Puntos, rectas y planos en espacio

1. Puntos, rectas y planos en el espacio Espacio afín • Vectores en el espacio • Espacio afín • Ecuaciones de la recta • Ecuaciones del plano • Posiciones relativas de rectas y planos • Haz de rectas y planos • Posiciones relativas de rectas y planos con esfera

2. Vectores en el espacio  Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento orientado de origen el punto A y de extremo B  El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.  La dirección de un vector es la recta que lo contiene.La dirección de un vector es la recta que lo contiene.  El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremoEl sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo  Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen elDos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectoresmismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes se puede representar por un único vector u, llamadoequipolentes se puede representar por un único vector u, llamado VECTOR LIBRE.VECTOR LIBRE.  El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por VEl conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V33  Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).figura de CABRI).

3. SUMA GRÁFICAS DE VECTORES VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD. Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD. El VECTOR SUMA será el VECTOR AE. Ver SUMA DE VECTORES en el plano (Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI). AA E DE D B CB C O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del PARALELOGRAMO). FF AA E DE D B CB C

4. VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB Ver RESTA DE VECTORES en el plano (Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI). El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma de los VECTORES AB y – CD. A CA C B DB D

5. PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR. El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB. Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI). EE BB AA VECTOR AE = 5. AB = 5.uVECTOR AE = 5. AB = 5.u

6. Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de uAsí por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u11, u, u22 y uy u33, puesto que:, puesto que: - 2 u- 2 u11 + 3 u+ 3 u22 + u+ u33 = u= u Un conjunto de vectores, uUn conjunto de vectores, u11, u, u22 , … , u, … , unn, linealmente independientes, si la única combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k, linealmente independientes, si la única combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k11. u. u11 + k+ k22 . u. u22 + … + k+ … + knn . u. unn = 0 implica que k= 0 implica que k11 = k= k22 = … = k= … = k nn = 0. En otro caso decimos que son dependientes= 0. En otro caso decimos que son dependientes COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos vectores. Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

7. BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES. Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w . Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres vectores no coplanarias, ni nulos. Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }

8. Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { uAsí por ejemplo el vector u , respecto de la base { u11, u, u22 y uy u33 } tiene de coordenadas:} tiene de coordenadas: (-2,3,1)(-2,3,1) Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

9. OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES. Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y norma 1). Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q respectivamente, es decir: p = (a ,b, c) y q = (d, e, f ) Si r es un número real entonces: p + q = ( a + d , b + e, c + g ) p - q = ( a - d , b - e, c – g ) r. p = ( r.a , r.b, r.c ) r. q = ( r.d , r.e, r.f ) VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)excel) Operaciones con vectores Vector Coordenadas u = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 ) v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 ) Operaciones u + v = ( 1,00 , 1,00 , 0,00 ) u - v = ( 1,00 , -1,00 , 0,00 ) 1,00 x v = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 ) 1,00 x v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 ) HAZ DOBLE CLIC

10. Espacio Afín

11. ESPACIO AFÍN.ESPACIO AFÍN.

12. ESPACIO AFÍN.ESPACIO AFÍN.

13. SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO. Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO. Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c) Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ. Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá: PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) ) VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)figura de CABRI) Coordenadas del Punto P Coordenadas del Vector OP

14. SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.

15. COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.

16. Rectas en el espacio  Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v) ,OP OA AP OP OA vλ λ= + ⇒ = + ∈ uuur uuur uuur uuur uuur r ¡  La ecuación vectorial de r es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 , , , , , , x a v x a b a x y z a a a v v v y a v y a b a z a v z a b a λ λ λ λ λ λ λ λ = + × = + × −   = + ≈ = + × ⇒ = + × − ∈   = + × = + × −  ¡  La ecuación paramétrica de r es =(x,y,z) Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3) 3 31 2 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 z a z ax a y a x a y a v v v b a b a b a − −− − − − = = ≈ = = − − − La ecuación continua de r es 2 1 1 2 2 1 3 2 2 3 3 2 0 0 v x v y a v a v v y v z a v a v × − × − × + × = × − × − × + × =  La ecuación general de r es

17. ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.

21. Rectas en el espacio  Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5) y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta  (-5,2,5) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0) ⇒ λ=0  (1,2,5) = (-3,1,5) + λ.(2,-1,0) ⇒ λ no existe Luego A si es un punto de la recta y B no lo es. 3 3 2 3 x y z λ λ λ λ = −  = − × ∈  = + × ¡  Ejemplo.- Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos  Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2) será

22. Rectas en el espacio 1 1 2 3 2 2 1 Rango −   ÷ − = ÷  ÷    Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0) están alineados  Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es = 1 1 2 2 3 1 x y z− + − = = − −  Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1)  Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación es Y Los puntos A, B y C no están alineados

23. El plano  Una plano π en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) , denominados vectores directores del plano π = π(A, u, v ) =(x,y,z) Si u = AB, v =AC, el plano π = π(A,AB,AC) viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3), B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)

24. El plano ,OP OA AP OP OA u vλ µ λ= + ⇒ = + + ∈ uuur uuur uuur uuur uuur r r ¡  La ecuación vectorial de π es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 , , , , , , , , , x y z a a a u u u v v v x a u v x a b a c a y a u v y a b a c a z a u v z a b a c a λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ = + + = + × + × = + × − + × −   ≈ = + × + × ⇒ = + × − + × − ∈   = + × + × = + × − + × −  ¡  Las ecuaciones paramétrica de π son 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0, , , , x a u v y a u v A x B y C z D A B C D z a u v − − = ⇒ × + × + × + = ∈ − ¡  La ecuación general de π es

25. ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.

30. El plano 31 1 2 2 3 3 3 1 3 0 3 0 2 2 2 2 3 x y x z z − − − − = ⇒ × − × + = −  Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+λ,-λ,5+λ) con λ ∈ ℝ. Hallar la ecuación general del plano que contiene a ambos. Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será ( ) 1 5 3 Como R , , R 1 2 4 2 A, B y C son coplanarios 9 2 8 ango OA OB OC ango −   ÷ = − − = ⇒ ÷  ÷−  uuur uuur uuur  Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son coplanarios ( ) ( ) ( )Tomando 0,0,0 , 1,0,0 , 0,0,1 , La ecuación del plano será 1 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 O i j x y y y z = = = ⇒ − = ⇒ = r r  Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ

31. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.

32. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.

33. DETERMINACIÓN DE UN PLANO.DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

34. PUNTOS COPLANARIOS.PUNTOS COPLANARIOS.

35. Posiciones relativas de dos rectas  Dos rectas r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ . (u1,u2,u3) s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + λ . (v1,v2,v3); λ ∈ℝ en el espacio pueden ser: COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes) COPLANARIAS SECANTES NO COPLANARIAS (se cruzan)

36. Posiciones relativas de dos rectas  Si las rectas r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ . (u1,u2,u3) s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + λ . (v1,v2,v3); λ ∈ ℝ tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces, dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r y Ps de la recta s, y se cumplirá Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas 2 4 5 : 3 2 1 4 5 : 2 4 1 x y z r x y z s − + − = = − − − + = = Como u y v no son proporcionales, tomando PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10) 3 2 1 2 4 1 78 0 1 4 5 − − = ≠ − − Los vectores no son coplanarios, y por tanto se cruzan

37. Posiciones relativas de dos rectas.  Dadas dos rectas r y s, determinada por la intersección de planos, es decir π : A x + B y + C z + D = 0 π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 r : s : π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 π’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ = 0 Denominando *' ' ' ' ' ' ' ; '' '' '' '' '' '' '' ''' ''' ''' ''' ''' ''' ''' A B C A B C D A B C A B C D M M A B C A B C D A B C A B C D      ÷  ÷  ÷  ÷= =  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷     Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la siguiente tabla Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4 NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado: RECTAS COINCIDENTES Incompatible: RECTAS PARALELAS NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado: RECTAS SECANTES Incompatible: LAS RECTAS SE CRUZAN NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3Rango(M)=4

38. Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.  Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas 3 2 4 3 4 3 5 3 0 : : 5 1 2 3 5 9 x y z x y z r s x y z x y z − + = − + + =    − + + = − − + + =  Las rectas r y s son coincidentes. Como se cumple 3 2 4 3 2 4 3 1 1 1 1 1 1 6 2 4 3 5 4 3 5 3 2 1 3 2 1 3 9 Rango Rango − −     ÷  ÷ − − − ÷  ÷= =  ÷  ÷− − −  ÷  ÷ ÷  ÷− −   

39. Posiciones relativas de recta y plano  Dada un plano π y una recta r π: A x + B y + C z = D A’ x + B’ y + C’ z = D’ r : A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’ Pueden ser SECANTES PARALELOS LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

40. Posiciones relativas de una recta y un plano  Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta π : A x + B y + C z + D = 0 r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen * ' ' ' y ' ' ' ' '' '' '' '' '' '' '' A B C A B C D M A B C M A B C D A B C A B C D      ÷  ÷ = = ÷  ÷  ÷  ÷     Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible indeterminado; RECTA CONTENIDA EN EL PLANO Incompatible: RECTA PARALELA AL PLANO NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Sistema compatible determinado: RECTA Y PLANO INCIDENTES Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3

41. Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.  Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano r : 3 x + 2 y – 7 z – 6 = 0 : x + y – z – 4 = 0 π : 3 x – y + z – 8 = 0 Como se cumple 3 2 7 3 2 7 6 1 1 1 3 1 1 1 4 3 1 1 3 1 1 8 Rango Rango − −     ÷  ÷ − = = − ÷  ÷  ÷  ÷− −    El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes. Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)

42. Posiciones relativas de una recta y un plano.  Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo. Es decir, sea la recta y el plano 1 1 2 2 3 3 : : 0 x a u r y a u Ax By Cz D z a u λ λ π λ = + ×  = + × + + + =  = + × Se sustituye ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 0A a u B a u C a u Dλ λ λ× + × + × + × + × + × + = Si de la ecuación, se obtiene un valor λ, son incidentes y el punto de intersección se obtiene sustituyendo el valor λ en las ecuaciones paramétricas de la recta. Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son paralelas. si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0. λ =0), la recta está contenida en el plano

43. Posiciones relativas de una recta y un plano.  Ejemplo.- Sea la recta y el plano. 1 2 3 2 7 : 4 2 :3 3 5 12 0 3 3 x u r y u x y z z u π = − ×  = + × + − + =  = − × Sustituyendo ( ) ( ) ( )3 2 7 3 4 2 5 5 3 12 0 0 15λ λ λ λ× − × + × + × − × − × + = ⇒ × = − Luego la recta y el plano son paralelos

44. Posición relativa de una recta y un plano

45. Posición relativa de una recta y un plano

46. Posiciones relativas de dos planos  Dos planos π : A x + B y + C z + D = 0 π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.

47. Posiciones relativas de dos planos  Para estudiar las soluciones del sistema de planos π : A x + B y + C z + D = 0 π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen * y ' ' ' ' ' ' ' A B C A B C D M M A B C A B C D     = = ÷  ÷     Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Sistema compatible indeterminado: PLANOS COINCIDENTES Sistema incompatible: PLANOS PARALELOS NO SE PUEDE CUMPLIR Sistema compatible determinado: PLANOS SECANTES (se cortan en una recta) Rango(M)=1Rango(M)=2

48. Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.  Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos π : 3 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 π’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0 Como se cumple 3 2 4 3 2 4 1 1 2 6 4 8 6 4 8 7 Rango Rango − − −    = < = ÷  ÷ − − − −    Los planos son paralelos

49. Posiciones relativas de tres planos  Tres planos π : A x + B y + C z + D = 0 π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 en el espacio pueden ser: Los tres PARALELOS (o coincidentes) Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos rectas paralelas) COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas) COINCIDENTES en una recta. COINCIDENTES en un punto

50. Posiciones relativas de tres planos  Para estudiar las soluciones del sistema de planos π : A x + B y + C z + D = 0 π’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 π’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0 Denominando: Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de acuerdo con la siguiente tabla resumen * ' ' ' y ' ' ' ' '' '' '' '' '' '' '' A B C A B C D M A B C M A B C D A B C A B C D      ÷  ÷ = = ÷  ÷  ÷  ÷     Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Sistema compatible indeterminado: PLANOS COINCIDENTES Incompatible: PLANOS PARALELOS DISTINTOS ó PLANOS PARALELOS CON DOS COINCIDENTES NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Compatible indeterminado; PLANOS COINCIDENTES EN UNA RECTA Incompatible: PANOS SECANTES DOS A DOS ó DOS PARALELOS Y EL TERCERO SECANTE NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR Sistema compatible determinado: PLANOS SECANTES EN UN PUNTO Rango(M)=1Rango(M)=2Rango(M)=3

51. Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.  Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos π : x + y + z = 2 π’ : 3 x + 2 y – z = 2 π’’ : 4 x + 3 y = 2 Como se cumple 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 0 4 3 0 2 Rango Rango      ÷  ÷ − = < − = ÷  ÷  ÷  ÷     El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se deduce que se cortan en forma prismática.

52. Haz de rectas en el plano

53. Haz de rectas en el plano

54. EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.

55. Radiación de tres rectas

56. Haz de planos

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58. Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera

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