Este documento trata sobre los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo definiciones, propiedades y operaciones. Explica la definición de espacio vectorial, subespacio, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal. También cubre los conceptos de base, dimensión, cambio de base, bases ortonormales y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Al final incluye ejemplos y tareas para practicar estos conceptos.

1. Unidad IV
Espacios Vectoriales

2. 4.1 Definición de espacio
vectorial y sus propiedades

3. 4.1 Definición de espacio
vectorial y sus propiedades

4. 4.2 Definición de subespacio de un
espacio vectorial y sus propiedades.

5. 4.3 Propiedades de vectores,
combinación lineal, dependencia e
independencia lineal.
• El vector (8, 5, 6) es una combinación lineal de
los vectores (1, 2, 0), (3, 1, 4), y (1, 0, 3) ya que
se puede expresar de la siguiente manera
(8, 5, 6) = (1, 2, 0)+ 3(3, 1, 4)- 2(1, 0, 3)

6. Tarea

7. 4.3 Propiedades de vectores,
combinación lineal, dependencia e
independencia lineal.
• Demuestre que al conjunto (1, 2, 3), (-2, 1, 1),
(8, 6, 10) es linealmente dependiente en R3
• Demuestre que al conjunto (3, -2, 2), (3, -1, 4),
(1, 0, 5) es linealmente independiente en R3

8. Tarea

9. 4.3 Propiedades de vectores,
combinación lineal, dependencia e
independencia lineal.

10. 4.4 Base y dimensión de un espacio
vectorial.
• Si un espacio vectorial V tiene una base que
consta de “n” vectores, entonces la dimensión
de V es “n” que se denota como dim(V)

11. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base

12. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base
• 1. determinar si la matriz B2 es base de un
espacio vectorial V

13. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base

14. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base

15. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base

16. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Cambio de base

17. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Demuestre que el conjunto (1,0,0), (0, 3/5, 4/5),
(0, 4/5, -3/5) es un conjunto ortonormal

18. Tarea

19. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Proyección de un vector
 La proyección de un vector v sobre un vector
distinto de cero u en Rn se define como
• Ejemplo.- Halla la proyección ortogonal del
vector v = (1,2) sobre el vector u = (1,1)
u
uu
uv
vproyu




20. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Una base que es un conjunto ortogonal se dice
que es una base ortogonal. Una base que es
un conjunto ortonormal se dice que es base
ortonormal

21. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Ejemplo

22. 4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización Gram-Schmidt.
• Ejemplo

23. Tarea

24. Respuestas

25. Respuestas