teorías axiomáticas de carácter deductivo. ahora es posible que los estudiantes exploren
la geometría euclidiana y tengan la posibilidad
Sobre los procesos de visualización y de razo- de estudiar objetos y propiedades geométricas
namiento discursivo descansan otros procesos para re descubrir teoremas por ellos mismos.
presentes en toda actividad matemática, que A partir de hacer, examinar, predecir, evaluar y
fueron ampliamente descritos en los Linea- generalizar, los estudiantes pasan de formularse
mientos Curriculares (MEN, 1998), como la preguntas como ¿por qué…? a preguntas como
resolución de problemas, el razonamiento, la ¿qué pasa si…?, dando pasos hacia el pensa-
comunicación, la modelación y la elaboración miento deductivo.

3

2 EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRIA

Cuando una disciplina como la geometría instrumental fundamental con respecto a otras
abarca tantas dimensiones, cabe hacer algunas esferas del conocimiento como la arquitectura,
reflexiones de carácter histórico que sirvan la geografía y la astronomía. Como lo señalan
para comprender su proceso de crecimiento, y Mammana y Villani, (2000) en esta etapa se
el papel que ha jugado en el desarrollo cultural percibe un primer intento de racionalización,
de los diferentes ámbitos de la vida social. al menos localmente del conocimiento geomé-
Hemos mencionado ya la estrecha relación de la trico adquirido. En los documentos dejados por
geometría con las actividades humanas. Según estas civilización acerca de fórmulas para el
Mammana y Villani (1998) está relación ha área de regiones planas o volumenes de sólidos,
permitido ir desarrollando la geometría tanto o sobre el estudio de movimientos de los
en sus aspectos puramente visuales como en cuerpos celestes, se entretejen aspectos visuales
los conceptuales y abstractos. En efecto, desde e instrumentales. Alsina et al (1997) recalcan
tiempos inmemoriales ella ha acompañado las que desde las tablillas babilónicas a los papiros
producciones humanas, incluso desde la prehis- egipcios, cuando se trató de “escribir” un
toria cuando nuestros antepasados comenzaron problema geométrico, se inicio la tradición de
a reproducir los distintos aspectos de su realidad mezclar en las producciones escritas imágenes,
utilizando dibujos o comenzaron a adornar sus
símbolos especiales y el lenguaje natural para
pertenencias con motivos geométricos simples o
comunicar ideas.
producidos por medio de simetrías. Igualmente
cuando empezaron a hacer sus primeras cons-
Con los griegos y por motivos históricos y cultu-
trucciones, comenzaron a disponerlas en forma
rales la geometría dejó su caracter empírico y
geométrica. Según estos autores en este primer
momento, el aspecto visual de la geometría es el objetivo primordial de resolver necesidades
predominante. prácticas dio paso a la constitución de una disci-
pina científica, al abarcar procesos de raciona-
Con la expansión de las comunidades y el surgi- lización abstractos y globales. La obra cumbre,
miento de importantes civilizaciones como la Los Elementos, escrita por Euclides hacia el año
china, india, egipcia, griega, maya y azteca se 300 a.C. recoge una excelente sistematización
buscó un mejoramiento en la estructura general de estos desarrollos que se continuan con los
y la organización de la vida social. Durante ese trabajos de Apolonio, Arquímedes y Tolomeo.
periodo histórico la geometría respondió princi- En esta nueva etapa, el interés se concentró en
palmente a necesidades utilitarias de medición los aspectos conceptuales de la geometría y esta
de longitudes, áreas y volúmenes, o del trazo se empezó a ver como un sistema axiomático de
de linderos en la tierra. Además, jugó un papel carácter deductivo.

5


Debido a la perfección del tratado de Euclides, Sin embargo, todos estos desarrollos de la
este libro se convirtió en modelo de una siste- geometría se consideraron ajenos al espíritu
matización racional para todos los campos de la geometría de Euclides y por lo tanto no
del conocimiento. Así, por muchos siglos, la interfirieron con la incuestionada autoridad del
geometría de Euclides se enseñó como una de tratado de Euclides y su dimensión formal. Fue
las disciplinas más importantes para la forma- necesario esperar hasta el siglo XIX para lograr
ción cultural de los escolares, desde la edad un avance mas allá de la geometría euclidiana,
media hasta el renacimiento y aún mucho más gracias al desarrollo de las geometrías no eucli-
tarde. Este hecho inhibió otros progresos dentro dianas de Bolyai- Lobachevsky y Riemann. Los
de la geometría misma, produciéndose una axiomas anti intuitivos de estas dos geometrías
subordinación del conocimiento geométrico revolucionaron la comprensión de los matemá-
durante casi 2000 años, al esquema Euclidiano. ticos respecto de los axiomas. Estos, que habían
Tal fue el grado de influencia de la geometría sido considerados como “verdades evidentes”,
de Euclides que muchos de nosotros hoy en comenzaron a verse como “puntos de partida
día creemos que los griegos y sus antepasados necesarios” para los sistemas matemáticos. Así,
descubrieron toda la geometría conocida. Sin se liberó a la geometría de su caracter de modelo
embargo, como se menciona más adelante, del mundo real y del criterio de aplicabilidad de
muchos de los resultados más interesantes de sus resultados a la vida cotidiana, dando paso a
la geometría euclidiana se desarrollaron en los diversas variantes de la geometría de Euclides,
siglos XIX y XX. llamadas geometrías euclidianas, y a todo
tipo de otras geometrías no euclidianas, cada
Sólo después de muchos siglos de producción en
vez más alejadas de consideraciones visuales.
esa línea de trabajo surgieron nuevas ideas en la
Muchos de los resultados más interesantes de la
investigación geométrica, a partir de trabajos que
geometría euclidiana se trabajaron durante los
se consideraban de orígen externo a la geome-
siglos XIX y XX. Por ejemplo, los teoremas de
tría de Euclides. Por ejemplo, durante el siglo
Morley, Miquel, Feuerbach, Steiner, entre otros
quince se desarrolló la geometría proyectiva,
(De Villiers, 1999).
gracias a artistas del renacimiento, de la talla de
Leonardo da Vinci, interesados en la estética,
ampliando la dimensión artística de la geome- El desarrollo de las geometrías no euclidianas
tría, desarrollada por las comunidades primi- motivó un debate filosófico acerca de las
tivas. Durante el siglo XVII lo que nació como fuentes de certeza del conocimiento. Después
un método artístico se convirtió en la base de una de haber creido que las matemáticas trataban de
nueva geometría que combinó métodos álge- “verdades absolutas” en relación con el mundo
braicos con descripciones sintéticas de formas y real, los matemáticos se dieron cuenta que las
transformaciones (Alsina et al. 1997), surgiendo matemáticas tratan de “verdades convencio-
entonces la geometría analítica, de una mezcla nales” que pueden o no, tener aplicaciones en el
de geometría y álgebra; y hacia el final del siglo mundo real. La toma de conciencia de la posi-
XVIII debido al estudio sistemático realizado bilidad de imaginar alternativas a la geometría
por Mongue de los métodos de representación de euclidiana conllevó en un cierto sentido, a una
objetos tridimensionales por medio de dibujos, perdida de protagonismo atribuido a la geome-
surgió la geometría descriptiva. Estas áreas de la tría de Euclides, dentro de las matemáticas y
geometría combinan a su vez aspectos visuales dentro del conocimiento científico en general,
y conceptuales del conocimiento. y generó el interés por la búsqueda de consis-

6

EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA

tencia de las teorías propuestas. Así, la geome- de los espacios vectoriales, que contribuyó a
tría se dirigió mas por los caminos conceptuales una mayor ganancia en abstracción y genera-
que por los visuales. lidad, y un mayor distanciamiento de la intui-
ción geométrica.
Por otra parte, las geometrías no euclidianas
contribuyeron a estimular una nueva era de En décadas recientes, con el desarrollo tecno-
investigación en los fundamentos de la geome- lógico que permite el análisis numérico y el
tría, que culminó con el Programa Erlangen tratamiento visual de gran potencial, se está
de Felix Klein, quien en 1872, describió la experimentando un interés renovado en los
geometría como el estudio de las propiedades aspectos visuales de la geometría. Aunque
geométricas que permanecen invariantes bajo inicialmente estas investigaciones crecieron, en
varios grupos de transformaciones y la publi- su mayoría, en un medio externo a la comunidad
cación de los Fundamentos de la Geometría matemática, han sido origen de nuevos campos
Hilbert en 1899. Estos trabajos mostraron un de investigación geométrica. Por ejemplo, el
nuevo punto de vista caracterizado por un alto artista holandés Maurits Escher utilizó las tese-
nivel de abstracción, y la consecuente perdida laciones de manera extensiva en la producción
de relaciones de la geometría con la realidad de sus obras de arte en el período de 1937-1971
perceptible. La investigación en geometría se lo que motivó un renovado interés entre los
dirigió hacia la fundamentación algebraica de matemáticos por el estudio de las teselaciones
la misma. y cenefas. Así, en años recientes Grunbaum y
Shepherd (1986) produjeron una investigación
En los años siguientes a la publicación de los sistemática que en cierto grado es equiparable
Fundamentos de Geometría de Hilbert, la inves- a los Elementos de Euclides, una de cuyos
tigación en aspectos algebraicos de la disciplina soportes conceptuales más importantes es la
adquirió un papel cada vez mas importante, idea de simetría (de Villiers, 1999).
gracias a la construcción rigurosa de la teoría
de los números hecha por Dedekind, Cantor Otro desarrollo interesante de los últimos años
y Weirstrass, en la cuál el fundamento de la es la geometría fractal, que consiste en el estudio
“certeza” se derivó del álgebra y no de la de objetos geométricos “auto semejantes” de
geometría. Así, mientras hasta ese momento las dimensiones fraccionarias. Este campo de
“certezas” del álgebra se derivaban de supuestas trabajo se desarrolló proveniente de los estudios
certezas en geometría, al final del siglo dieci- en ciencias naturales pues muchos objetos de la
nueve el punto de vista cambió radicalmente: naturaleza como las nubes, las líneas costeras,
desde entonces es el álgebra la que proporcionó las hojas de helecho, las cadenas montañosas,
el modelo firme para la geometría. De esta los árboles, los cristales, etc. tienen propiedades
manera, surgieron objetos geométricos comple- fractales. La compresión fractal de imágenes es
tamente ajenos a la experiencia sensorial como imposible sin el apoyo de la tecnología compu-
las estructuras abstractas de dimensiones arbi- tacional.
trariamente grandes y las líneas que cubren el
plano, entre otras. El comienzo del siglo XX dio En los últimos años se han desarrollado y
lugar a la creación de nuevas herramientas alge- ampliado otras teorías geométricas como la
braicas para un estudio general de los objetos teoría de nudos y sus aplicaciones a la biología,
geométricos, entre las cuales se destaca la teoría el uso de la geometría proyectiva para el diseño

7


de programas de realidad virtual, la aplica- mundo de las formas en las que se perciben
ción de la teoría de códigos para el diseño de prototipos en clases separadas y se trabaja
unidades de CD. Incluso la geometría de las con representaciones realizadas a mano
pompas de jabón está siendo estudiada y se le alzada, por el mundo de la geometría práctica
ha dedicado sesiones especiales en diversas en donde se clasifican los objetos del mundo
revistas de matemáticas. real en forma jerárquica y se proponen cons-
trucciones geométricas, el mundo de la
También la geometría euclidiana está experi- geometría euclidiana cuyos objetos son los
mentando un renacer en gran parte debido al objetos idealizados del mundo platónico y
desarrollo reciente de paquetes computacionales se trabaja la prueba euclídea y finalmente
de geometría dinámica. Por ejemplo, Davies se llega al mundo formal donde los objetos
(1995) investigó nuevas posibilidades de cons- son definidos formalmente y sólo se acepta
trucción de teorías alrededor de la geometría la prueba deductiva.
del triángulo y Adrian Oldknow (1995, 1996)
utilizó el software Sketchpad para encontrar • Durante muchos siglos la geometría se
nuevas relaciones entre puntos de concurrencia constituyó en la base de toda ciencia, pero
asociados a líneas notables de los triángulos. ante la necesidad de superar los obstáculos
de la percepción y de la intuición para dar
En síntesis, con este breve recorrido histórico un fundamento exclusivamente racional
queremos destacar los siguientes aspectos: a la ciencia, perdió su papel protagónico
para cederlo al análisis y el álgebra. De este
• Si bien la geometría es una disciplina cien- movimiento de fundamentación heredamos
tífica, y como tal puede estructurarse en un una cierta “desconfianza” hacia la geometría
esquema axiomático deductivo, está intima- en detrimento del álgebra como herramienta
mente relacionada con nuestra percepción de matematización. De allí heredamos la
espacial y encuentra su fuente de significado utilización de la geometría en el campo
en ella, bien sea para afinarla o para supe- educativo como terreno natural para la
rarla. introducción de la deducción, olvidando
a veces los obstáculos que se presentan
• Los avances en geometría no provienen precisamente para este desarrollo y las otras
únicamente de las investigaciones en mate- posibilidades de formación que ofrece.
máticas, sino que tienen una gran variedad
de fuentes: las artes, los oficios, la técnica, • El renacer de los aspectos visuales, gracias
las ciencias. Este hecho destaca el carácter al potencial de los recursos informáticos, ha
vivo de la geometría y su riqueza cultural, puesto nuevamente en equilibrio los procesos
que se traducen en una riqueza de relaciones de visualización y los procesos de justifica-
que pueden utilizarse para su aprendizaje. En ción que permiten trabajar en geometría signi-
ella se puede avanzar desde la percepción de ficativamente, y potencian su aprendizaje.
los objetos y sus propiedades pasando por el

8

3 EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA

La historia de geometría nos muestra de qué - Los procesos de dar significado a los objetos
manera ha sucedido su evolución en una diná- y propiedades geométricas y los procesos
mica soportada por la interacción entre procesos de generalización y abstracción propios del
de visualización, (ligados al pensamiento espa- conocimiento matemático que dan lugar a la
cial), procesos de justificación, (ligados al descontextualización de dichos objetos.
pensamiento deductivo) y aplicaciones instru-
mentales que se llevan a cabo con el objeto de - Los dominios empíricos de la geometría y
resolver problemas de la vida cotidiana, las los dominios teóricos.
ciencias o la misma matemática, modelar el
mundo para interpretarlo, ampliar los horizontes Según como se desarrollen estas tensiones se
conceptuales con teorías construidas axiomáti- accederá, o no, al conocimiento geométrico
camente e interrelacionar campos diversos de genuino y útil no sólo por su potencial en la
conocimiento buscando en ellos una estructura resolución de problemas de las ciencias natu-
común, entre otras cosas. rales, la técnica o la vida cotidiana sino como
plataforma de lanzamiento hacia el desarrollo
Para tener acceso a este vasto campo de desarrollo teórico del ámbito matemático cuyas fronteras
humano es necesario aprender geometría. Surgen
de conocimiento son infinitas. Focalizar la
entonces interrogantes como los siguientes:
atención en el aprendizaje conduce a estudiar
las formas mediante las cuáles los estudiantes
¿por qué vías es posible lograr experiencia
se expresan matemáticamente y los meca-
geométrica?, ¿cómo se llega a la conceptua-
nismos mediante los cuales podemos afirmar
lización de nociones geométricas?, ¿cómo se
adquiere comprensión y habilidad para usar que lo están haciendo. Por tal razón, centra-
procedimientos geométricos?, ¿qué implica remos nuestro análisis acerca del aprendizaje
razonar en geometría? en geometría en tres aspectos que posible-
mente recogen las tensiones antes expuestas:
La investigación en este campo (de Villiers (i) los procesos de visualización y su potencial
(1999), Moreno (2002), Duval (1998), Hers- heurístico en la resolución de problemas, (ii)
cowitz y Vinner (1987)) ha llevado a reconocer los procesos de justificación propios de la acti-
que el aprendizaje de la geometría es un proceso vidad geométrica y (iii) el papel que juegan las
complejo que pone en tensión ciertos polos del construcciones geométricas en el desarrollo del
desarrollo cognitivo: conocimiento geométrico.

- Los procesos cognitivos de visualización Trataremos de ilustrar que los procesos de
y los procesos de justificación de carácter visualización requieren, para su desarrollo,
informal o formal. superar dificultades asociadas a las condiciones

9


fisiológicas propias de la percepción visual. A 3.1.1 Nivel global de percepción visual
su vez, desarrollaremos la idea según la cual, el
desarrollo de los procesos de justificación han En el nivel mas elemental de visualización
de superar dificultades inherentes a la aparente encontramos la percepción global de las
falta de sentido de una organización deductiva imágenes, que es esencial en la actividad geomé-
del discurso. Estas dos clases de dificultades trica y nos permite asociar figuras a objetos
provienen precisamente de la articulación entre físicos. En este nivel, se destaca la forma total
percepción y deducción, que se concreta en la de la imagen. Así, por ejemplo, una represen-
diferenciación entre figura geométrica y dibujo. tación como la de la figura 1 puede asociarse a
Y finalmente mostraremos que precisamente un techo, la parte superior de una mesa, o a un
la forma más antigua de intento de superación cuadrado visto en perspectiva.
de este conflicto es la construcción geometrica,
que permite asegurar las características geomé-
tricas del dibujo.
Fig.1

3.1. Procesos de visualización En un contexto matemático, la percepción global
actúa para reconocer formas prototípicas que se
La visualización integra los procesos por asocian con nombres de figuras geométricas.
medio de los cuales se obtienen conclusiones,
a partir de las representaciones de los objetos
bi o tridimensionales y de las relaciones
Fig.2
o transformaciones observadas en cons-
trucciones y manipulaciones (Clements y
En la percepción de estas formas prototípicas
Battista, 1992). Está en estrecha relación con
predominan aspectos no matemáticos como
la representación del espacio, la exploración
la posición (boca arriba, boca abajo) o el tipo
heurística o la visión sinóptica de una situa-
de trazo (grueso, delgado). Por esta razón,
ción compleja. este nivel debe dar pasó, en la enseñanza de la
geometría, lo más pronto posible, a una mirada
Muchas personas creen que la visualización es matemática de las figuras que active la mente
una habilidad innata y una cuestión que debe hacia la búsqueda de objetos geométricos y sus
permanecer al margen de la actividad educativa. relaciones.
Sin embargo, dado que los procesos de visuali-
zación están en la base de la actividad cognitiva 3.1.2. Nivel de percepción de elementos
en geometría el estudiante debe ir evolucio- constitutivos
nando en la “forma de mirar” los objetos, desde
percepciones visuales simples, hasta aquellas En un nivel posterior de visualización ya no
que le permiten explotar el potencial heurístico solamente se percibe la forma global, sino
de la visualización. A continuación sugerimos que se percibe la imagen como constituida
tres niveles de visualización que caracterizan su por elementos de una misma dimensión o
desarrollo, que están en franca correspondencia dimensiones inferiores. Así, una imagen tridi-
con los tipos de visualización propuestos por mensional se verá como formada por figuras
Duval (1998). tridimensionales o bidimensionales, una

10

EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

imagen bidimensional se verá como formada relaciones geométricas como la colinealidad de
por figuras bidimensionales, unidimensionales puntos, la interestancia, la relación par lineal o
(segmentos) o de dimensión cero (puntos). el hecho de tener pares de ángulos opuestos por
el vértice se admiten con la sólo observación de
Desde el punto de vista matemático, lo relevante la configuración.
para construir conceptos y relaciones geomé-
tricas, es la identificación de esos elementos En la identificación de las relaciones geomé-
constitutivos de la figura y las relaciones entre tricas, un aspecto que ejerce una gran influencia
ellos. Por eso es indispensable la intervención es la orientación, pues hace parte de nuestra posi-
de un enunciado que describa esas relaciones. ción erguida, la cual hace entrar en juego rela-
En este nivel entonces se rompe con el esquema ciones espaciales como arriba y abajo, adelante
de imágenes prototípicas, pues la orientación o y atrás, izquierda y derecha, y por extensión a
tamaño de las formas dejan de ser relevantes, las imágenes bidimensionales (representaciones
para considerar en primer plano las relaciones en papel), lo horizontal y lo vertical. De esta
entre los elementos constitutivos. manera, las relaciones de paralelismo y perpen-
dicularidad, por ejemplo, son más fácilmente
De esta manera, si en un primer nivel de visua- reconocibles cuando tienen orientación vertical
lización la figura 3 no es percibida como un u horizontal. Además, el fenómeno de gravedad
cuadrado, en este nivel si podrá considerarse influencia en gran medida nuestra percepción,
como tal. lo que nos hace tratar de colocar siempre las
figuras con la base abajo. Una estrategia didác-
tica para liberar la mente de estas restricciones
consiste en forzar la identificación de las rela-
ciones antes mencionadas, en figuras cuyas
posiciones no sean las estándares.
este es un cuadrado
fig.3
La identificación de partes constitutivas de una
figura geométrica depende estrechamente del
Es importante considerar que el enunciado, desarrollo de la percepción visual. Para una
a pesar de no ser un recurso de representa- mejor comprensión de este fenómeno, es nece-
ción visual, influencia la visualización. Esen- sario profundizar un poco en dicho proceso.
cialmente ayuda a re-enfocar la atención de Desde el punto de vista fisiológico, hay una
manera que puedan percibirse aspectos que cierta predisposición a captar algunos aspectos
pueden pasar desapercibidos sin el enunciado. de las imágenes, mientras que otros quedan
Además, permite comenzar a diferenciar entre inhibidos. Esto hace que de manera espontánea
un dibujo y una figura geométrica al aclarar podamos percibir fácilmente algunas caracterís-
qué información se puede obtener de la figura ticas de las imágenes que vemos, mientras que
y cuál no. Cuando un dibujo como el que se otras quedan “ocultas”.
presenta en la figura 3 va acompañado de un
enunciado “este es un cuadrado” se aseguran Percibimos mas fácilmente las figuras cerradas
las relaciones de congruencia y perpendicula- y cóncavas y no las figuras abiertas o convexas.
ridad entre los lados. De lo contrario, la sólo La figura 4, por ejemplo, se percibirá mas
percepción de dichas relaciones no las garan- fácilmente como dos triángulos con un vértice
tiza. Convencionalmente sin embargo, ciertas común, y no como un cuadrilátero convexo.

11


gicas es ejemplificada por Samper y Legui-
zamón y Camargo (2000) así: “ una mirada
ligera al rectángulo ABCD (figura 7) permite
identificar los triángulos ∆AEB, ∆BEC, ∆CED,
fig.4 y ∆DEA. Solamente después de dominar cierta
práctica en la visualización es posible reco-
Por otra parte, en imágenes complejas, donde nocer que la figura es la unión de los triángulos
puede descomponerse la figura total en distintas ∆ADC, y ∆ABC o ∆ADB y ∆CBD. Si la tarea
componentes más simples, entran en juego otros es probar que las diagonales del rectángulo son
dos aspectos que inhiben o potencian la percep- congruentes, es necesario identificar los trián-
ción: la complementariedad y el solapamiento. gulos solapados ∆DAC y ∆CBD”.
La complementariedad hace referencia a la
característica de los componentes de la figura
global de constituir la totalidad de la figura A B
inicial, al momento de juntarse (figura 5). Si las E
figuras son complementarias será más fácil su
percepción. El solapamiento tiene que ver con D C
el hecho de qué las figuras que reconocemos Figura 7
dentro de una configuración global compartan
regiones de la figura original. Si dos figuras Finalmente, hay otro aspecto que determina
están solapadas será más dificil su percepción. fisiológicamente nuestra percepción visual y
Fisiológicamente predomina la percepción de que aunque tradicionalmente no ha tenido gran
figuras complementarias y no solapadas. incidencia en el trabajo en geometría, comienza
a ser tenido en cuenta con las nuevas posibi-
lidades de representación computarizada: el
movimiento. Fisiológicamente estamos prepa-
rados para captar los cuerpos en movimiento
más fácilmente que los estáticos. De hecho,
fig. 5: figuras complementarias
el mecanismo de defensa de muchos animales
consiste en mimetizarse con el medio ambiente,
y mientras permanezcan inmóviles nos es muy
difícil percibirlos. Este hecho se aprovecha en la
propuesta curricular de geometría de los Linea-
mientos Curriculares del Ministerio de Educa-
fig. 6: figuras solapadas ción (MEN, 1998) donde se plantea, como
Así por ejemplo, en la figura 6, será más fácil recurso didáctico, el estudiar la congruencia
percibir los cuatro triángulos, pues son comple- de figuras a partir de las transformaciones
mentarios y no se solapan que los tres paralelo- isométricas del plano, aprovechando la capa-
gramos que la conforman, pues estos se solapan cidad humana de captar lo dinámico más que
entre sí. lo estático. De esta manera es posible ver una
congruencia como el producto de una operación
La necesidad de desarrollar la percepción visual isométrica, o una semejanza como el resultado
con el fin de superar las limitaciones fisioló- de una homotecia.

12


Como ya lo hemos mencionado, la percepción paña la figura. Son quizás estas últimas la que
visual se va enriqueciendo con los enunciados crean el poder heurístico de las figuras al dar
que acompañan las figuras. Estos orientan la pautas claves para identificar nuevas relaciones
atención, de manera que puedan superarse posi- geométricas. Distinguirlas no necesariamente es
bles predisposiciones fisiológicas y se comiencen una habilidad natural por lo que hay que hacer
a ver las figuras matemáticamente. La enuncia- esfuerzos educativos en ese sentido.
ción verbal de características nos ayuda a centrar
la atención en aspectos que no son percibidos de 3.1.3. Nivel operativo de percepción visual
manera espontánea y, de esta manera, el discurso
se convierte en catalizador de la percepción Es en este tercer nivel de visualización en el que
visual. Como lo propone Duval: podemos operar sobre las figuras, realizando
verdaderas transformaciones visuales que no
“Vemos y hablamos (en voz alta o mental-
están necesariamente mediadas por el discurso.
mente) sobre lo que estamos viendo. La
Es el caso, por ejemplo de las llamadas “pruebas
distinción visual suscita palabras al menos
sin palabras”. En este caso ya no se trata única-
implícitamente, y las palabras enunciadas
mente de la percepción de características de
mentalmente pueden cambiar el foco de
atención hacia aspectos desapercibidos una configuración, sino de una manipulación
en la figura. Este cambio de anclaje pasa mental de las subconfiguraciones, para obtener
normalmente desapercibido. Desafor- otra disposición significativa y útil.
tunadamente para la enseñanza de la
geometría! Porque el alumno no tiene el A partir de una configuración se reorganizan los
mismo lenguaje interno que un matemá- elementos constitutivos de una figura, que se
tico sobre las gestalts y configuraciones mueven como piezas de un rompecabezas, para
identificadas perceptivamente. Y existen lograr otra configuración relevante para la solu-
relaciones entre el lenguaje interno y el ción de un problema. Un ejemplo típico de este
razonamiento. Mirar una figura puede ser nivel de percepción son las pruebas sin palabras
suficiente para comprender una situación del Teorema de Pitágoras (figura 8).
geométrica o para convencerse única-
mente cuando todos esos cambios pueden
realizarse y se entremezclan. ¿Pero son
maneras naturales y comunes de mirar
cualquier representación, sea material o
mental? ¿Puedo yo (alumno) ver lo mismo
que usted (profesor) sin que usted me haya
explicado y sin que me haya señalado que
es lo que debo ver? Esa es la pregunta…”
(Duval, 2000).

Hemos visto como, la exploración de diversas
configuraciones en una figura proporciona figura 8: ejemplo de demostración del teorema de
información útil. En una figura geométrica es pitágoras
posible encontrar más subconfiguraciones que 2 2 2
aquellas que se hacen evidentes en la construc- En el tríangulo rectángulo c = a +2 b . (El
ción de la misma o en el enunciado que acom- primer cuadrado tiene por área (a + b) , y está

13


conformado por un cuadrado de área c2 y cuatro
triángulos de área ab/2. El segundo cuadrado
también tiene un área de (a+b)2 y está confor-
mado por los mismos cuatro triángulos de área
ab/2 y dos cuadrados de área a2 y b2. Por lo
tanto, c2 = a2 + b2.

En el ejemplo de la figura 8 puede verse de fig.9
qué manera actúa la percepción de elementos
constitutivos, en combinación con la percep- Una solución visual típica sería:
ción operativa. En el primer paso, a partir
del enunciado del teorema se encuentra una
disposición figural de un cuadrado, cuya área
corresponde a la suma de las medidas de los
catetos; este cuadrado contiene en su inte-
rior, otro cuadrado, cuya área es el cuadrado
de la medida de la hipotenusa. En el segundo
paso, la configuración se transforma variando
su composición como en un rompecabezas,
desplazando y reorganizando las subconfigu-
raciones que la conforman para obtener, dentro
del mismo cuadrado inicial, dos cuadrados
cuyas áreas son respectivamente los cuadrados
de las medidas de los catetos. fig.10

Como ya lo mencionamos, en el contexto de un
3.2. Procesos de justificación
problema dado, una o varias configuraciones
son relevantes mientras que otras reorganiza- Ya hemos mencionado como una de las difi-
ciones no lo son. La capacidad de visualizar cultades en el aprendizaje de la geometría, la
en mayor o menor grado cuál es la reorganiza- articulación entre los procesos de visualización
ción efectiva da a la visión su poder heurístico y los procesos de justificación en geometría.
para la solución de problemas. Pero implica Otro aspecto igualmente conflictivo, refe-
el esfuerzo de reorganizar las configuraciones renciado por Duval (1999) es el fenómeno de
significativamente y usarlas para “ver” por qué “falsa proximidad” entre los discursos naturales
una proposición matemática puede ser cierta y mediante los cuales nos comunicamos en otros
cómo se podría realizar una estrategia de trabajo. campos de la actividad humana y los discursos
Veamos un ejemplo de uso del nivel operativo deductivos, mediante los cuales se construye el
visual en la resolución de un problema geomé- discurso geométrico.
trico propuesto por Duval (2000): en la figura
AC es la diagonal del rectángulo ABCD ¿cuál Dado que utilizamos el mismo sistema de
es la relación entre las áreas de los dos rectá- símbolos, pareciera que la forma de construc-
gulos sombreados? ción de un argumento para convencer a alguien

14


de la pertinencia de hacer algo es la misma con - en el rectángulo ABCD se distinguen dos
la cual se construye una demostración. Diferen- triángulos congruentes ∆ ABC y ∆ADC,
ciar los dos tipos de discursos es fundamental resultado de dividir el rectángulo mediante
para el aprendiz, máxime cuando en ocasiones una diagonal.
el discurso natural es aceptado en matemá-
ticas y en otras ocasiones no. Este hecho puede - si se elimina la porción sombreada en cada
provocar dificultades en los alumnos, que no uno de los triángulos, se obtienen dos figuras
alcanzan a apreciar la diferencia de organiza- compuestas por dos triángulos que son
ción de una justificación deductiva, puesto que respectivamente congruentes.
es asimilable a cualquier otro argumento del
lenguaje natural. - como han quedado dos regiones de igual
área, las regiones que se eliminaron, es decir,
los rectángulos sombreados, también deben
Al ir avanzando en el aprendizaje de la geome-
tener igual área.
tría los estudiantes deben ir cambiando la orga-
nización discursiva de su razonamiento para En el caso de la organización de discursos
ir ganando en precisión, perfeccionando el formales la situación es muy diferente. En primer
lenguaje geométrico, introduciendo encade- lugar el razonamiento no se centra en una descrip-
namientos lógicos, accediendo a la estructura ción basada en la visualización de una figura; las
deductiva. Por lo tanto, la transformación del figuras sólo brindan un escenario para articular
discurso debe llevar de una argumentación el discurso que comienza cuando se declara la
informal que se apoya fuertemente en la visua- relación entre dos proposiciones mediante una
lización, y por lo tanto es de carácter descrip- inferencia del tipo Si… , entonces…. La orga-
tivo, a una organización discursiva formal que nización del discurso requiere hacer uso única-
encadena proposiciones usando reglas lógicas. mente de proposiciones que de antemano tienen
En este proceso se pasa por el proceso de preci- un estatus teórico específico (axiomas, defini-
sión del lenguaje, en el que es imprescindible ciones, teoremas) y conducen un paso adelante
enunciar definiciones y teoremas. hacia las conclusiones. Así, los proposiciones
se ligan de acuerdo con su estatus y la organiza-
La organización de un discurso informal, de ción funciona por sustitución de proposiciones
carácter descriptivo es bien diferente a la organi- como en el cálculo y no por asociaciones como
zación de un discurso formal. En el primer caso, en el lenguaje informal.
se ligan proposiciones o enunciados a partir de
la visualización de una figura y sus configura- En el problema que nos ocupa, un encadena-
miento deductivo se replantearía así: si AC es
ciones, por asociaciones evidentes y espontá-
la diagonal del rectángulo ABCD, las áreas
neas tal como argumentamos al conversar. Las
de los rectángulos sombreados son iguales.
asociaciones entre enunciados se explicitan
El encadenamiento deductivo podría ser de la
mediante una descripción que muestra equiva- siguiente forma:
lencias u operaciones entre subconfiguraciones
para producir otras. En el problema propuesto (i) si AC es la diagonal del rectángulo ABCD,
por Duval que presentamos en la sección ante- entonces a (∆ADC) = a (∆CBA).
rior, una argumentación informal de la equiva-
lencia de las áreas de los rectángulos sombreados (ii) a (∆ADC) = a(∆AEU) + a (∆UFC) +
sería algo como: a (□UFCG),

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(iii) a (∆CBA) = a(∆UHA) + a (∆CGU) + en un discursivo teórico. Uno de los principales
a (□UGBH) problemas de la enseñanza de la geometría es
la dificultad para hacer que muchos alumnos
(iv) a(∆AEU) = a(∆UHA), porque AU es superen esta brecha. A veces, los profesores no
diagonal del rectángulo AEUH tienen conciencia clara de la dificultad y no se
hacen esfuerzos por superarla. Este proceso no
(v) a (∆UFC) = a (∆CGU), porque UC es puede pretender partir de un marco de defini-
diagonal del rectángulo UFCG ciones ya construidas, pues de esa manera se
pierde el sentido de necesidad de la precisión,
(vi) de (ii) y (iii) a(∆AEU) + a (∆UFC) + y del acuerdo social necesariamente arbitrario
a (□UFCG) = a(∆UHA) + a (∆CGU) + asociado con las convenciones empleadas, y
a (□UGBH) se reduce el razonamiento a un simple cálculo
proposicional sin ningún sentido para el alumno.
(vii) de (i) y (v) a (□UFCG) = a (□UGBH) Por el contrario, ese proceso de transformación
del discurso debe insertarse en un esfuerzo de
El discurso teórico no es una manera natural de interpretación y explicación de fenómenos
razonar pues está muy lejos de las formas de razo- teórico-perceptivos como lo son las construc-
namiento usadas en la vida diaria. Relacionar las ciones geométricas, a las que nos referiremos
proposiciones de acuerdo con su estatus va en en el siguiente apartado.
contrar de las asociaciones evidentes o espon-
táneas. Axiomas, teoremas y definiciones no
son argumentos que sustenten una tesis o una 3.3. La construcción geométrica
opinión sino eslabones de una cadena articu- como encadenamiento “natural”
lados estratégicamente para llevar de la hipótesis de los procesos de visualización y
a la tesis. Para usar un teorema se requiere que
los procesos de justificación.
éste se ajuste a las proposiciones ya articuladas
y haga el empate con las afirmaciones que se
Para muchos investigadores (Moreno, 2002;
tiene previsto vengan a continuación. Muchos
Laborde, 2000) las profundas diferencias entre
alumnos no distinguen este proceso teórico
las dimensiones de la geometría como ciencia
deductivo, de un proceso discursivo más natural,
del espacio y la forma, en la cual lo que vemos
incluso cuando mencionan, aparentemente
de manera correcta, definiciones y teoremas. en una figura puede ser tomado como garantía
Les parece una exigencia artificial e inutil del de certeza, y la geometría deductiva, en la cual
profesor. Pero aquellos que descubren el proceso cualquier afirmación debe ser deducida de otras
deductivo, especialmente en los niveles locales dadas, es motivo de constantes reflexiones ya
de organización de las proposiciones, obtienen que refleja las tensiones entre los procesos
una experiencia personal de la necesidad lógica de visualización y los procesos de justifica-
de la conclusión y del poder de esta forma de ción. Ciertamente hay un profundo cambio de
razonamiento. Perciben la naturaleza y el grado estatus de los objetos cuando nos movemos de
de fuerza de la convicción lograda acerca de la la geometría de la evidencia visual a la geome-
certeza de un enunciado por esta vía. tría de los objetos y relaciones involucrados en
un sistema deductivo. Pero la existencia de este
Podemos concluir que existe una brecha entre la salto conceptual no implica que el conocimiento
argumentación informal y la justificación formal anterior de los estudiantes no sea útil cuando se

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enfrentan a la tarea de probar como tampoco que invaden terrenos teóricos. Es decir, las herra-
esto implique que los procesos de resolución de mientas para producir los dibujos y sus reglas
una prueba sean puramente deductivos. de uso corresponden a axiomas y teoremas
de un mismo sistema teórico que no siempre
Podemos entonces identificar dos extremos está explícito. Dada una construcción, siempre
de un continuo que va desde la posición total- es posible hallar un teorema que la valida y
mente perceptual, donde no interviene el razo- establece la “legalidad” de las relaciones entre
namiento, hasta la posición totalmente formal, los elementos de la figura. Adicionalmente,
donde se ha eliminado todo referente perceptual las construcciones añaden elementos concep-
para establecer un discurso teórico deductivo. tuales que ayudan a los estudiantes a reconocer
En el amplio espectro entre estos dos extremos y conectar las diferentes propiedades matemá-
encontramos el espacio de exploración y de ticas necesrias para obtener, por ejemplo, una
creatividad que ha ido constituyendo el trabajo figura correcta, y posteriormente justificar por
en geometría escolar. qué está correcta.

Como parte de ese esfuerzo de superar las limi- Allí reside la importancia de la construcción
taciones de la percepción, surgió la construc- como motor del pensamiento deductivo, pues
ción geométrica. Podemos describirla como las propiedades explícitamente construidas se
un dibujo técnico, en el que la utilización convierten en premisas, siendo las conclusiones
apropiada de ciertos instrumentos asegura la otras propiedades verificadas en la construcción,
adecuación del dibujo a determinadas propie- pero que de alguna manera son “espontáneas”. En
dades. La construcción geométrica tiene dos palabras de de Villiers (1999), el alumno puede
aspiraciones básicas: asegurar el cumplimiento descubrir en la construcción propiedades que él
de propiedades geométricas buscando superar no puso allí, lo cual le permite descubrir que hay
las limitaciones de la percepción necesaria- alguna relación de implicación entre las propie-
mente presentes en el dibujo y lograr una gene- dades que él puso, y las que descubrió despues.
ralización, asegurando la reproductibilidad
del dibujo, tomando en cuenta (únicamente) Por supuesto, una construcción geométrica sigue
las propiedades fundamentales del mismo siendo una representación limitada de un objeto
por medio de la utilización de instrumentos matemático, limitada por el nivel de precisión
técnicos como el compás y la regla. Una cons- de los instrumentos técnicos y por el nivel de
trucción geométrica se diferencia entonces de pericia de quien efectúa el dibujo. La dificultad
un simple dibujo, legitimando de cierta manera de la utilización de la construcción como campo
las conclusiones que pueden sacarse de ella, de reflexión, radica en la dificultad motriz que
pues las propiedades presentes no son resultado conlleva a la utilización idónea de los instru-
del azar, sino que fueron construidas de manera mentos técnicos. El desarrollo de la habilidad
explícita, o son un resultado necesario de esa necesaria consume mucho tiempo, mientras que
construcción. el estatuto de dibujo no la justifica como habi-
lidad matemática. Desde este punto de vista, los
Más allá de la concreción de las construc- programas de computador pueden tomar a su
ciones realizadas sobre el papel, o en la cargo la precisión de los trazados, liberando la
pantalla de un computador, tales construc- atención de los alumnos para concentrarla en la
ciones desbordan el marco de lo concreto e reflexión teórica sobre los mismos.

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La construcción puede constituirse en campo de razonamiento tanto o más poderosa que la
exploración y reflexión, de donde la deducción justificación y no asimilable con ésta.
puede nacer y organizarse. Pone en evidencia
propiedades geométricas en juego y las rela- • Los procesos de argumentación pueden
ciones entre ellas, constituyéndose en la semilla influir nuestra percepción visual, permi-
de la argumentación. Esta, entendida como tiendo superar los obstáculos debidos al
mecanismo para validar afirmaciones dentro de funcionamiento fisiológico.
un contexto, a partir de la formulación de inferen-
cias de carácter deductivo, da pie a la demostra- • La justificación puede tomar dos formas: la
ción, con lo cual las proposiciones geométricas argumentación informal y la argumentación
cobran importancia por el papel que desempeñan formal generalmente de caracter deductivo.
en el sistema axiomático deductivo.
• El trabajo complementario entre los procesos
En síntesis, en este capítulo hemos desarrollado de visualización y los procesos de justifi-
las siguientes ideas: cación puede favorecer una organización
deductiva, pues se evidencian las relaciones
• Los procesos visualización están determi- de equivalencia o de inferencia entre distintos
nados por características fisiológicas que enunciados (por ejemplo: si un cuadrilátero
favorecen la percepción de ciertos aspectos tiene lados opuestos paralelos, entonces sus
y dificultan otros. De esta manera pueden diagonales se bisecan).
resultar un obstáculo para el razonamiento
en geometría, impidiendo la identificación • Al establecer conexiones entre los procesos
de relaciones o componentes claves para de justificación y los procesos de visualiza-
la comprension del problema, o resultar un ción, el razonamiento deductivo adquiere
apoyo fundamental en dicho razonamiento. sentido para los alumnos como posibilidad
de explicación, de comprensión y de argu-
• Los procesos de visualización pueden cons- mentación.
tituirse, en si mismos, en una forma de

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