1. VECTORES X. MANUEL BESTEIRO ALONSO Colexio Apostólico Mercedario VERÍN

4. VECTORES EQUIPOLENTES Dise que dous vectores fixos non nulos son equipolentes si e só si teñen igual módulo, igual dirección e igual sentido. Tódolos vectores nulos son equipolentes entre sí. Paralelogramo C D

5. VECTOR LIBRE É o conxunto de tódolos vectores fixos equipolentes entre si. O módulo, dirección e sentido dun vector libre son os dun calquera dos seus representantes A B C D

8. COORDENADAS DE VECTORES Un sistema de referencia está formado por un punto O e un par de vectores perpendiculares e de módulo 1. x y O i  j  X Y As coordenadas do vector respeto do sistema de referencia son un par de números (x, y) que verifican: . u     R O, i, j  u xi yj           

10. COORDENADAS DUN VECTOR LIBRE DETERMINADO POR DOUS PUNTOS As súas coordenadas son as obtidas ao restar extremos menos orixe x y x' y' O i  j  p PQ q     PQ q p     PQ (x‘ x, y‘ y)   Q P (x’, y’) (x , y)

11. VECTORES NO PLANO: EXEMPLOS A(2, 2) B(6, 4) X Y + 4 + 2

12. SUMA DE VECTORES: UN EXEMPLO X Y ) 3 , 2 ( u    ) 2 , 3 ( v    ) 1 , 5 ( ) 2 , 3 ( ) 3 , 2 ( v u          Para sumar dous vectores súmanse as coordenadas correspondentes = (x,y), e, = (x’ , y’) + = (x , y) + (x’ + y) = ( x + x’ , y + y’) a  b  a  b 

13. PRODUTO DUN NÚMERO POR UN VECTOR: X Y ) 3 , 2 ( u    2 u (4,6)    Para multiplicar un nº por un vector, multiplícase ese nº polas coordenadas do vector

14. MÓDULO DUN VECTOR. Módulo dun vector x y O i  j  X Y |u| x y  2 2  

15. DISTANCIA ENTRE DOUS PUNTOS A distancia entre dous puntos A(x,y), e, B(x’ , y’) represéntase por d(A,B) e é igual ao módulo do vector AB  B A (x’, y’) (x , y) AB x y x' y' i  j  O

16. PUNTO MEDIO DUN SEGMENTO Se A(x,y), e, B(x’ , y’) o punto medio M (x m ,y m )do segmento AB ,é un punto de coordenadas A(2,1) B(6,5) M(4,3)

17. SIMÉTRICO DUN PUNTO RESPECTO DOUTRO Se A´(x´,y´) é o simétrico de A(x,y) respecto do punto P, entonces P é o punto medio do segmento AA´ A(x,y) A´(x´,y´) P

18. PRODUTO ESCALAR DE DOUS VECTORES: PROPIEDADES O produto escalar de dous vectores desígnase por e obtense do seguinte modo: u · v   u · v | u | | v | cos(u,v)                1.– Propiedade conmutativa : para calesquera vectores libres u v e cúmprese que     u v v u          e 2.– Propiedade distributiva : para calesquera vectores libres u, v w cúmprese que       u (v w) u v u w                u v 3.– Para calesquera vectores libres e calquera que sexa k  R cúmprese que e     (ku) v u (kv) k(u v)             

19. EXPRESIÓN ANALÍTICA DO PRODUTO ESCALAR = x . x' + y . y' 1 0 0 1   Sexan u (x, y) e v (x', y') referidos a R O, i, j          u v      (x i y j) (x' i y' j)          x x' (i i) x y' (i j) y x' (j i) y y' (j j)                 

20. MÓDULO DUN VECTOR. ÁNGULO DE DOUS VECTORES Módulo dun vector Ángulo de dos vectores x y O i  j  X Y |u| x y  2 2   u v x x' y y'      |u| |v| cos(u,v)          x y x' y'  2 2 2 2 xx' yy' cos(u,v)      

22. FIN